專題7幾何體側(cè)面展開與最短距離

目錄

【題型一】棱柱側(cè)面展開..........................................................................1

【題型二】棱錐展開............................................................................4

【題型三】棱臺(tái)展開..............................................................................6

【題型四】圓柱側(cè)面展開..........................................................................8

【題型五】圓錐側(cè)面展開.........................................................................11

【題型六】圓臺(tái)側(cè)面展開.........................................................................13

【題型七】最短距離1:圓柱側(cè)面型...............................................................14

【題型八】最短距離2:圓錐側(cè)面型...............................................................17

【題型九】最短距離3:圓臺(tái)側(cè)面型...............................................................20

【題型十】最短距離4：棱錐型...................................................................22

【題型十一】最短距離5：棱柱型.................................................................25

【題型十二】最短距離6:內(nèi)部按面展開型（難點(diǎn)）................................................27

培優(yōu)第一階一一基礎(chǔ)過關(guān)練.......................................................................31

培優(yōu)第二階一一能力提升練.......................................................................34

培優(yōu)第三階一一培優(yōu)拔尖練.......................................................................40

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】棱柱側(cè)面展開

【典例分析】

已知某多面體的平面展開圖如圖所示，其中是三棱柱的有個(gè).

［答案］2

【4析】根據(jù)幾何體的側(cè)面展開圖，還原幾何體，即可判斷.

【詳解】根據(jù)平面展開圖，還原幾何體如下所示：

故第.：個(gè)和第四個(gè)為三棱柱，三棱柱的個(gè)數(shù)有2個(gè).

故答案為：2.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

棱柱展開，依據(jù)棱柱的側(cè)面數(shù)量，會(huì)有不同方向的展開可能，要注意適當(dāng)?shù)挠懻?/p>

【變式訓(xùn)練】

1.如圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個(gè)完全一樣的是()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)

【答案】B

【分析】分別判斷出還原成正方體后,相對(duì)面的標(biāo)號(hào)，即可得出答案.

【詳解】(1)圖還原正方體后，①⑤對(duì)面，②④對(duì)面，③⑥對(duì)面;

(2)圖還原后，①④對(duì)面，②⑤對(duì)面，③⑥對(duì)面;

(3)圖還原后，①④對(duì)面，②⑤對(duì)面，③⑥對(duì)面；

(4)圖還原后，①⑥對(duì)面，②⑤對(duì)面，③④對(duì)面；

綜上可得，還原成正方體后，正方體完全一樣的是(2)(3).

故選：B.

2.如圖所示是一個(gè)正方體，它的展開圖可能是下面四個(gè)展開圖中的()

A.

C.D.

【答案】A

【分析】根據(jù)圖形對(duì)照4個(gè)展開圖，可動(dòng)手折疊求解.

【詳解】由原正方體的特征可知，含有4,6,8的數(shù)字的三個(gè)面一定相交于一點(diǎn)，而選項(xiàng)B,C,D中,經(jīng)過折

疊后與含有4,6,8的數(shù)字的三個(gè)面一定相交于一點(diǎn)不符.

故選：A

3.如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，將其復(fù)原為正方體后，互相重合的點(diǎn)是（）

C

A.A與8B.D與EC.B與DD.C與F

【答案】ABD

析】根據(jù)平面展開圖，還原正方體，然后進(jìn)行判斷即可.

【詳解】將平面展開圖，還原正方體如下圖所示：

所以互相重合的點(diǎn)是A與8,。與EC與R

故選：ABD

【題型二】棱錐展開

【典例分析】

已知正三棱錐紙模尸-ABC,A5C的邊長為46，側(cè)棱長為亞，沿R4,PB,PC將三棱錐剪開得到一

個(gè)多邊形若小花想用一張圓形紙裁剪一個(gè)相同的多邊形，并折疊成正三棱錐形禮盒，則圓形紙

的半徑至少為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】在正三棱錐尸-ABC的平面展開圖中，連接耳鳥，《A，PA設(shè)。為外接圓的圓心，￡。的

長度即為所求，根據(jù)條件中的數(shù)據(jù)算出即可.

【詳解】如圖，在正三棱錐P-A3C的平面展開圖中，由題意可得AB=AC=BC=46

PxA=P}C=P1A=P2B=P3B=PiC^>l2\

連接斗鳥，PtP3,PF”易知《鳥鳥為等邊三角形

由題意知，圓形紙半徑的最小值即,686外接圓的半徑.

設(shè)。為*4￡乙外接圓的圓心，連接6。，交于點(diǎn)O,則易知鳥。即所求，且3為線段AB的中點(diǎn)，。為

“BC的中心，

22

所以8。=26，0D=2,在用△8。6中，P2D=^P,B-BD=3,則鳥。=鳥。+。。=3+2=5,

故選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

棱錐展開，是以此有公共鄰邊的共頂點(diǎn)三角形，注意運(yùn)用正余弦定理求出定角的大小，并與半圓作比

較，

【變式訓(xùn)練】

1.下圖為一個(gè)正四面體的側(cè)面展開圖，G為B尸的中點(diǎn)，則在原正四面體中，直線EG與直線BC所成角的余

B,近

3

C.—D.—

66

【答案】C

［分析】將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，A,D,F三點(diǎn)重合,記作。，取DC中點(diǎn)H,連接EG,EH,GH,

NEGH即為EG與直線8C所成的角，衣示出三角形EGH的三條邊長，用余弦定理即可求得cosNEG”.

