方中毅號(hào)和鶴點(diǎn)粒物與機(jī)理

§01.集合與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)結(jié)構(gòu)

九）空集是任何非空集合的真子集；\

集合元素的特性—?確定性、互異性、無序性

（2）AcA；（3）則AcB則A=8敢u8；

有限集（4）若A勺8,BcC,則AqC：

（5）含有"個(gè)元素的集合有2"個(gè)子集，

集合的分類無限集

有2"'個(gè)真子集；

空集?。?）e,勺的區(qū)別:e表示元素與集合關(guān)系，

集-------------￡表示集合與集合關(guān)系；

---?集合的表示一?列舉法、特征性質(zhì)描述法、Veen圖法

4（7）a與{0}區(qū)別：一般地，a表示元素，

真子集{4}表示只有一個(gè)元素a的集合；

性質(zhì)（8）{0},{0},。區(qū)別:{0},{。}表示集合,

集合的基本關(guān)系子集

\^表示空集，0a{o},0勺{0}.J

兒何相等

交集PM/(y)A\JA=A,AC\A=A,

A\J(p=A,A[}(p=(p\

數(shù)軸、Veen圖、

集合的基本運(yùn)算-?并集pUq（2）AnB=A。AqB,

函數(shù)圖象=BqA,

補(bǔ)集A|JB：

互逆⑶AU（QA）=U；An（C"）=@

產(chǎn)原命題：若p,則1?*逆命題：若q,則p.

（C（JA）=A

A

⑷Q（An5）=（QA）U（Q8）：

四種命題

互否互否（5）分配律：An（8uc）=（An8）u（Anc）；

AU（8nC）=（AU8）n（AUC）；

否命題：若「仍則----->逆否命題：若「q,則「p

互逆---------------------（6）結(jié)合律：An（finc）=（AnB）nc；

或v—Pvq

\AU(BUC)=(AUB)UC；

基本邏輯

且八y

聯(lián)結(jié)詞7Z2

否廣若p"xeM,p(x)；則r?:3L%eM,十(%)

全稱量詞全稱命題

量詞一------------------------

西共母》昭鯉睇;僅是岸禳觸Sp:3x0GM,“(％);則-/?(%)

x-5y

②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是。.（例：A={（x,y）|y=x+1}B={y|y=^+1）貝ijACB=0）。

1.如果已知Pnq那么我們說，P是q的充分條件，q是P的必要條件。

若p=q且q=>p,則稱p是q的充要條件，記為pOq.

2.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞與全稱命題：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“V”表示.含有全稱量詞的

命題，叫做全稱命題.

⑵存在量詞與特稱命題：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“三”表示.含有存在量詞

的命題，叫做特稱命題.

⑶全稱命題與特稱命題的符號(hào)表示及否定

①全稱命題p：VxeM,〃（x）,它的否定-山：Ic。eM,「p（Xo）.全稱命題的否定是特稱命題.

②特稱命題p：3x0GM,/?（x0）,,它的否定一p:VxcM，-Wx）.特稱命題的否定是全稱命題?

(二)含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法：根軸法(零點(diǎn)分段法)從右向左，從上向下，奇穿偶回，零點(diǎn)討論

①將不等式化為a0(x-x,)(x-x?！?x-x.)〉0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為了統(tǒng)一方便)

②求根，并在數(shù)軸上表示出來；③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)(為什么？)；

④若不等式(x的系數(shù)化“+”后)是“〉0”，則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”，則找“線”在x軸下方

的區(qū)間.

-+3—三+>X

(自右向左正負(fù)相間)

則不等式00工"2的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號(hào)確定.

+qx'i+a2x"-+???+??>O(<O)(?o>0)

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.

A>()A=0A<()

u

甘

二次函數(shù)

y=ax2+bx+c

(Q>0)的圖象

一元二次方程有兩相等實(shí)根

有兩相異實(shí)根

ax2+bx+c—0b

)七=-二無實(shí)根

(<7>0鄭J根XL?<%25=

ax2++c>0卜一以｝

VX］或X>x2}

(a>O)的解集R

ax2+bx+cv0

(r|xj<x<x2}0

(a>0)的解集0

2.分式不等式的解法

(1)標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為>0(或10<o)；-0(或(O)W0)的形式,

g(X)g(X)g(X)g(x)

(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)>00/(x)g(x)>0；位20O[/曰%(尹士0

g(x)八*g(x)

3.含絕對(duì)值不等式的解法

(1)公式法：|以+4<c,與|辦+母>c(c>0)型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類討論.

