③彈性勢(shì)能公式當(dāng)彈性勢(shì)能公式Ep＝eq\f(1,2)kx2做為題設(shè)條件時(shí)可直接使用?！静槁┭a(bǔ)缺】機(jī)車啟動(dòng)兩種方式的定量計(jì)算與定性分析1．兩種啟動(dòng)方式特點(diǎn)啟動(dòng)方式恒定功率啟動(dòng)恒定加速度啟動(dòng)過(guò)程分析階段一：v↑?F＝eq\f(P,v)↓?a＝eq\f(F－F阻,m)↓階段二：F＝F阻?a＝0?P＝F·vm＝F阻·vm階段一：a＝eq\f(F－F阻,m)不變?F不變?v↑?P＝F·v↑，直到P＝P額＝F·v′m階段二：v↑?F＝eq\f(P額,v)↓?a＝eq\f(F－F阻,m)↓階段三：F＝F阻?a＝0?v達(dá)最大值vm＝eq\f(P額,F阻)運(yùn)動(dòng)規(guī)律做加速度逐漸減小的變加速直線運(yùn)動(dòng)以vm做勻速直線運(yùn)動(dòng)以加速度a做勻加速直線運(yùn)動(dòng)做加速度逐漸減小的變加速直線運(yùn)動(dòng)以vm做勻速直線運(yùn)動(dòng)v－t圖象2.三個(gè)重要關(guān)系式(1)無(wú)論哪種啟動(dòng)過(guò)程，機(jī)車的最大速度都等于其勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，即vm＝eq\f(P,Fmin)＝eq\f(P,F阻)(式中Fmin為最小牽引力，其值等于阻力F阻)。(2)機(jī)車以恒定加速度啟動(dòng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，勻加速過(guò)程結(jié)束時(shí)，功率最大，速度不是最大，即v＝eq\f(P,F)＜vm＝eq\f(P,F阻)。(3)機(jī)車以恒定功率運(yùn)行時(shí)，牽引力做的功W＝Pt。由動(dòng)能定理：Pt－F阻x＝ΔEk。此式經(jīng)常用于求解機(jī)動(dòng)車以恒定功率啟動(dòng)過(guò)程的位移大小。3.題型分類(1)以恒定功率啟動(dòng)P一定，v變大，F(xiàn)變小a變小，當(dāng)a＝0時(shí)，v不變，機(jī)車勻速前進(jìn)，這時(shí)F＝Ff，而速度vmax＝eq\f(P恒,Ff)為機(jī)車運(yùn)行的最大速度，以后保持vmax勻速運(yùn)動(dòng)。其過(guò)程如下：所以機(jī)車達(dá)到最大速度時(shí)a＝0，F(xiàn)＝Ff，P＝Fvmax＝Ffvmax，這一啟動(dòng)過(guò)程的v－t關(guān)系如圖所示，其中vmax＝eq\f(P,Ff)P＝Fv中F為牽引力，速度達(dá)到最大時(shí)vmax＝eq\f(P,Ff).該式提供了一種求vmax及Ff的方法。（2）以恒定的加速度啟動(dòng)a一定，F(xiàn)一定，v增大，P增大，當(dāng)P增大到P額時(shí)，變?yōu)橐院愣üβ蕟?dòng)，F(xiàn)減小，a減小，v還要增大，直到a＝0，v最大，F(xiàn)＝Ff，vmax＝eq\f(P額,Ff)，此后勻速。其過(guò)程可表示如下：這一運(yùn)動(dòng)過(guò)程的v－t關(guān)系如圖所示，其中v0＝QUOTE，F(xiàn)＝Ff＋ma，vmax＝QUOTE。(3)機(jī)車以恒定加速度啟動(dòng)時(shí)的分段處理①上圖中，0～t0段P均勻增加，(P＝Fv，a不變，v均勻增加)，可按勻加速直線運(yùn)動(dòng)處理。②t0時(shí)刻P增至P額，v0＝QUOTE。t0～t1段P＝P額，功率不變，F(xiàn)f不變，但牽引力和a變小，此階段牽引力是變力，牽引力的功為W＝P(t1－t0)。③t1時(shí)刻后，P額＝Ff·vmax成立。（2）以恒定的加速度啟動(dòng)a一定，F(xiàn)一定，v增大，P增大，當(dāng)P增大到P額時(shí)，變?yōu)橐院愣üβ蕟?dòng)，F(xiàn)減小，a減小，v還要增大，直到a＝0，v最大，F(xiàn)＝Ff，vmax＝eq\f(P額,Ff)，此后勻速。其過(guò)程可表示如下：這一運(yùn)動(dòng)過(guò)程的v－t關(guān)系如圖所示，其中v0＝QUOTE，F(xiàn)＝Ff＋ma，vmax＝QUOTE。(3)機(jī)車以恒定加速度啟動(dòng)時(shí)的分段處理①上圖中，0～t0段P均勻增加，(P＝Fv，a不變，v均勻增加)，可按勻加速直線運(yùn)動(dòng)處理。②t0時(shí)刻P增至P額，v0＝QUOTE。t0～t1段P＝P額，功率不變，F(xiàn)f不變，但牽引力和a變小，此階段牽引力是變力，牽引力的功為W＝P(t1－t0)。③t1時(shí)刻后，P額＝Ff·vmax成立?！镜淅?】.汽車發(fā)動(dòng)機(jī)額定功率為60kW，汽車質(zhì)量為5.0×103kg，汽車在水平路面行駛時(shí)，受到的阻力大小是車重的0.1倍，試求：（1）汽車保持額定功率從靜止出發(fā)后能達(dá)到的最大速度是多少？