第40講圓與圓的位置關(guān)系及圓的綜合性問(wèn)題（精講）題型目錄一覽①圓與圓的位置關(guān)系②圓的公共弦問(wèn)題③圓的公切線問(wèn)題④圓的綜合性問(wèn)題一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、兩圓位置關(guān)系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：設(shè)兩圓SKIPIF1<0的半徑分別是SKIPIF1<0，（不妨設(shè)SKIPIF1<0），且兩圓的圓心距為SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0兩圓相交；SKIPIF1<0兩圓外切；SKIPIF1<0兩圓相離；SKIPIF1<0兩圓內(nèi)切；SKIPIF1<0兩圓內(nèi)含（SKIPIF1<0時(shí)兩圓為同心圓）設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圓心距為SKIPIF1<0，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來(lái)表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0代數(shù)特征無(wú)實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無(wú)實(shí)數(shù)解公切線條數(shù)43210【常用結(jié)論】關(guān)于圓的切線的幾個(gè)重要結(jié)論（1）過(guò)圓SKIPIF1<0上一點(diǎn)SKIPIF1<0的圓的切線方程為SKIPIF1<0．（2）過(guò)圓SKIPIF1<0上一點(diǎn)SKIPIF1<0的圓的切線方程為SKIPIF1<0（3）過(guò)圓SKIPIF1<0上一點(diǎn)SKIPIF1<0的圓的切線方程為SKIPIF1<0（4）求過(guò)圓SKIPIF1<0外一點(diǎn)SKIPIF1<0的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)注意理解：①所求切線一定有兩條；②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對(duì)所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為SKIPIF1<0，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于SKIPIF1<0的方程，求出SKIPIF1<0值．若求出的SKIPIF1<0值有兩個(gè)，則說(shuō)明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的SKIPIF1<0值只有一個(gè)，則說(shuō)明斜率不存在的情形符合題意．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一圓與圓的位置關(guān)系策略方法幾何法判斷圓與圓的位置的步驟(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)．(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值．(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論．【典例1】已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0．試求SKIPIF1<0為何值時(shí)，兩圓SKIPIF1<0：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含．【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0【分析】根據(jù)兩圓方程可確定圓心和半徑，根據(jù)兩圓位置關(guān)系可得圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系，由此可構(gòu)造方程或不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）由圓SKIPIF1<0方程知：圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0；由圓SKIPIF1<0方程知：圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0；若兩圓內(nèi)切，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；若兩圓外切，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0若兩圓相切，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）若兩圓相交，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，兩圓相交.（3）若兩圓外離，則SKIPIF1<0，即

SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，兩圓外離.（4）若兩圓內(nèi)含，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，兩圓內(nèi)含.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023高三專題練習(xí)）兩圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【答案】B【分析】先求出兩圓的圓心和半徑,再根據(jù)圓心距與兩圓的半徑和及半徑差之間的大小關(guān)系,得出兩圓的位置關(guān)系即可.【詳解】解:由題知,SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,半徑為3,因?yàn)镾KIPIF1<0,即SKIPIF1<0,圓心為SKIPIF1<0,半徑為4,所以兩圓心之間的距離為SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0,所以兩圓相交.故選:B2．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．外切 C．外離 D．內(nèi)含【答案】B【分析】確定兩圓的圓心和半徑，由圓心間的距離與半徑的關(guān)系即可得解.【詳解】圓SKIPIF1<0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關(guān)系為外切，故選：B3．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，則實(shí)數(shù)a的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0或2 D．1或SKIPIF1<0【答案】C【分析】由圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值可得結(jié)論．【詳解】由題可知圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，因?yàn)閳ASKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故選：C．4．（廣西梧州市蒼梧中學(xué)2023屆高三5月份高考數(shù)學(xué)模擬試題）若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】求出兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)，兩個(gè)半徑，利用兩個(gè)圓關(guān)于直線的對(duì)稱知識(shí)，求出a的值，然后設(shè)出圓心P的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，圓心到點(diǎn)C的距離等于圓心到y(tǒng)軸的距離，列出方程求出圓心P的軌跡方程．【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，因?yàn)閳ASKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，所以SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0滿足直線SKIPIF1<0方程，解得SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的圓P與y軸相切，設(shè)圓心P的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，故選：C．5．（東北三省四城市聯(lián)考暨沈陽(yáng)市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則使得兩圓相交的一個(gè)充分不必要條件可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍，結(jié)合充分、必要性定義確定答案即可.【詳解】由SKIPIF1<0且半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且半徑SKIPIF1<0，結(jié)合a大于0，所以SKIPIF1<0時(shí)，兩圓相交，則SKIPIF1<0，由選項(xiàng)可得A選項(xiàng)為SKIPIF1<0的充要條件；B、D選項(xiàng)為SKIPIF1<0的必要不充分條件；C選項(xiàng)為SKIPIF1<0的充分不必要條件；故選：C6．