PAGE21-遼寧省撫順市2025屆高三數學下學期二?？荚囋囶}文（含解析）一?選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】找兩個集合的公共元素.【詳解】∵，，∴故選：C.【點睛】本題考查集合的交集運算，考查理解辨析實力，是基礎題.2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】復數的乘法類似于多項式乘多項式，遇到化為.【詳解】.故選：A.【點睛】本題考查復數的乘法運算，考查運算求解實力，是基礎題.3.已知向量，，則向量，則（）A.3 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直的坐標表示列方程，解方程求得的值.【詳解】因為，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.4.已知，則（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】分子分母同除，利用同角三角函數的基本關系式化簡求值.【詳解】.故選：C.【點睛】本題考查利用同角三角函數的基本關系式化簡求值，考查運算求解實力，是基礎題.5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對數函數和指數函數單調性與特殊值比較大小，再比較的大小.詳解】∵，，，∴.故選：B.【點睛】本題考查利用利用對數函數和指數函數單調性比較大小，先推斷正負，再看詳細狀況與特殊值比較，考查運算求解實力，是基礎題.6.下圖是甲、乙兩個工廠的輪胎寬度的雷達圖（虛線代表甲，實線代表乙）.依據下圖中的信息，下面說法錯誤的是（）A.甲廠輪胎寬度的平均數大于乙廠輪胎寬度的平均數B.甲廠輪胎寬度的眾數大于乙廠輪胎寬度的眾數C.甲廠輪胎寬度的中位數與乙廠輪胎寬度的中位數相同D.甲廠輪胎寬度的極差小于乙廠輪胎寬度的極差【答案】B【解析】【分析】通過雷達圖分別求出甲、乙輪胎寬度的平均數、眾數中位數和極差，比照選項選出錯誤的答案.【詳解】由題意可知甲廠輪胎寬度的平均數是195，眾數是194，中位數是194.5，極差是3；乙廠輪胎寬度的平均數是194，眾數是195，中位數是194.5，極差是5；則A，C，D正確，B錯誤.故選：B.【點睛】本題考查用雷達圖計算平均數、眾數中位數和極差，需留意甲、乙數據不要搞混，考查理解辨析實力和運算求解實力，是基礎題.7.函數的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用函數的奇偶性進行解除,再利用特殊取值推斷.【詳解】即，所以是奇函數，解除A，B；當時，，，則，解除C.故選：D.【點睛】本題考查利用函數解析式推斷函數圖像，考查理解辨析實力和推理論證實力，是基礎題.8.已知一個圓柱的側面積等于表面積的一半，且其軸截面的周長是18，則該圓柱的側面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別設出圓柱的底面半徑和高，由已知列出關于底面半徑和高的方程，解方程，最終可求圓柱的側面積.【詳解】設圓柱的底面圓的半徑為，高為，由題意可得，解得，則該圓柱的側面積是.故選：A.【點睛】本題考查圓柱表面積和軸截面周長的計算，考查運算求解實力和直觀想象實力，是基礎題.9.如圖，，是函數的圖象與軸的兩個相鄰交點，是函數的圖象的一個最高點，若是等腰直角三角形，則函數的解析式是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通過，是等腰直角三角形，可得長度，從而求出周期，由可得得值，再將代入計算的值，最終可得的解析式.【詳解】由題意可得，因為是等腰直角三角，所以，所以，即則，故，將代入解析式得，可得，解得，因為，所以，則.故選：B.【點睛】本題考查三角函數識圖求解析式，考查理解辨析實力和運算求解實力，是基礎題.10.祖沖之是我國南北朝時期杰出的數學家、天文學家.他一生鉆研自然科學，其主要貢獻在數學、天文歷法和機械制造三方面，特殊是在探究圓周率的精確度上，首次將“”精確到小數點后第七位，即，在此基礎上，我們從“圓周率”第三到第八位有效數字中隨機取兩個數字，，則事務“”的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把第三到第八位6個有效數字兩兩組合，列出全部可能狀況，找出符合要求事務個數，求概率.【詳解】由題意可知第三到第八位有效數字為4，1，5，9，2，6，則取到數字，的狀況有，，，，，，，，，，，，，，，共15種，其中符合條件的有8種，故所求概率.故選：B.【點睛】本題考查用列舉法求古典概型的概率，考查數據處理實力和運算求解實力，是基礎題.11.已知直線過拋物線的焦點，且與拋物線在第一象限的交點為，點在拋物線的準線上，且.