專題06與二次函數(shù)有關(guān)問題的壓軸題之六大題型目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一二次函數(shù)圖象和性質(zhì)之選擇題】 1【題型二二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系】 4【題型三二次函數(shù)圖象和性質(zhì)之解答題】 8【題型四二次函數(shù)與幾何圖形的綜合問題】 14【題型五二次函數(shù)中的新定義型問題】 25【題型六實際問題與二次函數(shù)的綜合問題】 32【典型例題】【題型一二次函數(shù)圖象和性質(zhì)之選擇題】例題：（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，下列說法正確的是(

)A．點在該函數(shù)的圖象上B．當(dāng)且時，C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點D．當(dāng)時，該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線的左側(cè)【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一進行判斷即可．【詳解】解：∵，當(dāng)時：，∵，∴，即：點不在該函數(shù)的圖象上，故A選項錯誤；當(dāng)時，，∴拋物線的開口向上，對稱軸為，∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，∵，，∴當(dāng)時，有最大值為，當(dāng)時，有最小值為，∴，故B選項錯誤；∵，∴該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點，故選項C正確；當(dāng)時，拋物線的對稱軸為：，∴該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線的右側(cè)，故選項D錯誤；故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)，y與x的部分對應(yīng)值為：x…01y…232關(guān)于此函數(shù)的圖象和性質(zhì)，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，函數(shù)圖象從左到右上升 B．拋物線開口向上C．方程的一個根在與之間 D．當(dāng)時，【答案】C【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)知道函數(shù)圖象關(guān)于對稱，頂點為，所以圖象的開口向下，則可以判斷選項A、B、D錯誤；根據(jù)圖象與軸的交點，即可判斷C選項正確．【詳解】解：和時的函數(shù)值相同，都是2，拋物線的對稱軸為，拋物線的頂點為，是函數(shù)最大值，拋物線的開口向下，故B選項錯誤；當(dāng)時，隨的增大而減小，即函數(shù)圖象從左到右下降，故A選項錯誤；時，，時，，方程的一個根在與之間，故C選項正確；函數(shù)圖象關(guān)于對稱，

與的值相等，時，，故D選項錯誤．故答案選C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知y關(guān)于x的二次函數(shù)，下列結(jié)論中正確的序號是（

