基礎(chǔ)達標檢測一、選擇題1.在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40cm2，S△ABE:S△DBA＝1:5，則AE的長為()A．4cm B．5cmC．6cm D．7cm[答案]A[解析]∵∠BAD為直角，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA，∴eq\f(S△ABE,S△DBA)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,DB)))2＝eq\f(1,5)，∴AB:DB＝1:eq\r(5).設(shè)AB＝k，則DB＝eq\r(5)k，AD＝2k，∵S矩形＝40，∴k·2k＝40，∴k＝2eq\r(5)，∴BD＝10，則S△ABD＝eq\f(1,2)BD·AE＝eq\f(1,2)×10×AE＝20，∴AE＝4cm.2．自圓O外一點P引圓的切線，切點為A，M為PA的中點，過M引圓的割線交圓于B，C兩點，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°，則∠MPB的大小為()A．10°B．20°C．30°D．40°[答案]B[解析]因為PA與圓相切于點A，所以AM2＝MB·MC.而M為PA的中點，所以PM＝MA，則PM2＝MB·MC，∴eq\f(PM,MC)＝eq\f(MB,PM).又∠BMP＝∠PMC，所以ΔBMP∽△PMC，所以∠MPB＝∠MCP，在△PMC中，由∠CMP＋∠MPC＋∠MCP＝180°，即∠CMP＋∠BPC＋2∠MPB＝180°，所以100°＋40°＋2∠MPB＝180°，從而∠MPB＝20°.二、填空題3．如圖所示，過⊙O外一點P作一條直線與⊙O交于A，B兩點．已知PA＝2，點P到⊙O的切線長PT＝4，則弦AB的長為_______．[答案]6[解析]根據(jù)切線長定理：PT2＝PA·PB，PB＝eq\f(PT2,PA)＝eq\f(16,2)＝8.所以AB＝PB－PA＝8－2＝6.4．(2013·北京高考)如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D，若PA＝3，PDDB＝916，則PD＝________，AB＝________.[答案]eq\f(9,5)，4[解析]由于PDDB＝916，設(shè)PD＝9a，則DB＝16a，根據(jù)切割線定理有PA2＝PD·PB有a＝eq\f(1,5)，所以PD＝eq\f(9,5)，在直角△PBA中，AB2＝PB2－AP2＝16，所以AB＝4.5．(2013·湖南高考)如圖，在半徑為eq\r(7)的⊙O中，弦AB、CD相交于點P，PA＝PB＝2，PD＝1，則圓心O到弦CD的距離為________．[答案]eq\f(\r(3),2)[解析]由相交弦定理知，PA·PB＝PD·PC，又PA＝PB＝2，PD＝1，得PC＝4，故CD＝5，∴d＝eq\r(\r(7)2－\f(5,2)2)＝eq\f(\r(3),2).6．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD與AC相交于點O，過點O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，則EF＝________.[答案]15[解析]∵AD∥BC，∴eq\f(OB,OD)＝eq\f(BC,AD)＝eq\f(20,12)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(OB,BD)＝eq\f(5,8)，∵OE∥AD，∴eq\f(OE,AD)＝eq\f(OB,BD)＝eq\f(5,8)，∴OE＝eq\f(5,8)AD＝eq\f(5,8)×12＝eq\f(15,2)，同理可求得OF＝eq\f(3,8)BC＝eq\f(3,8)×20＝eq\f(15,2)，∴EF＝OE＋OF＝15.三、解答題7．如圖所示，圓O的直徑AB＝6，C為圓周上一點，BC＝3，過C作圓的切線l，求點A到直線l的距離AD.[解析]∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，即△ABC為直角三角形．又AB＝6，BC＝3，∴sin∠CAB＝eq\f(1,2).∴∠CAB＝30°，∴AC＝3eq\r(3)，從而∠ABC＝60°，∴∠ACD＝∠CBA＝60°.∴AD＝AC·sin60°＝eq\f(9,2).8．(2013·江蘇高考)如圖，AB和BC分別與圓O相切于點D，C，AC經(jīng)過圓心O，且BC＝2OC.求證：AC＝2AD.[解析]連接OD，因為AB和BC分別與圓O相切于點D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因為∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以eq\f(BC,OD)＝eq\f(AC,AD).又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.能力強化訓練一、選擇題1．如圖，AB是兩圓的交點，AC是小圓的直徑，D和E分別是CA和CB的延長線與大圓的交點，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，則DE＝()A．6eq\r(3) B．6C．8 D．6eq\r(2)[答案]A[解析]設(shè)CB＝AD＝x，則由割線定理，得CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化簡得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12，因為CA為直徑，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，則由圓的內(nèi)接四邊形對角互補，得∠D＝90°，則CD2＋DE2＝CE2(勾股定理)∴62＋DE2＝122，∴DE＝6eq\r(3).2．