第七章空間向量與立體幾何7.2.2點線面的位置關系（針對練習）針對練習針對練習一點線面的位置關系1．設是兩個不同的平面，是兩條不同直線，則下列命題中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，且與所成的角和與所成的角相等，則2．若是兩條不同的直線，是三個不同平面，則下列命題錯誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則3．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，則∥ B．若，則C．若m⊥α,n?α，則 D．若4．設是空間中不同的直線，是不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．則C．若，則D．若，則5．設m，n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則針對練習二線面平行的判定6．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，與交于點O，E為的中點，求證：平面7．已知四棱錐的底面是菱形，為的中點，求證：平面8．如圖，M，N，K分別是正方體的棱的中點．求證：∥平面．9．如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，為側棱的中點，求證：平面10．如圖，在四棱錐中，已知平面平面，，，，是等邊的中線.證明：平面.針對練習三面面平行的判定11．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形.點M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD．求證：平面MNQ平面PBC．12．如圖：在正方體中，E為的中點.（1）求證：平面；（2）若F為的中點，求證：平面平面.13．如圖所示，正方體中，、、、分別是棱、、、的中點.求證：平面平面.14．如圖，在三棱柱中，、分別是棱、的中點，求證：平面平面．15．如圖所示，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，，G是DE的中點.求證：面面BEF.針對練習四線面平行的性質16．如圖，直三棱柱中，，，是邊的中點，過作截面交于點．求證：；17．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是的中點，在上取一點，過點和作平面，交平面于，點在線段上.求證：.18．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，且．點E是棱PC的中點，平面與棱PD交于點F．(1)求證:平面；(2)求證：；19．如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，直線平面，分別是，的中點.記平面與平面的交線為，求證：直線平面20．如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，，和分別是，和的中點.(1)證明：平面；(2)已知直線與平面相交于點，求的值.針對練習五面面平行的性質21．如圖，在長方體中，E，M，N分別是BC，AE，的中點，求證：平面.22．如圖，在棱長為a的正方體中，點M為A1B上任意一點，求證：DM∥平面CB1D1．23．如圖，四邊形與均為邊長為1的菱形，，且．（1）求證：平面；（2）求點A到平面的距離．24．如圖①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D為AP的中點，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，CB的中點，將△PCD沿CD折起，得到四棱錐P-ABCD，如圖②.求證:在四棱錐P-ABCD中，AP平面EFG.25.如圖，已知平面平面，點P是平面，外一點，且直線PB，PD分別與，相交于點A，B和點C，D．如果，，，求PD的長．針對練習六線面垂直的判定26．如圖，四邊形是邊長為1的正方形，平面，平面，.證明：平面.27．如圖，是圓的直徑，點是圓上的點，過點的直線VC垂直于圓所在平面，分別是的中點.求證：(1)平面；(2)平面.28．如圖：已知四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，求證：(1)PC∥平面EBD；(2)BC⊥平面PCD．29．如圖，正方體中，點，分別為棱，的中點.(1)證明：平面；(2)證明：平面.30．如圖，在棱長都相等的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AA1，B1C的中點.(1)求證：DE平面ABC；(2)求證：B1C⊥平面BDE.針對練習七面面垂直的判定31．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D、E分別是AB、PB的中點．(1)求證：平面PAC；(2)求證：平面PAB⊥平面PBC．32．如圖，已知正方體，試求證：平面平面．33．如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面平面ABCD，，，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點．求證：(1)∥平面PCD；(2)平面平面PCD．34．如圖，在直三棱柱中，，，與交于點，為的中點，(1)求證：平面；(2)求證：平面平面．35．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面平面，，，分別為，的中點．