）①當(dāng)時，函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為；②當(dāng)m≠0時，函數(shù)圖象總過定點：③當(dāng)時，函數(shù)圖象在x軸上截得的線段的長度大于；④若函數(shù)圖象上任取不同的兩點、，則當(dāng)時，函數(shù)在時一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】求出當(dāng)時，二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)即可判斷①；當(dāng)m≠0時，二次函數(shù)，當(dāng)時，y的值與m無關(guān)，求出x的值，即可得到定點，即可判斷②；求出，函數(shù)圖象在x軸上截得的線段的長度大于；即可判斷③；當(dāng)時，拋物線的對稱軸為，則拋物線開口向下，當(dāng)時，只有當(dāng)對稱軸在右側(cè)時，y才隨x的增大而減小，即成立，即可判斷④．【詳解】解：當(dāng)時，二次函數(shù)，此時函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為，故①正確；當(dāng)m≠0時，二次函數(shù)，當(dāng)時，y的值與m無關(guān)，此時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴函數(shù)圖象總過定點，：故②正確；當(dāng)時，，∵，∵，∴，∴當(dāng)時，∴，∴函數(shù)圖象在x軸上截得的線段的長度大于；故③正確；函數(shù)圖象上任取不同的兩點、，則當(dāng)時，拋物線的對稱軸為，∴拋物線開口向下，當(dāng)時，只有當(dāng)對稱軸在右側(cè)時，y才隨x的增大而減小，即成立，故④錯誤，綜上可知，正確的是①②③，故選：A【點睛】此題考查了拋物線與x軸的交點，主要考查了函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，要求非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點、頂點等坐標(biāo)的求法及這些點代表的意義及函數(shù)特征．【題型二二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系】例題：（2023·浙江·一模）如圖所示為二次函數(shù)的圖象，對稱軸是直線，下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用拋物線圖像與性質(zhì)進行判斷，根據(jù)函數(shù)圖像開口方向確定，對稱軸及確定，函數(shù)圖像與軸交點的確定，取特殊點代入函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖像確定關(guān)于、、代數(shù)式的正負(fù)即可．【詳解】解：拋物線與軸有個交點，，，故①正確；當(dāng)時，，，故②錯誤；拋物線開口向下，拋物線與軸交于正半軸，，拋物線的對稱軸為直線，故③正確；當(dāng)時，，即，，，故④正確；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的系數(shù)、、與拋物線圖像的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，熟記一些特殊的自變量值所對應(yīng)的代數(shù)式，如本題出現(xiàn)的時，，再結(jié)合圖像確定函數(shù)的取值范圍，能較快的解決問題．1．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，且經(jīng)過點，則下列說法①；②；③若是拋物線上的兩點，則；④正確的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】根據(jù)拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，，再由對稱軸為直線得到，即可判斷①；根據(jù)當(dāng)時，，即可判斷②；根據(jù)拋物線開口向下，離對稱軸越遠函數(shù)值越小，即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴，∵拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∴，故①正確；由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，，∴，故②正確；∵拋物線開口向下，∴離對稱軸越遠函數(shù)值越小，∵，∴，故③錯誤；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，函數(shù)有最大值，∴，∴，故④正確；故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號等等，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用圖中信息解決問題，屬于中考?？碱}型．2．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)的圖象如圖，有下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤（的實數(shù)）其中正確結(jié)論有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)圖象的開口方向，對稱軸，與軸的交點位置判斷①；根據(jù)圖象判斷時，函數(shù)值的符號，判斷②；根據(jù)對稱性，判斷時，函數(shù)值的符號，判斷③；結(jié)合對稱軸和特殊點判斷④；根據(jù)二次函數(shù)圖像的頂點判斷⑤，進而得出結(jié)論．【詳解】解：∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線，與軸交于正半軸，∴，，，∴，∴；故①錯誤；由圖象可知：當(dāng)時，對應(yīng)的函數(shù)值小于0，即：，∴；故②正確；∵拋物線的對稱軸為直線，∴和的函數(shù)值相同，即：，∵，∴；故③正確；∵，，∴，∴，即：；故④錯誤；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為，∴，∴；故⑤正確；綜上：正確的有個；故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)解析式的系數(shù)之間的關(guān)系．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．【題型三二次函數(shù)圖象和性質(zhì)之解答題】例題：（2023·浙江杭州·臨安市錦城第四初級中學(xué)校考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)，為常數(shù)，且．(1)當(dāng)，函數(shù)圖象的對稱軸為直線時，求該函數(shù)的表達式；(2)求證：該函數(shù)圖象與軸一定有交點；(3)點，在該二次函數(shù)圖象上，求的最小值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）①根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式即可求出的值，即得出該函數(shù)的表達式；（2）當(dāng)時，，求得，即可得證；（3）將，代入該二次函數(shù)解析式，得出，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：①∵，∴該函數(shù)解析式為.∵該函數(shù)圖象的對稱軸為直線，∴，解得：．∴該函數(shù)解析式為；（2）∵該函數(shù)解析式為，當(dāng)時，∵∴方程有兩個相等的實數(shù)解，即該函數(shù)圖象與軸一定有交點；（3）∵點，在該二次函數(shù)圖象上，∴，，即，∴，∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2023·浙江杭州·?？级＃┮阎獟佄锞€．(1)若點在拋物線上，求拋物線解析式．(2)若時，隨著的增大而減小，求的取值范圍．(3)若點，，在拋物線上且，求的取值范圍．【答案】(1)或(2)(3)的取值范圍是或【分析】（1）代入點即可求解；（2）根據(jù)題意得出，解不等式即可；（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出關(guān)于的不等式（組），解不等式（組）即可．【詳解】（1）解：∵點在拋物線上，∴，解得或，∴拋物線解析式為或；（2）對于二次函數(shù)，∵，∴該函數(shù)圖像開口向上，∵時，隨著的增大而減小，∴，解得；（3）當(dāng)時，可知點，，從左至右分布，∵，∴，解得；當(dāng)時，∴，解得，綜上所述，的取值范圍是或．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）．(1)當(dāng)，時，求該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)．(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是，當(dāng)該函數(shù)圖象經(jīng)過點時，求n關(guān)于m的函數(shù)解析式．(3)已知，當(dāng)時，該函數(shù)有最大值8，求c的值．【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）將二次函數(shù)化為頂點式求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和已知條件得到，，，，進而求解即可；（3）當(dāng)時，二次函數(shù)的對稱軸為直線，開口向下，分、、三種情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)，時，，∴此時該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為；（2）解：∵該函數(shù)圖象經(jīng)過點，∴，則，∵該二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是，∴，，∴，，∴，即；（3）解：當(dāng)時，二次函數(shù)的對稱軸為直線，開口向下，∵，∴當(dāng)即時，該函數(shù)的最大值為，即，解得（不合題意，舍去），（不合題意，舍去）；當(dāng)即時，時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時，y有最大值為，不合題意，舍去；當(dāng)即時，時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時，y有最大值為，解得，符合題意，綜上，滿足條件的c的值為2．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用分類討論思想求解第（3）問是解答的關(guān)鍵．3．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）已知二次函數(shù)，且與x軸交于不同點M、N．(1)若二次函數(shù)圖象經(jīng)過點，①求二次函數(shù)的表達式和頂點坐標(biāo)；②將拋物線在之間的那部分函數(shù)圖象沿直線翻折，將拋物線翻折前后的這兩部分合記為圖象F，若直線過點，且與圖象F恰有兩個交點，求n的取值范圍；(2)若，當(dāng)時，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)①，頂點為；②或；(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，拋物線與x軸的交點，根與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）①代入A的坐標(biāo)，求得，即可求得解析式，把解析式化成頂點式即可求得頂點坐標(biāo)；②畫出函數(shù)圖象，代入關(guān)鍵點，結(jié)合圖象即可求得n的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到根與m的不等式，解不等式即可，注意利用根的判別式確定m的取值范圍．【詳解】（1）解：①∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過點，∴，∴，∴二次函數(shù)為，∵，∴頂點為；②∵時，，時，，即函數(shù)圖象經(jīng)過點，∴將拋物線在之間的那部分函數(shù)圖象沿直線翻折，點的對應(yīng)點為，∵直線過點，∴，∴，∴，當(dāng)直線過點時，直線與圖象F恰有一個交點，此時，，解得，當(dāng)直線過點時，直線與圖象F恰有三個交點，此時，，解得，當(dāng)直線過點時，直線與圖象F恰有兩個交點，此時，，解得，∴若直線過點，且與圖象F恰有兩個交點，n的取值范圍是或；（2）設(shè)，令，則，二次函數(shù)，與x軸交于不同點M、N．方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，又∵，∴，解得：∴，，∵，∴，∵，∴，∴時，不等式成立，∴實數(shù)m的取值范圍是．【題型四二次函數(shù)與幾何圖形的綜合問題】例題：（2023·浙江·一模）在平面直角坐標(biāo)系中有三個點：，二次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過這三個點之中的兩個點．

