一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1第八章立體幾何第二講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1.〖2021陜西省部分學(xué)校摸底檢測〗已知a,b,c是三條不同的直線,β是一個平面,給出下列命題:①若a⊥b,b∥c,則a⊥c;②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;③若a⊥b,b∥β,則a⊥β;④若a⊥β,b∥β,則a⊥b.其中為真命題的是()A.①③ B.①④ C.②④ D.①③④2.〖2020河南省名校4月模擬〗如圖8-2-1,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,BC=2,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),則異面直線AD與A1C所成的角為()圖8-2-1A.π2 B.π3 C.π43.〖2020合肥三檢〗點(diǎn)P是正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面DCC1D1內(nèi)的一個動點(diǎn),若△APD與△BCP的面積之比等于2,則點(diǎn)P的軌跡是()A.圓的一部分 B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分4.〖數(shù)學(xué)文化題〗《九章算術(shù)》是我國的一部古代數(shù)學(xué)專著,書中記載了一種名為“芻甍”的五面體(如圖8-2-2),其中四邊形ABCD為矩形,EF∥AB,若AB=3EF,△ADE和△BCF都是正三角形,且AD=2EF,則異面直線AE與CF所成角的大小為.

圖8-2-25.〖2020四川五校聯(lián)考〗在棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是棱C1D1,B1C1的中點(diǎn),過A,E,F三點(diǎn)作該正方體的截面,則截面的周長為.

6.〖2021貴陽市摸底測試〗如圖8-2-3,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則下列四個命題:①直線BC與平面ABC1D1所成的角等于π4;②點(diǎn)C到平面ABC1D1的距離為22;③異面直線D1C和BC1所成的角為π4;④三棱柱AA1D1-BB1C1的外接球的半徑為32.其中正確的有A.1個 B.2個 C.3個 D.4個圖8-2-37.〖2021安徽省四校聯(lián)考〗在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是棱C1D1,B1C1的中點(diǎn),P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn),若AP∥平面BDEF,則線段AP長度的取值范圍是()A.〖52,2〗 B.〖324,52〗C.〖328,628.〖2020陜西省部分學(xué)校摸底檢測〗將正方形ABCD中的△ACD沿對角線AC折起,使得平面ABC垂直于平面ACD,則異面直線AB與CD所成的角為()A.90° B.60° C.45° D.30°9.〖2020廣東七校第二次聯(lián)考〗如圖8-2-4,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P,Q分別是線段AD1和B1C上的動點(diǎn),且滿足AP=B1Q,則下列命題錯誤的是()A.存在P,Q運(yùn)動到某一位置,使AB∥PQB.△BPQ的面積為定值C.當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合時(shí),直線PB1與AQ是異面直線D.無論P(yáng),Q運(yùn)動到什么位置,均有BC⊥PQ10.〖2021黑龍江省六校聯(lián)考〗如圖8-2-5,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點(diǎn)M,N分別是棱BC,C1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P在平面A1B1C1D1內(nèi),點(diǎn)Q在線段A1N上,若PM=5,則PQ長度的最小值為.

答案第八章立體幾何第二講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1.B對于①,因?yàn)閍⊥b,b∥c,所以a⊥c(一條直線垂直于兩條平行線中的一條,也垂直于另一條),故①是真命題;對于②,若a⊥b,b⊥c,則a,c可能平行、相交,也可能異面,故②是假命題;對于③,若a⊥b,b∥β,直線a與平面β可能相交,也可能平行,故③是假命題;對于④,若b∥β,則存在l?β,使得b∥l,又a⊥β,所以a⊥l,所以a⊥b,故④是真命題.故選B.2.B取B1C1的中點(diǎn)D1,連接A1D1,D1C.易證A1D1∥AD,故A1D1,A1C所成的角就是AD,A1C所成的角.