(3)幾何法：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)

(1)根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

§02.映射、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

A中元素在B中都有唯一的象；可一對(duì)一列表法

映

解析法

定義表示

圖象法

定義域■>使解析式有意義及實(shí)際意義

r*函數(shù)的概念

-?三要素

對(duì)應(yīng)關(guān)系常用換元法求解析式

>區(qū)間值域->觀察法、判別式法、分離常數(shù)法、單調(diào)性法、最值法、

重要不等式、三角法、圖象法、線性規(guī)劃等

單調(diào)性1.求單調(diào)區(qū)間：定義法、導(dǎo)數(shù)法、用已知函數(shù)的單調(diào)性。

奇偶性1.先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看A-x)=/U)還是忒力.

函數(shù)的2.奇函數(shù)圖象關(guān)干原點(diǎn)對(duì)稱，若x=0有意:義，則"0)=0.

周期性

基本性質(zhì)

/(x+T)^(x)；周期為T的奇函數(shù)有：f(J)=f(T/2)=/(0)=0.

對(duì)稱性

函

最值二次函數(shù)、基本不等式，對(duì)勾函數(shù)、三角函數(shù)有界性、

數(shù)

"奇函數(shù)：Oo甯…g)x。)

2.偶函數(shù)：八/(-%)、…、八、

f(-x)=/(x)=/(-x)-/(x)=00、=l,(/(x)工0)

3.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：在公共定義域下：

(1)奇函數(shù)+奇函數(shù)二奇函數(shù)，奇函數(shù)X偶函數(shù)二奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)X偶函數(shù)二偶

(2)在復(fù)合函數(shù)中：若內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)都是奇函數(shù)是，復(fù)合函數(shù)為奇函數(shù)；若內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)中有?個(gè)是偶函數(shù)，則復(fù)合函

數(shù)為偶函數(shù)。

(3)奇函數(shù)在其對(duì)成的區(qū)間上單調(diào)性相同；偶函數(shù)在其對(duì)成的區(qū)間上單調(diào)性相反；

(4)若奇函數(shù)在原點(diǎn)有意義,則f(0)=0.若f(x)為偶函數(shù),則f(x)=f(|x|)

(5)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

(6)奇延拓：如：已知f(x)在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=/—2x+l,則在R上f(x)的表達(dá)式為:

x2-2x+l,(x>0)x2-2x(x20)

fW=0,(x=0)x2+2x,(x<0)

-x2-2x-t(x<0)

(7)偶延拓:如：已知f(x)在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)xNO時(shí)，/■(x)=x2-2x,則在R上f(x)的表達(dá)式為：如上

說明:函數(shù)的奇偶性具有整體意義，否定一個(gè)函數(shù)不具有奇偶性，只需舉一個(gè)反例即可.

4.函數(shù)圖象的對(duì)稱性：

(-)：自身對(duì)稱：(1)：若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)<則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

一般地：若f(b—x)=f(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=(a+b)/2對(duì)稱；

(2)：若函數(shù)f(x)滿足/(a-x)=力-/(a+x)則f(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱。

說明：軸對(duì)稱是偶函數(shù)的延拓，點(diǎn)對(duì)稱是奇函數(shù)的延拓。

5.若f(x)滿足/(X+T)=/(X),(THO的常數(shù))，則稱f(x)為周期函數(shù)，且nT(n為非零整數(shù))都是它的周期.

定理1：若f(x)滿足f(a+x)=f(a-x),Sf(b+x)=f(b-x),(a*h),則f(x)為周期函數(shù)，且21a-%|是它的一個(gè)周期.；

定理2：若f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)且/S-x)=-/S+x)，則f(x)為周期函數(shù)，且4|。一。|是它的一個(gè)周期。

定理3：若f(x)滿足/3+?=-/(4-》),./'(。+幻=一/(。-；0,3#母則第)為周期函數(shù),且2|〃-〃|是它的一個(gè)周期.；

推論1：若偶函數(shù)f(x)滿足/?(a+x)=/(a-x),則f(x)為周期函數(shù)，且21al是它的一個(gè)周期；

推論2：若偶函數(shù)f(x)滿足/(a+x)=-/(a-x),則f(x)為周期函數(shù)，且41al是它的一個(gè)周期；

推論3：若奇函數(shù)f(x)滿足/■(a+x)=f(a-x),則f(x)為周期函數(shù)，且4|是它的一個(gè)周期；

推論4：若奇函數(shù)f(x)滿足/(“+x)=-/(a-x)，則f(x)為周期函數(shù)，且21al是它的一個(gè)周期

(-)兩個(gè)函數(shù)圖形間的對(duì)稱：y=f(x)的圖象分別關(guān)于函數(shù)：y=f~'(x),y=-f-'(-x),y=-/(-x),

y二4一/(2〃一X),y=/(2〃一4)的圖象關(guān)于：y=x、y二一X、點(diǎn)(0,0)、(a,b)、x=a,對(duì)稱。

6.增函數(shù)：/，/e。,則玉O/(%,)</.(工2),"3一"二〉。0//(元)20恒成立

MF

7?減函數(shù):X],心￡則玉<巧=/(X|)>f(x2―)<0<=>/(%)<0恒成立rGD

為一工2

8.性質(zhì)(1)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則。(2)原函數(shù)與其對(duì)應(yīng)的反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。