(1)試推斷二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點之中的哪兩個點？請簡要說明理由；(2)求常數(shù)與的值；(3)將二次函數(shù)的圖象先向下平移2個單位長度，再向右平移個單位長度，如果平移后所得新二次函數(shù)的圖象頂點為，且經(jīng)過點，連、，請判斷的形狀，并證明你的判斷【答案】(1)點、在拋物線上，理由見解析(2)，(3)等腰直角三角形，見解析【分析】（1）軸，故、中只有一個點在拋物線上，求得的解析式，交軸于點，拋物線與軸也交于點，故不符要求，由此解答即可；（2）把、點的坐標(biāo)代入解析式，由此解答即可；（3）由平移可得新的解析式，代入得出點的坐標(biāo)，再判斷三角形的形狀．【詳解】（1）∵，∴軸，故、中只有一個點在拋物線上，∵設(shè)直線的解析式為，代入點，點，∴解得：，∴直線，交y軸于點．且拋物線與軸也交于點，故不符要求．∴點在拋物線上（2）代入、到，得，解得，，∴（3）原拋物線的解析式為∴先向下平移2個單位長度，再向右平移個單位長度后的解析式為，又平移后的頂點為D，∴代入到，得，解得（舍），，∴∴，，∴，，∴．∴是等腰直角三角形