【詳解】將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中4。尸三點(diǎn)重合，記作。：

D{A,F)

則G為8。中點(diǎn)，取OC中點(diǎn)連接EG,EH,GH,設(shè)正四面體的棱長均為“，

由中位淺定時(shí)〃得G"http://8。1GH=13C=!”.W?以ZEGH口力EC『'；/8c所成的用.

22

EG=EH=Jj-3j=q,由余弦定理可得cosNEGH=EG?+6由一后由

VUJ22EGGH

321232

—a+—a—ar廠

=~——*「=2,所以直線EG與直線BC所成角的余弦值為史，故選：C.

CJ3166

2x——a—a

22

2.由等邊三角形組成的網(wǎng)格如圖所示，多邊形ABCDEAG〃〃是某幾何體的表面展開圖，對(duì)于該幾何體（頂

點(diǎn)的字母用展開圖相應(yīng)字母表示，對(duì)于重合的兩點(diǎn)，取字母表中靠前的字母表示），下列結(jié)論中正確的

是

A.8/_L平面ADJ

B.平面BC/-平面￡A￡>

C.平面ECBJ?平面E4O

D.BE^AJ

【答案】B

【分析】由題意，得到該幾何體表示一個(gè)正八面體，此時(shí)GHIJ分別與CDEF重合，利用正八面體的性質(zhì)，

即可求解.

【詳解】由等邊二角形組成的網(wǎng)格如圖所示，多邊形ABCDEFGHIJ是某幾何體的表面展開圖，則該幾何體

表示?個(gè)正八面體，如圖所示，止匕時(shí)GHIJ分別與CDEF重合，

根據(jù)正八面體的性質(zhì)，可得平面BCF〃平面EAD,即平面BCJ|平面EAD,故選B.

3.現(xiàn)有邊長為3,4,5的兩個(gè)三角形紙板和邊長為4,5,日的兩個(gè)三角形紙板，如圖，用這四個(gè)紙板圍

成一個(gè)四面體，則這個(gè)四面體的體積是.

【答案】8

【分析】根據(jù)題意，畫出四面體，得到其幾何性質(zhì)，即可容易求得體積.

【詳解】這個(gè)四面體如圖所示，

故四面體的體積為g&wxBC=gx（；x3x4卜4=8.故答案為：8.

【題型三】棱臺(tái)展開

【典例分析】

下列幾何體的側(cè)面展開圖如圖所示，其中是棱臺(tái)的為（）

A.；!；!B.c.

Illi

Illi

D.

［答案］CD

【d析】根據(jù)選項(xiàng)中的展開圖，依次分析沿著折線折起來的幾何體的機(jī)構(gòu)特征，判斷是否為棱錐即可.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，圖形沿著折線翻折起來是一個(gè)五棱柱，故A選項(xiàng)不正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，圖形沿著折線翻折起來是一個(gè)五棱錐，故B選項(xiàng)不正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，圖形沿著折線翻折起來是一個(gè)三棱臺(tái)，故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，圖形沿著折線翻折起來是一個(gè)四棱柱，故D選項(xiàng)正確；

故選：CD.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

棱臺(tái)特別是非正棱臺(tái)的展開較復(fù)雜，也是展開題型的難點(diǎn)之一，可以借用【典例分析】學(xué)習(xí)不同棱臺(tái)

的展開。

【變式訓(xùn)練】

1.一個(gè)幾何體的表面展開圖如圖，該幾何體中與“祝''字和"你''字相對(duì)的分別是（）

A.前，程B.你，前C.似，棉D(zhuǎn).程，錦

【答案】A

【解析】可把展開圖折疊起來變成一個(gè)四棱臺(tái)，可知結(jié)論，也可從兩個(gè)面中間是否隔一個(gè)面來確定.

【詳解】因?yàn)椤白！弊置婧汀扒啊弊置嬷虚g隔著“你”字面，所以“?！弊置婧汀扒?'字面相對(duì)，同理“你”字面和“程”

字面中間隔著“前”字面，所以“你”字面和"程''字面相對(duì)，

故選：A.

2.在一張硬卡紙上，將圖中給出的圖形放大，然后按實(shí)線剪紙，再按虛線折痕折起并黏合，說出得到的幾何

體的名稱.

【答案】三棱臺(tái)

【分析】根據(jù)紙板上的實(shí)線與虛線，可判斷是上底面與下底面平行，再結(jié)合側(cè)面與底面不垂直，可判斷是

三棱臺(tái).

【詳解】上底面和下底面是大小不同的三角形，故粘合后上底面與下底面平行，側(cè)面與底面不垂直，所以

該幾何體為三棱臺(tái).

3.如圖是三個(gè)空間圖形的平面展開圖，請(qǐng)問各是什么空間圖形？

①②③

【答案】①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺(tái).

【分析】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可得①；根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可得②；根據(jù)棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可得③;

即可求解.