(1)求證：平面平面；(2)求證：平面平面．針對練習八線面垂直的性質36．已知四棱錐中，底面為正方形，平面，，，、分別為、的中點.求證：；37．如圖，已知在正方體中，E為的中點．求證：．38．如圖，在三棱錐中，，．求證：．39．如圖，正方體中，求證.40．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面．證明：；針對練習九面面垂直的性質41．如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，求證：平面42．如圖，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，求證：AE平面BCD.43．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AD，已知平面PAB⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點.求證:（1）AB平面DEF;（2）BC⊥平面DEF.44．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，E為AD的中點.求證：PE⊥BC.45．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC，為等邊三角形.（1）求證：PB⊥BC；（2）若平面PAD⊥平面PCD，求證：平面PAD⊥平面ABCD.第七章空間向量與立體幾何7.2.2點線面的位置關系（針對練習）針對練習針對練習一點線面的位置關系1．設是兩個不同的平面，是兩條不同直線，則下列命題中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，且與所成的角和與所成的角相等，則【答案】B【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關系有關知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，若，則與可能平行，所以A選項錯誤.B選項，兩個平面垂直于同一個平面，則這兩個平面平行，所以B選項正確.C選項，若，則可能含于，所以C選項錯誤.D選項，若，且與所成的角和與所成的角相等，則可能與異面或相交，故選：B2．若是兩條不同的直線，是三個不同平面，則下列命題錯誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)空間中直線與平面,平面與平面的位置關系即可逐一求解.【詳解】對于，由平行具有傳遞可知正確；對于B，若，則，又，則故B正確；對于，若，則或，C錯誤；對于D，由，則，D正確.故選：C.3．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，則∥ B．若，則C．若m⊥α,n?α，則 D．若【答案】C【分析】根據(jù)線面，面面平行的判定和性質，線面垂直的判定和性質分析判斷即可.【詳解】對于A，當時，可能與平行，可能在內，所以A錯誤，對于B，當時，可能平行，可能異面，所以B錯誤，對于C，當m⊥α,n?對于D，當時，與可能垂直，可能相交不垂直，可能平行，所以D錯誤，故選：C4．設是空間中不同的直線，是不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】A缺線在面外的條件不成立，B中兩條直線可以為異面、相交、平行，由面面平行性質定理知C正確，D中兩條直線可平行，不一定垂直.【詳解】對于A，若，則或，故A錯誤；對于B，若，則m∥n或m與n異面或m與n相交，故B錯誤；對于C，若，則，由面面平行性質定理知正確，故C正確；對于D，若，則可以平行，相交，異面，不能得到，故D錯誤．故選：C．5．設m，n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】由空間線面位置關系的判定及性質依次判斷即可.【詳解】對于A，若，則m與平行、相交或，故A錯誤；對于B，若，，，則與相交或平行，故B錯誤；對于C，若，則m與n平行或異面，故C錯誤；對于D，若，則存在直線，使得，又，所以，又，則，故D正確．故選：D．針對練習二線面平行的判定6．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，與交于點O，E為的中點，求證：平面【答案】證明見解析【分析】利用線面平行的判斷定理，即可直接證明.【詳解】∵四邊形為正方形，∴O為的中點，∵E為的中點，∴，又∵平面平面，∴平面；7．已知四棱錐的底面是菱形，為的中點，求證：平面【答案】證明見解析【分析】作出輔助線，得到線線平行，從而證明出線面平行【詳解】連接交于，連接，∵四邊形是菱形，是中點，又是中點面，面面8．如圖，M，N，K分別是正方體的棱的中點．求證：∥平面．【答案】證明見解析【分析】由線面平行的判定定理證明【詳解】證明：連接．因為N，K分別為的中點，所以且，于是四邊形為平行四邊形，所以．因為平面，平面，所以∥平面．9．如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，為側棱的中點，求證：平面【答案】證明見解析【分析】利用平行的傳遞性證明，從而四邊形是平行四邊形，所以，由線面平行的判定定理即可證明【詳解】取的中點，連接，，在中，，在梯形中，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；10．如圖，在四棱錐中，已知平面平面，，，，是等邊的中線.證明：平面.【答案】證明見解析.【分析】根據(jù)題意，取的中點，連接，，根據(jù)四邊形是平行四邊形得到，再根據(jù)線面平行的判定定理證明平面.【詳解】證明：如圖，取的中點，連接，，因為是棱的中點，所以，且.