【點睛】本題考查了與待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及判斷點是否在圖像上，平移變換勾股定理等知識，求解析式是解題的關(guān)鍵．1．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）如圖，已知拋物線交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，動點在x軸上，過點C作x軸的垂線交線段于點D，交該拋物線于點P，連接交于點E．(1)求點A，B的坐標(biāo)．(2)當(dāng)時，求線段的長．(3)當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求m的值．（直接寫出答案即可）【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）令可確定點B的坐標(biāo)，令可確定點A的坐標(biāo)．（2）可確定點P的坐標(biāo)，求得的長度；求出的解析式，的解析式，確定E的坐標(biāo)，過點E作于點M，利用平行線分線段成比例定理，確定點E為的中點，計算即可．（3）分兩種情形去求解即可．【詳解】（1）∵拋物線交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，∴令得，∴；令得，解得，∵點A在x軸的正半軸，可確定點A的坐標(biāo)．∴．（2）∵拋物線，，∴，∴，；設(shè)直線的解析式為，的解析式為，∴，，解得，，∴直線的解析式為，的解析式為，∴，解得，∴，過點E作于點M，則，，∴，∴點E為的中點，∴．（3）當(dāng)時，點E在垂直平分線上，∵，∴垂直平分線為直線；根據(jù)（2）得的解析式為，∴，解得，∴，過點E作于點N，則，，∴，∵，∴∴，整理，得，解得（舍去），故；當(dāng)時，∵，，∴，∴，過點E作于點G，則，∴，∴，解得，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴，整理，得，解得（舍去），故；綜上所述，或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法，平行線分線段成比例定理，正切三角函數(shù)，一元二次方程的解法，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行線分線段成比例定理，正切三角函數(shù)，一元二次方程的解法，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），拋物線上另有一點C在第一象限，滿足為直角，且使．(1)求線段OC的長；(2)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，，，，【分析】（1）令拋物線中，可得出、的坐標(biāo)．再由已知證明，得出，從而求出的長度，（2）設(shè)，則，在中，可求出的值，繼而就可得出，過點作于點，然后利用解直角三角形的知識，可求出點的坐標(biāo)，代入可得出二次函數(shù)解析式．（3）設(shè)出點坐標(biāo)，用坐標(biāo)系兩點間距離公式表示出和的長，分和兩種情況，分別列方程即可求出點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：由得，．、兩點坐標(biāo)分別為：，．由知，．又，，，．．線段的長為．（2）解：由（1）知，，，設(shè)，則由得解得，（舍去），過點作于點，的坐標(biāo)為將點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：．（3）由（2）可知拋物線，拋物線的對稱軸，設(shè)P點坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)．故：，，，若等腰三角形中，，即：，解得：，此時P點坐標(biāo)為：，，若等腰三角形中，，即：，解得：，此時P點坐標(biāo)為：，，綜上所述：在拋物線的對稱軸上存在一點P，使得是以BC為腰的等腰三角形，符合條件的點P的坐標(biāo)為：，，，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的知識，其中涉及了數(shù)形結(jié)合問題，由拋物線求二次函數(shù)的解析式，用幾何中相似三角形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)等知識．注意這些知識的綜合應(yīng)用．3．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為，圖象的頂點為M．矩形的頂點D與原點O重合，頂點A，C分別在x軸，y軸上，頂點B的坐標(biāo)為．

(1)求c的值及頂點M的坐標(biāo)，(2)如圖2，將矩形沿x軸正方向平移t個單位得到對應(yīng)的矩形．已知邊，分別與函數(shù)的圖象交于點P，Q，連接，過點P作于點G．①當(dāng)時，求的長；②當(dāng)點G與點Q不重合時，是否存在這樣的t，使得的面積為1？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，頂點M的坐標(biāo)是(2)①1；②存在，或【分析】（1）把代入拋物線的解析式即可求出c，把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點式即可求出頂點坐標(biāo)；（2）①先判斷當(dāng)時，，的坐標(biāo)分別是，，再求出，時點Q的縱坐標(biāo)與點P的縱坐標(biāo)，進而求解；②先求出，易得P，Q的坐標(biāo)分別是，，然后分點G在點Q的上方與點G在點Q的下方兩種情況，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為，∴，

