第12講正比例函數(shù)知識點1：正比例函數(shù)的定義一般地，形如y=kx(k≠0）函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).知識點2：正比例函數(shù)圖像和性質(zhì)正比例函數(shù)圖象與性質(zhì)用表格概括下：k的符號圖像經(jīng)過象限性質(zhì)k＞0第一、三象限y隨x的增大而增大k＜0第二、四象限y隨x的增大而較少知識點3：待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式1.正比例函數(shù)的表達式為y＝kx(k≠0)，只有一個待定系數(shù)k，所以只要知道除(0，0)外的自變量與函數(shù)的一對對應(yīng)值或圖象上一個點的坐標(biāo)(原點除外)即可求出k的值，從而確定表達式．2.確定正比例函數(shù)表達式的一般步驟：(1)設(shè)——eq\a\vs4\al(設(shè)出)函數(shù)表達式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——eq\a\vs4\al(把已知條件代入y＝kx中)；(3)求——eq\a\vs4\al(解方程求未知數(shù))k；(4)寫——eq\a\vs4\al(寫出正比例函數(shù)的表達式)【題型一：正比例函數(shù)的定義】【典例1】（2023春?永定區(qū)期末）下列函數(shù)中，是正比例函數(shù)的是（）A． B． C．y＝x2 D．y＝2x﹣1【答案】A【解答】解：A、y＝x是正比例函數(shù)，符合題意；B、y＝是反比例函數(shù)，不符合題意；C、y＝x2是二次函數(shù)，不符合題意；D、y＝2x﹣1是一次函數(shù)，不符合題意．故選：A．【變式11】（2023春?贛州期末）下列式子中，表示y是x的正比例函數(shù)的是（）A．y＝3x2 B． C． D．y2＝3x【答案】C【解答】解：A、y＝3x2是二次函數(shù)，不符合題意；B、y＝是反比例函數(shù)，不符合題意；C、y＝是正比例函數(shù)，符合題意；D、y2＝3x不是函數(shù)，不符合題意．故選：C．【變式12】（2023春?洪江市期末）下列函數(shù)中，是正比例函數(shù)的是（）A．y＝2x﹣1 B． C． D．y＝2x2+1【答案】C【解答】解：A．y＝2x﹣1，y不是x的正比例函數(shù)，故A不符合題意；B．y＝+1，y不是x的正比例函數(shù)，故B不符合題意；C．y＝，y是x的正比例函數(shù)，故C符合題意；D．y＝2x2+1，y不是x的正比例函數(shù)，故D不符合題意．故選：C．【變式13】（2023春?朝陽區(qū)校級期中）下列變量之間的關(guān)系，一個變量是另一個變量的正比例函數(shù)的是（）A．正方形的面積S隨邊長x的變化而變化 B．面積為20的三角形的一邊上的高h隨著這邊長a的變化而變化 C．正方形的周長C隨著邊長x的變化而變化 L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（單位：L）隨著放水時間t（單位：min）的變化而變化【答案】C【解答】解：A、S＝x2是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；B、h＝是反比例函數(shù)，故此選項不符合題意；C、C＝4x是正比例函數(shù)，故此選項符合題意；D、設(shè)水箱有水xL，則V＝xt，不是正比例函數(shù)，故此選項不符合題意．故選：C．【典例2】（2023春?興隆縣期末）已知y＝（m+1）x|m|，若y是x的正比例函數(shù)，則m的值為（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0【答案】A【解答】解：∵y＝（m+1）x|m|中y是x的正比例函數(shù)，∴，解得m＝1．故選：A．【變式21】（2023春?南皮縣月考）若函數(shù)y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函數(shù)，則（）A．k≠﹣1，b＝﹣2B．k≠1，b＝﹣2 C．k＝1，b＝﹣2 D．k≠﹣1，b＝2【答案】D【解答】解：∵y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函數(shù)，∴k+1≠0，b﹣2＝0．解得k≠﹣1，b＝2．故選：D．【變式22】（2023春?永春縣期末）若y＝x+b是正比例函數(shù)，則b的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．