初中數(shù)學(xué)（北師大版）中考數(shù)學(xué)幾何模型【模型06】一線三等角模型主講人：王建林【模型介紹】

一線三等角模型：指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上，從而構(gòu)成的全等或相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角．不同的地方對此有不同的稱呼，如“K形圖”、“三垂直”、“內(nèi)弦圖”、“外弦圖”等，以下統(tǒng)稱為“一線三等角模型”．

一線三等角模型包含“全等型”和“相似型”兩種，初一初二階段主要研究前者，初三階段多研究后者．

兩者主要的區(qū)別是看相等的對應(yīng)角其所對的對應(yīng)邊是否相等．有對應(yīng)邊相等即為全等型，沒有則為相似型．全等型一線三等角一般多以等腰直角三角形為框架背景．【模型介紹】“全等型”一線三等角模型【類型一】同側(cè)“全等型”一線三等角【條件】∠1=∠2=∠3；PC=PD．【結(jié)論】△APD≌△BCP．【說明】一線三等角模型不是定理，在做解答題時(shí)不能直接使用結(jié)論，

一定要書寫完整的證明格式，切記！！【模型介紹】“全等型”一線三等角模型【類型二】異側(cè)“全等型”一線三等角【條件】∠1=∠2=∠3；PC=PD．【結(jié)論】△APD≌△BCP．【模型介紹】“相似型”一線三等角模型【類型三】同側(cè)“相似型”一線三等角【條件】∠1=∠2=∠3．【結(jié)論】△APD∽△BCP．【模型介紹】“相似型”一線三等角模型【類型四】異側(cè)“相似型”一線三等角【條件】∠1=∠2=∠3．【結(jié)論】△APD∽△BCP．【模型介紹】一線三等角模型【類型五】以等腰直角三角形為背景的“全等型”一線三等角【條件】等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，直線

MN

繞點(diǎn)

A旋轉(zhuǎn)．

BE⊥MN，CF⊥MN．求線段

EF、BE、CF的數(shù)量關(guān)系．EF=BE+CFCF=BE+EFBE=EF+CF外弦圖內(nèi)弦圖【模型介紹】一線三等角模型【類型六】“相似型”一線三等角【條件】P為線段

AB

的中點(diǎn)，∠1=∠2=∠3．【結(jié)論】△APD∽△PCD∽△BCP．

(中點(diǎn)相似型一線三等角)(等腰或等邊為背景的相似型)【典型例題】【例1】三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上，稱一線三等角模型．(1)如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線

m經(jīng)過點(diǎn)

A，BD⊥m，CE⊥m，

垂足分別為

D，E，求證：DE=BD+CE．(2)如圖2，將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線

m

上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中

α為任意銳角或鈍角．那么結(jié)論

DE=BD+CE是否仍成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．(3)如圖3，將(1)中的條件改為：AB＝AC，A，E，D三點(diǎn)都在直線

m上，且有

∠BDF=∠DEC=∠BAC=β，其中

β

為任意銳角．那么結(jié)論

DE=BD+CE是否仍成

立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．【例2】如圖，在等腰Rt△ACB和等腰Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，連接

AD、BE，點(diǎn)

F

在

AD

上．(1)求證：S△ADC=S△BCE；(2)若FC⊥BE，求證：F為

AD

中點(diǎn)；(3)若

F

為

AD

中點(diǎn)，求證：FC⊥BE．【例3】如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，D為△ABC外一點(diǎn)，滿足∠CBD=90°，

BC=BD，若

S△ACD=4.5，求

AC的長.【典型例題】【典型例題】【例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy

中，已知點(diǎn)

A(4,3)，連接OA，將線段

OA

繞

點(diǎn)

O

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

α(0°<α<180°)得到線段

OB．(1)若

α=45°，求此時(shí)點(diǎn)

B

的坐標(biāo)；

若

α=90°，求此時(shí)點(diǎn)

B

的坐標(biāo)；(2)若

α=60°，求此時(shí)點(diǎn)

B

的坐標(biāo)；

若

α=120°，求此時(shí)點(diǎn)

B

的坐標(biāo)；【典型例題】【例5】在△ABC中，已知∠BAC=α，AD⊥BC于

D，BD=2，DC=3，求

AD的長．(1)如圖1，當(dāng)