∴，∴頂點M的坐標(biāo)是．（2）①∵A在x軸上，B的坐標(biāo)為，∴點A的坐標(biāo)是．當(dāng)時，，的坐標(biāo)分別是，．當(dāng)時，，即點Q的縱坐標(biāo)是2，當(dāng)時，，即點P的縱坐標(biāo)是1．∵，∴點G的縱坐標(biāo)是1，

∴．

②存在．理由如下：∵的面積為1，，∴．根據(jù)題意，得P，Q的坐標(biāo)分別是，．如圖1，當(dāng)點G在點Q的上方時，，此時（在的范圍內(nèi)），

如圖2，當(dāng)點G在點Q的下方時，，此時（在的范圍內(nèi)）．

∴或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、矩形的性質(zhì)以及三角形的面積等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【題型五二次函數(shù)中的新定義型問題】例題：（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）定義：若n為常數(shù)，當(dāng)一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)和為n的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象關(guān)于n的“恒值點”，例如：點（1，2）是函數(shù)圖象關(guān)于3的“恒值點”．

(1)判斷點，，是否為函數(shù)圖象關(guān)于10的“恒值點”．(2)如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），現(xiàn)將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，所得的新圖象如圖2所示．①求翻折后A，B之間的拋物線解析式．（用含b的代數(shù)式表示，不必寫出x的取值范圍）②當(dāng)新圖象上恰好有3個關(guān)于c的“恒值點”時，請用含b的代數(shù)式表示c．【答案】(1)是函數(shù)圖象關(guān)于10的“恒值點”．(2)①；②或【分析】（1）由，在函數(shù)圖象上，不在函數(shù)圖象上，而，，可得是函數(shù)圖象關(guān)于10的“恒值點”．（2）①由拋物線，再根據(jù)關(guān)于x軸對稱的特點可得答案；②新圖象分兩部分，如圖，當(dāng)新圖象上恰好有3個關(guān)于c的“恒值點”時，，，整理得：或，而與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，求解，當(dāng)過點時，滿足條件；，當(dāng)與只有1個交點時，滿足條件；即有兩個相等的實數(shù)根，從而可得答案．【詳解】（1）解：∵，在函數(shù)圖象上，不在函數(shù)圖象上，而，，∴是函數(shù)圖象關(guān)于10的“恒值點”．（2）①∵拋物線，∴翻折后的拋物線的解析式為，∴翻折后的解析式為：，②新圖象分兩部分，如圖，當(dāng)新圖象上恰好有3個關(guān)于c的“恒值點”時，

∴，，∴整理得：或，而與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，令，解得：，∴，當(dāng)過點時，滿足條件；∴，當(dāng)與只有1個交點時，滿足條件；∴即有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得：；【點睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與某函數(shù)圖象交點記為點P，作該函數(shù)圖象中，點P及點P右側(cè)部分關(guān)于直線的軸對稱圖形，與原函數(shù)圖象上的點P及點P右側(cè)部分共同構(gòu)成一個新函數(shù)的圖象，稱這個新函數(shù)為原函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”．例如：圖1是函數(shù)的圖象，則它關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象如圖2所示，可以得出它的“迭代函數(shù)”的解析式為．

(1)寫出函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的解析式為_________．(2)若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”圖象經(jīng)過，則_________．(3)以如正方形的頂點分別為：，其中．①若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形的邊有3個公共點，則______；②若，函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有4個公共點，則n的取值范圍為______．【答案】(1)(2)或．(3)①或，②或或．【分析】（1）根據(jù)“迭代函數(shù)”的定義可知“迭代函數(shù)”的圖象是關(guān)于的對稱，故求出圖象上任意兩點坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”是關(guān)于對稱，求出對稱點坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求出“迭代函數(shù)”的解析式即可；（2）先求出原拋物線當(dāng)時兩點坐標(biāo)，根據(jù)“迭代函數(shù)”的對稱性可知與其中一點對稱，分兩種情況求解即可；（3）①先畫出函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象．根據(jù)三個公共點的不同情況分兩種情況求解即可；②根據(jù)正方形和“迭代函數(shù)”的圖象對稱性可知．四個公共點的分別是第一象限兩個、第三象限或第二象限兩個，分別結(jié)合圖象進行求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴則點、關(guān)于直線的對稱點為，，設(shè)直線關(guān)于直線的對稱直線為，則，解得，∴直線為，∴函數(shù)關(guān)于直線的”迭代函數(shù)”的解析式為；故答案為：（2），∴的頂點坐標(biāo)為當(dāng)時，解得：，，即與軸交點為、若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”圖象經(jīng)過，當(dāng)與是關(guān)于直線對稱時，，當(dāng)與是關(guān)于直線對稱時，，綜上所述：若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”圖象經(jīng)過，則或，故答案為：或．（3）①函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象如圖所示：