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相外切，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】A【分析】由圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，再由兩圓外切可得SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0取得最大值，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同號(hào)，不妨取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后利用基本不等式求得SKIPIF1<0的最大值.【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，由圓C1與圓C2相外切，得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；要使SKIPIF1<0取得最大值，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同號(hào)，不妨取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由基本不等式，得SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，∴ab的最大值為2．故選：A7．（2023高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P，Q分別為圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0上一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．4 B．5 C．7 D．10【答案】A【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系求解.【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心坐標(biāo)為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0為1；圓SKIPIF1<0的圓心坐標(biāo)為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0為2；所以兩圓的圓心距SKIPIF1<0，兩圓外離，所以SKIPIF1<0，故選：A.8．（廣東省深圳市羅湖區(qū)部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)模擬數(shù)學(xué)試題）“SKIPIF1<0”是“圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0存在公切線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用內(nèi)含的定義以及充分而不必要條件的定義求解.【詳解】當(dāng)兩圓無(wú)公切線時(shí)，兩圓內(nèi)含，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，所以兩圓的圓心距為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以當(dāng)兩圓有公切線時(shí)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0能推出圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公切線，而圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公切線不能推出SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0存在公切線”的充分而不必要條件，故選：A.9．（黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月考前得分訓(xùn)練（三）數(shù)學(xué)試題）已知圓SKIPIF1<0和兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若圓C上至少存在一點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題意，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓O：SKIPIF1<0位置關(guān)系為相交，內(nèi)切或內(nèi)含，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】圓C：SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，∵圓C上至少存在一點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0，∴圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓O：SKIPIF1<0位置關(guān)系為相交，內(nèi)切或內(nèi)含，如圖所示，又圓O：SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：B．

10．（北京市通州區(qū)2023屆高三模擬考試數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)B，C滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A為線段SKIPIF1<0中點(diǎn)，P為圓SKIPIF1<0任意一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)題意得A為圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0任意一點(diǎn)，設(shè)圓SKIPIF1<0的圓心為M，從而得到SKIPIF1<0為圓O與圓M這兩圓上的點(diǎn)之間的距離，進(jìn)而即可求解．【詳解】由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且A為線段SKIPIF1<0中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，所以A為圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0任意一點(diǎn)，設(shè)圓SKIPIF1<0的圓心為M，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以圓O與圓M相離，所以SKIPIF1<0的幾何意義為圓O與圓M這兩圓上的點(diǎn)之間的距離，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：依題意得SKIPIF1<0的幾何意義為圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0這兩圓上的點(diǎn)之間的距離是解答此題的關(guān)鍵．二、多選題11．（湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期月考（三）數(shù)學(xué)試題）下列圓中與圓SKIPIF1<0相切的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】求出圓SKIPIF1<0的圓心及半徑，求出圓心距，即可得出答案.【詳解】解：圓SKIPIF1<0，化為SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，對(duì)于A，圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓心距為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以兩圓相交，故A不符題意；對(duì)于B，圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓心距為SKIPIF1<0，所以兩圓外切，故B符合題意；對(duì)于C，圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓心距為SKIPIF1<0，所有兩圓內(nèi)切，故C符合題意；對(duì)于D，圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓心距為SKIPIF1<0，所以兩圓外離，故D不符題意.故選：BC.12．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓C的半徑為18B．圓C截x軸所得的弦長(zhǎng)為SKIPIF1<0C．圓C與圓SKIPIF1<0相外切D．若圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線SKIPIF1<0的距離為1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是SKIPIF1<0【答案】BC【分析】先運(yùn)用配方法將一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可確定其圓心個(gè)半徑;根據(jù)點(diǎn)到弦的距離可求出弦長(zhǎng)；圓心距和半徑的關(guān)系可確定圓與圓的位置關(guān)系；圓心到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系可確定圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1【詳解】A：將一般式配方可得：SKIPIF1<0，A錯(cuò)；B：圓心到x軸的距離為2，弦長(zhǎng)為SKIPIF1<0，B對(duì)；C：由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圓C與圓SKIPIF1<0外切，C對(duì)；D：圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線SKIPIF1<0的距離為1，d表示圓心與直線的距離，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解之:SKIPIF1<0，D錯(cuò)；故選：BC.13．（廣東省江門市部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交B．若SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外離C．若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交，則SKIPIF1<0D．若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0【答案】AC【分析】根據(jù)直線與圓相交、圓與圓位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交，故A正確，B錯(cuò)誤；若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交，則圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故C正確；若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以相交弦長(zhǎng)SKIPIF1<0，故D錯(cuò)誤.故選：AC.14．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0和兩點(diǎn)SKIPIF1<0，若圓SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可能的取值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【分析】先求動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡，再利用圓與圓的位置關(guān)系可求SKIPIF1<0的取值范圍，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的軌跡為圓SKIPIF1<0（原點(diǎn)為圓心，半徑為SKIPIF1<0，不含SKIPIF1<0兩點(diǎn)），因?yàn)镾KIPIF1<0分別在第二象限和第四象限，而圓SKIPIF1<0在第一象限，又SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，故圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有公共點(diǎn)，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：CD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與圓中的隱圓問(wèn)題，大多需要考慮動(dòng)點(diǎn)的軌跡（常為圓），從而把動(dòng)點(diǎn)的存在性問(wèn)題歸結(jié)圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題.三、填空題15．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相內(nèi)切，則實(shí)數(shù)m的值為．【答案】0或2【分析】首先根據(jù)題中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓的圓心與半徑，再根據(jù)兩圓相內(nèi)切求出SKIPIF1<0的值為.【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，所以兩圓的圓心距SKIPIF1<0，又因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案為：0或2.16．（黑龍江省齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題）寫出一個(gè)與兩坐標(biāo)軸和圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0都相切的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（寫出其中一個(gè)即可）【分析】做出圖像，即可求解.【詳解】圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0，畫(huà)圖可知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都與坐標(biāo)軸和圓SKIPIF1<0相切．故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（寫出其中一個(gè)即可）17．（山東省棗莊市2023屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）滿足圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交的一個(gè)a值為．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一，只要在區(qū)間SKIPIF1<0即可）【分析】根據(jù)兩圓相交可求得圓心距大于半徑之差的絕對(duì)值，小于半徑之和，即可得SKIPIF1<0的范圍，從而可的答案.【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，因?yàn)閮蓤A相交，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以滿足圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交的一個(gè)a值可以為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.（答案不唯一，只要在區(qū)間SKIPIF1<0即可）18．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切，此時(shí)直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所截的弦長(zhǎng)為．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)兩圓外切，可得圓心距離為半徑之和，可得SKIPIF1<0，接著計(jì)算SKIPIF1<0到直線的距離，最后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：SKIPIF1<0，即圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，即圓心到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，故所截弦長(zhǎng)為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<019．（2023高三專題練習(xí)）若圓SKIPIF1<0上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q在圓SKIPIF1<0上，則r的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0【分析】求出圓SKIPIF1<0關(guān)于y軸的對(duì)稱圓SKIPIF1<0的方程，由題意知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有交點(diǎn)，由此可列出不等式，即可求得答案.【詳解】圓SKIPIF1<0關(guān)于y軸的對(duì)稱圓為圓SKIPIF1<0，其方程為SKIPIF1<0，根據(jù)題意，圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有交點(diǎn)，又圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的圓心距為SKIPIF1<0，要滿足題意，只需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<020．（重慶市2024屆高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，且圓SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相切，則圓SKIPIF1<0的圓心的軌跡方程為．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意可得：點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系列式求解即可.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為d，如圖，SKIPIF1<0只能在直線SKIPIF1<0的左側(cè)，則SKIPIF1<0，