【詳解】圖①中，有5個(gè)平行四邊形，且還有兩個(gè)全等的五邊形，符合棱柱特點(diǎn)；

圖②中，有5個(gè)三角形，且具有共同的頂點(diǎn)，還有一個(gè)五邊形，符合棱錐特點(diǎn)；

圖③中，有3個(gè)梯形，且其腰的延長線交于一點(diǎn)，還有兩個(gè)相似的三角形，符合棱臺(tái)的特點(diǎn).

把平面展開圖進(jìn)行還原，如圖所示：所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺(tái).

①②③

【題型四】圓柱側(cè)面展開

【典例分析】

如圖是一個(gè)底面半徑為1的圓柱被平面截開所得的幾何體，截面與底面所成的角為45。，過圓柱的軸的平面

截該幾何體所得的四邊形"夕A'為矩形，若沿44'將其側(cè)面剪開，其側(cè)面展開圖形狀大致為（）

B

【答案】A

【分析】先利用幾何體作各種輔助線，通過各種角度關(guān)系和長度關(guān)系可以得到側(cè)面的高度，即可得到答案

【詳解】解：過4B作平行于底面的半平面a,如圖,取截面邊界上任一點(diǎn)P,過戶作PP垂直于半平面a,垂足

為P,延長PP交圓柱底面于點(diǎn)九過尸作垂足為時(shí),連接叱,則乂"，回，"W尸就是截面與

底面所成的角，NPMP=45°,

X

設(shè)A5的中點(diǎn)為O,連接OP,設(shè)AP=X，則NAOP=I=X,在RtPPM中，PP=MP，

在RtOP'M中，MP'=OP'sin/MOP'=sinx,所以PP=sin%=AAr+sinx,

故選:

AfP\

【提分秘籍】

基本規(guī)律

圓柱展開體現(xiàn)了“化曲為值”的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化技巧。

【變式訓(xùn)練】

1.北方的冬天戶外冰天雪地，若水管裸露在外，則管內(nèi)的水就會(huì)結(jié)冰從而凍裂水管，給用戶生活帶來不便.每

年冬天來臨前，工作人員就會(huì)給裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保溫帶，用一條保溫帶盤旋而上一

次包裹到位.某工作人員采用四層包裹法（除水管兩端外包裹水管的保溫帶都是四層）：如圖1所示是相鄰

四層保溫帶的下邊緣輪廓線，相鄰兩條輪廓線的間距是帶寬的四分之一.設(shè)水管的直徑與保溫帶的寬度都

為4cm.在圖2水管的側(cè)面展開圖中，此保溫帶的輪廓線與水管母線所成的角的余弦值是（）（保溫帶厚

度忽略不計(jì)）

A.-B.—C,正更D.'1+16.

44萬1+4乃21+16%2

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，因?yàn)橄噜弮蓷l輪廓線的間距是帶寬的四分之一,每隔四分之一的帶寬就繞一層保溫帶,則一

共可以蓋四層.故畫出所求角度所在的直角三角形，再分別分析臨邊與斜邊即可.

【詳解】由題，作APLB'D'于P.

根據(jù)題意可知5/寬為帶寬的四分之一即9x4=1,又水管直徑為4cm.

4

故心=4萬.故輪廓線與水管母線所成的角的余弦值是

B'P1J1+16萬2

；古勺先.

cosZABP=-B----'A=獷西=--"---1--6--一r—?故i選.D口

2.圓柱體被平面截成如圖所示的幾何體，則它的側(cè)面展開圖是（）

A.B.C.D.

［答案］D

【入析】結(jié)合立體圖形，進(jìn)行空間想象，然后進(jìn)行判斷.

【詳解】結(jié)合幾何體的實(shí)物圖，從截面最低點(diǎn)開始高度增加緩慢，然后逐漸變快，最后增加逐漸變慢，不

是均衡增加的，所以A,B,C錯(cuò)誤.

故選D.

3.用長、寬分別是371cm與兀cm的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，試求圓柱底面的半徑.

【答案】|-cm或gem

【分析】分別以矩形的長和寬為圓柱底面圓周分別計(jì)算即可得解.

【詳解】以邊長為加cm的矩形邊作圓柱底面圓周，則其周長為3mm,半徑〃，即2孫=3%，

以邊長為兀cm的矩形邊作圓柱底面圓周，則其周長為Jtem,半徑「2,即2萬4=乃，r2=^cm,

所以圓柱底面的半徑是gem或gem.

【題型五】圓錐側(cè)面展開

【典例分析】

若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐的母線長/與其底面圓的直徑d應(yīng)滿足的等量關(guān)系為（）

A.l=4dB.l=2dC.l=dD.21=d

【答案】C

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖和扇形的弧長公式即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則圓錐底面圓的周長等于2口，

因?yàn)閳A錐側(cè)面展開圖為一半圓，且該半圓的弧長等于圓錐底面圓的周長，

所以反=2nr.即/=2r=d.

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

解決圓錐側(cè)面展開圖問題的關(guān)鍵在于弄清展開前后的聯(lián)系：一是展開前圓錐母線即為展開后扇形半

徑；二是展開前圓錐的底面圓周長即為展開后扇形的弧長.再根據(jù)軸截面圖形中的直角三角形和展開

后扇形圖，建立圓錐高、母線長、底面圓半徑、軸截面（半）頂角、扇形圓心角間的等量關(guān)系，它們之

間知二求其他的題型比較常見.