若點到直線的距離是，則直線的斜率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設出點坐標，由此得到的坐標，求出直線的方程，利用點到直線距離公式列方程，由此求得點的坐標，進而求得直線的斜率.【詳解】由題意可知，設，則，直線的方程為，即.因為點到直線的距離是，所以.因為點在拋物線上，所以，所以，整理得，解得，所以，即，故直線的斜率是.故選：D【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題.12.若對隨意實數，恒成立，則（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】構造函數，求得，對進行分類探討，結合恒成立，求得的值.【詳解】，則.當，即時，，則在單調遞減，故，解得，所以不符合題意；當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，則.因為，所以.令，不等式可轉化，設，則，令，得；令，得，則在上單調遞減，在上單調遞增，當時，有最小值0，即，因為，所以，此時，故.故選：A【點睛】本小題主要考查利用導數探討不等式恒成立問題，考查分類探討的數學思想方法，屬于難題.二?填空題13.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的實軸長為______.【答案】【解析】【分析】依據雙曲線的漸近線方程求得，結合求得的值，進而求得雙曲線的實軸長.【詳解】由題意可得，解得，則該雙曲線的實軸長為.故答案為：【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，屬于基礎題.14.若實數，滿意約束條件，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】依據不等式組作出可行域，結合可行域求目標函數最值.【詳解】如圖，可行域為圖中陰影部分，目標函數在點處取得最小值，.故答案為：.【點睛】本題考查線性規(guī)劃求目標函數最值，考查運算求解實力和數形結合思想，是基礎題.15.在中，內角，，的對邊分別為，，.已知，且，則的面積的最大值是__________.【答案】4【解析】【分析】利用正弦定理把已知等式角化邊，并結合余弦定理可求得角；，利用基本不等式可得的最大值，最終可得的面積的最大值.【詳解】因為，所以，即，所以，則.因為，所以（當且僅當時，等號成立），故的面積.故答案為：.【點睛】本題考查利用正、余弦定理解三角形，并求三角形面積的最值，考查運算求解實力，是中檔題.16.在直四棱柱中，，，四邊形的外接圓的圓心在線段上.若四棱柱的體積為36，則該四棱柱的外接球的體積為______.【答案】【解析】【分析】依據四棱柱的體積求得側棱長，利用勾股定理計算出四棱柱外接球的半徑，進而計算出外接球的體積.【詳解】由題意可得和都是以為斜邊的直角三角形，因為，所以.因為，所以，所以四邊形的面積.因為四棱柱的體積為36，所以，所以該四棱柱的外接球的半徑，故該四棱柱的外接球的體積為.故答案為：【點睛】本小題主要考查幾何體外接球的有關計算，屬于基礎題.三?解答題：17.在數列中，，，（且）.（1）證明：數列是等比數列；（2）求數列的通項公式.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用定義法證明數列是等比數列；（2）結合數列的通項公式，利用累加法可求得數列的通項公式.【詳解】（1）證明：∵，∴，又，，；∴（，且），故數列是首項和公比都是2的等比數列；（2）解：由（1）可得，則（，且），故（，且），當時，滿意上式，∴.【點睛】本題考查了等比數列的證明方法——定義法，等比數列通項公式，累加法求求通項公式，特殊是累加法求通項要驗證首項，考查理解辨析實力和運算求解實力，是中檔題.18.某中學有老師400人，其中中學老師240人.為了了解該校老師每天課外熬煉時間，現利用分層抽樣方法從該校老師中隨機抽取了100名老師進行調查，統(tǒng)計其每天課外熬煉時間(全部老師每天課外熬煉時間均在分鐘內)，將統(tǒng)計數據按，，，…，分成6組，制成頻率分布直方圖如下：假設每位老師每天課外熬煉時間相互獨立，并稱每天熬煉時間小于20分鐘為缺乏熬煉.（1）試估計本校老師中缺乏熬煉的人數；（2）若從參加調查，且每天課外熬煉時間在內的該校老師中任取2人，求至少有1名初中老師被選中的概率.【答案】（1）人.（2）【解析】【分析】（1）先求得樣本中初中、中學老師缺乏熬煉的頻率，由此計算出該校老師中缺乏熬煉的人數.利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.（2）利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】（1）由題意可得樣本中初中老師缺乏熬煉的頻率為，樣本中中學老師缺乏熬煉的頻率為，估計該校老師中缺乏熬煉的人數為.