∴函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有3個公共點，有兩種情況：當(dāng)?shù)谝幌笙抻袃蓚€公共點時，第三個交點在第三象限，當(dāng)圖象上的點，，此時，當(dāng)?shù)谌笙抻袃蓚€公共點時，第三個公共點在第一象限，函數(shù)圖象正好經(jīng)過正方形的頂點，，，此時，綜上所述：若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形的邊有3個公共點，則或．②如圖：

若，函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有4個公共點，則第一象限一點一定有兩個交點它們是、；根據(jù)正方形和“迭代函數(shù)”的圖象對稱性，I．當(dāng)時，“迭代函數(shù)”的圖象與正方形最多有3個公共點，II．當(dāng)時，“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有4個公共點，如圖所示，III．當(dāng)，若第三象限由兩個公共點，則第二象限無公共點，此時點關(guān)于對稱點在正方形外，即：，解得：，此時點在函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象，即：，即：時，“迭代函數(shù)”的圖象與正方形在第三象限有兩個公共點，第二象限無公共點，Ⅳ．當(dāng)，若第二象限有兩個公共點，則第三象限無公共點，此時點關(guān)于對稱點在正方形內(nèi)，即：，解得：，此時點不在函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象，即：，∴．當(dāng)，若第二象限有兩個公共點，則第三象限無公共點，綜上所述：若，函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有4個公共點，n的取值范圍為或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；理解并運用新定義”迭代函數(shù)”，能夠?qū)D象的對稱轉(zhuǎn)化為點的對稱，借助圖象解題是關(guān)鍵．【題型六實際問題與二次函數(shù)的綜合問題】例題：（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）某商家計劃在抖音直播平臺上直播銷售當(dāng)?shù)靥禺a(chǎn)，將其中一種特產(chǎn)在網(wǎng)上進行試銷售．該商家在試銷售期間調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y（萬件）與銷售單價x（元/件）的數(shù)據(jù)如表：x（元/件）…10121416…y（萬件）…1412108…(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)判斷函數(shù)類型，并求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；(2)總成本P（萬元）與銷售量y（萬件）之間存在如圖所示的變化趨勢，當(dāng)時可看成一條線段，當(dāng)時可看成拋物線①銷售量不超過萬件時，利潤為萬元，求此時的售價為多少元/件？②當(dāng)售價為多少元時，利潤最大，最大值是多少萬元？（利潤＝銷售總額－總成本）【答案】(1)y關(guān)于x的函數(shù)表達式為；(2)①此時的售價為或元/件；②當(dāng)售價為元時，利潤最大，最大利潤為萬元．【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）①先求出P關(guān)于x的解析式，再根據(jù)利潤=銷售額-總成本列出方程，解方程即可，再根據(jù)的關(guān)系式求出x的取值范圍，從而得出結(jié)論；②設(shè)利潤為w萬元，分兩種情況求出w的最大值，然后比較即可．【詳解】（1）解：根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可知，y與x是一次函數(shù)類型．設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達式為,將，代入解析式得：，解得，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達式為；（2）解：①設(shè)時，，將，代入解析式得：，解得，,，整理得：，解得，，即，，∴此時的售價為或元/件；②設(shè)利潤為w萬元，當(dāng)時，即，則，，當(dāng)時，w有最大值，最大值為；當(dāng)時，把代入得，，解得，，，，當(dāng)時，w有最大值，最大值為，此時，綜上所述，當(dāng)售價為元時，利潤最大，最大利潤為萬元．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并明確二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．1．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）某龍舟隊進行500米直道訓(xùn)練，全程分為啟航，途中和沖刺三個階段．圖1，圖2分別表示啟航階段和途中階段龍舟劃行總路程與時間的近似函數(shù)圖象．啟航階段的函數(shù)表達式為；途中階段勻速劃行，函數(shù)圖象為線段；在沖刺階段，龍舟先加速后勻速劃行，加速期龍舟劃行總路程與時間的函數(shù)表達式為．