因為，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.針對練習三面面平行的判定11．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形.點M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD．求證：平面MNQ平面PBC．【答案】證明見解析【分析】由相似三角形的性質得NQBP，進而得NQ平面PBC；結合MQ平面PBC和MQ∩NQ=Q即可.【詳解】∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD，∴MQAD，NQBP.又∵BP?平面PBC，NQ?平面PBC，∴NQ平面PBC.∵四邊形ABCD為平行四邊形.∴BCAD，∴MQBC.又∵BC?平面PBC，MQ?平面PBC，∴MQ平面PBC.又∵MQ∩NQ=Q，∴平面MNQ平面PBC.12．如圖：在正方體中，E為的中點.（1）求證：平面；（2）若F為的中點，求證：平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連結交于O，連結.可證，即可得證；（2）首先可證，即可得到∥平面，再由（1）的結論即可得證；【詳解】解：（1）連結交于O，連結.∵因為為正方體，底面為正方形，對角線?交于O點，所以O為的中點，又因為E為的中點，在中∴是的中位線∴；又因為平面，平面，所以平面.（2）證明：因為F為的中點，E為的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以∥平面；由（1）知平面，又因為，所以平面平面.13．如圖所示，正方體中，、、、分別是棱、、、的中點.求證：平面平面.【答案】證明見解析.【解析】連接，由線面平行的判定可得平面，同理可得平面，再由面面平行的判定即可得證.【詳解】證明：連接，如圖，∵、是、的中點，四邊形為正方形，∴且，又且，∴且，∴四邊形是平行四邊形.∴.∵平面，平面，∴平面，同理平面，又平面，平面，，∴平面平面.14．如圖，在三棱柱中，、分別是棱、的中點，求證：平面平面．【答案】證明見解析【分析】設與的交點為，連結，證明，再由線面平行的判定可得平面；由為線段的中點，點是的中點，證得四邊形為平行四邊形，得到，進一步得到平面．再由平面，結合面面平行的判定可得平面平面．【詳解】證明：設與的交點為，連結，四邊形為平行四邊形，為中點，又是的中點，是三角形的中位線，則，又平面，平面，平面；為線段的中點，點是的中點，且，則四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面．又平面，，且平面，平面，平面平面．【點睛】本題考查直線與平面，平面與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題．15．如圖所示，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，，G是DE的中點.求證：面面BEF.【答案】證明見解析【解析】根據(jù)已知條件可證面BEF，面BEF，即可證明結論.【詳解】如圖所示，連接BD交AC于點O，連接OG，易知O是BD的中點，故.又面BEF，面BEF，所以面BEF.因為，面BEF，所以面BEF.又AC與OG相交于點O，AC，OG面，所以面面BEF.【點睛】本題考查面面平行的證明，屬于基礎題.針對練習四線面平行的性質16．如圖，直三棱柱中，，，是邊的中點，過作截面交于點．求證：；【答案】證明見解析【分析】先利用線面平行的判定定理證得平面，再利用線面平行的性質定理證明.【詳解】證明：如圖，在直三棱錐中，因為平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.17．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是的中點，在上取一點，過點和作平面，交平面于，點在線段上.求證：.【答案】證明見解析【解析】連接交于點，連接，推導出．從而平面．由線面平行的性質定理可證明．【詳解】證明：如圖，連接，設交于點，連接．∵四邊形是平行四邊形，∴是的中點又是的中點，∴.又平面，平面BDM，∴平面又平面，平面平面，∴．【點睛】本題考查線線平行的判定定理和性質定理的應用，屬于基礎題．18．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，且．點E是棱PC的中點，平面與棱PD交于點F．(1)求證:平面；(2)求證：；【答案】（1）證明見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)本題首先可根據(jù)菱形的相關性質得出，然后根據(jù)線面平行的相關證明即可得出結論；(2)本題首先可根據(jù)(1)得出面，然后根據(jù)題意得出四點共面，最后根據(jù)線面平行的相關性質即可得出結果．【詳解】(1)因為底面是菱形，所以，因為面，面，所以面．(2)由(1)可知面，因為四點共面，且平面平面，所以．【點睛】本題考查線面平行的相關性質以及線面平行的相關證明，若要證明線面平行，則需要證明直線與平面內的一條直線平行，考查通過線面平行證明線線平行，考查推理能力，是簡單題．19．如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，直線平面，分別是，的中點.記平面與平面的交線為，求證：直線平面【答案】證明見解析【分析】先通過可得出平面，再利用線面平行的性質即可證明.【詳解】因為分別是的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面，又平面，平面與平面的交線為，所以，而平面，平面，所以平面PAC.20．