∵AB=AC=2,BC=2,D為BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC,∴AD=AB2-BD2=(2)2-12=1,∴A1D1=AD=1,又A1C=AA12+AC2=(2)2+(2)2=2,D1C=D1C12+C13.A解法一因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正方體,所以AD⊥平面DCC1D1,BC⊥平面DCC1D1,又點(diǎn)P是正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面DCC1D1內(nèi)的一個動點(diǎn),所以AD⊥DP,BC⊥CP,則S△ADPS△BCP=PDPC=2,以D為原點(diǎn),分別以DC,DD1為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)P(x,y),正方體的棱長為1,則D(0,0),C(1,0),PDPC=2,即x2+y2(x-1)2+y2=2,化簡整理得x2+y2-83x+43=0,因?yàn)辄c(diǎn)P是正方體ABCD-A1B1C1D解法二因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正方體,所以AD⊥平面DCC1D1,BC⊥平面DCC1D1,又點(diǎn)P是正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面DCC1D1內(nèi)的一個動點(diǎn),所以AD⊥DP,BC⊥CP,則S△ADPS△BCP=PDPC=2,所以P點(diǎn)的軌跡為圓,又點(diǎn)P是正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面DCC1D1內(nèi)的一個動點(diǎn),所以點(diǎn)〖方法總結(jié)〗在平面內(nèi),一動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)λ(λ≠1),則動點(diǎn)的軌跡為圓.4.π2如圖D8-2-6,在平面ABFE中,過F作FG∥AE交AB于G,連接CG,則∠CFG或其補(bǔ)角為異面直線AE與CF所成的角.設(shè)EF=1,則AB=3,AD=2.因?yàn)镋F∥AB,AE∥FG,所以四邊形AEFG為平行四邊形,所以FG=AE=AD=2,AG=1,BG=2,又AB⊥BC,所以GC=BG2+BC2=22,又CF=BC=2,所以CG2=GF2+CF2,所以∠CFG=π圖D8-2-65.613+32如圖D8-2-7,延長EF,A1B1,相交于點(diǎn)M,連接AM,交BB1于點(diǎn)H,延長FE,A1D1,相交于點(diǎn)N,連接AN,交DD1于點(diǎn)G,連接FH,EG,可得截面為五邊形AHFEG.因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體,且E,F分別是棱C1D1,B1C1的中點(diǎn),易得EF=32,AG=AH=213,EG=FH=13,截面的周長為AH+HF+EF+EG+AG=613+32.圖D8-2-76.C正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,對于①,直線BC與平面ABC1D1所成的角為∠CBC1=π4,故①正確;對于②,點(diǎn)C到平面ABC1D1的距離為B1C長度的一半,即距離為22,故②正確;對于③,連接AC,因?yàn)锽C1∥AD1,所以異面直線D1C和BC1所成的角即直線D1C和AD1所成的角,又△ACD1是等邊三角形,所以異面直線D1C和BC1所成的角為π3,故③錯誤;對于④,三棱柱AA1D1-BB1C1的外接球就是正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球,正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球半徑r=127.B如圖D8-2-8所示,分別取棱A1B1,A1D1的中點(diǎn)M,N,連接MN,B1D1,∵M(jìn),N,E,F均為所在棱的中點(diǎn),∴MN∥B1D1,EF∥B1D1,∴MN∥EF,又MN?平面BDEF,EF?平面BDEF,∴MN∥平面BDEF.連接NF,AN,AM,則NF∥A1B1,NF=A1B1,又A1B1∥AB,A1B1=AB,∴NF∥AB,NF=AB,∴四邊形ANFB為平行四邊形,則AN∥FB,而AN?平面BDEF,FB?平面BDEF,∴AN∥平面BDEF.又AN∩NM=N,∴平面AMN∥平面BDEF.又P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn),且AP∥平面BDEF,∴點(diǎn)P在線段MN上.在Rt△AA1M中,AM=AA12+A1M2=1+14=52,同理,在Rt△AA1N中,得AN=52,則△AMN為等腰三角形.當(dāng)P在MN的中點(diǎn)時(shí),AP最小,為(52)2-(2圖D8-2-88.B如圖D8-2-9,連接BD,取AC,BD,AD的中點(diǎn)分別為O,M,N,連接ON,OM,MN,則由三角形的中位線定理知ON=12CD,MN=12AB,所以所求的角為∠ONM或其補(bǔ)角.連接BO,OD,因?yàn)锳B=BC,所以BO⊥AC.因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ACD,且平面ABC∩平面ACD=AC,BO?平面ABC,所以BO⊥平面ACD,所以BO⊥OD.