專題強(qiáng)化練8雙曲線的綜合應(yīng)用

1.（2022湖南長沙一中期末）已知A（-4,0）,B是圓C:（x-l）2+（y-4）2=l上的點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線。。

的右支上，則|PA|+|PB|的最小值為（）

A.9B.2V5+6

C.10D.12

22

2.（2022河北保定二中期末）已知雙曲線C啜A=1的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,P為C右支上的點(diǎn),

DO

且IPF2閆F1F2I,則△PF1F2的面積等于（）

A.192B.96

C.48D.102

22

3.已知定點(diǎn)FI（-2,0）,F2（2,0）,N是圓O:x+y=l上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Fi關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為M,線段FiM

的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡方程是（）

A.X2+y=lB.X2-y=l

v2v2

c.y+y2=lD.y-y2=l

4.（2022山西長治二中期末）已知雙曲線C:qMl（a>0,b>0）的離心率為孚,0為坐標(biāo)原點(diǎn),過右焦

點(diǎn)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N,且AOMN為直角三角形，若S.OMN=^，則C

的方程為（）

A.普=1B.咨=1

口聾1

22

5.（2022河北正定中學(xué)期末）若FI,F2是雙曲線斗馬=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn),0是坐標(biāo)原點(diǎn).過F2

ab

作C的一條漸近線的垂線，垂足為P,若|PF1|=V^|OP|,則該雙曲線的離心率為（）

A.5B.2

C.V3D.V2

22

6.（多選）（2022湖南永州期末）已知FI,F2分別為雙曲線斗馬=l（a>O,b〉O）的左、右焦點(diǎn)，且a,b,c成

ab

等比數(shù)列（c為雙曲線的半焦距），點(diǎn)P為雙曲線右支上的點(diǎn)，點(diǎn)I為△PF1F2的內(nèi)心.若

成立，則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)PF2±X軸時,NPFIF2=30。

B.離心率6=二簽

(2入=苧

D.點(diǎn)I的橫坐標(biāo)為定值a

2

7.(2022上海松江二中期末)已知點(diǎn)M(0,l),點(diǎn)P是雙曲線會r-y2=i上的點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的

對稱點(diǎn)，則加?麗的取值范圍是.

22

8.(2020天津一中期末)已知雙曲線C:斗馬=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為FI,F2,過Fi的直線1

Qb

與圓x?+y2=a?相切于點(diǎn)T,且直線1與雙曲線C的右支交于點(diǎn)P,若“=3方,則雙曲線C的離心

率為?

22

9.已知雙曲線弓-馬=l(a>0,b>0)的實(shí)軸長為4百，焦點(diǎn)到漸近線的距離為

ab

⑴求雙曲線的方程；

(2)已知直線y=yx-2與雙曲線的右支交于M,N兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D,使

OM+ON=tOD(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).

10.(2022湖南雙峰一中期末)雙曲線C的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，且焦點(diǎn)到其漸近線y=±2x

的距離為2.

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點(diǎn)P(0,2)的直線1與雙曲線C的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),與其漸近線分別交于M,N(從

左至右)兩點(diǎn).

(i)證明:|AM|=|BN|;

(ii)是否存在這樣的直線1,使得沁生=卒?若存在，求出直線1的方程;若不存在,請說明理由.

答案與分層梯度式解析

1.C如圖所示,設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為A：易知C(l,4),由雙曲線的定義知|PA|=|PA1+2a=|PA，|+6,所

以|PA|+|PB|=|PA，|+|PB|+621PAi+|PC|+6-l邦A(yù)C|+5=5+5=10,故選C.

2.A由題意得a=6,b=8,貝UcZa2+爐=10,則|PF2|=|FIF2|=20,由雙曲線的定義可得

|PFi|=|PF2|+2a=20+12=32,

所以△PF1F2中PFi邊上的高為《202-㈢之二⑵所以△PFF2的面積為:x32xl2=192,故選A.

3.B如圖，當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時，連接ON,PFi,

則|ON|=：|F2Ml=1,

所以|F2M|=2.因?yàn)橹本€PN為線段MFi的中垂線，所以|PF]|=|PM|=|PF2HF2M|=|PFz/2,所以

|PF2HPFI|=2<|FIF2|=4.同理，當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時,『員卜年2|=2<田園=4.故點(diǎn)P的軌跡是雙曲線,

2

其中a=l,c=2,則b?=3,所以方程為x2-g=l.故選B.