（2）若汽車從靜止開(kāi)始，以0.5m/s2的加速度勻加速運(yùn)動(dòng)，則這一加速度能維持多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】（1）12m/s（2）16s（2）要維持汽車加速度不變，就要維持其牽引力不變，汽車功率將隨v增大而增大，當(dāng)P達(dá)到額定功率P額后，不能再增加，即汽車就不可能再保持勻加速運(yùn)動(dòng)了.具體變化過(guò)程可用如下示意圖表示：所以，汽車達(dá)到最大速度之前已經(jīng)歷了兩個(gè)過(guò)程：勻加速和變加速，勻加速過(guò)程能維持到汽車功率增加到P額的時(shí)刻，設(shè)勻加速能達(dá)到最大速度為v，則此時(shí)【典例2】.質(zhì)量為m＝4.0×103kg的汽車，發(fā)動(dòng)機(jī)的額定功率為P＝40kW，汽車從靜止開(kāi)始以a＝0.5m/s2的加速度行駛，所受阻力F阻＝2.0×103N，則汽車勻加速行駛的最長(zhǎng)時(shí)間為多少？汽車可能達(dá)到的最大速度為多少？【思路點(diǎn)撥】汽車從靜止開(kāi)始的加速運(yùn)動(dòng)可以分為兩個(gè)階段。第一階段中，汽車從靜止開(kāi)始，以恒定加速度a作勻加速直線運(yùn)動(dòng)。在這一個(gè)階段中，汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的牽引力為恒力，即F＝ma＋F阻，這里F阻為運(yùn)動(dòng)中受到的大小恒定的阻力。由于發(fā)動(dòng)機(jī)功率P＝Fv＝(ma＋F阻)v，汽車的速度從零逐漸增大，所以發(fā)動(dòng)機(jī)的功率是從零逐漸增大到額定功率。第二階段中，由于發(fā)動(dòng)機(jī)的功率已經(jīng)達(dá)到最大值，隨著運(yùn)動(dòng)速度不斷增大，牽引力逐漸變小，汽車的加速度也隨之變小。這一階段中汽車加速度逐漸減小而速度仍不斷增大。當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)的牽引力等于阻力時(shí)，汽車有最大速度。【答案】20s20m/s動(dòng)能定理的理解與應(yīng)用一、動(dòng)能定理的理解與基本應(yīng)用1．動(dòng)能定理(1)內(nèi)容：在一個(gè)過(guò)程中合外力對(duì)物體所做的功，等于物體在這個(gè)過(guò)程中動(dòng)能的變化。(2)表達(dá)式：W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)。(3)動(dòng)能定理的特點(diǎn)2．從兩個(gè)方面理解動(dòng)能定理(1)動(dòng)能定理公式中體現(xiàn)的三個(gè)關(guān)系：(2)動(dòng)能定理敘述中所說(shuō)的“外力”，即可以是重力、彈力、摩擦力，也可以是電場(chǎng)力、磁場(chǎng)力或其他力．3．應(yīng)用動(dòng)能定理的注意事項(xiàng)(1)動(dòng)能定理中的位移和速度必須是相對(duì)于同一個(gè)參考系的，一般以地面或相對(duì)地面靜止的物體為參考系．(2)應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，必須明確各力做功的正、負(fù)。合力對(duì)物體做正功，物體的動(dòng)能增加；合力對(duì)物體做負(fù)功，物體的動(dòng)能減少；合力對(duì)物體不做功，物體的動(dòng)能不變(3)應(yīng)用動(dòng)能定理解題，關(guān)鍵是對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行準(zhǔn)確的受力分析及運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析，并畫(huà)出物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的草圖，借助草圖理解物理過(guò)程和各量關(guān)系．4.用好動(dòng)能定理的“5個(gè)”突破突破①——研究對(duì)象的選取動(dòng)能定理適用于單個(gè)物體，當(dāng)題目中出現(xiàn)多個(gè)物體時(shí)可分別將單個(gè)物體取為研究對(duì)象，應(yīng)用動(dòng)能定理。突破②——研究過(guò)程的選取應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，選取不同的研究過(guò)程列出的方程是不相同的。因?yàn)閯?dòng)能定理是個(gè)過(guò)程式，選取合適的過(guò)程往往可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算。