設(shè)原正方形ABCD的邊長為2,則BO=OD=2,所以BD=2,所以O(shè)M=12ON=MN=OM=1,所以△OMN是等邊三角形,所以∠ONM=60°,即異面直線AB與CD所成的角為60°,故選B.9.B對于選項(xiàng)A,當(dāng)P,Q分別是線段AD1和B1C的中點(diǎn)時(shí),AB∥PQ,故A正確;對于選項(xiàng)B,P在A處時(shí),△BPQ的面積為12,P在AD1的中點(diǎn)時(shí),△BPQ的面積為24,故△BPQ的面積不是定值,故B錯誤;對于選項(xiàng)C,當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合時(shí),假設(shè)直線PB1與AQ是共面直線,則AP與B1Q共面,與題意矛盾,所以直線PB1與AQ是異面直線,故C正確;對于選項(xiàng)D,BC垂直于PQ在平面ABCD內(nèi)的射影,由三垂線定理得無論P(yáng),Q運(yùn)動到什么位置,均有BC⊥10.355-1如圖D8-2-10,取B1C1的中點(diǎn)O,連接OM,OP,則MO⊥平面A1B1C1D1,所以MO⊥OP.因?yàn)镻M=5,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,N是D1C1的中點(diǎn),所以A1N=5,OP=1,所以點(diǎn)P在以O(shè)為圓心,1為半徑的位于平面A1B1C1D1內(nèi)的半圓上,單獨(dú)畫出平面A1B1C1D1及相關(guān)點(diǎn)、線,如圖D8-2-11,所以點(diǎn)O到A1N的距離減去半徑就是PQ長度的最小值.連接A1O,ON,作OH⊥A1N交A1N于H,則S△A1NO=2×2-12×2×1-12×1×1-1解得OH=355,所以PQ長度的最小值為3圖D8-2-10圖D8-2-11第八章立體幾何第二講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1.〖2021陜西省部分學(xué)校摸底檢測〗已知a,b,c是三條不同的直線,β是一個平面,給出下列命題:①若a⊥b,b∥c,則a⊥c;②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;③若a⊥b,b∥β,則a⊥β;④若a⊥β,b∥β,則a⊥b.其中為真命題的是()A.①③ B.①④ C.②④ D.①③④2.〖2020河南省名校4月模擬〗如圖8-2-1,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,BC=2,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),則異面直線AD與A1C所成的角為()圖8-2-1A.π2 B.π3 C.π43.〖2020合肥三檢〗點(diǎn)P是正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面DCC1D1內(nèi)的一個動點(diǎn),若△APD與△BCP的面積之比等于2,則點(diǎn)P的軌跡是()A.圓的一部分 B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分4.〖數(shù)學(xué)文化題〗《九章算術(shù)》是我國的一部古代數(shù)學(xué)專著,書中記載了一種名為“芻甍”的五面體(如圖8-2-2),其中四邊形ABCD為矩形,EF∥AB,若AB=3EF,△ADE和△BCF都是正三角形,且AD=2EF,則異面直線AE與CF所成角的大小為.

圖8-2-25.〖2020四川五校聯(lián)考〗在棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是棱C1D1,B1C1的中點(diǎn),過A,E,F三點(diǎn)作該正方體的截面,則截面的周長為.

6.〖2021貴陽市摸底測試〗如圖8-2-3,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則下列四個命題:①直線BC與平面ABC1D1所成的角等于π4;②點(diǎn)C到平面ABC1D1的距離為22;③異面直線D1C和BC1所成的角為π4;④三棱柱AA1D1-BB1C1的外接球的半徑為32.其中正確的有A.1個 B.2個 C.3個 D.4個圖8-2-37.〖2021安徽省四校聯(lián)考〗在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是棱C1D1,B1C1的中點(diǎn),P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn),若AP∥平面BDEF,則線段AP長度的取值范圍是()A.〖52,2〗 B.〖324,52〗C.〖328,628.〖2020陜西省部分學(xué)校摸底檢測〗將正方形ABCD中的△ACD沿對角線AC折起,使得平面ABC垂直于平面ACD,則異面直線AB與CD所成的角為()A.90° B.60° C.45° D.30°9.〖2020廣東七校第二次聯(lián)考〗如圖8-2-4,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P,Q分別是線段AD1和B1C上的動點(diǎn),且滿足AP=B1Q,則下列命題錯誤的是()A.存在P,Q運(yùn)動到某一位置,使AB∥PQB.△BPQ的面積為定值C.當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合時(shí),直線PB1與AQ是異面直線D.無論P(yáng),Q運(yùn)動到什么位置,均有BC⊥PQ10.〖2021黑龍江省六校聯(lián)考〗如圖8-2-5,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點(diǎn)M,N分別是棱BC,C1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P在平面A1B1C1D1內(nèi),點(diǎn)Q在線段A1N上,若PM=5,則PQ長度的最小值為.