說明：函數(shù)的單調(diào)性具有局部意義，故討論函數(shù)的單調(diào)性首先注意所給定的區(qū)間。

9.原函數(shù)與反函數(shù)是相互的，判斷一個(gè)函數(shù)是否有反函數(shù)的唯一標(biāo)準(zhǔn)是看從定義域到值域能否建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

性質(zhì)：(1)原函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱；(2)若原函數(shù)為奇函數(shù)，則反函數(shù)也為奇函數(shù)；

(3)單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)；(4)f{a}=bof~\b)=a

(5)f~'[/(x)]=x,xGA,f[f~'(x)=x,xGB

(6)原函數(shù)與反函數(shù)的圖象平移遵循“左與下，右與上”的關(guān)系，即：y=f^x_a)+b<^f=f\x-b)+a.

bb,n

io..a?a—a-ra=a,{a)={a)=a,(一)=—(awl”

aam

n___n]

mtn1

a="a",a=/-----=l,^=afa)=N=logrtN=b.

ml八n

7a

n

logaM?N=\ogaM+log,N,log”--=logaM-logwN,log“b=n\ogab^log1=0,logaa=1

log,*?log小?10g〃=log”d

nuh

logb=log^-崛=—logf/b,a^=b,(a>0,awl,b>0),log,b=?—

tnlogNalog,,a

ii.方程/(x)=0有實(shí)根o函數(shù)y=f(x)的圖象與工軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=/(九)有零點(diǎn).

12.零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(。>/0)<0,那

么函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在cw(a力)，使得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程/(x)=0的根.

13.二次函數(shù)的解析式的三種形式：(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(ar0)

2

(2)頂點(diǎn)式:/(x)=a{x—m)+n,(a*0)>(3)兩根式：/(x)=a(x—xt)(x—x2),(a^0)

說明：(1)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a*0)在區(qū)間［p，q］上的最值問題，首先注意拋物線的開口方向與對(duì)稱軸的位置。

(2)二次方程/(》)=4犬2+法+°=0(a二0)的區(qū)間根問題，一般情況從三個(gè)方面考慮：判別式、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符

號(hào)、對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系。

13.指數(shù)函數(shù)丁=a*(a>0,a/1)的圖象和性質(zhì)：

a>l0<a<l

(1)定義域：R

性(2)值域：(0,+8)

質(zhì)(3)過定點(diǎn)(0,1)?即x=0時(shí)，y=l

(4)x〉0時(shí)，y>l;x〈O時(shí)，O〈y<l(4)x〉0時(shí)，0〈y〈l;x<0時(shí)，y>l.

(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)

14.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

說明：在解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)優(yōu)先注意底數(shù)與真數(shù)的取值范圍。

a>l0<a<l

(1)定義域：(0,+8)

(2)值域：R

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=l.時(shí)，y=0

性

(4)]￡(0,1)時(shí)”0%￡(0,1)時(shí)y>0

質(zhì)

XG(1,+8)時(shí)y>0xG(L+oo)時(shí)y<0

(5)在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

15.方程/(x)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)O函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)。

16.如果y=f(x)在區(qū)間⑶b］上的圖象連續(xù)不斷的一條曲線，且f(a)f(b)<0,則y=f(x)在(a,b)有零點(diǎn)，即存在ce(a,歷滿足

f?=0,這個(gè)c也是方程f(x)=O的根.

17..抽象函數(shù)的性質(zhì)所對(duì)應(yīng)的一些具體特殊函數(shù)模型：

①f(xt+々)=f(xt)+/(x2)=正比例函數(shù)f(x)-kx{k0)

②f(xt+%,)=/(x,)-f(x2)；/(芭-占)=/(西)+f(x2)=指數(shù)函數(shù)類；

③f(x,-x2)=f(x,)+/(x,)；/(%)=/(x,)-/(x,)=對(duì)數(shù)函數(shù)類_；

X2

?/(x,)+f(x2)=2/(^1).=余弦函數(shù)----------

18.f(x)在的切線方程：y-f(x0)=f'(x0\x-x0)

19.f(X)在尸(%,%)的法線方程：y-/(X())=一一：——(X-Xo)-

f。0)