突破③——受力分析運(yùn)用動(dòng)能定理時(shí)，必須分析清楚物體在過(guò)程中的全部受力情況，找出哪些力不做功，哪些力做功，做多少功，從而確定出外力的總功，這是解題的關(guān)鍵。突破④——位移的計(jì)算應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，要注意有的力做功與路程無(wú)關(guān)，只與位移有關(guān)，有的力做功卻與路程有關(guān)。突破⑤——初、末狀態(tài)的確定動(dòng)能定理的計(jì)算式為標(biāo)量式，v為相對(duì)同一參考系的速度，所以確定初、末狀態(tài)動(dòng)能時(shí)，必須相對(duì)于同一參考系而言。二、應(yīng)用動(dòng)能定理求變力做功1.變力做功變力對(duì)物體所做的功一般用動(dòng)能定理計(jì)算，應(yīng)用時(shí)要清楚整個(gè)過(guò)程中動(dòng)能的變化量及其他力做的功。注意：（1）變力是指力的大小或方向發(fā)生變化的力，曲線運(yùn)動(dòng)中的力不一定是變力，直線運(yùn)動(dòng)中的力也未必是恒力。（2）汽車以恒定功率啟動(dòng)的過(guò)程中牽引力是變力，牽引力所做的功可以根據(jù)公式W＝Pt求解。2.應(yīng)用動(dòng)能定理求變力做功的方法①分析物體的受力情況，明確做功過(guò)程中的各個(gè)力是恒力還是變力，并求出各恒力所做的功。②分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，確定物體在初、末狀態(tài)的動(dòng)能。③利用動(dòng)能定理列方程求解。三、利用動(dòng)能定理解決多過(guò)程問(wèn)題物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中若包含幾個(gè)不同的過(guò)程，應(yīng)優(yōu)先考慮對(duì)全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，這樣可以避開(kāi)每個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的具體細(xì)節(jié)，因此比分段運(yùn)用動(dòng)能定理求解簡(jiǎn)單．由于全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理解題時(shí)不必考慮中間過(guò)程的細(xì)節(jié)，只需考慮全過(guò)程中合力做功的情況，以及初、末狀態(tài)的動(dòng)能，所以對(duì)于多過(guò)程、往復(fù)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，對(duì)全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理具有過(guò)程簡(jiǎn)明、方法巧妙、運(yùn)算量小等優(yōu)點(diǎn)。在以下幾種情況下優(yōu)先考慮應(yīng)用動(dòng)能定理(1)不涉及加速度、時(shí)間的問(wèn)題；(2)有多個(gè)物理過(guò)程且不需要研究整個(gè)過(guò)程中的中間狀態(tài)的問(wèn)題；(3)變力做功的問(wèn)題；(4)含有F、l、m、v、W、Ek等物理量的力學(xué)問(wèn)題【典例3】如圖所示，質(zhì)量m＝6.0kg的滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，在F＝60N的水平拉力作用下從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，一段時(shí)間后撤去拉力F，當(dāng)滑塊由平臺(tái)邊緣B點(diǎn)飛出后，恰能從水平地面上的C點(diǎn)沿切線方向落入豎直圓弧軌道CDE，并從軌道邊緣E點(diǎn)豎直向上飛出，經(jīng)過(guò)0.4s后落回E點(diǎn)。已知A、B間的距離L＝2.3m，滑塊與平臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5，平臺(tái)離地面高度h＝0.8m，B、C兩點(diǎn)間水平距離x＝1.2m，圓弧軌道半徑R＝1.0m。重力加速度g取10m/s2，不計(jì)空氣阻力。求：(1)滑塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大??；(2)滑塊在平臺(tái)上運(yùn)動(dòng)時(shí)受水平拉力F作用的時(shí)間；(3)滑塊沿圓弧軌道由C到E過(guò)程克服摩擦做的功。解題指導(dǎo)：通過(guò)“三遍”讀題，完成“拆分”過(guò)程。(1)A→B過(guò)程中，有F作用時(shí)勻加速直線運(yùn)動(dòng)。