單元素養(yǎng)評價（一）（第一章）

（120分鐘150分）

一、單選題（每小題5分，共40分）

1.設直線1的方向向量羽=Q，1，2），平面。的法向量1,2），若/_La,則％=（）

A.-1B.0C.5D.4

【解析】選A.由ILa,則v//nf

則存在非零常數(shù)2,使得

x=-A,

即卜=九解得工=一1.

2=2/1,

2.空間中，與向量。=（3,0,4）同向共線的單位向量為（）

A.e=(l,0,1)

B.e=(l,0,1)或e=(—l,0,-1)

D.e=（|，。，￡）或e=（—I，0,一￡）

【解析】選C.因為同=嚴質可幣=5,

所以與a同向共線的單位向量e=R=1（3,0,4）=修0,,）.

3.已知正方體ABCZXAiBiGP中，若點尸是側面的中心，且AF=AD+"zAB—

”AA],貝〃的值分別為（）

1111

A.],一]B,-2，-2

1111

C-2，]D-I2

【解析】選A.由于AF=AD+DF=AD+；（DC+DD1）=AD+；AB

—_->]]

AA1,所以m=2,n=-2.

4.如圖，棱長為1的正方體ABC6A181G。，O是底面AiBiGA的中心，則。到平面A8GA

的距離是（）

【解析】選B.如圖建立空間直角坐標系，

貝IJ1),01(0,0,1),A(l,0,0),B(l,1,0),

所以OD]=(——I，0),

由于AB_L平面AOD14,AiDu平面ADD1A1,

所以A8J_Ai￡),又A￡)i_LAi。，ABAADi=A,

所以AQ_L平面ABCiDi,

故平面ABCiA的一個法向量為DA]=(1,0,1),

|Of>.DAT||m

所以。到平面ABCiDi的距離d=——?=二=七.

|DAJ山

5.已知空間中三點A(0,1,0),BQ,2,0),C(-l,3,1),則()

A.A豆與AC是共線向量

B.Am的單位向量是(1，1，o)

c.AB與BC夾角的余弦值是

D.平面ABC的一個法向量是(1，-2,5)

【解析】選D.由題意，對于A,AB=(2,I,0),AC=(—1,2,I),所以AB4

則AB與AC不是共線向量，所以A項是錯誤的;

對于B,因為跖=（2,1,0）,所以屈的單位向量為殍，坐，0）或

（菩智。）,

所以B項是錯誤的;

對于C,向量AB=(2,1,0),BC=(-3,1,1),

AB.BC

所以cos〈

AB,BC>11

所以C項是錯誤的;

對于D,設平面ABC的一個法向量是〃=Q,y,z),

因為AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),

n.AB=0

所以V____

n.AC=0

[2x+y=0,

即L+2y+z=。，令A]，得”=(1，一2,5),

所以平面ABC的一個法向量為〃=（1,—2,5）,所以D項是正確的.

6.如圖，在直三棱柱A8C-AJ31cl中，ZACB=9Q°,2AC=44i=BC=2,。為A4i上一點.若

二面角Bi-DC-G的大小為60。，則的長為（）

A.&B.y[3C.2D.

【解析】選A.如圖，以C為坐標原點，CA,CB,CCi所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立

空間直角坐標系Cxyz,

則C(0,0,0),81(0,2,2).

設AO=a(0%W2),

則點。的坐標為(1,0,a),CD=(1,0,a),CB[=(0,2,2).

設平面SC。的法向量為帆=(x,y,z),

m.CR=0[2y+2z=0,

貝匹_即：令z=-1,得帆=(〃，1,-1).

m>CD=0[x+〃z=0,

又平面G。。的一個法向量為〃=(0,1,0),

則由cos60。=鬻i,得國￡=1'

即a=yf2,故AD=y[2.

7.在正方體ABCD-AiBiGDi中，點E,F,G分別為棱AQi，DiD,A/i的中點，給出下列

.JT

命題：①AG_LEG；?GC//ED；③田/，平面8GG；④E尸和8囪所成角為不.正確命題的個

數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【解析】選C.設正方體棱長為2,建立空間直角坐標系如圖所示,

4(2,0,0),Ci(0,2,2),G(2,1,2),C(0,2,0),

E(l,0,2),0(0,0,0),Bi(2,2,2),F(0,0,1),

8(2,2,0).