因?yàn)閳ASKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為1，依題意可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)可得SKIPIF1<0，故圓SKIPIF1<0的圓心的軌跡方程為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.四、解答題21．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0、圓SKIPIF1<0外切，求圓心SKIPIF1<0的軌跡方程SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)圓C與圓A、圓B外切，得到SKIPIF1<0，再利用雙曲線的定義求解.【詳解】因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)SKIPIF1<0，圓C半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是雙曲線的一支，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以其軌跡方程為SKIPIF1<0.22．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切.(1)求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值；(2)若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于A，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，求弦SKIPIF1<0的長(zhǎng).【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）分別求出兩圓的半徑及圓心，由兩圓外切可得圓心距等于兩圓半徑之和，注意方程SKIPIF1<0表示圓時(shí)SKIPIF1<0的范圍；（2）求出圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離，再利用圓的弦長(zhǎng)公式即可得出答案.【詳解】（1）解：由圓SKIPIF1<0，得圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，由圓SKIPIF1<0，得圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，因?yàn)閳ASKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）解：圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.題型二圓的公共弦問(wèn)題策略方法兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得．【典例1】已知圓C的圓心為SKIPIF1<0，且與直線SKIPIF1<0相切．(1)求圓C的方程；(2)求圓C與圓SKIPIF1<0的公共弦的長(zhǎng)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由題意求得圓的半徑，即可求得答案；（2）將兩圓方程相減，求出兩圓的公共弦方程，根據(jù)弦長(zhǎng)、弦心距以及圓的半徑之間的關(guān)系即可求得答案.【詳解】（1）由題意得圓C的半徑為SKIPIF1<0，故圓C的方程為SKIPIF1<0；（2）圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圓心距為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即兩圓相交，將SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相減得SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，故兩圓的公共弦長(zhǎng)為SKIPIF1<0.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023高三專題練習(xí)）過(guò)圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交點(diǎn)的直線方程為（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線方程，化為一般式可得解.【詳解】聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交點(diǎn)為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，所以過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：C2．（天一大聯(lián)考三晉名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期頂尖計(jì)劃聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交于A，B兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先求得相交弦所在直線方程，然后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)的求法求得SKIPIF1<0.【詳解】將SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相減得直線SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：B3．（重慶市第八中學(xué)校2023屆高三下學(xué)期適應(yīng)性月考（八）數(shù)學(xué)試題）圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦恰為圓SKIPIF1<0的直徑，則圓SKIPIF1<0的面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】?jī)蓤A方程相減得公共弦所在直線方程，再由公共弦為直徑得圓心SKIPIF1<0在直線上，代入圓心坐標(biāo)可求半徑，進(jìn)而求出圓的面積.【詳解】?jī)蓤A方程相減得兩圓的公共弦所在直線方程為SKIPIF1<0，因?yàn)楣蚕覟閳ASKIPIF1<0的直徑，所以圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以圓SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.故選：D.4．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦所在直線恒過(guò)點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】?jī)蓤A方程相減可得公共弦所在直線方程，然后k取特值解方程組可得交點(diǎn).【詳解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩式相減得公共弦所在直線方程為：SKIPIF1<0，分別取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故選：A5．（2023高三專題練習(xí)）已知圓C過(guò)圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共點(diǎn)．若圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公共弦恰好是圓C的直徑，則圓C的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)題意求解圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公共弦方程，再計(jì)算圓SKIPIF1<0中的公共弦長(zhǎng)即可得圓C的直徑，進(jìn)而求得面積即可【詳解】由題，圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公共弦為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的兩式相減，化簡(jiǎn)可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，故公共弦長(zhǎng)為SKIPIF1<0，故圓C的半徑為SKIPIF1<0，故圓C的面積為SKIPIF1<0故選：B6．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0引圓SKIPIF1<0的兩條切線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為切點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的兩條切線，所以SKIPIF1<0，因此點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓上，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：SKIPIF1<0，縱坐標(biāo)為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此以SKIPIF1<0為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0，而圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即為直線SKIPIF1<0的方程，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由圓的切線性質(zhì)得到點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓上，運(yùn)用圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.7．