2.1.1直線的傾斜角與斜率

基礎(chǔ)練習

一、單選題

i.如圖，己知直線乙，4，4的斜率分別為尢，勾，％，貝U（）

A.ki<k2<kyB.ky<k^<k2

C.k3<k2<kAD.kt<k}<k2

【答案】D

【分析】根據(jù)傾斜角的大小結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系判斷即可

【詳解】由題圖知直線4的傾斜角為鈍角，??.仁〈o.

乂直線兒4的傾斜角均為銳角，且直線4的傾斜角較大，

0<k3<k2,

2.若4—1,—2),8(4,8),C(5,x),且A,8,C三點共線，貝i」x=()

A.-2B.5C.10D.12

【答案】C

【分析】由三點共線可得線向AB,AC的斜率存在并且相等求解即可.

【詳解】解：由題意，可知直線AB,AC的斜率存在并且相等,

即8-（-&2）=%基—2）’解得3

3.已知兩點A（l,-2）,8（2,1）,直線/過點P（O,-1）且與線段A8有交點，則直線/的傾斜角的

取值范圍為（）

713兀713花

A.B.

4"~42'T

3兀

C.T'71D.

【答案】C

【分析】作出圖形，求出PAP8的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得直線/的斜率的取值范圍，再由斜率

與傾斜角的關(guān)系可求出傾斜角的取值范圍.

【詳解】如圖所示，直線R4的斜率原，=科=-1,直線總的斜率怎3=畀=1.

1—02—0

由圖可知，當直線/與線段A6有交點時，直線/的斜率攵

-兀]「3兀、

因此直線/的傾斜角的取值范圍是0,；u兀.

44）

4.若直線經(jīng)過A（l,0）,8（4,-3b）兩點，則該直線的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】由斜率公式與斜率的定義求解即可

【詳解】因為直線經(jīng)過A。,。），8（4,-30）兩點，

所以直線48的斜率為后=上包1=Y.

1-4

設(shè)直線A8的傾斜角為。，則tan。=-0,

又0°4。<180°,

所以。=120?.

所以直線A8的傾斜角為120。.

5.已知A（3,l）,8（1,2）,若直線x+ay-2=0與線段AB沒有公共點，則實數(shù)。的取值范圍是

（）

A.（-8,-1）、（；,+<?]B.

C.（-oo,-2）U（L”）D.（-2,1）

【答案】A

【分析】畫出圖象，對。進行分類討論，結(jié)合圖象求得。的取值范圍.

【詳解】直線》+0一2=0過點C（2,0）,

畫出圖象如下圖所示,

由于直線x+ay-2=0與線段A3沒有公共點，

當。=0時，直線彳=2與線段有公共點，不符合題意,

當a*0時，直線x+a)」2=0的斜率為-1，

a

根據(jù)圖象可知一的取值范圍是(-2,0)50,1)，

所以”的取值范圍是(-8，T)u[；T.

6.已知兩點A。,-2),8(2/)，直線/過點P(0,-l)且與線段A8有交點，則直線/的斜率的取

值范圍為()

A.[-U]B.S,TJC.(-M)D.[1,+<?)

【答案】A

【分析】根據(jù)斜率的公式，數(shù)形結(jié)合分析臨界條件求解即可.

【詳解】如圖所示，直線網(wǎng)的斜率為原4=雪=-1,直線PB的斜率為％刖=畀=1.由

1—02—0

圖可知，當直線/與線段A8有交點時，直線/的斜率％el-1,1].

二、多選題

7.下列四個命題中，錯誤的有（）

A.若直線的傾斜角為。，則sin6>0

B.直線的傾斜角。的取值范圍為<萬

C.若一條直線的傾斜角為，，則此直線的斜率為tan。

D.若一條直線的斜率為tan。，則此直線的傾斜角為6

【答案】ACD

【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的定義判斷即可.