如圖所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，將此矩形折疊使點B落在AD邊的中點E處，則折痕FG的長為()A．13 B.eq\f(63,5)C.eq\f(65,6) D.eq\f(63,6)[答案]C[解析]過A作AH∥FG交DG于H，則四邊形AFGH為平行四邊形．∴AH＝FG.∵折疊后B點與E點重合，折痕為FG，∴B與E關(guān)于FG對稱．∴BE⊥FG，∴BE⊥AH.∴∠ABE＝∠DAH，∴Rt△ABE∽Rt△DAH.∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(AH,AD).∵AB＝12，AD＝10，AE＝eq\f(1,2)AD＝5，∴BE＝eq\r(122＋52)＝13，∴FG＝AH＝eq\f(BE·AD,AB)＝eq\f(65,6).二、填空題3．(文)(2013·天津高考)如圖，在圓內(nèi)接梯形ABCD中，AB∥DC，過點A作圓的切線與CB的延長線交于點E，若AB＝AD＝5，BE＝4，則弦BD的長為________．[答案]eq\f(15,2)[解析]因為在圓的內(nèi)接梯形ABCD中，AB∥DC，所以AD＝BC，∠BAD＋∠BCD＝180°，∠ABE＝∠BCD，所以∠BAD＋∠ABE＝180°，又因為AE為圓的切線，所以AE2＝BE·EC＝4×9＝36，AE＝6.在△ABE中，由余弦定理得cos∠ABE＝eq\f(AB2＋BE2－AE2,2AB·BE)＝eq\f(52＋42－62,2×5×4)＝eq\f(1,8)，cos∠BAD＝cos(180°－∠ABE)＝－cos∠ABE＝－eq\f(1,8)，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝eq\f(225,4)，所以BD＝eq\f(15,2).(理)(2013·天津高考)如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC.過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，則線段CF的長為________．[答案]eq\f(8,3)[解析]如圖所示：∵AE為圓的切線，∴AE2＝BE·ED，設(shè)BE＝x，∴36＝x(5＋x)，x2＋5x－36＝0，∴x＝4.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，又∠EAB＝∠ACB，∴∠EAB＝∠ABC，∴AE∥BC，又EB∥AC，∴四邊形BCAE為平行四邊形，∴BC＝AE＝6，AC＝BE＝4，∵△DFB∽△AFC，∴eq\f(BD,AC)＝eq\f(BF,FC)，∴eq\f(5,4)＝eq\f(6－FC,FC)，∴FC＝eq\f(8,3).4．(文)(2013·廣東高考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝3，BE⊥AC，垂足為E，則ED＝________.[答案]eq\f(\r(21),2)[解析]本題考查了由三角函數(shù)值求角、余弦定理等知識．∵AB＝eq\r(3)，BC＝3，∴∠BAC＝60°，從而知AE＝eq\f(\r(3),2)，又∠CAD＝30°，∴DE＝eq\r(AE2＋AD2－2AE·ADcos30°)＝eq\f(\r(21),2).(理)(2013·廣東高考)如圖，AB是圓O的直徑，點C在圓O上，延長BC到D使BC＝CD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，則BC＝________.[答案]2eq\r(3)[解析]∵AB為⊙O的直徑，C在⊙O上，∴AC⊥BD，又∵BC＝CD，∴AD＝AB＝6，又DE＝2，∴AE＝4，連OC，∵CE為⊙O的切線，∴CE⊥OC，又OC為△ABD的中位線，∴OC∥AD.∴CE⊥AD，∴CD2＝DE·DA＝12，∴CD＝2eq\r(3)，∴BC＝CD＝2eq\r(3).5．如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥DB，垂足為F，若AB＝6，AE＝1，則DF·DB＝________.[答案]5[解析]本題考查了相交弦定理三角形相似等知識．由已知AE·EB＝CE·DE＝DE2，∴DE2＝5×1＝5，因△DFE∽△DEB，所以eq\f(DF,DE)＝eq\f(DE,DB)，∴DE2＝DF·DB＝5.平面幾何在選修題中每年必考，難度不大，屬保分題型．三、解答題6．(2013·遼寧高考)如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.[證明](1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝eq\f(π,2)；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝eq\f(π,2)，從而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所BC＝BF.類似可證：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.7．(2013·新課標Ⅰ)如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于點D.(1)證明：DB＝DC；(2)設(shè)圓的半徑為1，BC＝eq\r(3)，延長CE交AB于點F，求△BCF外接圓的半徑．[解析](1)連接DE，交BC于點G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.又∵DB