(1)求出啟航階段關(guān)于的函數(shù)表達式（寫出自變量的取值范圍），(2)已知途中階段龍舟速度為5m/s．①當(dāng)時，求出此時龍舟劃行的總路程，②在距離終點125米處設(shè)置計時點，龍舟到達時，視為達標(biāo)，請說明該龍舟隊能否達標(biāo)；(3)沖刺階段，加速期龍舟用時1s將速度從5m/s提高到5.25m/s，之后保持勻速劃行至終點.求該龍舟隊完成訓(xùn)練所需時間（精確到0.01s）．【答案】(1)(2)①龍舟劃行的總路程為；②該龍舟隊能達標(biāo)．(3)該龍舟隊完成訓(xùn)練所需時間為【分析】（1）把代入得出的值，則可得出答案；（2）①設(shè)，把代入，得出，求得，當(dāng)時，求出，則可得出答案；②把代入，求得，則可得出答案；（3）由（1）可知，把代入，求得．求出，則可得出答案．【詳解】（1）把代入得，解得，啟航階段總路程關(guān)于時間的函數(shù)表達式為；（2）①設(shè)，把代入，得，解得，．當(dāng)時，．當(dāng)時，龍舟劃行的總路程為．②，把代入，得．，該龍舟隊能達標(biāo)．（3）加速期：由（1）可知，把代入，得．函數(shù)表達式為，把代入，解得．，．答：該龍舟隊完成訓(xùn)練所需時間為．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法，根據(jù)條件準(zhǔn)確得到表達式是解題關(guān)鍵．2．（2023·浙江·一模）根據(jù)我市體育中考排球墊球考試要求，女生受試者需在3米×3米的正方形區(qū)域內(nèi)原地將球墊起，球在運動中的最高點離地面至少為2米．某女生在測試區(qū)域中心離地面1米的P處第一次將球墊偏，之后又先后在A，B兩處將球救起，球沿拋物線運動（假設(shè)拋物線在同一平面內(nèi)），最終球正好回到P處墊起．如圖所示，已知點A，B均位于邊界正上方，且離地面高度分別為米、米．現(xiàn)以圖示地面所在直線為x軸且P的坐標(biāo)為，建立平面直角坐標(biāo)系．

(1)請直接寫出A，B的坐標(biāo)．(2)排球第一次被墊起后，在區(qū)域內(nèi)側(cè)離邊界水平距離米處達到最高，則該女生此次墊球是否達標(biāo)，請說明理由．(3)第三次墊球后，球在運動中離地面的最大高度恰好達標(biāo)，求拋物線的解析式．【答案】(1)，(2)該女生此次墊球不達標(biāo)．理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)受試者需在3米米的正方形區(qū)域內(nèi)原地將球墊起，某女生在測試區(qū)域中心且A，B均位于邊界正上方，寫出坐標(biāo)即可；（2）求出拋物線的解析式，求出最高點縱坐標(biāo)，比較即可；（3）設(shè)出拋物線的頂點式，求出解析式即可．【詳解】（1）解：根據(jù)受試者需在3米米的正方形區(qū)域內(nèi)原地將球墊起，某女生在測試區(qū)域中心且A，B均位于邊界正上方，則點A坐標(biāo)為；點B坐標(biāo)為．（2）解：該女生此次墊球不達標(biāo)．排球第一次被墊起后，在區(qū)域內(nèi)側(cè)離邊界水平距離米處達到最高，則拋物線的對稱軸為直線，設(shè)拋物線解析式為，把，代入得，，解得，，拋物線解析式為，最高點離地面米，該女生此次墊球不達標(biāo)．（3）解：第三次墊球后，球在運動中離地面的最大高度恰好達標(biāo)，則頂點縱坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，把，代入得，，解得，，（舍去）拋物線解析式為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意求出二次函數(shù)解析式．3．（2023·浙江·一模）根據(jù)素材，解決問題．素材1：在忽略空氣阻力的條件下，籃球在空中的飛行距離可分解為水平方向距離和豎直方向距離，水平方向距離適用公式：，豎直方向距離適用公式：，其中為籃球的初始速度，為飛行時間，為初始速度方向與水平面夾角．素材2：籃球運動員小明在某次投籃訓(xùn)練時，籃球的出手點離地面距離為，投籃的初始速度方向與水平面夾角等于．（參考數(shù)據(jù)：）