任意實數(shù)【答案】A【解答】解：∵y＝x+b是正比例函數(shù)，∴b＝0．故選：A．【變式23】（2023春?孝感期末）若函數(shù)y＝﹣2xm﹣2+n+1是正比例函數(shù)，則m+n（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【答案】B【解答】解：由題意得：m﹣2＝1，n+1＝0，∴m＝3，n＝﹣1，∴m+n＝3﹣1＝2，故選：B．【題型二：判斷正比例函數(shù)圖像所在象限】【典例3】（2023春?朔州期末）正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限【答案】B【解答】解：∵正比例函數(shù)，∴該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，故選：B．【變式31】（2023春?鳳慶縣期末）正比例函數(shù)y＝﹣3x的圖象經(jīng)過（）象限．A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限【答案】B【解答】解：在正比例函數(shù)y＝﹣3x中，∵k＝﹣3＜0，∴正比例函數(shù)y＝﹣3x的圖象經(jīng)過第二、四象限，故選：B．【變式32】（2023春?南崗區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y＝﹣4x的圖象經(jīng)過（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限【答案】D【解答】解：在正比例函數(shù)y＝﹣4x中，∵k＝﹣4＜0，∴正比例函數(shù)y＝﹣4x的圖象經(jīng)過第二、四象限，故選：D．【題型三：正比例函數(shù)的性質(zhì)】【典例4】（2023春?樂陵市期末）關(guān)于函數(shù)y＝2x，下列說法錯誤的是（）A．它是正比例函數(shù) B．圖象經(jīng)過（1，2） C．圖象經(jīng)過一、三象限 D．當(dāng)x＞0，y＜0【答案】D【解答】解：關(guān)于函數(shù)y＝2x，A、它是正比例函數(shù)，說法正確，不合題意；B、當(dāng)x＝1時，y＝2，圖象經(jīng)過（1，2），說法正確，不合題意；C、圖象經(jīng)過一、三象限，說法正確，不合題意；D、當(dāng)x＞0時，y＞0，說法錯誤，符合題意；故選：D．【變式41】（2022秋?東勝區(qū)期末）關(guān)于函數(shù)y＝﹣3x，下列說法正確的是（）A．該函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣3，1） B．是一次函數(shù)，但不是正比例函數(shù) C．該函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限 D．隨著x的增大，y反而減小【答案】D【解答】解：A、將（﹣3，1）代入解析式，得，1≠﹣9，故本選項錯誤；B、是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)，故本選項錯誤；C、由于函數(shù)圖象過二、四象限，故本選項錯誤；D、由于函數(shù)圖象過二、四象限，則函數(shù)值y隨x的增大而減小，故本選項正確．故選：D．【變式42】（2023?金山區(qū)二模）已知函數(shù)y＝kx（k≠0，k為常數(shù)）的函數(shù)值y隨x值的增大而減小，那么這個函數(shù)圖象可能經(jīng)過的點是（）A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2）【答案】C【解答】解：∵函數(shù)y＝kx（k≠0，k為常數(shù)）的函數(shù)值y隨x值的增大而減小，∴k＜0，∴正比例函數(shù)y＝kx（k≠0，k為常數(shù)）的圖象經(jīng)過第二、四象限，∴這個函數(shù)圖象可能經(jīng)過的點是（﹣2，4）．故選：C．【變式43】（2022?臨渭區(qū)二模）已知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0），當(dāng)自變量的值減小1時，函數(shù)y的值增大3，則k的值為（）A． B． C．3 D．﹣3【答案】D【解答】解：根據(jù)題意得y+3＝k（x﹣1），即y+3＝kx﹣k，而y＝kx，所以﹣k＝3，解得k＝﹣3．故選：D．【題型四：判斷正比例函數(shù)的比例系數(shù)大小】【典例5】（2022春?