【變式訓(xùn)練】

1.在古代，斗笠作為擋雨遮陽的器具，用竹霞夾油紙或竹葉棕絲等編織而成，其形狀可以看成一個(gè)圓錐體,

在《詩經(jīng)》有“何蓑何笠''的句子，說明它很早就為人所用.已知某款斗笠如圖所示，它的母線長為2&，側(cè)

面展開圖是一個(gè)半圓，則該斗笠的底面半徑為（）

A.4B.4&C.V2D.2

【答案】C

【分析】側(cè)面展開圖一個(gè)半圓，則此半圓的弧長等于底面圓周長，由此求出底面半徑.

【詳解】設(shè)底面半徑為廠，底面圓周長2口,

斗笠母線長/=20，側(cè)面展開圖一個(gè)半圓，則此半圓的弧長gx2w/=/?兀，

所以/?兀=271r=>Z?=,=y/2,

2

故選：C.

2.如圖：現(xiàn)有一個(gè)30%圓周且半徑為40cm的扇形紙片，小明同學(xué)為了表演節(jié)目，他將扇形紙片先剪去部分

然后用余下的部分制成一個(gè)底面半徑為10cm的圖錐形紙帽（銜接處不重疊），則剪去部分扇形紙片的圓心

角為（）

【答案】C

【2?析】求出圓錐側(cè)面展開扇形所對(duì)的圓心角，即可得解；

【詳解】解：依題意圓錐的母線/=40,底面半徑r=10,所以底面周長C=2w=20%,則圓錐沿母線展開

得到扇形，扇形的圓心角a=1=?=9O。，所以剪去部分扇形紙片的圓心角為360。*30%-90°=18°；

故選：C

3..一個(gè)圓錐的母線與其軸所成的角為60。，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為（）

A.-B.萬C.女兀D.￡兀

【答案】D

【分析】根據(jù)展開前底面圓周長即展開后扇形弧長，建立等量關(guān)系，求解圓心角.

【詳解】如圖，設(shè)圓錐母線長為/,底面圓半徑為〃，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為。，

?圓錐的母線與其軸所成的角為60。，.??在氏AQB中，-=sin60=—.

I2

則在圓錐的側(cè)面展開圖扇形中，由2“=M,得。=子

【題型六】圓臺(tái)側(cè)面展開

【典例分析】

圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10cm,20cm,它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180',則圓臺(tái)的表面積為

cm2.(結(jié)果中保留萬)

【答案】1lOO^C/M2.

【解析】將圓臺(tái)還原成圓錐，求出圓臺(tái)的母線長，即可求解.

【詳解】如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長為ccm,

因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°,故。=公&4=2乃xlO,

所以SA=20.同理可得SB=40,所以A8=S3-SA=20,

所以S表面積=S廁+S上底+S下底=萬(10+20)x20+)xIO?+乃x2()2=1100%(cm?)?

故圓臺(tái)的表面積為1100^-cm2.

故答案為：1100萬cv/.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

圓臺(tái)展開，關(guān)鍵是還原成圓錐，根據(jù)兩底面半徑關(guān)系，計(jì)算圓錐的母線長，畫出扇環(huán)進(jìn)行分析，.

【變式訓(xùn)練】

1.若一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是半圓面所在的扇環(huán)，且扇環(huán)的面積為4兀，圓臺(tái)上、下底面圓的半徑分別為4

(4<4),則1一片=.

【答案】2

【分析】先求得圓臺(tái)的母線長，然后根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式列方程，化簡求得方一1.

【詳解】圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是半圓面所在的扇環(huán)，

所以圓臺(tái)的母線長為生二網(wǎng)一212上

7171

圓臺(tái)的側(cè)面積為2兀"2盟x(22-2八)=2兀(]-d)=4兀，

所以片-^=2.

故答案為：2

2.已知圓臺(tái)的上底半徑為2cm,下底半徑為4cm,圓臺(tái)的高為石cm,則側(cè)面展開圖所在扇形的圓心角=_.

【答案]240°

【力析】將圓介還原成圓錐，根據(jù)題意可得圓臺(tái)的上底面恰好為圓錐的中截面，所以圓錐的高H=2后cm,

根據(jù)勾股定理算出圓錐的母線長L=6cm,再利用展開圖的扇形圓心角計(jì)算公式，可得答案.

【詳解】將圓臺(tái)還原成圓錐，可得

，上底半徑為r=2c/n,下底半徑為R=4a〃，

圓臺(tái)的上底面恰好為圓錐的中截面，

由此可得圓錐的高等于圓臺(tái)的高的兩倍，即H=*cm,

由勾股定理，可得圓錐的母線長L="二K=J（2石）2+4?=6cm,

因此，側(cè)面展開圖所在扇形的圓心角a=4-360°=，360。=240°.

L6

故答案為：240°

3.圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10和20,它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°,則圓臺(tái)的母線長是

【答案】20

【分笳】利用圓臺(tái)得側(cè)面展開圖，兩圓半徑之差即為所求

如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長為C,因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180.