【詳解】解：因為直線的傾斜角的取值范圍是［0,P）,即夕且0,乃），所以sin620,

當時直線的斜率A=tan。，故A、C均錯誤；B正確；

對于D：若直線的斜率左=tan與=6，此時直線的傾斜角為?，故D錯誤；

8.（多選）若經(jīng)過A。-a,1+a）和8（3,〃）的直線的傾斜角為鈍角，則實數(shù)。的值可能為（）

A.-2B.0C.1D.2

【答案】BCD

【分析】由兩點的斜率公式求得心2=——，由止匕得2+。>0,求解即可.

-2-a

【詳解】由題意得心8=手二?=-3^—<0,即2+0>0,所以a>-2,

\-a-3-2-a

9.若直線/的斜率&=-2,且過點（3,2）,則直線/經(jīng)過點（）

A.（0,4）B.（4,0）C.（6,Y）D.（-2,1）

【答案】BC

【分析】根據(jù)直線的斜率公式一一驗證各選項，可得答案.

【詳解】直線/的斜率％=-2,且過點（3,2）,

對于A,計算（4-彳2=-彳2=-2,故A錯誤；

對于B,計算詈=-2,故B正確；

4-3

對于C,計算：3=-2,故C正確；

6—3

對于D,計算故D錯誤；

三、填空題

10.已知點A（%，x）,8（程％）在函數(shù)y=f（x）的圖像上，若函數(shù)f（x）在［%,句上的平均變

化率為6,則直線AB的傾斜角為.

【答案】y

【分析】利用斜率的定義直接求解.

【詳解】函數(shù)/(x)在［占,々］上的平均變化率就是直線A8的斜率陽B，所以^石.

設(shè)直線A8的傾斜角為巴則。e［0,句，則tan?=6,所以。=?.

故直線AB的傾斜角為?.

11.已知直線過A(3,優(yōu)+1)1(4,2m+l)兩點且傾斜角為二兀，則加的值為___.

6

【答案】-祖

3

【分析】由48兩點求得得斜率與傾斜角的正切值tanj兀相等可求得m.

0

【詳解】因直線A8的傾斜角為:W，則其斜率％=121)2兀=-3，

663

乂由43,m+1),8(4,2m+1),

i,.,..(2/膂+1)—(//+1)

則M1AB的A斜率k=--------------=m,

4-3

則有m=.

3

12.已知直線右的傾斜角%=30。，直線4_L4,則右的斜率為

【答案】-百

【分析】先根據(jù)直線。的傾斜角%=30°,百線4_14，求出乙的傾斜角，再根據(jù)傾斜角與斜

率的關(guān)系求出右的斜率.

【詳解】解：；直線。的傾斜角%=30。，直線乙,乙，

人的傾斜角為120。，

4的斜率為tan120。=-石，

13.直線y=l的斜率是.

【答案】o

(分析】直線斜率％=tana,?為傾斜角.

【詳解】直線y=i的圖像如圖所示：

易知其傾斜角a=0°，其斜率々=tan(T=0

14.已知三個不同的點A(2,a)、8(a+l,2?+l)、C(T,l—a)在同一條直線上，則實數(shù)a的值為

【答案】或5

【分析】根據(jù)斜率相等可求出結(jié)果.

【詳解】因為砥所以該直線斜率存在,

-4-26

又.,,2—2a+―\-aa+\,

a+1-2a-\

根據(jù)題意得"■=空.解得"V或4=5.

6a-\2

15.已知4(3,-1),8(1,2),P(x,y)是線段AB上的動點，則上的取值范圍是.

X

【答案】[-g，2]

【分析】由題意利用直線的斜率公式，求得04、OB的斜率，就可得上的取值范圍.

X

【詳解】因為A(3,-1),8(1,2),P(x,y)是線段AB上的動點，

所以上表示直線OP的斜率.如下圖.

X

-1-0-屋j直線。B的斜率為*9-0=2.

因為直線。A的斜率為0

所叫的取值范圍是6⑵.