南城縣校級月考）如圖，三個正比例函數(shù)的圖象分別對應(yīng)表達式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．將a，b，c按從小到大排列并用“＜”連接，正確的是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b【答案】D【解答】解：由圖象可得，a＜0＜c＜b，故選：D．【變式51】（2022秋?渠縣校級期中）三個正比例函數(shù)的表達式分別為①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【答案】C【解答】解：∵y＝ax，y＝bx的圖象都在第一三象限，y＝cx在第二四象限，∴a＞0，b＞0，c＜0，∵直線越陡，則|k|越大，∴b＞a＞c，故選：C．【變式52】（2023秋?太倉市期末）如圖，三個正比例函數(shù)的圖象分別對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，將a，b，c從小到大排列并用“＜”連接為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a(chǎn)＜c＜b【答案】D【解答】解：根據(jù)三個函數(shù)圖象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根據(jù)直線越陡，|k|越大，則b＞c．則b＞c＞a，即a＜c＜b．故選：D．【題型五：待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式】【典例6】（2023春?鼓樓區(qū)校級期末）已知y與x成正比例，且當(dāng)x＝2時，y＝4．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若點（a，3）在這個函數(shù)圖象上，求a的值．【答案】（1）y＝2x；（2）a＝．【解答】解：（1）設(shè)y＝kx（k≠0），當(dāng)x＝2，y＝4時，則4＝2k，即k＝2，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝2x；（2）∵點（a，3）在這個函數(shù)的圖象上，∴3＝2a，∴a＝．【變式61】（2023春?荊門期末）已知y與x成正比例，且x＝﹣2時y＝4，（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點（a，﹣2）在這個函數(shù)的圖象上，求a．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵y與x成正比例，∴設(shè)y＝kx，∵當(dāng)x＝﹣2時，y＝4，∴4＝﹣2k，k＝﹣2，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x，（2）∵點（a，﹣2）在函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x的圖象上，∴﹣2a＝﹣2，∴a＝1．【變式62】（2022秋?城關(guān)區(qū)期末）已知點（，1）在函數(shù)y＝（3m﹣1）x的圖象上，（1）求m的值，（2）求這個函數(shù)的解析式．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：∵點（，1）在函數(shù)y＝（3m﹣1）x的圖象上，∴將點（，1）代入正比例函數(shù)y＝（3m﹣1）x，即：1＝（3m﹣1）×，整理得：3m＝3，解得：m＝1；∴m的值為1；（2）解：∵m的值為1；∴代入y＝（3m﹣1）x，即可求出，y＝（3×1﹣1）x＝2x，∴這個函數(shù)的解析式為：y＝2x．【變式63】（2022秋?江寧區(qū)校級月考）已知y＝y(tǒng)2﹣y1，其中y1與x成正比例，y2與x+2成正比例，當(dāng)x＝﹣1時，y＝2，當(dāng)x＝2時，y＝10．（1）求y與x的函數(shù)表達式；（2）當(dāng)x取何值時，y的值為30？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)y1＝ax，y2＝b（x+2），則y＝b（x+2）﹣ax＝（b﹣a）x+2b，根據(jù)題意，得，解得．所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝（+）x+2×＝x+，即y＝x+．（2）把y＝30代入y＝x+，得30＝x+．解得x＝所以，當(dāng)x＝時，y的值為30．