所以C=%xS4又C=10x2乃，所以S4=20.同理SB=40.所以A3=SB—M=20故答案為:20.

【題型七】最短距離1：圓柱側(cè)面型

【典例分析】

如圖，圓柱的高為2,底面周長為16,四邊形ACZJE為該圓柱的軸截面，點(diǎn)B為半圓弧8的中點(diǎn)，則在

此圓柱的側(cè)面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長度為（）.

A.2717B.2>/5C.3D.2

【答案】B

【分析】畫出圓柱的側(cè)面展開圖，解三角形即得解.

【詳解】解：圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示，由題得AC=2,BC=；xl6=4,所以鉆=戶手=26.

所以在此圓柱的側(cè)面上，從4到8的路徑中，最短路徑的長度為2君.故選：B

【提分秘籍】

基本規(guī)律

計(jì)算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問題時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平

面圖形，即“化折為直''或"化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，圓柱的軸截面ABCO是一個(gè)邊長為4的正方形.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)繞圓柱表面爬到BC的中點(diǎn)E,

則螞蟻爬行的最短距離為（）

26C.2j￡+iD.1兀2+1

【分析】利用圓柱側(cè)面展開圖求解.

【詳解】將圓柱側(cè)面展開半周，則展開矩形長為2兀,

BE=2,AE=J4儲(chǔ)+4=2，?！?1.故選:C.

2.“天圓地方”觀反映了中國古代科學(xué)對(duì)宇宙的認(rèn)識(shí)，后來發(fā)展成為中國傳統(tǒng)文化的重要思想.中國古人將琮、

璧、圭、璋、璜、琥六種玉制禮器謂之"六瑞”，玉琮內(nèi)圓外方，表示天和地，中間的穿孔表示天地之間的溝

通，可以說是中國古代世界觀很好的象征物.下面是一玉琮圖及其三視圖，設(shè)規(guī)格如圖所示（單位：cm）,

則三視圖中A,8兩點(diǎn)在實(shí)物中對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)在實(shí)物玉璧上的最小距離約為（）（乃d3,72?1.4）

AA

D.11.2

［答案］A

【4加】玉琮的中空部分看成一圓柱，A,8兩點(diǎn)可看成是圓柱軸截面所對(duì)應(yīng)矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)，將圓

柱側(cè)面展開，線段AB的長就是沿該圓柱表面由A到8的最短距離.

【詳解】本題考查傳統(tǒng)文化與圓柱的側(cè)面展開圖.由題意，將玉琮的中空部分看成一圓柱，A,8兩點(diǎn)可看

成是圓柱軸截面所對(duì)應(yīng)矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)，現(xiàn)沿該圓柱表面由A到8,如圖，將圓柱側(cè)面展開，可知

2

(|AB|)m.n=V36+4^?8.4.

故選:A.

3.如圖，A8是圓柱的直徑，24是圓柱的母線，A8=3,PA=3百，點(diǎn)C是圓柱底面圓周上的點(diǎn).AC=1,D

是線段尸8上靠近點(diǎn)尸的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段抬上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EZ）的最小值是（）

C.45/2D.2戈

【答案】A

【分析】如圖，△以€1繞以旋轉(zhuǎn)到PAC',并且點(diǎn)C'在AB的反向延長線，當(dāng)點(diǎn)E是CD和PA的交點(diǎn)時(shí),

此時(shí)CE+E0最小，△3C7）中求邊長.

【詳解】如圖，△PAC繞PA旋轉(zhuǎn)到PAC',并且點(diǎn)C'在A8的反向延長線，連結(jié)C'。，交24于點(diǎn)E，此時(shí)

CE+ED最小.

PA=3&48=3,tanZPBA=—=y/3,

3

:.NPBA=y,PB=小(3廚+32=6

BCD是等邊三角形，.?.C'D=4,則CE+ED的最小值是4.故選：A

【題型八】最短距離2：圓錐側(cè)面型

【典例分析】

如圖，圓錐的母線A3長為2,底面圓的半徑為，若一只螞蟻從圓錐的點(diǎn)8出發(fā)，沿表面爬到AC的中點(diǎn)。

處，則其爬行的最短路線長為逐，則圓錐的底面圓的半徑為（）

【答案】A

【分析】把半個(gè)圓錐沿著直線A8展開，得到扇形BAR,根據(jù)題意，計(jì)算扇形的弧長，由展開圖和圓錐的

關(guān)系，得到圓錐底面圓周長，進(jìn)而計(jì)算底面圓半徑.

【詳解】如圖為半圓錐的側(cè)面展開圖，

連接8A,則8。的長為螞蟻爬行的最短路線長，

設(shè)展開圖的扇形的圓心角為。，

根據(jù)題意得BD、=y[5,AD]=IAB=2,

在,ABD中，AB2+AD;=BD；,所以=工，

所以扇形弧長為/=5X2=7T,

所以圓錐底面圓的周長為2/=2TT,即27n"=2兀，得r=l.故選：A

【變式訓(xùn)練】

1.”莫言下嶺便無難，賺得行人空喜歡.”出自南宋詩人楊萬里的作品《過松源晨炊漆公店》.如圖是一座山

的示意圖，山大致呈圓錐形.山腳呈圓形，半徑為40km.山高為40岳km,B是山坡SA上一點(diǎn)，且48=40

km.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條從A到8的環(huán)山觀光公路，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公

路長度最短時(shí)，下坡路段長為（）

s

A.60kmB.125/6kmC.72kmD.12-715km

【答案】C

【分析】利用圓錐側(cè)面展開圖去求公路長度最短時(shí),下坡路段長度.