16.已知A(l,0),8(百,1)兩點，若直線/：'=奴與線段AB恒有交點，則k的取值范圍是

【答案】

【分析】把A、B兩點分別代入直線/中，求出斜率心八和3,，結(jié)合題意求出左的取值范圍.

【詳解】把41,百),D兩點分別代入直線，：y=Ax中,

計算自8=9=*

由圖可知，直線/：y=H與線段A8恒有交點時，kOB<k<kOA,

17.己知點4-3,2),8(1,3),直線/過定點(-2,0),且直線/與線段A8有公共點，則直線/

的斜率&的取值范圍是

【答案】(…,一2][l,+a>)

【分析】畫出圖象，結(jié)合圖象求得％的取值范圍.

【詳解】設(shè)C(-2,0),

畫出圖象如下圖所示,

乂=^^7初=4=1

*c-3-(-2)BC1-(-2)

結(jié)合圖象可知，直線/的斜率的取值范圍是(-8,-2][1,內(nèi)).

18.已知直線/的斜率為左,傾斜角為a,若45<?<135，則&的取值范圍為.

【答案】(f,-1)51，內(nèi))

【分析】分45<a<90、a=90、90<a<135三種情況討論，結(jié)合正切函數(shù)的基本性質(zhì)可

求得k的取值范圍.

【詳解】由正切函數(shù)的性質(zhì)知，當45<a<90時，^=tanae(l,-H?)；

當a=90時，%不存在；

當90<?<135時，=tanae(-oo,-l).

綜上，%的取值范圍是(f,—1)51，收)-

四、解答題

19.已知直線/過點A(2a,3)和點B(2,-l),分別求出滿足下列條件的〃的取值或取值范圍.

(1)直線/的傾斜角為直角；

(2)直線/的傾斜角為銳角；

(3)直線/的傾斜角為鈍角.

【答案】(1)。=1;(2)(1,+00)；(3)(-oo,l).

【分析】(1)解方程24=2即得解；

(2)解不等式2六>0即得解;

2

(3)解不等式w<0即得解?.

(1)解：當直線/的傾斜角為直角時，2a=2,解得a=l.

⑵解：當"1時，直線’的斜率小叁=言.

2

令告>0,則所以直線/的傾斜角為銳角時、a的取值范圍為(l,y).

47-1

2

(3)解：當"1時，令一；<0,則a<l,所以直線/的傾斜角為鈍角時，。的取值范圍為(3,1).

67-1

20.已知坐標平面內(nèi)三點A(T,1),8(1,1),CQ6+1).

(1)求直線AB,BC,AC的斜率和傾斜角；

⑵若。為ABC的AB邊上一動點，求直線CD的傾斜角的取值范圍.

【答案】(1)原B=0,kBC=43,kAC=—,直線AB的傾斜角為0,直線BC的傾斜角為

AC33

直線AC的傾斜角為?.

O

7171

⑵7S

【分析】(1)根據(jù)兩點間的斜率公式計算斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可;

(2)數(shù)形結(jié)合，根據(jù)斜率與傾斜角變化的規(guī)律分析即可.

(I)由斜率公式，得kg任廣。“粵i"%邛

因為斜率等于傾斜角的正切值，且傾斜角的范圍是［O，P),所以直線A3的傾斜角為0,直線

8c的傾斜角為9,直線4c的傾斜角為

36

(2)如圖，當直線CO繞點C由CA逆時針轉(zhuǎn)到C3時，直線CO與線段A3恒有交點，即。

在線段48上，此時48由原c增大到軟c，所以令。的取值范圍為手■，百，即直線CD的傾斜

TT7T

角的取值范圍為---

O3

提升訓練

一、單選題

1.設(shè)點A(3,-5),B(-2,-2),直線/過點P(U)且與線段AB相交，則直線/的斜率&的取值范

圍是()

A.k31或左〈一3B.-3<^<1

C.-1<*<3D.以上都不對

【答案】A

【分析】先畫出線段4B,之后連接孫，P8求得以，P8的斜率，通過觀察圖像找到直線/斜

率的取值范圍

【詳解】如圖所示，直線尸8,兩的斜率分別為即尸1,%=-3

結(jié)合圖形可知A1或ZW—3

2.將直線3x->/5y=O繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到新直線的斜率是()

A.@B.-BC.百D.Y

33

【答案】B

【分析】由題意知直線的斜率為G，設(shè)其傾斜角為a,將直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到

新直線的斜率為tan(a+90),化簡求值即可得到答案.