①AC1=(—2,2,2),EG=(i,i,o),AC].EG=

-2+2+0=0,所以AGJ_EG,故①正確.

②GC=(—2,i,—2),ED=(—i,o,—2),不存在實數(shù)功使GC=4ED,故

GC〃即不成立，故②錯誤.

③B]F=(—2,—2,—i),BG=(o,—i,2),BC]=(—2,o,2),BjFBG=

故平面不成立，故③錯誤.

0,BjFBC1=2#0,81B_L2GC1

④EF=(—1,0,—1),BB]=(0,0,2),設所和BBi所成角為0,則cos

EFeBB1=至兀7兀T

,由于。金0,2，所以8=4,故④正確.

|EF|.|BB；|1=品一24

綜上所述，正確的命題有2個.

8.如圖，該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構成，半圓柱體底面直徑BC=4,AB=AC,ZBAC

2

=90°,。為半圓弧的中點，若異面直線8。和AS所成角的余弦值為］,則該幾何體的體積

為（）

A.16+87TB.32+16兀

C.32+8兀D.16+16兀

【解析】選A.設。在底面半圓上的射影為A,連接AOi交于O,設A0n8Ci=Oi.

依題意半圓柱體底面直徑8C=4,AB^AC,ZBAC=9Q°,。為半圓弧的中點,

所以AZ）i_LBC,Ai￡）_LBiCi且。，Oi分別是下底面、上底面半圓的圓心.

連接。。1,則0。1與上下底面垂直，所以00i_L0B,OOiLOA,又。4_LOB,

以OB,OA,OOi所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，設幾何體的高為〃（力＞0）,

則8(2,0,0),0(0,-2,h),A(0,2,0),明(2,0,h),

所以BD=（-2,—2,h）,AB]=（2,—2,h）,

,2

由于異面直線3。和A8i所成的角的余弦值為g,

BD*AB1/

所以I麗卜I畫I

2,加2

=3，即在廬=3，〃=16,h=4.

所以幾何體的體積為gX7tx22x4+^-x4x2x4=16+8無.

二、多選題（每小題5分，共20分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得。分）

9.在正方體ABCDAiBiGA中，下列各式中運算結果為AC1的是（）

A.AB+BC+CQB.AA[+B^+D^C[

c.AB-QC+B^QD.AA^+DC+B^Q

【解析】選ABCD.如圖所示：

對于A：AB+BC+CQ=AC+CQ=AQ,

對于B：AA[+B]C]+D]C]=AD[+D[C]=AC],

對于c：AB-QC+B^=AB^+B^=Aq,

對于D:AA]+DC+B[G=AB]+B[G=AC].

10.如圖所示，在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，點M,P,。分別為棱AB,CD,BC的中

點，若平行六面體的各棱長均相等，則下列說法正確的是（）

A.A1M//D1PB.AiM//BiQ

C.A1M〃平面。CC1D1D.〃平面dPQBi

【解析】選ACD.AIM=AIA+AM=A]A+W融,D^P=D^D+DP=

A]A+TAB,所以A]M〃D]P,所以AIM〃GP,由線面平行的判定定理可知，4加〃

平面DCCiDx,A1M〃平面O1PQ81.ACD正確.

11.在長方體ABCZXAiBiGOi中，AB=24,AD=AAi=2,P,Q,R分別是A8,BBi，AC

上的動點，下列結論正確的是（）

A.對于任意給定的點P,存在點。使得APLCQ

B.對于任意給定的點。，存在點R使得。iR_LC。

C.當AR_L4C時，AR±DiR

D.當AC=34R時，〃平面BOG

【解析】選ABD.如圖所示，建立空間直角坐標系，

設尸(2,a,0),ae[0,2啊，Q(2,2小,b),

回0,2],

設A[R=aA]C,得到R(2—2九262-2/),^￡[0,1].