答案第八章立體幾何第二講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1.B對于①,因?yàn)閍⊥b,b∥c,所以a⊥c(一條直線垂直于兩條平行線中的一條,也垂直于另一條),故①是真命題;對于②,若a⊥b,b⊥c,則a,c可能平行、相交,也可能異面,故②是假命題;對于③,若a⊥b,b∥β,直線a與平面β可能相交,也可能平行,故③是假命題;對于④,若b∥β,則存在l?β,使得b∥l,又a⊥β,所以a⊥l,所以a⊥b,故④是真命題.故選B.2.B取B1C1的中點(diǎn)D1,連接A1D1,D1C.易證A1D1∥AD,故A1D1,A1C所成的角就是AD,A1C所成的角.∵AB=AC=2,BC=2,D為BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC,∴AD=AB2-BD2=(2)2-12=1,∴A1D1=AD=1,又A1C=AA12+AC2=(2)2+(2)2=2,D1C=D1C12+C13.A解法一因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正方體,所以AD⊥平面DCC1D1,BC⊥平面DCC1D1,又點(diǎn)P是正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面DCC1D1內(nèi)的一個動點(diǎn),所以AD⊥DP,BC⊥CP,則S△ADPS△BCP=PDPC=2,以D為原點(diǎn),分別以DC,DD1為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)P(x,y),正方體的棱長為1,則D(0,0),C(1,0),PDPC=2,即x2+y2(x-1)2+y2=2,化簡整理得x2+y2-83x+43=0,因?yàn)辄c(diǎn)P是正方體ABCD-A1B1C1D解法二因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正方體,所以AD⊥平面DCC1D1,BC⊥平面DCC1D1,又點(diǎn)P是正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面DCC1D1內(nèi)的一個動點(diǎn),所以AD⊥DP,BC⊥CP,則S△ADPS△BCP=PDPC=2,所以P點(diǎn)的軌跡為圓,又點(diǎn)P是正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面DCC1D1內(nèi)的一個動點(diǎn),所以點(diǎn)〖方法總結(jié)〗在平面內(nèi),一動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)λ(λ≠1),則動點(diǎn)的軌跡為圓.4.π2如圖D8-2-6,在平面ABFE中,過F作FG∥AE交AB于G,連接CG,則∠CFG或其補(bǔ)角為異面直線AE與CF所成的角.設(shè)EF=1,則AB=3,AD=2.因?yàn)镋F∥AB,AE∥FG,所以四邊形AEFG為平行四邊形,所以FG=AE=AD=2,AG=1,BG=2,又AB⊥BC,所以GC=BG2+BC2=22,又CF=BC=2,所以CG2=GF2+CF2,所以∠CFG=π圖D8-2-65.613+32如圖D8-2-7,延長EF,A1B1,相交于點(diǎn)M,連接AM,交BB1于點(diǎn)H,延長FE,A1D1,相交于點(diǎn)N,連接AN,交DD1于點(diǎn)G,連接FH,EG,可得截面為五邊形AHFEG.因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體,且E,F分別是棱C1D1,B1C1的中點(diǎn),易得EF=32,AG=AH=213,EG=FH=13,截面的周長為AH+HF+EF+EG+AG=613+32.圖D8-2-76.C正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,對于①,直線BC與平面ABC1D1所成的角為∠CBC1=π4,故①正確;對于②,點(diǎn)C到平面ABC1D1的距離為B1C長度的一半,即距離為22,故②正確;對于③,連接AC,因?yàn)锽C1∥AD1,所以異面直線D1C和BC1所成的角即直線D1C和AD1所成的角,又△ACD1是等邊三角形,所以異面直線D1C和BC1所成的角為π3,故③錯誤;對于④,三棱柱AA1D1-BB1C1的外接球就是正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球,正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球半徑r=127.B如圖D8-2-8所示,分別取棱A1B1,A1D1的中點(diǎn)M,N,連接MN,B1D1,∵M(jìn),N,E,F均為所在棱的中點(diǎn),∴MN∥B1D1,EF∥B1D1,∴MN∥EF,又MN?平面BDEF,EF?平面BDEF,∴MN∥平面BDEF.連接NF,AN,AM,則NF∥A1B1,NF=A1B1,又A1B1∥AB,A1B1=AB,∴NF∥AB,NF=AB,∴四邊形ANFB為平行四邊形,則AN∥FB,而AN?平面BDEF,FB?平面BDEF,∴AN∥平面BDEF.又AN∩NM=N,∴平面AMN∥平面BDEF.又P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn),且AP∥平面BDEF,∴點(diǎn)P在線段MN上.在Rt△AA1M中,AM=AA12+A1M2=1+14=52,同理,在Rt△AA1N中,得AN=52,則△AMN為等腰三角形.當(dāng)P在MN的中點(diǎn)時(shí),AP最小,為(52)2-(2圖D8