【詳解】由3x-石)，=0知斜率為右，設(shè)其傾斜角為a,貝ijtana=b，

將直線3x-gy=0繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)90。，

則tan(a+90)=刨空切==__L“近

cos(a+90)-sinatona3

故新直線的斜率是-走.

3

3.若過兩點4("72+2,病-3),8(-療-機+3,2優(yōu))的直線/的傾斜角為45。，則加=()

A.-2或-1B.1C.-1D.-2

【答案】D

【解析】由題意可得:“-3；2/n_=02.一3=fan45°=1,故有

加2—2%—3=+〃2一］/o,由此求得實數(shù)機的值.

【詳解】過兩點4(加+2,M-3),8(-布-機+3,2時的直線/的傾斜角為45。，

前后Tn2-3-2mm2-2m-3._,

則有--------------=-3-----------=tan45°o=1,

tn+2+機+m-32m+m-l

即m2—2機一3=2m2+加一1工0,

即m2+3m+2=0且2nr+機一1工0,

解得m=-2,

4.已知正；A3C的頂點8(1,3),頂點C在第一象限，若點P(x,y)是A3C內(nèi)部及其

邊界上一點,則忘的最大值為<)

C.-D.至一③

【答案】B

【分析】確定C的坐標，將題目轉(zhuǎn)化為兩點的斜率，根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】正。A8C的頂點4(1,1),8(1,3)且頂點C在第一象限，故頂點C的坐標為(1+6,2),

告可看作內(nèi)部及其邊界上一點與點(-1,0)的連線斜率,

當P運動到點8(1,3)時，直線的斜率最大，故W的最大值為71T=|

5.已知兩點A(2,-3),8(-3,2),直線/過點P(l,l)且與線段AB相交,則直線/的斜率左的取

值范圍是()

1133

A.-4<k<--B.A4-4或22—-C.-4<k<-D.--<k<4

4444

【答案】B

【分析】數(shù)形結(jié)合法，討論直線/過A、8時對應的斜率，進而判斷率人的范圍.

【詳解】如下圖示,

當直線/過B時，k=^-=-\,

-3-14

由圖知:k<—4或％2—.

4

二、多選題

6.下列說法中，表述正確的是()

A.向量〃?=(-3,6)在直線/上，則直線/的傾斜角為普

B.若直線/與x軸交于點A,其傾斜角為。，直線/繞點A順時針旋轉(zhuǎn)J后得直線4,則直線乙

4

的傾斜角為￡

4

C.若實數(shù)X、y滿足y=-x+3,則代數(shù)式組的取值范圍為［1,7

D.若直線乙、4的傾斜角分別為4、%，則sin(a-a)=l是乙_14的充要條件

【答案】AC

7FTT

【分析】A：根據(jù)向量求出直線斜率，根據(jù)直線斜率即可求其傾斜角；B：當。時，

44

<0,但直線傾斜角為非負，據(jù)此即可判斷；C：2±|=”2空可看作(苫，丫)與(一2,一3)連線

x+2x-(-2)

斜率，數(shù)形結(jié)合即可判斷；D：兩直線垂直，則河-閔='，據(jù)此即可判斷.