【詳解】該圓錐的母線長為“40后『+4(尸=16()，

所以2X,^40=g，則圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為1的扇形，

16022

如圖，展開圓錐的側(cè)面，連接A'B,過點(diǎn)S作AB的垂線，垂足為"，

S8A

由兩點(diǎn)之間線段最短，知觀光公路為圖中的A3，A'B=>JSA!2+SB2=V1602+1202=200>

記點(diǎn)P為A8上任一點(diǎn)，連接PS,上坡即P到山頂S的距離PS越來越小，

下坡即P到山頂S的距離PS越來越大，則下坡段的公路，即圖中的48,

SR?ion2

由/^△弘'3:Rt&HSB,^HB=-=^-=12(km).

A'B200

故選：C

2..如圖，圓錐頂點(diǎn)為尸，底面圓心為O,過軸P。的截面A/%3,C為24中點(diǎn)，PA=4^3,PO=6,則

從點(diǎn)C經(jīng)圓錐側(cè)面到點(diǎn)B的最短距離為

A.25/15B.245-60C.6D.2>/15-6>/3

【答案】A

【分析】先畫出圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，再求線段BC的長度，即得點(diǎn)C經(jīng)圓錐側(cè)面到點(diǎn)3的最短距離.

【詳解】先作出圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，

A

由題得圓錐底面圓的半徑為,/（4>/3）2-62=273，

所以A/V=2%3y=3?%ZAPA'=如宴=乃，

4V3

所以NAP8=（■，所以BC=?2后+6。=2屈.

故答案為A

3.“敕勒川，陰山下.天似穹廬，籠蓋四野.”的特征，詩中的“穹廬”即"氈帳”，屋頂近似圓錐，為了烘托節(jié)

日氣氛，計(jì)劃在屋頂安裝燈光帶.某個(gè)屋頂?shù)膱A錐底面直徑長8米，母線長6米，其中一條燈光帶從該圓

錐一條母線的下端點(diǎn)開始，沿側(cè)面經(jīng)過與該母線在同一軸截面的另一母線的中點(diǎn)，環(huán)繞一圈回到起點(diǎn)，則

這條燈光帶的最短長度是米.

【答案】6幣

【分析】將側(cè)面沿母線曲剪開，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)A1點(diǎn)，軸截面對(duì)應(yīng)的另一條母線為SB,SB的中點(diǎn)為C,連接AC,

AC,則AC+AC為燈光帶的最短長度，結(jié)合圖形計(jì)算即可求解.

［詳解】將側(cè)面沿母線S4剪開，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)4點(diǎn)，軸截面對(duì)應(yīng)的另一條母線為SB,SB的中點(diǎn)為C,連接AC,

AC,則AC+4c為燈光帶的最短長度，如圖所示：

因?yàn)?=6,圓錐底面直徑長8,則半徑為4,所以桃=2萬x4=M，即=4萬，

所以="47r='

63

因?yàn)镾C=3,

在八%C中，由余弦定理可得：

AC2=5A2+SC2-2SAXSCCOS|^=62+32-2X6X3X^-1^|=63,

所以4c=3我，所以AC=AC=3/7,

所以這條燈光帶的最短長度是6"米.

【題型九】最短距離3：圓臺(tái)側(cè)面型

【典例分析】

已知圓臺(tái)的上、下底面圓半徑分別為10和5,側(cè)面積為300辦AB為圓臺(tái)的一條母線（點(diǎn)5在圓臺(tái)的上底面圓

周上），M為AB的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)B出發(fā)，繞圓臺(tái)側(cè)面一周爬行到點(diǎn)M,則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小

值為（）

A.30B.40C.50D.60

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得到圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，再確定螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值，求解即可.

【詳解】圓臺(tái)上底面半徑為5,下底面半徑為10,母線長為/,

所以5=兀/（10+5）=15冠=300兀，解得：/=20,

將圓臺(tái)所在的圓錐展開如圖所示，且設(shè)扇形的圓心為O.

設(shè)。B=R,圓心角是a,則由題意知10;r=a/?①，201=。（20+/?）②，由①②解得，=—,R—20,

：.OM^OM,=30,OA=OA=40,則必A="加+。陷=50.故選:C.

【變式訓(xùn)練】

1.圓臺(tái)上底面和下底面圓的周長分別為等和馬誓，母線長為6-1,三視圖如圖所示.圓臺(tái)表面上的點(diǎn)M

在主視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4圓臺(tái)表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓臺(tái)的側(cè)面上，從M到N

的路徑中，最短路徑的長度為（）

A.BB.1C.72D.亞

22

【答案】B

【分析】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示（圓臺(tái)），側(cè)面展開后可得最短路徑的長度.