20.C=0,(x〃y=Mx/,-1,(sinx)'=cosx,(cosx)z=-sinx

(ln?=L(log：y=Log：,(e?=e\(〃y=a'lna

XX

(“+?=/+/,(“?=“'v+“i/,(勺=uv/v,(/ig(x)])/=r[g(x)]g'(x)

VV

21.常用變換：

?f(x+y)=/(x)/(y)f(x-y)=.②八-y)=/(x)+/(y>o/號(hào))=fM-f(y)

4.求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

(M±V)'=u+v=>y=ft(x)+f2(x)+...+fn(x)=>>■'=/,'(x)+f2(x)+(x)

c=0(c為常數(shù));(x")=nxn'；(sinx)=cosx；(cosx)=-sinx；

xvxxx

(loga)=~-;(lnx)=—；(a)=a\na；(^e)=e.

XIncl入

W(4g(M是可導(dǎo)的，則有:⑴[/(x)土g(*)]'=/(x)土g(x)

導(dǎo)

叫力的=/(93+/(小3(3)制J(",；常g(x)

數(shù)

J：kf(x\h:=&J：f(x)土g(x):氏=￡f(xylx±J：g(x世：

定=-J：ff(x>ZrJ/(xg.(avbvc)

積

分

與

微

積

分

若尸'(x)=/(x),則=F(b)—尸(“)(牛頓—萊布尼茲公式)

1.求平面圖形面積；2.在物理中的應(yīng)用(1)求變速運(yùn)動(dòng)的路程:

(2)求變力所作的功：W=『F(x)公

22.常用定積分公式：⑴JOdr=c(c為常數(shù))⑵Jiar=x+c⑶\xadx=----+c(aw-l)

a+1

xx=

⑷J—de=In\x\+c(5)fedx-e+c(6)JQXdx----Fc(a>0,awl)

xIn。

(7)fsinxdx=-cos九+c⑻Jcosxdx=sinx+c

(9)fsinoxtZ￥=--cosox+c(QWO)(io)Jcosort￡r=-sinor+c(awO)

aa

rbM

23.定積分的性質(zhì)：(i)kf(x)dx=k\f(x)dx(左為常數(shù))；

JaJa

⑵ff(x)±g(x)dx=ff(x)dx±fg(x)dx；(3)「/(x)公+「『(x)公(其中〃<c<Z?)；

JaJaJaJ”J”Jc

⑷利用函數(shù)的奇偶性求定積分：若/(x)是上的奇函數(shù)，則「f(x)dx=o；若/(幻是［-。,。］上的偶函數(shù)，則

Jf(x)dx=2jf(x)dx.

§03.三角函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

I.①與a(0。人＜360。)終邊相同的角的集合(角a與角/?的終邊重合)：物|￡="360°+a,Z€z}

②終邊在x軸上的角的集合：物16=2x180°,%wz}③終邊在y軸上的角的集合：物|6=%x180°+90°Mez}

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：\/3\/3=kx9Q\kez}⑤終邊在尸x軸上的角的集合：如尸=Zx180°+45°,&ez}

⑥終邊在尸-x軸上的角的集合：Mz?=%xl80°-45°Mez}

⑦若角a與角力的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角a與角4的關(guān)系：a=360”

⑧若角a與角力的終邊關(guān)于)，軸對(duì)稱，則角a與角夕的關(guān)系：a=3602+18(T-6

2.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2萬180°=萬1°=0.017451=57.30°=57°18,

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.、弧度

與角度互換公式：1儂￡1=型？比57.30°=57°18'.10=71^0.01745(rad)

n180

11,

3.弧長(zhǎng)公式：/=|a".扇形面積公式：s扇形=萬7r=51al?r

4.三角函數(shù)：設(shè)。是一個(gè)任意角，在a的終邊上任取(異于原點(diǎn)的)?點(diǎn)P(x,y)P與原點(diǎn)的距離為r,

則sinoc=—'cosa=-；tana=":

rrx

5.三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：(一全二正弦，三切四余弦)

6.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：包區(qū)-anacosa_

cosasina

tancrcot?=1csca-sina=1secacosa=1

.22.22.22t

sin-a+cosa=1sec'a-tan-?=lesca-cot'a=1正弦、余割余弦、正割正切.余切

7.若a€I貝1Jsina+cosae(1,>/21a€II或IV則

sin上+cosdre(—1,1)aGHI則sin<z+cosae［-V2,-l)

8.32+42=52,52+122=132,72+242=252,62+82=102

的角

于90°

、小

銳角

角、

一象限

區(qū)別第

角

制;

弧度

角與

任意

圓

單位

三

變形

用、

用、逆

角公式正

函

數(shù)

式）

（恒等

證明

值、

、求

化簡(jiǎn)

不同；

后平移

先伸縮

伸縮與

平移后

注意先