【題型六：正比例函數(shù)的圖像性質(zhì)綜合】【典例7】（2021春?靈山縣期末）（1）小青學(xué)習(xí)了函數(shù)后，對畫函數(shù)的圖象很感興趣，她作函數(shù)y＝|x|的圖象過程如下（請補充完整空格的部分）：當(dāng)x≥0時，得y＝x，當(dāng)x＜0時，得y＝﹣x，她在坐標(biāo)系中畫出了如圖1的圖象，所以函數(shù)y＝|x|的圖象由兩條射線構(gòu)成；同理，她用類似的方法和過程作出函數(shù)y＝|x﹣1|的圖象；（2）請你在圖2的坐標(biāo)系中作出y＝|x﹣1|的圖象；（3）學(xué)習(xí)經(jīng)驗拓展：根據(jù)上述的過程獲得的經(jīng)驗，請你畫出函數(shù)y＝|x﹣1|+|x|的圖象．【答案】（1）射線；（2）見解析；（3）見解析．【解答】解：（1）由圖可知，y＝|x|的圖象是兩條射線，故答案為射線；（2）如圖2，當(dāng)x＝1時，y＝0；當(dāng)x＝0時，y＝1；當(dāng)x＝2時，y＝1；取點（1，0）、（0，1）、（2，1）描點畫圖；（3）如圖3，當(dāng)x＝1時，y＝1；當(dāng)x＝0時，y＝1；當(dāng)x＝2時，y＝3；當(dāng)x＝﹣1時，y＝3；取點（1，1）、（0，1）、（2，3）、（﹣1，3）描點畫圖．【變式7】（2022秋?大興區(qū)校級期末）探究活動：探究函數(shù)y＝|x|的圖象與性質(zhì)，下面是小左的探究過程，請補充完整．（1）下表見y與x的幾組對應(yīng)值．x…﹣3﹣2﹣10123…y…3m10123…直接寫出m的值是2．（2）如圖．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點．請你先描出點（﹣2．m），然后畫出該函數(shù)的圖象．（3）觀察圖象，寫出函數(shù)y＝|x|的一條性質(zhì)：圖象關(guān)于y軸對稱．【答案】（1）2．（2）見解答過程．（3）圖象關(guān)于y軸對稱．【解答】解：（1）當(dāng)x＝﹣2時，y＝|﹣2|＝2，∴m＝2，故答案為：2．（2）如圖：（3）由圖象可知，圖象關(guān)于y軸對稱．故答案為：圖象關(guān)于y軸對稱．1．（2023春?東城區(qū)校級期中）下列函數(shù)中，是正比例函數(shù)的是（）A．y＝2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝2x﹣1【答案】A【解答】解：A選項，y＝2x是正比例函數(shù)的形式，故該選項正確，符合題意；B選項，不是整式，故該選項錯誤，不符合題意；C選項，x的指數(shù)是2，屬于二次函數(shù)，故該選項錯誤，不符合題意；D選項，y＝2x﹣1是一次函數(shù)，不是正比例函數(shù)，故該選項錯誤，不符合題意．故選：A．2．（2023春?信都區(qū)期末）正比例函數(shù)y＝x的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵＞0，∴正比例函數(shù)y＝x的圖象經(jīng)過第一、三象限，且靠近x軸，故選：A．3．（2023?鳳凰縣模擬）下列圖象中，表示正比例函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、不是正比例函數(shù)圖象，故此選項錯誤；B、是正比例函數(shù)圖象，故此選項正確；C、不是正比例函數(shù)圖象，故此選項錯誤；D、不是正比例函數(shù)圖象，故此選項錯誤；故選：B．4．（2023春?靈寶市期末）已知（x1，y1）和（x2，y2）是直線y＝﹣3x上的兩點，且x1＞x2，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．以上都有可能【答案】B【解答】解：∵k＝﹣3＜0，∴y隨x的增大而減?。帧選1＞x2，∴y1＜y2．故選：B．5．（2023春?南寧期末）一次函數(shù)y＝2x的圖象經(jīng)過的象限是（）A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限【答案】A【解答】解：一次函數(shù)y＝2x為正比例函數(shù)，k＝2＞0，故圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點和一、三象限，故選：A．6．（2023春?廊坊期末）下列關(guān)于正比例函數(shù)y＝3x的說法中，正確的是（）A．當(dāng)x＝3時，y＝1 B．它的圖象是一條過原點的直線 C．y隨x的增大而減小 D．