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦所在直線恒過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】把兩圓的方程作差即可得出公共弦所在直線方程，再利用直線系方程求出x,y的值，即a,b的值，然后代入直線方程SKIPIF1<0，由重要不等式求SKIPIF1<0的取值范圍．【詳解】由圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，兩式相減，得圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦所在直線方程為：SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：C．二、多選題8．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則（

）A．兩圓的圓心的距離為25B．兩圓相交C．兩圓的公共弦所在直線方程為SKIPIF1<0D．兩圓的公共弦長(zhǎng)為SKIPIF1<0【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，求出兩圓的圓心，進(jìn)而求圓心距；B選項(xiàng)，利用圓心距與兩半徑之差和半徑之和比較，確定是否相交；C選項(xiàng)，兩圓相減即為公共弦所在直線方程；D選項(xiàng)，利用C選項(xiàng)的結(jié)果，利用點(diǎn)到直線距離公式求出圓心SKIPIF1<0SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離，進(jìn)而利用垂徑定理求出公共弦長(zhǎng).【詳解】圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0圓心SKIPIF1<0SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓心距SKIPIF1<0，A錯(cuò)誤；因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩圓相交，B正確；兩圓相減得：SKIPIF1<0，故兩圓的公共弦所在直線方程為SKIPIF1<0，C錯(cuò)誤；圓心SKIPIF1<0SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由垂徑定理得：兩圓的公共弦長(zhǎng)為SKIPIF1<0，D選項(xiàng)正確.故選：BD9．（2023高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0有兩條公切線B．直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0C．圓SKIPIF1<0上存在兩點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0D．圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)到直線SKIPIF1<0的最大距離為SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】A：判斷兩圓相交可得切線條數(shù)；B：兩圓相交，做差可得公共弦方程；C：判斷弦AB經(jīng)過(guò)圓心，則弦為最長(zhǎng)弦，不再存在比AB更長(zhǎng)的弦；D：求圓心到直線的距離加半徑即為到直線AB的最大距離.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交，所以有兩條公切線，故正確；對(duì)于B，將兩圓方程作差可得SKIPIF1<0，即得公共弦SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，故B正確；對(duì)于C，直線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的直徑，故圓SKIPIF1<0中不存在比SKIPIF1<0長(zhǎng)的弦，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓SKIPIF1<0的圓心坐標(biāo)為SKIPIF1<0，半徑為2，圓心到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)到直線SKIPIF1<0的最大距離為SKIPIF1<0，D正確.故選：ABD.10．（2023高三專題練習(xí)）圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0的交點(diǎn)為A，B，則（）A．公共弦AB所在直線的方程為SKIPIF1<0B．線段AB中垂線方程為SKIPIF1<0C．公共弦AB的長(zhǎng)為SKIPIF1<0D．P為圓SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】?jī)蓤A方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A的正誤，求出圓SKIPIF1<0的圓心坐標(biāo)后求出垂直平分線的方程后可判斷B的正誤，利用垂徑定理計(jì)算弦長(zhǎng)后可判斷C的正誤，求出SKIPIF1<0到直線的距離后可求動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值，從而可判斷D的正誤．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閳ASKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式作差可得公共弦AB所在直線的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，則線段AB中垂線的斜率為SKIPIF1<0，即線段AB中垂線方程為SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，圓心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，又圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，P為圓SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，圓心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，又圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，所以P到直線AB距離的最大值為SKIPIF1<0，故D正確．故選：ABD．11．（安徽省A10聯(lián)盟2023屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試題）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，則（

）A．若SKIPIF1<0的半徑為1，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交弦所在的直線為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0截SKIPIF1<0所得的最短弦長(zhǎng)為SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0【答案】AC【分析】直接求SKIPIF1<0的半徑即可判斷A；兩圓方程相減即可得相交弦所在直線方程，從而判斷B；易知直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)定點(diǎn)與圓心連線與SKIPIF1<0垂直時(shí)，可得弦長(zhǎng)最小值，從而判斷C；先根據(jù)SKIPIF1<0的最小值確定兩圓的位置關(guān)系并求出SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0的最大值，可判斷D.【詳解】由題意得，SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圓心為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的半徑為1，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故A正確；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩圓方程相減，得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交弦所在的直線為SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；易得直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，且點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)，則圓心SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0被SKIPIF