D]P=(2,a,-2),CQ=(2,0,b),DtPCQ=4—2b,

當b=2時，DrPA.CQ,A正確；

---------------------------------->_--r\

D]R=(2—2九24九-2A),D]R-CQ=2(2-2%)—2以，取力時，DxRLCQ,

B正確；由ARL4C,得AR-A1C=(一2九2/入,2-2/).(一2,25，-2)

=4A+12/-4+4^=0,A=|，此時AR-D]R=(—],羋，9羋，=一：邦,

C錯誤；AtC=3AiR,則R停，平，g,D]R=停，平，一番，設平面B￡?C1的法向量

n-BD=0.

為〃=(x,y,z),則<____解得〃=?§,—1,y/3),故D[R?〃=(),故。iH〃平

n-DQ=0

面BDC\,D正確.

12.如圖所示，正方體4BCD-A181C1O1中，AB=1,點P在側面BCGB1及其邊界上運動，并

且總是保持APLBO1，則以下四個結論正確的是（）

A.VP-AAiD=|

B.點尸必在線段SC上

C.AP±BCi

D.AP〃平面4C。

【解析】選BD.對于A,因為P在平面BCGS上，平面BCC1B1〃平面AAiD,所以尸到平面

44。的距離即為C到平面A4i。的距離，即為正方體棱長,

所以VP-AAiD=^SAAAIDCD—^xlxlxl=1,A錯誤;

對于B,以。為坐標原點可建立如圖所示的空間直角坐標系:

4g廠七咕~7

則A(l,0,0),尸(x,1,z),8(1,1,0),A(0,0,1),

81(1,1,1),C(0,1,0),Ci(0,1,1),

所以AP=(x—i,i,z),BD]=(—i,—i,i),B]C=(—i,o,—i),

因為所以AP-BD]=l—x—l+z=0,

所以x=z,即尸(X,1,X),

所以CP=Q,o,x),

所以CP=—xB]C,

即81,P,。三點共線，所以尸必在線段sc上，B正確；

對于c,因為AP=Q—1,1,X),BC]=(—1,o,1),

所以AP-BC)=i—x+x—i,

所以AP與BG不垂直，C錯誤；

對于D,因為小(1,0,1),Ci(0,1,1),。(0,0,0),

所以DA]=(i,0,1),DC1=(o,I,I),

設平面ACQ的法向量”=(x,y,Z),

n-DAj=x+z=0

所以V____

n-DC]=y+z=0

令x=1,則z=—1,y=1,

所以〃=(1,1,—1),

所以APn=x—1+1—x=0,即APu,

所以AP〃平面AiCQ,D正確.

三、填空題(每小題5分，共20分)

13.在空間直角坐標系中，點尸(0,0,1)為平面ABC外一點，其中A(l,1,0),B(0,2,3),

若平面4BC的一個法向量為(1,m,1),則點P到平面ABC的距離為.

【解析】在空間直角坐標系中，A(l,1,0),8(0,2,3),

所以AB=(—1,1,3),而平面ABC的一個法向量為"=(1,m,1),

所以AB〃=0,

即-1+機+3=0,解得機=—2,

所以〃=(1,-2,1),點P(0,0,1),

則AP=(—1,—1,1),

AP.n

則由點到平面的距離公式可得d=―;—:—

答案:當

14.如圖，在正四棱柱ABCD-ABiCiA中，底面邊長為2,直線CG與平面AC/%所成角的正

弦值為上,則正四棱柱的高為

【解析】以。為坐標原點，DA,DC,DDi所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的

空間直角坐標系,

設。。i=a,則4(2,0,0),C(0,2,0),Di(0,0,a),

Ci(0,2,cz),故AC=(—2,2,0),CC]=(0,0,a).

設平面的一個法向量為〃=(x,y,z),

n?AC--2x+2y=0

則<_____.

n?AD]=-2x+az-0

可取〃=(i，i,J,

nCQ

故COS〈〃，CC］〉

Iniicqi

2

y2a2+4

又直線CG與平面ACDi所成角的正弦值為g,

21

所以石京=3'解得°=4

答案：4

15.如圖，在四面體。-A8C中，AD=BD=AC=BC=5,AB=OC=6.若M為線段AB上的動

點(不包含端點)，則二面角D-MC-B的余弦值的取值范圍是.