(第1個(gè)小題)(2)A→B過(guò)程中，無(wú)F作用時(shí)勻減速直線運(yùn)動(dòng)。(第2個(gè)小題)(3)B→C過(guò)程中，平拋運(yùn)動(dòng)。(第3個(gè)小題)(4)C→E過(guò)程中，有摩擦力存在的圓周運(yùn)動(dòng)。(第4個(gè)小題)(5)從E點(diǎn)拋出到落回E點(diǎn)過(guò)程中，豎直上拋運(yùn)動(dòng)。(第5個(gè)小題)【答案】(1)3m/s(2)0.8s(3)27J(2)滑塊由A至B過(guò)程中，F(xiàn)作用時(shí)間內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)(第1個(gè)小題)F－μmg＝ma1v1＝a1t1x1＝eq\f(1,2)a1teq\o\al(2,1)撤去F后滑塊做勻減速直線運(yùn)動(dòng)(第2個(gè)小題)a2＝μgvB＝v1－a2t2x2＝vBt2＋eq\f(1,2)a2teq\o\al(2,2)L＝x1＋x2聯(lián)立可得t1＝0.8s(3)由B至C過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理(第3個(gè)小題)mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)得：vC＝5m/s所以cosα＝eq\f(vB,vC)＝0.6滑塊從E點(diǎn)上拋至落回的時(shí)間用t0表示，(第5個(gè)小題)則vE＝geq\f(t0,2)＝2m/s滑塊沿圓弧軌道由C到E過(guò)程，(第4個(gè)小題)設(shè)克服摩擦力做功為Wf，由動(dòng)能定理－mgR·cosα－Wf＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,E)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)可得：Wf＝27J【典例4】(2016全國(guó)卷Ⅰ，25)如圖，一輕彈簧原長(zhǎng)為2R，其一端固定在傾角為37°的固定直軌道AC的底端A處，另一端位于直軌道上B處，彈簧處于自然狀態(tài)，直軌道與一半徑為eq\f(5,6)R的光滑圓弧軌道相切于C點(diǎn)，AC＝7R，A、B、C、D均在同一豎直平面內(nèi)。質(zhì)量為m的小物塊P自C點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，最低到達(dá)E點(diǎn)(未畫(huà)出)，隨后P沿軌道被彈回，最高到達(dá)F點(diǎn)，AF＝4R，已知P與直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝eq\f(1,4)，重力加速度大小為g。(取sin37°＝eq\f(3,5)，cos37°＝eq\f(4,5))(1)求P第一次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度的大??；(2)求P運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能；(3)改變物塊P的質(zhì)量，將P推至E點(diǎn)，從靜止開(kāi)始釋放。已知P自圓弧軌道的最高點(diǎn)D處水平飛出后，恰好通過(guò)G點(diǎn)。G點(diǎn)在C點(diǎn)左下方，與C點(diǎn)水平相距eq\f(7,2)R、豎直相距R，求P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度的大小和改變后P的質(zhì)量。【答案】(1)2eq\r(gR)(2)eq\f(12,5)mgR(3)eq\f(1,3)m【解析】解析(1)由題意可知：lBC＝7R－2R＝5R①設(shè)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為vB，由動(dòng)能定理得mglBCsinθ－μmglBCcosθ＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)②式中θ＝37°，聯(lián)立①②式并由題給條件得vB＝2eq\r(gR)③(3)設(shè)改變后P的質(zhì)量為m1，D點(diǎn)與G點(diǎn)的水平距離為x1和豎直距離為y1，θ＝37°。由幾何關(guān)系(如圖所示)得：x1＝eq\f(7,2)R－eq\f(5,6)Rsinθ＝3R⑨y1＝R＋eq\f(5,6)R＋eq\f(5,6)Rcosθ＝eq\f(5,2)R⑩設(shè)P在D點(diǎn)的速度為vD，由D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到G點(diǎn)的時(shí)間為t。由平拋運(yùn)動(dòng)公式得：y1＝eq\f(1,2)gt2?x1＝vDt?聯(lián)立⑨⑩??