【詳解】如圖，三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為圓臺(tái)，

因?yàn)閳A臺(tái)上底面和下底面圓的周長分別為營和3晝，

33

故同臺(tái)上底面和下底面圓的半徑分別為r=1,R=立，設(shè)展開后的扇形的半徑為/,則2@11=且，故

33I3

i=Vs>

2岳.

故該扇形的圓心角為二二2萬，如圖所示，側(cè)面展開后N在扇形所在圓弧的丁的等分點(diǎn)處（靠近M）,

FF4

故ZMON=30°,

該圓臺(tái)側(cè)面展開圖中三角形0MM因?yàn)镺M=1,ON=6，，MN=Jl+3-2xlx6x#=l，

所以從例到N的路徑中，最短路徑的長度為I,故選：B.

2.若圓臺(tái)上底面半徑為5cm,下底面半徑為10cm,母線AB（點(diǎn)A在下底面圓周上，點(diǎn)B在上底面圓周上）

長為20c〃?，從AB中點(diǎn)拉一根繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到A,則繩子最短的長度.

【答案】50cm

【3析】根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖計(jì)算求解.

【詳解】如圖是圓臺(tái)側(cè)面展開圖，。是圓心，由已知得其中心角/4。8=琮^2萬=],

由黑.得萬券3=2'°B=2。，°是A8中點(diǎn)’A'C=\IA,O2+CO2=7402+302=50<cm

故答案為：50cm.

3.如圖所示，圓臺(tái)的上底面半徑為2cm,下底面半徑為4cm,母線長為6cm.求軸截面相對(duì)頂點(diǎn)A、C在圓

臺(tái)側(cè)面上的最短距離.

01

【答案】6y/3cm.

【分析】沿母線AO剪開將圓臺(tái)側(cè)面展開，則A、C在圓臺(tái)側(cè)面上的最短距離即為展開圖中線段4c的長求

解.

【詳解】如圖所示：

沿母線AD剪開將圓臺(tái)側(cè)面展開，問題轉(zhuǎn)化為求展開圖中線段4c的長.

設(shè)圓臺(tái)的上底面、下底面半徑分別為《、0，因?yàn)閭?cè)面展開圖圓心角，

6=與&.360。=婪-2兀==,且B、C分別為所在弧的中點(diǎn)，

I63

所以在等腰三角形A08中，=

則..AOB是等邊三角形，

TT

因?yàn)?。兀?/p>

所以0C=6,而BC=6,C為OB的中點(diǎn)，

所以AC=66，

即A、C兩點(diǎn)在圓臺(tái)側(cè)面上的最短距離為6石cm.

【題型十】最短距離4：棱錐型

【典例分析】

在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=4,M為小的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則從點(diǎn)"沿著四棱錐的表面到

點(diǎn)N的最短路徑的長度為（）

A.2季B.2尿C.4D.3

【答案】C

【分析】對(duì)點(diǎn)M到點(diǎn)N的路徑進(jìn)行分類討論，將相應(yīng)平面延展為同一平面，結(jié)合余弦定理可求得結(jié)果.

【詳解】分以下兒種情況討論：

（1）當(dāng)點(diǎn)M沿著平面Q4B、PBC到點(diǎn)、N,將平面P45、P8c延展為同一平面，如下圖所示：

易知,R4B、PBC均為等邊三角形，延展后，NPAB=NPCB=6Q,ZAPC=ZABC=120,

所以，四邊形4BCP為菱形，所以，AP//8C且AP=BC,

因?yàn)锳/、N分別為AP、8c的中點(diǎn)，則AM//BN且AM=6N,

所以，四邊形A8NM為平行四邊形，此時(shí)MN=M=4；

（2）當(dāng)點(diǎn)M沿著平面尸A3、A3C￡）到點(diǎn)N,將平面PA8、ABCD延展至同一平面，如下圖所示:

D

連接BM,則且BM=2石，ZABM=30°;:.ZMBN=90+30=120.

因?yàn)?N=2,由余弦定理可得肱V=JBM2+BN?-2&W?BNcos120=J16+4石>4：

（3）當(dāng)點(diǎn)M沿著平面PAO、ABC。到點(diǎn)N,連接PN,如下圖所示：

?VV

則PM=2,PN=4+2GNMPN=3。，

由余弦定理可得MN=y]MP2+PN2-IMP-PWcos30=也0+86>4;

(4)當(dāng)點(diǎn)M沿著平面P4D、PCD、PCB到點(diǎn)N,將這三個(gè)側(cè)面延展為同一平面，如下圖所示:

n-c

易知A、P、8三點(diǎn)共線，且BM=6,BN=2,NMBN=6G，

由余弦定理可得MN=4BM2+8N?-2BM.BNcos60=2n>4.

綜上所述，從點(diǎn)M沿著四棱錐的表面到點(diǎn)N的最短路徑的長度為4.

故選：C.

【變式訓(xùn)練】

1.在四面體A8C。中，AB=BC=CA=1,D4與直線AB,C4均垂直，且D4=#,一只螞蟻從ABC的

中心沿表面爬至點(diǎn)O,則其爬過的路程最小值為()

V394后V37

亍

【答案】A

【分析】利用垂直條件證明得ZMJ■平面ABC,即可得平面R4C，平面ABC,然后根據(jù)平面展開圖判斷最

短距離，再利用勾股定理計(jì)算求解即可.