D

【解析】以A8的中點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

計算得40,―士，軍)

C(0,4,0),M(“，0,0)(—3＜。＜3),

平面的一個法向量為“1=(0,0,1),

設平面的一個法向量為〃2=(x,y,z),

則DC=^o,l-噌，MC=(—a,4,0),

n2DC=0,即平2=0,

則《2

4y=0,

n2MC=0,

令z=9,一

y=y163,所以平面的一個法向量為小=

a

9

所以|cos〈"1,"2〉I

9+63+81

(T

9

16x63?…

+144

因為一3<a<3,所以片<9,

16x63.16x63.

所以一^2-+144＞~g-+144=256,

所以|cos","2〉|,

即二面角的余弦值的取值范圍是(一得，4).

答案:(一高爸

TT

16.如圖，在三棱錐S-ABC中，SA=SB=SC,且/ASB=/8SC=/CSA=],M,N分別是

AB和SC的中點.則異面直線與BN所成的角的余弦值為，直線SM與面SAC所

成角的大小為

TT

【解析】因為NAS3=/BSC=NCSA=2,

所以以S為坐標原點，SA,SB,SC所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.

設SA=SB=SC=2,

則M(l,1,0),8(0,2,0),7V(0,0,1),A(2,0,0),C(0,0,2).

因為SM=(i,i,o),BN=(o,-2,1),

cos〈SM,BN>=雪，

所以異面直線SM與5N所成的角的余弦值為,面SAC的一個法向量為SB=(0,2,0),

則由cos<SM,花〉=福=噂得〈甄，SB>=1,

7T

即直線SM與面SAC所成角大小為4.

答案:邛：

四、解答題(共70分)

17.(10分)已知向量。=(1,-3,2),b=(~2,m,-4).

(1)若a〃4求實數(shù)機的值；

⑵若小瓦求實數(shù)機的值.

【解析】(l)a=(l,-3,2),b=(—2,m,-4),

若?！ㄍ邉t(1,—3,2)=2(—2,m,—4),

A=_l

解得<2'即m=6.

=6,

(2)若a_L8,則〃仍=—2—3m—8=0,

解得m=一#.

18.(12分)已知在空間直角坐標系中，A(l,-2,4),

B(—2,3,0),C(2,-2,-5).

⑴求AB+CA,CB-2BA,ABAC；

⑵若點M滿足AMABAC,求點M的坐標;

(3)若p=CA,g=CB,求(p+q)@—g).

【解析】(1)因為A(l,-2,4),8(—2,3,0),C(2,-2,-5),

所以AB=(—3,5,-4),CA=(T,0,9).

所以AB+CA=(-4,5,5),

又CB=(—4,5,5),BA=(3,-5,4)

所以CB—2BA=(—10,15,—3),

又AB=(-3,5,-4),AC=(1,0,-9),

所以ABAC=-3+0+36=33.

，

（2）由（i）知，AM=；AB+|AC=3（—3,5,-4)+1(1,0,-9)=(-]I-y)

若設y,z),則AM=(x—1,y+2,z—4)

,3

尤—1=一不

于是＜y+2=|,

，35

z-4=-不

c\

尤=Q

解得＜故一柴.

(3)由⑴知p=CA=(-l,0,9),0=CB=(—4,5,5).

（p+g＞（p—g）=|p|2一|g|2=82-66=16.

19.（12分）如圖所示，在平行四邊形ABC。中，ZDAB^6Q°,AB=2,A￡）=4,將△C8D沿

BD折起到的位置，使平面EBD_L平面ABD.

E

(1)求證：ABIDE；

(2)若點尸為BE的中點，求直線AF與平面ADE所成角的正弦值.

【解析】⑴在△A3。中，由余弦定理，得8。2=44+&02-248/。(：0$/。48,

即B/ynd+lG—lGxW=12,

所以BD=2小,所以8。2+4序=4。2,

所以△48。和4￡8。均為直角三角形，

所以ED1DB.又DB是平面EBD和平面ABD的交線，且平面平面ABD,EDu平面EBD,

所以E￡)_L平面ABD.

