第二章函數(shù)

第4.1節(jié)函數(shù)的奇偶性教學設計

教材分析

函數(shù)奇偶性是研究函數(shù)的一個重要策略，因此成為函數(shù)的重要性質之一，它的研究也為今

后累函數(shù)、三角函數(shù)的性質等后續(xù)內容的深入起著鋪墊的作用；

奇偶性的教學無論是在知識還是在能力方面對學生的教育起著非常重要的作用，因此本節(jié)課

充滿著數(shù)學方法論的滲透教育，同時又是數(shù)學美的集中體現(xiàn)。

教學目標與核心素養(yǎng)

一.教學目標：

1.理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義；

2.學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質；

3.學會判斷函數(shù)的奇偶性；

二.核心素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：奇函數(shù)，偶函數(shù)的概念理解

2.邏輯推理：通部分函數(shù)圖像的特性，讓學生總結它們的共同特點，所具有的共性，從而引出

奇函數(shù)，偶函數(shù)的概念，使學生學會認識事物的特殊性和一般性之間的關系，培養(yǎng)學生善于探索

的思維品質.

3.數(shù)學運算：判斷函數(shù)的奇偶性

4.直觀想象：通過奇偶函數(shù)的性質，可以直觀想象函數(shù)的圖像的大體畫法：同學們也可以通過

某函數(shù)圖像，也可以直觀的分析函數(shù)的奇偶性

5.數(shù)學建模:本節(jié)內容主要講了奇偶函數(shù)，最主要體現(xiàn)的函數(shù)圖像的對稱性，體驗數(shù)學研究嚴謹

性，感受數(shù)學對稱美

教學重難點

教學重點

函數(shù)的奇偶性及其幾何意義

教學難點

判斷函數(shù)的奇偶性的方法與格式

課前準備

PPT

教學過程

1.知識引入

例1畫出函數(shù)f(x)=x3的圖象，并觀察它的對稱性.

解先列表(如表2-2),然后描點、連線，得到函數(shù)f(x)=x3的圖象(如圖2-14).

(如表2-2)

X-2-1-1/201/212...

f(x)=x3-8-1-1/801/818

因為對任意的X,都有,(-X)3=-x3,即f(-X)=-f(X)

所以函數(shù)f(X)=x3的圖象關于原點對稱.

我們還知道，

對任意的尤，都有(-x)2=x2.

因此，對函數(shù)必幻=*2來說，總有g(-X)=g(x),

所以函數(shù)g(x)=x2的圖象關于y軸對稱(如圖2-15)

2.奇函數(shù)，偶函數(shù)的概念概述:

奇函數(shù)：一般地，設函數(shù)的定義域是A,如果當xeA時，有—xeA,且f(-x)=-f(x),那

么稱函數(shù)/(x)奇函數(shù).奇函數(shù)的圖象關于原點對稱。

偶函數(shù)：設函數(shù)f(x)的定義域是A,如果當xeA時，有一xeA,且f(-x)=f(x),那么稱函數(shù)/

偶函數(shù).偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱

重點強調

I.當函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時，稱f(x)具有奇偶性.奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域均關于原點

對稱，如(-a,a)或[-a,a]

2在研究函數(shù)時，如果知道它是奇函數(shù)或偶函數(shù)，就可以先研究它在非負區(qū)間上的性質，然后

再利用對稱性便可知它在非正區(qū)間上的性質，從而減少工作量.

3.具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.

例2根據(jù)定義，判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)f(x)=-2x'(2)g(x)=x4+2；

(3)h(x)=—；(4)m(x)=----.

xx+2

解(1)依題意知函數(shù)#x)=2/的定義域為R,且對任意的xeR,有

f(-x)=-2(-x)'=2x)―-f(x)=-(-2X5)=2X5

即f(-x)=-f(x).

所以函數(shù)f(x)=-2x5是奇函數(shù).

(2)依題意知函數(shù)g(X)=x4+2的定義域為R,且對任意的xeR,有

g(-x)=(-x)4十2=/十2,

即g(-x)=g(x).

所以函數(shù)g(x)=f十2是偶函數(shù).

⑶依題意知函數(shù)力。)=二的定義域為{x|x#O},且對任意的xe{x|x#O},有

x

，/、11

h(-x)=--=~

(-X)X

h(-x)=h(x)

所以函數(shù)〃(幻=二是偶函數(shù).

X

(4)根據(jù)定義知，如果一個函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，它的定義域是關于原點對稱的.而函數(shù)

加(幻=」—的定義域為-2},它不關于原點對稱，所以函數(shù)機(幻=」一既不是奇函

x+2x+2

題型一：奇偶性的判斷

1.判斷下列各函數(shù)是否具有奇偶性

⑴、f(x)=x3+2x⑵、f(x)=2x4+3x2

3_2

⑶、f(x)=-------⑷、f(x)=X2XG［-1,2］

x-1

(5)、/(x)=Jx-2+J2-x(6)、f(x)=y/x2-1+Vl-x2

解：⑴為奇函數(shù)⑵為偶函數(shù)⑶為非奇非偶函數(shù)

⑷為非奇非偶函數(shù)⑸為非奇非偶函數(shù)⑹既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)

x~(XN0)

2：判斷函數(shù)/(尤)=1/一的奇偶性。

-X2(x<0)

解：/(0)=()2=一/(幻

當尤>0,即—x<0時，前(一無)=—(—x)2=-X2=-/(%)

當x<0,即—x>0時，有了(―尤)=(—尤)2=-(-x)2=-/W

總有/1(-x)=/(X),故/1(X)為奇函數(shù)

題型二：利用定義解題

\

1-

1.已知函數(shù)/(x)=a-否若/(x)為奇函數(shù)，則。=_2

2.若函數(shù)f(x)=x2+(m-l)x在區(qū)間［2n-l,n］為偶函數(shù)，則m+n=_4/3_

型三：利用奇偶性求函數(shù)值

1.已知/(幻=+aV+8且/(-2)=10,那么/(2)=-26

2.已知g(幻=#+加-6且g(3)=27,那么g(-3)=27

題型四：利用圖像解題

1.設奇函數(shù)f(x)的定義域為若當xW［0,5］時，f(x)的圖象如右圖，/

則不等式/(%)<0的解是(—2,0)。(2,5)

2.若函數(shù)y(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(-8,()］上是減函數(shù)，且心)=0,

則使得_