它的圖象經(jīng)過第二、四象限【答案】B【解答】解：A、當(dāng)x＝3時，y＝9，故本選項錯誤；B、∵直線y＝3x是正比例函數(shù)，∴它的圖象是一條過原點的直線，故本選項正確；C、∵k＝3＞0，∴y隨x的增大而增大，故本選項錯誤；D、∵直線y＝3x是正比例函數(shù)，k＝3＞0，∴此函數(shù)的圖象經(jīng)過一三象限，故本選項錯誤．故選：B．7．（2022春?道里區(qū)期末）已知函數(shù)y＝（k﹣3）x，y隨x的增大而減小，則常數(shù)k的取值范圍是（）A．k＞3 B．k＜3 C．k＜﹣3 D．k＜0【答案】B【解答】解：∵函數(shù)y＝（k﹣3）x，y隨x的增大而減小，∴k﹣3＜0，解得k＜3．故選：B．8．（2022?碑林區(qū)校級模擬）若一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，﹣3），則這個圖象一定也經(jīng)過點（）A．（﹣3，2） B．（，﹣1） C．（，﹣1） D．（﹣，1）【答案】C【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝kx經(jīng)過點（2，﹣3），∴﹣3＝2k，解得k＝﹣；∴正比例函數(shù)的解析式是y＝﹣x；A、∵當(dāng)x＝﹣3時，y≠2，∴點（﹣3，2）不在該函數(shù)圖象上；故本選項錯誤；B、∵當(dāng)x＝時，y≠﹣1，∴點（，﹣1）不在該函數(shù)圖象上；故本選項錯誤；C、∵當(dāng)x＝時，y＝﹣1，∴點（，﹣1）在該函數(shù)圖象上；故本選項正確；D、∵當(dāng)x＝﹣時，y≠1，∴點（﹣，1）不在該函數(shù)圖象上；故本選項錯誤．故選：C．9．（2021?蘆淞區(qū)模擬）已知正比例函數(shù)y＝（m﹣1）x的圖象上兩點A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)x1＜x2時，有y1＞y2，那么m的取值范圍是（）A．m＜1 B．m＞1 C．m＜2 D．m＞0【答案】A【解答】解：根據(jù)題意，知：y隨x的增大而減小，則m﹣1＜0，即m＜1．故選：A．10．（2019?武功縣一模）對于正比例函數(shù)y＝﹣2x，當(dāng)自變量x的值增加1時，函數(shù)y的值增加（）A． B． C．2 D．﹣2【答案】D【解答】解：令x＝a，則y＝﹣2a；令x＝a+1，則y＝﹣2（a+1）＝﹣2a﹣2，所以y減少2；故選：D．11．（2023春?尋烏縣期末）若函數(shù)y＝3xm﹣2是正比例函數(shù)，則m的值是3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵函數(shù)y＝3xm﹣2是正比例函數(shù)，∴m﹣2＝1，解得：m＝3，則m的值是：3．故答案為：3．12．（2022春?青山區(qū)期末）已知函數(shù)y＝2x+m﹣1是正比例函數(shù)，則m＝1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意，得m﹣1＝0，解得m＝1，故答案為：1．13．（2023?范縣一模）寫出一個y隨x的增大而減小的正比例函數(shù)的表達式y(tǒng)＝﹣2x、y＝﹣3x等．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵正比例函數(shù)的一般形式為y＝kx，并且y隨x的增大而減小，∴答案不唯一：y＝﹣2x、y＝﹣3x等．14．（2021?包河區(qū)校級開學(xué)）已知正比例函數(shù)y＝kx，當(dāng)﹣2≤x≤2時，函數(shù)有最大值3，則k的值為或﹣．【答案】或﹣．【解答】解：當(dāng)k＞0時，函數(shù)y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝2時，y＝3，∴2k＝3，解得k＝；當(dāng)k＜0時，函數(shù)y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝﹣2時，y＝3，∴﹣2k＝3，解得k＝﹣．∴k的值為或﹣，故答案為或﹣．15．（2022秋?寧波期末）已知y與x之間成正比例關(guān)系，且當(dāng)x＝﹣1時，y＝3．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x＝2時，求y的值．【答案】（1）y＝﹣3x．（2）﹣6．【解答】解（1）設(shè)y＝kx（k≠0），把x＝﹣1，y＝3代入y＝kx，得k＝﹣3，所以y＝﹣3x．（2）把x＝2代入y＝﹣3x，得y＝﹣3×2＝﹣6．16．（2023春?陵城區(qū)校級月考）已知y﹣2與