4.C如圖所示，由雙曲線的離心率e-=逋，可得絲蟲，由題意可得NMON=60o=2NMOF,設(shè)

a3a3

NOMN=90。,所以|MF|=?|0M|,|0N|=2|0M|,因?yàn)镾AOMN=||OM|?|0N|?sin60。=手，所以|0MF=3,

即|OM|=B，所以|MF|=?xV^=l,而焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線bx-ay=0的距離d=|MF|=￡1^=b，所以

b=l,a=V3,

2

所以雙曲線的方程為(y2=l,故選C.

5.D雙曲線C：d=l(a>0,b>0)的一條漸近線的方程為bx-ay=O,??.點(diǎn)F2到此漸近線的距離

22

d=ym=b,即|PF2|=b,...|0P|=710F21-1PF21=a,cosZPF2O=P圖所示,：|PFi|=V5|0P|,

.?.|PF1|=V八，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2/+|F1F2|2-2|PFR-IF1F2I?COSZPF2O,

/.5a2=b2+4c2-2b,2c,-=4c2-3b2=4c2-3(c2-a2),BP2a2=c?,故e=￡=VX故選D.

ca

6.BCDa,b,c成等比數(shù)列,，b2=ac,當(dāng)PF21x軸時,|PF2|=￡=CJ|FIF2],此時tanNPFiF?’,，A錯

a22

誤;易得|FiF?|=2c=^="至,整理得e2-e-l=0,Ve>l,Ae=—B正確;設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的半

aa2

徑為r,由雙曲線的定義得|PFiHPF2|=2a,又V|FIF2|=2C,

111.

SZ^/PFI=5|PFI|*^^^IPF2=^PF2\?Y,S/^IF1F2=-?2c?r=cr,.S/^ipF1=S^IPF2+XS/^IF1F2,..

11

-|PFi|?r=-|PF2|,r+Xcr,

故舊也磬=臺言=個,."正確;如圖所示，設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓與PF1,PF2,F1F2的切點(diǎn)分別為

M,N,T,可得|PM|=|PN|,|FIM|=|FIT|,|F2N|=|F2T|,由

|PF1HPF2|=|F1MHF2N|=|F1THF2T|=2a,|FiF2|=|FiT|+|F2T|=2c,可得|F2Tl=c-a,可得點(diǎn)T的坐標(biāo)為(a,0),

即點(diǎn)I的橫坐標(biāo)為a,AD正確.故選BCD.

7.答案(-?,-2]

解析設(shè)點(diǎn)P(xo,yo),|xo|三遮，則點(diǎn)Q(-xo,-yo),所以而=(xo,yo-l),MQ=(-xo,-yo-l),所以

22

MP?麗=-賄-犬+1,因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線早y2=l上的點(diǎn)，所以藁-五=1,所以

MP?麗=-賭M+l=2-?W-2,故加?麗的取值范圍是(-00,-2].

8.答案手

解析如圖,由題可知,|OFi|=|OF2|=c,|OT|=a，則|HT|=b,

:踮=3亭,A|TP|=2b,|FiP|=3b,

又：|PR|-|PF2|=2a,.I|PF?|=3b-2a.

作F2M//OT,可得|F2M|=2a,|TM|=b，則|PM|=b.

在RtAMPF2中,|PM|2+|MF2/=|PF2|2,

即b?+(2a)2=(3b-2a尸,得2b=3a.

又Vc2=a2+b2,c2=a2+42,化簡可得4c2=13a2,雙曲線的離心率為姐.

42

9.解析⑴由題意知a=2b,所以一條漸近線方程為y=*x,即bx-2何=0,所以黑點(diǎn)百，又因

22

為c2=b2+12,所以b2=3.所以雙曲線的方程為"3=1.

(2)設(shè)M(xi,yi),N(x2,y2),D(xo,yo),

則xi+x2=txo,yi+y2=tyo.

2

將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，得X-16V3X+84=0,K1Jxi+x2=16V3,yi+y2=12,

xp_4V3

廠23，所以儼。=4V3,

窈_殆=1(%=3.

{123-'

由南+加=痂，得(16舊,12)=(4舊t,3t),

所以t=4,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4舊,3).

10.解析⑴設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為J]=l(a>0,b>0),由題意得b=22=2,所以a=l,

aLb