α=30°時(shí)，小明同學(xué)靈活運(yùn)用一線三等角構(gòu)造相似三角形知識，他作

出∠EBD=∠FCD=60°，利用三角形相似求出

AD的長．

請你幫助他證明：△ABE∽△CAF；(2)當(dāng)

α=45°時(shí)，

①如圖2，求

AD的長．

②如圖3，M，N為直線

BC上兩點(diǎn)(M在

B點(diǎn)左側(cè)，N在

C點(diǎn)右側(cè))，

在Rt△AMN中，∠MAN=90°，AN=3，AM=4，設(shè)

BM=x，CN=y，請求出

x，y

之間的關(guān)系式．【典型例題】【例6】(1)如圖1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF

分別交

AB、CD

于點(diǎn)E、F，GH分

別交AD、BC

于點(diǎn)G、H，求證：EF:GH=AD:AB．(2)如圖2，在滿足

(1)的條件下，又

AM⊥BN，點(diǎn)

M、N

分別在邊

BC、CD

上，若

EF:GH=13:17，則BN:AM

的值為

；(直接寫出結(jié)果)(3)如圖3，四邊形

ABCD

中，∠ABC=90°，AB=AD=6，BC=CD=3，AM⊥DN，點(diǎn)

M、N

分別在邊

BC、AB

上，求

DN:

AM的值．【課堂小結(jié)】【變式1】四邊形ABCD

是邊長為4的正方形，點(diǎn)E

在邊

AD

所在直線上，連接CE，

以CE

為邊，作正方形

CEFG(點(diǎn)

D，點(diǎn)

F在直線

CE

的同側(cè))，連接BF．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)

E

與點(diǎn)

A

重合時(shí)，請直接寫出

BF

的長；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)

E

在線段

AD

上時(shí)，AE=1；①求點(diǎn)F

到AD

的距離；②求

BF

的長；(3)若

，請直接寫出此時(shí)

AE

的長．【變式練習(xí)】【變式練習(xí)】【變式2】(1)如圖1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點(diǎn)

C作直線

DE，AD⊥DE于

D，BE⊥DE于

E，求證：△ADC≌△CEB；(2)如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點(diǎn)

C作直線

CE，

AD⊥CE于

D，BE⊥CE于

E，AD=8，BE=3，求

DE的長；(3)如圖3，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，且在平面直角坐標(biāo)系中，

點(diǎn)

C在

y軸正半軸上，點(diǎn)

A坐標(biāo)為(7,3)，點(diǎn)

B是第一、第三象限的角平分線

l上

的一點(diǎn)，求點(diǎn)

C的坐標(biāo)．【變式練習(xí)】【變式3】(1)如圖1，把一塊三角板(AB=BC，∠ABC=90°)放入一個(gè)

U形槽中，使

三角形的三個(gè)頂點(diǎn)

A、B、C分別在槽的兩壁及底邊上滑動，已知∠D=∠E=90°，

在滑動過程中，你發(fā)現(xiàn)線段

AD與

BE有什么關(guān)系？試說明你的結(jié)論；(2)如圖2，在△ABC中，點(diǎn)

D、E、F分別在

BC、AC、AB上，若∠B=∠FDE=∠C，

則這三個(gè)相等的角之間的聯(lián)系又會使圖形中出現(xiàn)其他的一些等角．請你寫出其中的

一組，并加以說理；(3)如圖3，在△ABC中，BA=BC，∠B=45°，點(diǎn)

D、F分別是邊

BC、AB上的動點(diǎn)，

且AF＝2BD．以

DF為腰向右作等腰△DEF，使得

DE=DF，∠EDF=45°，連接CE．①試判斷線段

DC、BD、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖4，AC=2，點(diǎn)

G是

AC的中點(diǎn)，連接

EA、EG，直接寫出

EA+EG的最小值．【變式練習(xí)】【變式4】(1)如圖1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，直線

ED經(jīng)過點(diǎn)C，

過點(diǎn)

A作

AD⊥ED于點(diǎn)

D，過點(diǎn)

B作

BE⊥ED于點(diǎn)

E，請直接寫出圖中相等的線段；(除已知邊AC=BC外)

(2)如圖2，在等邊△ABC中，D，E分別為

AB，BC邊上的點(diǎn)，DE=EF，∠DEF=60°，

連接CF，若∠FCB=30°，求證：AD=2BE；

(3)如圖3，在等邊△DEF中，EF=2，點(diǎn)

A，點(diǎn)

C