又ABc.平面ABD,所以ABLDE.

(2)由(1)知N￡DB=NCZ)B=90。，以。為坐標原點，射線。2,DC,DE所在直線分別為x軸、

y軸、z軸建立空間直角坐標系，

則0(0,0,0),B(2小,0,0),C(0,2,0),EQ,0,2),

A(2小,-2,0),F(A/3,0,1),

所以DA=(2小，-2,0),DE=(0,0,2),AF=(一5,2,1).

專

設平面A。石的法向量為〃=(x,y,z),

n.DA=0

則有《

n-DE=0

2\[3x—2y=0,

則,z=0,所以〃=(1,j,0).

設直線AF與平面ADE所成的角為a,

?:In?而I_S3

貝有〈凡

Isina=|cosAF>8

|n||AF|2x2取

所以直線AF與平面ADE所成角的正弦值為卓.

O

20.(12分)在直三棱柱A8C-4B1G中，AAi=AB=BC=3,AC=2,。是AC的中點.

(1)求證：〃平面A/D；

(2)求直線BiC到平面AiBD的距離.

【解析】(1)連接43交42于點E,連接。E,則點E為ABi的中點，又。是AC的中點，所

以DE//BiC,

因為DEc平面AiBD,BiCV平面AiBD,

所以81c〃平面AiBD;

(2)因為5C〃平面48。，所以BC到平面A/D的距離就等于點Bi到平面48。的距離.以

點。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則囪(0,2j,3),2(0,2?0),Ai(-1,0,3),

DBj=(O,2陋，3),DB=(O,2y[2,o),DA,=

(—1,0,3).設平面48。的法向量為〃=(x,y,z),

n±DB

所以<_____>

n±DA7

n.DB=0

即＜

n?DA]-0

2y[2y=0,

即,令z=l,

—x+3z=0,

則”=(3,0,1).

n-DBj3回

所求距離為d=

n10

21.(12分)如圖，在三棱柱ABGAiBCi中，AC±BC,AC=BC=CCi=2,。是棱的中

點，側棱CG，底面ABC.

(1)求異面直線CB1與AG所成的角;

(2)求平面ADCv與平面ABC所成二面角的正弦值.

【解析】(1)因為側棱CG_L底面ABC,

所以CCi_LAC,CCi±BC.

又因為ACLLBC,

所以可以以C為坐標原點，CB,CC],CA的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向,

建立空間直角坐標系C肛z,如圖所示.

因為A4i,BBi,CG都是三棱柱ABC-A1B1C1的側棱，且CG_L底面

所以四邊形A41cle與CG81B都是矩形.

因為AC=BC=CG=2,所以矩形A41GC與CGBI都是邊長為2的正方形.

所以C(0,0,0),A(0,0,2),81(2,2,0),Ci(0,2,0).

所以CB]=(2,2,0),AC]=(0,2,-2).

——CX'AC

所以cos<CB,,AC,>=_?_L=

ICB,||AC,|

(2,2,0)?(0,2,-2)_j_

^/22+22+02X-\/02+22+(-2)2'

所以異面直線CBi與AG所成的角是60。.

(2)因為。是棱45的中點，所以。(1,2,1).

由(1)次口，C(0,0,0),A(0,0,2),Ci(0,2,0).

所以CC]=(0,2,0),AC]=(0,2,-2),AD=(1,2,-1).

因為側棱CG_L底面ABC,所以CC]=(0,2,0)是平面ABC的法向量.

設平面ADG的法向量為〃=(%,y,z),

n.AC=0

貝”____.

n?AD-0.

(2y—2z=0,

即彳

1%+2y-z=0.

x=-z,

解得故可取〃=(一1,1,1).

〔尸Z.

CC,.n

所以cos〈CC[,n>

"cqH

(0,2,0):(一1,1,1)—近

-^/02+22+02X^/(-1)2+l2+l2-3-

所以sin〈CC]