【詳解】因?yàn)锳BCAC=A,所以ZM_L平面ABC,所以平面八4C_L平面ABC,將底

面ABC旋轉(zhuǎn)，以4c為軸，旋轉(zhuǎn)至平面ZMC與平面ABC共面，如圖，此時(shí)。。的直線距離即為最短距離,

設(shè)o到直線Ac的距離為d,則〃」=如,所以0。=」(112+(6+且]=叵.

故選：A

2.正三棱錐P-MC中，若PA=6,NAPB=40。，點(diǎn)E、F分別在側(cè)棱尸B、PC上運(yùn)動(dòng)，則尸的周長

的最小值為（）

A.36sin20°B.6夜C.12D.66

【答案】D

【分析】畫出正三棱錐P-MC側(cè)面展開圖，將問題轉(zhuǎn)化為求平面上兩點(diǎn)間的距離最小值問題，不難求得結(jié)

果.

【詳解】將三棱錐由R4展開，如圖，

?正三棱錐P-48C中，ZAPB=40°,則圖中NARA,=120。，

當(dāng)點(diǎn)A、E、F、A位于同一條直線上時(shí)，A4EF的周長最小，

故A4為A4E尸的周長的最小值，

又抬=心，為等腰三角形，

,PA=6,..PA,=6,

/.A\=>/62+62-2x6x6xcos!20°=6G,

.?.AAE尸的最小周長為：6G.

故選：D.

4.如圖，底面為正方形的四棱錐P-ABCD中，四條側(cè)棱相等，且R4=A3,E,F分別為棱引和PC上的

兩點(diǎn)，PE=3,PF=6,F處有只螞蟻欲沿該正四棱錐的側(cè)面爬行到E處，則螞蟻爬行的最短距離為（）

p

【答案】c

【分析】根據(jù)四棱錐尸-ABCD的結(jié)構(gòu)特征，沿用，PC剪開展成平面時(shí)EF最短，然后在

!PEF中,利用余弦定理求解.

【詳解】如圖所示：

因?yàn)榈酌鏋檎叫蔚乃睦忮FP-AfiCD中，四條側(cè)棱相等，且幺=AB,

所以四棱錐P-ABC。是正四棱錐且所有的棱都相等，

當(dāng)沿外，PC剪開展成平面，E尸最短，

在！PEF中,PE=3、PF=6,NEPF=120。,

由余弦定理得EV?=PE?+p尸一2PE?PF-cosZEPF

=9+36-2x3x6x（-；]=63,

解得EF=3幣,

所以螞蟻爬行的最短距離為3/

故選：C

【題型十一】最短距離5：棱柱型

【典例分析】

棱長為2的正方體ABCD-A4Gp中，E為CG的中點(diǎn)，點(diǎn)P,。分別為面44弓。和線段上的動(dòng)點(diǎn)，

則二PEQ周長的最小值為（）_

A.2A/2B.VioC.Vi7D.2而

【答案】B

【分析】由題意結(jié)合對(duì)稱性分析，.PEQ周長取最小值時(shí)，P在上，作點(diǎn)E關(guān)于4G、4c的對(duì)稱點(diǎn)分

別為E2,求EJE2,即可得到一PEQ周長的最小值.

【詳解】過點(diǎn)P作的垂線，垂足為《，則PE*及PQ*Q,

則,PEQ周長L=PE+PQ+QE2/]E+6Q+QE,當(dāng)尸與々重合時(shí)等號(hào)成立，即P在8c上，

作點(diǎn)E關(guān)于8C、8。的對(duì)稱點(diǎn)分別為g、E2,則AE=4￡,QE=Q￡

I\E+PiQ+QE=PxEx+PiQ+QE2引耳國，當(dāng)耳,兒Q,E2四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，

故,PEQ周長八國崗=+|瑪。2=JF+32=曬.

故選：B.

Ei

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，已知正三棱柱底面邊長4,高為7,一質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)，沿三棱柱側(cè)面繞行兩周到達(dá)A的最短路線長

C.31D.28

【答案】A

【分析】根據(jù)正三棱柱的側(cè)面展開圖求得最短線路長.

【詳解】正三棱柱的側(cè)面展開圖是底邊長為4x3=12,高為7的矩形，

所以繞行兩周的最短路線長為2x值彳=25.

故選：A

2.在直三棱柱ABC-A4G中，AA=3,AB=BC=1,AC=M，E是棱B片上的一點(diǎn)，則△ACE的周長

的最小值為（）

A.而+3B.VH+2V3C.VTT+X/13D.Vn+Vu

［答案］Q

析】由側(cè)面展開圖求解，

【詳解】由題意得4。=百*=布，

將三棱柱的側(cè)面展開如圖所示，當(dāng)A，E,c三點(diǎn)共線時(shí)，的周長的最小,

此時(shí)4E+CE=>/^=m，

即aACE的周長的最小值為舊+屈,

故選：c

3.已知直三棱柱ABC-A4G中，AB1AC,AB=AC=AA,