(1)若小明投籃的初始速度為，解決下列問題．①當(dāng)時，則___________m，_____________，此時籃球距離地面___________．②記籃球的水平方向距離為，籃球與地面的距離為，求關(guān)于的函數(shù)表達式．(2)在又一次投籃中，當(dāng)籃球在空中飛行的水平方向距離為時，籃球到地面的距離恰為，試確定這次投籃的籃球的初始速度．【答案】(1)①3，2.75，4.45；②(2)【分析】（1）①根據(jù)水平方向距離適用公式和豎直方向距離適用公式代入求解即可；②根據(jù)和求解即可；（2）將，代入求出，然后代入求解即可．【詳解】（1）①∵，小明投籃的初始速度為，∴，∴∴此時籃球距離地面，故答案為：3，2.75，2.75；②∵∴∴；（2）當(dāng)時，∴∴解得∴將，代入得，∴解得．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解直角三角形的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確分析題目中的等量關(guān)系．4．（2023·浙江衢州·三模）小王計劃建造一個150平方米的矩形大概種植各類水果，整個過程中有以下幾個需要解決的重要問題

(1)【種植計劃】小王在調(diào)查某類水果時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每平方米種植4株時，平均產(chǎn)量為2kg；以同樣的載培條件，每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減小0.25kg．那么，每平方米計劃種植多少株時，能獲得最大的產(chǎn)量？最大產(chǎn)量是多少？請自行設(shè)函數(shù)變量，解決問題．(2)【場地規(guī)劃】小王挑選了房屋側(cè)面的空地作為大棚場地．用來側(cè)面加固的材料一共可以圖40米，為了節(jié)約材料，小王打算讓大棚其中一面靠房屋外墻，如圖1所示、已知外墻長為12米，則與墻垂直一面的長度為多少？(3)【頂棚設(shè)計】在確定矩形場地規(guī)劃的情況下，如圖2是大腰頂部建好后的側(cè)面圖，相關(guān)數(shù)據(jù)如圖，頂棚曲線滿足拋物線形狀，小王需要給內(nèi)部兩側(cè)距離中心線2米的點A，點B處安裝日燃燈，試建立合適的坐標(biāo)系，計算日照燈的安裝高度．【答案】(1)每平方米計劃種植6株時，能獲得最大產(chǎn)量，最大產(chǎn)量為kg(2)米(3)米【分析】（1）設(shè)每平方米種植增加x株，總產(chǎn)量為y，根據(jù)題意可以得到，將二次函數(shù)的解析式化解為頂點式即可得到答案；（2）根據(jù)矩形的面積即可求出垂直墻面一邊的長度；（3）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，先根據(jù)圖2得數(shù)據(jù)求出解析式，再將代入即可求得答案．【詳解】（1）解：設(shè)每平方米種植增加x株，總產(chǎn)量為ykg，根據(jù)題意得，∴，∴當(dāng)株時，有最大值，且kg，∴每平方米計劃種植6株時，能獲得最大產(chǎn)量，最大產(chǎn)量為kg，（2）解：設(shè)與墻垂直一面的長度為多少m米，根據(jù)題意得平方米，解方程得米，∵∴與墻垂直一面的長度為米；（3）解：直角坐標(biāo)系建立如下圖所示，

設(shè)二次函數(shù)的圖像解析式為：，由題意可得，拋物線過點，∵外墻長為12米，∴拋物線過點，∴，解方