專題拋物線的常用二級結(jié)論拋物線定義：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M.（其中p的幾何意義：焦點F到準線l的距離）一、拋物線焦點弦的常用二級結(jié)論：1、設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，且α為AB的傾斜角。若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1·x2＝eq\f(p2,4)；y1·y2＝－p2；(隨焦點動而變).(2)焦半徑：①坐標式：|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)(隨焦點位置變動而改變)；②傾斜角式：(3)焦點弦：①坐標式：|AB|＝x1＋x2＋p；②傾斜角式：|AB|＝eq\f(2p,sin2α)；③通經(jīng)為|AB|min＝2p(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值(F是拋物線的焦點).(5)焦點弦端點與頂點構(gòu)成的三角形面積2、已知AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，且α為AB的傾斜角，過A、B兩點分別作準線l的垂線，垂足分別為C、D，設(shè)CD的中點為N，AB的中點為M，準線l與x軸交于H點，則(6)分別以AF、BF為直徑的圓均與y軸相切.(7)以AB為直徑的圓與準線相切于N，且MN的中點在拋物線上；(8)以A1B1為直徑的圓與AB相切于F，即NFAF且AN、BN分別平分.(9)過焦點弦的端點的切線互相垂直相交且交點在準線上，即AN、BN分別于拋物線相切于A、B點且AFBF。(10)A、O、D三點共線；B、O、C三點共線；軸平分；(11)；二、拋物線中的阿基米德三角形的常用二級結(jié)論：ABP1、阿基米德三角形定義：圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形。拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍的三角形，因為阿基米德最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的ABP2、阿基米德三角形主要性質(zhì)：性質(zhì)1：阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線上的軸。性質(zhì)2：若為拋物線上兩點，過兩點作拋物線的切線交于點，則點的坐標為(，)性質(zhì)3：若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內(nèi)定點，則另一頂點的軌跡為一條直線且其方程為。性質(zhì)4：拋物線以點為中點的弦平行于點的軌跡。性質(zhì)5：若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點。性質(zhì)6：(1)若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點Q的軌跡為準線；反之，若阿基米德三角形的頂點Q在準線上，則底邊過焦點．(2)若阿基米德三角形的底邊過焦點，則阿基米德三角形的底邊所對的角為直角，且阿基米德三角形面積的最小值為．性質(zhì)7：底邊長為的阿基米德三角形的面積的最大值為。性質(zhì)8：在阿基米德三角形中，。特別地，若阿基米德三角形的底邊AB過焦點F，則.性質(zhì)9：若阿基米德三角形的底邊AB過焦點F，則性質(zhì)10：的中點在拋物線上，且點處的切線與平行且。性質(zhì)11：弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的性質(zhì)12：如圖，連接，則的面積是面積的2倍．三、其他結(jié)論過拋物線的頂點O作兩條直線分別交拋物線于AB兩點，若，則直線AB過定點四、拋物線中阿基米德三角形的性質(zhì)及其證明：性質(zhì)1：阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線上的軸。證明：設(shè)為拋物線上兩點，為弦中點，則過的切線方程為，過的切線方程為：，聯(lián)立方程組得：解得兩切線交點(，)，進而可知軸.性質(zhì)2：若為拋物線上兩點，過兩點作拋物線的切線交于點，則點的坐標為(，)證明：略，證明見性質(zhì)1的推導(dǎo)過程性質(zhì)3：若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內(nèi)定點，則另一頂點的軌跡為一條直線且其方程為。證明：設(shè)，由性質(zhì)1，，所以有。由三點共線知即將代入得即為點的軌跡方程。性質(zhì)4：拋物線以點為中點的弦平行于點的軌跡?！咎崾尽坷脙墒较鄿p法易求得以C點為中點的弦的斜率為，因此該弦與Q點的軌跡即直線平行性質(zhì)5：若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點。證明：設(shè)方程為，且，弦過點，由性質(zhì)3可知點的軌跡方程為，該方程與表示同一條直線，對照可得，即弦過定點。性質(zhì)6：(1)若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點Q的軌跡為準線；反之，若阿基米德三角形的頂點Q在準線上，則底邊過焦點．(2)若阿基米德三角形的底邊過焦點，則阿基米德三角形的底邊所對的角為直角，且阿基米德三角形面積的最小值為．證明：由性質(zhì)2，若底邊過焦點，則，點的軌跡方程是，即為準線；易驗證，即，故阿基米德三角形為直角三角形，且為直角頂點。所以，而性質(zhì)7：底邊長為的阿基米德三角形的面積的最大值為。證明：，設(shè)到的距離為，由性質(zhì)1知設(shè)直線的方程為，則，所以。.性質(zhì)8：在阿基米德三角形中，。證明：如圖，作準線，準線，連接，則，顯然，所以，又因為，由三角形全等可得，所以同理可得所以特別地，若阿基米德三角形的底邊AB過焦點F，則.性質(zhì)9：若阿基米德三角形的底邊AB過焦點F，則證明：而性質(zhì)10：的中點在拋物線上，且點處的切線與平行且。證明：由性質(zhì)1知，可得點坐標為，此點顯然在拋物線上；過點的切線斜率為，結(jié)論得證。性質(zhì)11：弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的證明：略（拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍的三角形，因為阿基米德最早利用逼近的思想證明了，利用微積分思想證明即可）性質(zhì)12：如圖，連接，則的面積是面積的2倍．證明：如圖，這里出現(xiàn)了三個阿基米德三角形，即；應(yīng)用