（2）由題意可參加調查初中老師每天課外熬煉時間在的人數為，記為，；中學老師每天課外熬煉時間在的人數為，記為，，.從這5人中選取2人的狀況有，，，，，，，，，，共10種；其中符合條件的狀況有，，，，，，，共7種.故所求概率.【點睛】本小題主要考查利用頻率分布直方圖進行估計，考查古典概型概率計算，屬于基礎題.19.如圖1，在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中為斜邊.若把沿邊折疊到的位置，使平面平面，如圖2.（1）證明：；（2）若為棱的中點，求點到平面的距離.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明平面，則有；（2）等體積法求點到平面的距離.【詳解】（1）證明：∵是等腰直角三角形，為斜邊，∴.∵平面平面，平面平面，平面∴平面，∵平面，∴；（2）解：由（1）知，平面，由題意可得，，，則，，∵為棱的中點，∴，∴，在中，，，，∴，即，則的面積為，設點到平面的距離為∵，∴，∴.【點睛】本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質，點到平面距離的求法，考查直觀想象實力、推理論證實力和運算求解實力，是中檔題.20.已知函數.（1）探討的單調性；（2）探討在上的零點個數.【答案】（1）當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）當時，在上沒有零點，當時，在上只有一個零點，當時，在上有兩個零點.【解析】【分析】（1）利用函數的導函數，分類探討參數，得出的單調性；（2）轉化問題，原函數有零點即函數有解，求導得出的單調性和極值，分類探討得出在上的零點個數.【詳解】解：（1）∵，∴，當時，恒成立，∴在上單調遞減，當時，令，得，令，得.∴在上單調遞增，在上單調遞減，綜上所述，當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）令，得，設，則.令，得，令，得，∴在上單調遞減，在上單調遞增，則.當時，在上無解，所以在上沒有零點；當時，在上有且僅一個解，所以在上有一個零點；當時，在上有兩個解，所以在上有兩個零點.綜上，當時，在上沒有零點；當時，在上只有一個零點；當時，在上有兩個零點.【點睛】本題考查利用導數探討含參數的函數單調性，利用導數求函數單調性和極值探討函數零點問題，考查了分類探討思想、轉化與化歸思想和運算求解實力，是中檔題.21.已知橢圓的離心率為，且四個頂點構成的四邊形的面積是.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線經過點，且不垂直于軸，直線與橢圓交于，兩點，為中點，直線與橢圓交于，兩點（是坐標原點），若四邊形的面積為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）離心率供應與的關系，四個頂點構成的四邊形對角線相互垂直，列出等量關系求，的值；（2）直線經過點,由直線點斜式方程設出直線的方程，并設出直線與橢圓交點、的坐標，聯立方程，由韋達定理可表示出的中點的坐標；由中點的坐標可得直線的方程，聯立直線的方程與橢圓的方程，利用韋達定理可求，再利用點到直線距離公式可求點、到直線的距離，由四邊形的面積為可列出等量關系，最終可求出直線的方程.【詳解】解：（1）由題意可得，解得，，故橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，，.聯立，整理得，則，，從而，故，直線的斜率為，所以直線的方程為，即.聯立，整理得，則.設點到直線的距離為，則點到直線的距離也為，從而.∵點，在直線的兩側，∴，∴，則，∵，∴，則四邊形的面積，∵四邊形的面積為，∴，解得，故直線的方程為.【點睛】本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，聯立方程利用韋達定理求弦長，考查轉化與化歸思想和運算求解實力，是難題.22.在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求與的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，點，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）干脆利用參數方程和極坐標方程轉化公式，可得出與的直角坐標方程；（2）將直線的直角坐標方程化為參數方程，點在直線上，利用參數的幾何意義，可得的值.【詳解】解：（1）因為曲線的參數方程為（為參數），所以其直角坐標方程為，∵直線的極坐標方程為，∴，∴其直角坐標方程為；（2）直線過點且參數方程可表示為（為參數），代入曲線的方程，得，則，，∴.【點睛】