得vD＝eq\f(3,5)eq\r(5gR)?設(shè)P在C點(diǎn)速度的大小為vC，在P由C運(yùn)動(dòng)到D的過(guò)程中機(jī)械能守恒，有eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,C)＝eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,D)＋m1g(eq\f(5,6)R＋eq\f(5,6)Rcosθ)?P由E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得Ep－m1g(x＋5R)sinθ－μm1g(x＋5R)cosθ＝eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,C)?聯(lián)立⑦⑧???得m1＝eq\f(1,3)m機(jī)械能守恒定律的理解與應(yīng)用一機(jī)械能守恒的判斷1．對(duì)機(jī)械能守恒條件的理解(1)只受重力作用，例如不考慮空氣阻力的各種拋體運(yùn)動(dòng)，物體的機(jī)械能守恒。(2)除重力外，物體還受其他力，但其他力不做功或做功代數(shù)和為零。(3)除重力外，只有系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功，并且彈力做的功等于彈性勢(shì)能變化量的負(fù)值，那么系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，注意并非物體的機(jī)械能守恒，如與彈簧相連的小球下擺的過(guò)程機(jī)械能減少。二單個(gè)物體的機(jī)械能守恒1.機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式2.機(jī)械能守恒定律解題的基本思路①選取研究對(duì)象——物體系或物體．②根據(jù)研究對(duì)象所經(jīng)歷的物理過(guò)程，進(jìn)行受力、做功分析，判斷機(jī)械能是否守恒．③恰當(dāng)?shù)剡x取參考平面，確定研究對(duì)象初末態(tài)時(shí)的機(jī)械能．④靈活選取機(jī)械能守恒的表達(dá)式列機(jī)械能守恒定律方程．⑤解方程，統(tǒng)一單位，進(jìn)行運(yùn)算，求出結(jié)果，進(jìn)行檢驗(yàn)．三系統(tǒng)機(jī)械能守恒由兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體所構(gòu)成的系統(tǒng)，其機(jī)械能是否守恒，就看除了重力、彈力之外，系統(tǒng)內(nèi)的各個(gè)物體所受到的各個(gè)力做功之和是否為零，為零，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒；做正功，系統(tǒng)的機(jī)械能就增加，做做多少正功，系統(tǒng)的機(jī)械能就增加多少；做負(fù)功，系統(tǒng)的機(jī)械能就減少，做多少負(fù)功，系統(tǒng)的機(jī)械能就減少多少。系統(tǒng)間的相互作用力分為三類：（1）剛體產(chǎn)生的彈力：比如輕繩的彈力，斜面的彈力，輕桿產(chǎn)生的彈力等（2）彈簧產(chǎn)生的彈力：系統(tǒng)中包括有彈簧，彈簧的彈力在整個(gè)過(guò)程中做功，彈性勢(shì)能參與機(jī)械能的轉(zhuǎn)換。（3）其它力做功：比如炸藥爆炸產(chǎn)生的沖擊力，摩擦力對(duì)系統(tǒng)對(duì)功等。在前兩種情況中，輕繩的拉力，斜面的彈力，輕桿產(chǎn)生的彈力做功，使機(jī)械能在相互作用的兩物體間進(jìn)行等量的轉(zhuǎn)移，系統(tǒng)的機(jī)械能還是守恒的。雖然彈簧的彈力也做功，但包括彈性勢(shì)能在內(nèi)的機(jī)械能也守恒。但在第三種情況下，由于其它形式的能參與了機(jī)械能的轉(zhuǎn)換，系統(tǒng)的機(jī)械能就不再守恒了?！镜淅?】.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ·21)如圖，滑塊a、b的質(zhì)量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通過(guò)鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，不計(jì)摩擦，a、b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g。則()A．a(chǎn)落地前，輕桿對(duì)b一直做正功B．a(chǎn)落地時(shí)速度大小為eq\r(2gh)C．a(chǎn)下落過(guò)程中，其加速度大小始終不大于gD．a(chǎn)落地前，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b對(duì)地面的壓力大小為mg【答案】BD【典例6】.