【詳解】①向量m=卜3,6)在直線/上，則直線/的斜率為-坐,故直線傾斜角為器，故A

正確；

②若直線/與X軸交于點A,其傾斜角為夕，直線/繞點A順時針旋轉(zhuǎn)￡后得直線4,則f學

44

〈兀時，直線4的傾斜角為。-￡；當寸，直線4的傾斜角為兀+(。一￡)=9+個；故

4444

B錯誤；

③若實數(shù)x、V滿足V=-x+3,-1<X<1,設(shè)A(—1,4),8(1,2),

則代數(shù)式上士|=與售表示線段4B上任意一點(x,y)和點C(—2,—3)連線的斜率，

A/

\

I\

~iTor

I/

：/

4

c

由圖可知，故c正確：

x+2x-(-2)|_3_

④若直線4、4的傾斜角分別為仇、o2,則044<萬，04名〈萬，-乃<一名40,

-7t<0]-62<7t,則sin(q_a)=]=>q_a='n《±l2；

當時，la-閔2:土5；故sin(a-a)=i是4_L4充分不必要條件，故D錯誤

三、填空題

7.直線x+)cos9-5=0的傾斜角a的取值范圍是.

■.兀37c

【答案】

_44_

TT1

【分析】分別討論cos。的取值，得到斜率不存在時a=T，以及斜率存在時--3的范圍，

2cos?

再利用傾斜角與斜率的關(guān)系，即可求解.

TT

【詳解】若cos6=0,則直線方程為x=5,即傾斜角a=]；

若cosOwO,則直線方程為y=--1x+三，即tana=--二，

cos。cosgcosJ

.*cos0G[—1,0)(0,11,---------W-1或------21

cos0cos0f

____4._7t7C?(TC37c

Q|Jtana<-1tana>1,解.得a￡——u—

[4f2)(24」

TT37r

綜上可得?！?

144」

8.已知兩點A(-3,4),8(3,2),直線/經(jīng)過點P(2,-l)且與線段AB相交，貝1|/的斜率&的取值

范圍是.

【答案】A23或&4T

【分析】根據(jù)題意作圖如下，結(jié)合圖形可知，宜線/的傾斜角介于直線尸5與直線R4的傾斜角

之間，

根據(jù)隨著傾斜角的變化直線斜率的變換規(guī)律，分直線/的傾斜角小于90和大于90兩種情況分

別求出直線/的斜率k的取值范圍即可.

【詳解】如圖所示：

因為直線/經(jīng)過點尸（2,-1）且與線段AB相交，

所以直線/的傾斜角介于直線尸B與直線PA的傾斜角之間,

當直線/的傾斜角小于90時，有kN%

當直線/的傾斜角大于90時，有44小,

由直線的斜率公式可得,

kpA-------------------J,

3-2

所以直線/的斜率A的取值范圍為Z23或&4-1.

四、解答題

9.己知直線/經(jīng)過42,1）、8（1,%2）（,”eR）兩點，求直線/的傾斜角的取值范圍.

【答案】0,：u（|，j

[分析]先求得直線/的斜率，再利用傾斜角與斜率的關(guān)系即可求得直線I的傾斜角的取值范

圍.

【詳解】；直線/過42,1）,8（1,/）（meR）兩點，

2[

.?.直線/的斜率為A='■二!■=1-加41,

1-2

設(shè)直線/的傾斜角為a,則。€[0,兀），且tanaVI,

JTJT

解得0<a<—^—<a<TI

42

JTI7T

直線/的傾斜角a的取值范圍是0,il-,n

10.經(jīng)過點P(0,-l)作直線/,且直線/與連接點A(L-2),8(2,1)的線段總有公共點，求直線

I的傾斜角?和斜率k的取值范圍.

【答案】14y.

L4jL4J

【分析】根據(jù)斜率公式得kpA=N=l，*=三N=-1,由/與線段AB相交，知kPB<k<kPA,

1—02—0

由此能求出直線/斜率左的范圍，進而根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)得出傾斜角范圍.

【詳解】因為=⑥3=三肅=1，由/與線段A8相交，

所以0WlanaK1或一14tana<0,

由于y=tanx在0,9及仁,丁均為增函數(shù)，

所以直線/的傾斜角a的范圍為：J。。［J苧,

故傾斜角的范圍為號"］，斜率k的范圍是-1VAML

L4」［4)

11.分別判斷經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出傾斜角；如

果不存在，求出傾斜角.