如圖所示，固定在豎直面內(nèi)的光滑圓環(huán)半徑為R，圓環(huán)上套有質(zhì)量分別為m和2m的小球A、B(均可看成質(zhì)點(diǎn))，且小球A、B用一長(zhǎng)為2R的輕質(zhì)細(xì)桿相連，在小球B從最高點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿圓環(huán)下滑至最低點(diǎn)的過(guò)程中(已知重力加速度為g)，下列說(shuō)法正確的是()A．A球增加的機(jī)械能等于B球減少的機(jī)械能B．A球增加的重力勢(shì)能等于B球減少的重力勢(shì)能C．A球的最大速度為eq\r(\f(2gR,3))D．細(xì)桿對(duì)A球做的功為eq\f(8,3)mgR【答案】AD【典例7】．(多選)如圖所示，固定在地面的斜面體上開(kāi)有凹槽，槽內(nèi)緊挨放置六個(gè)半徑均為r的相同小球，各球編號(hào)如圖。斜面與水平軌道OA平滑連接，OA長(zhǎng)度為6r?，F(xiàn)將六個(gè)小球由靜止同時(shí)釋放，小球離開(kāi)A點(diǎn)后均做平拋運(yùn)動(dòng)，不計(jì)一切摩擦。則在各小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是()A．球1的機(jī)械能守恒B．球6在OA段機(jī)械能增大C．球6的水平射程最小D．六個(gè)球落地點(diǎn)各不相同【答案】BC功能關(guān)系的理解與應(yīng)用（幾種常見(jiàn)題型）一、與彈簧相關(guān)的功能關(guān)系問(wèn)題【典例8】(2016·全國(guó)甲卷·25)輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為l.現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接.AB是長(zhǎng)度為5l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示.物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5.用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長(zhǎng)度l，然后放開(kāi)，P開(kāi)始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g.(1)若P的質(zhì)量為m，求P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小，以及它離開(kāi)圓軌道后落回到AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離；(2)若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質(zhì)量的取值范圍.【答案】(1)eq\r(6gl)2eq\r(2)l(2)eq\f(5,3)m≤M<eq\f(5,2)m【解析】(1)依題意，當(dāng)彈簧豎直放置，長(zhǎng)度被壓縮至l時(shí)，質(zhì)量為5m的物體的動(dòng)能為零，其重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能.由機(jī)械能守恒定律知，彈簧長(zhǎng)度為l時(shí)的彈性勢(shì)能為Ep＝5mgl ①設(shè)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為vB，由能量守恒定律得Ep＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＋μmg(5l－l) ②聯(lián)立①②式，并代入題給數(shù)據(jù)得vB＝eq\r(6gl) ③若P能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，其到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的向心力不能小于重力，即P此時(shí)的速度大小v應(yīng)滿足eq\f(mv2,l)－mg≥0 ④(2)設(shè)P的質(zhì)量為M，為使P能滑上圓軌道，它到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度不能小于零.由①②式可知5mgl>μMg·4l ⑩要使P仍能沿圓軌道滑回，P在圓軌道的上升高度不能超過(guò)半圓軌道的中點(diǎn)C.由機(jī)械能守恒定律有eq\f(1,2)MvB′2≤Mgl ?Ep＝eq\f(1,2)MvB′2＋μMg·4l ?聯(lián)立①⑩??式得eq\f(5,3)m≤M<