⑴C(-3,4),￡>(2,4)；

⑵尸(0,0),。(―1,6)；

⑶例(-3,近),N(-0,3)；

(4)E(7,O),Q(7,-0).

【答案】(1)存在，斜率為々8=0,傾斜角為0；

(2)存在，斜率為kpQ=-V3,傾斜角為120：

⑶存在，斜率為《^=1,傾斜角為45；

(4)不存在.

【分析】根據(jù)橫坐標是否相等判斷斜率存在與否，若不相等時，斜率存在，再結(jié)合斜率公式求

解傾斜角即可；若相等時，則斜率不存在.

(1)解：因為與W與,

所以經(jīng)過4),0(2,4)的直線斜率存在,

4-4

所以斜率為七"=一==0，

設(shè)傾斜角為ae€[o,180),則tane=0,故。=0,即傾斜角為0

(2)解：因為辱。勺，

所以經(jīng)過P(0,0),Q(-1,6)的直線斜率存在，

所以斜率為k=———=-也＞

PQ-1-0

設(shè)傾斜角為仇JG[0,180),則tan6=-G,故，=120,即傾斜角為120.

(3)解：因為如大為,

所以經(jīng)過M(-3,0),N(-正,3)的直線斜率存在，

a_To

所以斜率為“MN=~~^2一?，

設(shè)傾斜角為0,0e[0，180),則tan6=l,故。=45，即傾斜角為45.

(4)解：因為X〃=XQ,

所以經(jīng)過M(-3,&),N(-0,3)的直線斜率不存在，

12.(1)若直線/的傾斜角ae3三,求直線/斜率”的范圍;

O3_

(2)若直線/的斜率左?-15，求直線/傾斜角a的范圍.

【答案】(1)ke亭6c汽3萬?

⑵aw0,-u

【分析】根據(jù)直線的傾斜角a和斜率2的關(guān)系,k=tana,即可求解.

717Ttan&=3

【詳解】解：(1)因為A=tana,otetanj,

63

結(jié)合正切函數(shù)在[O，P)的單調(diào)性得ke與小,

(2)直線/的斜率無目―1/，tan^=l,tan—=-1,

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7T34

結(jié)合正切函數(shù)在[0,P)的單調(diào)性得a€0,-u7

13.已知A(3,3),8(-4,2),C(0,-2).

(1)求直線AB的斜率并寫出直線BC的一個方向向量；

(2)若點。在線段BC(包括端點)上移動，求直線的斜率的變化范圍.

【答案】(l)g，直線BC的一個方向向量為(L-1)；

叫京?

【分析】(1)利用斜率公式求出直線A8,8c的斜率，從而求出直線8c的一個方向向量;

(2)當點。由點B運動到點C時，直線4。的斜率由MB增大到AAC,求出“1C即可.

3-21

(1)解：直線A8的斜率為丁二元=3,直線8c的斜率為一2-(匚-2」]=-1,

3-(-4)7-4-0

...直線BC的一個方向向量為.

(2)解：如圖，當點。由點8運動到點C時，直線AO的斜率由增大到乂C,

由(1)可知始8=』，fc4C=3-(2).=g,

73-03

直線AD的斜率的變化范圍為[)，||.

14.已知過坐標原點。的一條直線與函數(shù)y=loggx的圖象交于A,B兩點,分別過點4,8作

y軸的平行線與函數(shù)y=log3》的圖象交于C,。兩點.

(1)證明：點C,D,。在同一條直線上；

(2)當直線8c的斜率為0時，求點A的坐標.

【答案】(1)證明見解析

⑵(2,岫2)

【分析】⑴設(shè)點A&,log,,不)，Wf/oggw),則C(辦JogT),。(與log?%)曲A，。，B

三點共線，知必=*,即有地受=幽&,將等式化成以3為底的對數(shù)，即可得自c=^o,