如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，，和分別是，和的中點.(1)證明：平面；(2)已知直線與平面相交于點，求的值.【答案】(1)證明見解析.(2)【分析】（1）首先取的中點，連接，，易證四邊形為平時四邊形，從而得到，再根據(jù)線面平行的判定即可得到平面（2）首先根據(jù)（1）得到平面，從而得到.取的中點，連接，得到，則，從而得到.(1)取的中點，連接，，如圖所示：因為，分別為，的中點，所以，，又因為為的中點，所以，，所以，，即四邊形為平時四邊形，所以.因為平面，平面，，所以平面.(2)由（1）知：，平面，平面，所以平面，又因為平面平面，所以.取的中點，連接，如圖所示：則，則.所以，則.針對練習五面面平行的性質21．如圖，在長方體中，E，M，N分別是BC，AE，的中點，求證：平面.【答案】證明見解析【解析】取CD的中點K.連接MK，NK，可證，得出平面，可證，得出平面，進而得出平面平面，即可證明結論,【詳解】證明：如圖，取CD的中點K.連接MK，NK.∵M，K分別是AE，CD的中點，∴.又平面，平面，∴平面.又∵N是的中點，∴.又平面，平面，∴平面，又平面MNK，平面ANK，，∴平面平面.又平面MNK，∴平面.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查面面平行的性質定理，屬于基礎題.22．如圖，在棱長為a的正方體中，點M為A1B上任意一點，求證：DM∥平面CB1D1．【答案】證明見解析【分析】先利用線面平行的判定定理證明A1D∥平面CB1D1，BD∥平面CB1D1，再利用面面平行的判定定理證明平面A1BD∥平面，最后利用面面平行的性質定理得到結論.【詳解】證明：由正方體ABCD－A1B1C1D1，知A1B1AB，ABCD，所以A1B1CD．所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，所以A1D∥B1C．而平面CB1D1，A1D平面CB1D1，所以A1D∥平面CB1D1．同理BD∥平面CB1D1，且A1D∩BD＝D．所以平面A1BD∥平面，因為平面A1BD，所以DM∥平面CB1D1．【點睛】本題主要考查了線面以及面面平行的判定定理以及面面平行的性質定理.屬于較易題.23．如圖，四邊形與均為邊長為1的菱形，，且．（1）求證：平面；（2）求點A到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）先通過平面，平面得出平面平面，即可證明；（2）設，連接，可得平面BDEF，即點A到平面的距離為，求出即可.【詳解】（1），平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，平面，平面平面，平面，平面；（2）設，連接，，，又，平面BDEF，即點A到平面的距離為，，為等邊三角形，，即點A到平面的距離為.24．如圖①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D為AP的中點，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，CB的中點，將△PCD沿CD折起，得到四棱錐P-ABCD，如圖②.求證:在四棱錐P-ABCD中，AP平面EFG.【答案】證明見解析.【分析】通過證明平面平面來證得平面.【詳解】在四棱錐P-ABCD中，E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點，∴EFCD.∵ABCD，∴EFAB.∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF平面PAB.同理EG平面PAB.又EF∩EG=E，∴平面EFG平面PAB.∵AP?平面PAB，∴AP平面EFG.25.如圖，已知平面平面，點P是平面，外一點，且直線PB，PD分別與，相交于點A，B和點C，D．如果，，，求PD的長．【答案】【分析】根據(jù)面面平行的性質，結合平行線的性質進行求解即可【詳解】由題意可知：平面，平面，因為平面平面，所以，因此有.針對練習六線面垂直的判定26．如圖，四邊形是邊長為1的正方形，平面，平面，.證明：平面.【答案】證明見解析【分析】設，通過證明、來證得平面.【詳解】設，連接，設，如圖所示，因為平面，平面，所以.又，所以四邊形為平行四邊形.因為平面，平面，所以，所以四邊形為矩形，且.由為的中點，得，所以，所以，從而，因為，所以，從而，即.因為四邊形為正方形，所以，又平面，且平面，所以，又，平面，且，所以平面.又平面，所以.又，，平面，所以平面.27．如圖，是圓的直徑，點是圓上的點，過點的直線VC垂直于圓所在平面，分別是的中點.求證：(1)平面；(2)平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由為的中點，可得，結合線面平行的判定定理，即可證得平面.（2）利用線面垂直的判定定理，證得平面，結合，即可證得平面.(1)證明：因為為的中點，可得，又因為平面，平面，根據(jù)線面平行的判定定理，可得平面.(2)證明：因為為的直徑，點是上的點，所以，又因為垂直于所在的平面，且在所在的平面內，所以，又由且平面，所以平面，又因為，所以平面.28．如圖：已知四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，求證：(1)PC∥平面EBD；(2)BC⊥平面PCD．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）連AC，與BD交于O，利用三角形的中位線，可得線線平行，從而可得線面平行；（2）證明BC⊥PD，BC⊥CD，即可證明BC⊥平面PCD．(1)連AC，與BD交于O，連接EO∵ABCD是正方形，∴O是AC的中點，∵E是PA的中點，∴EO∥PC又∵EO?平面EBD，PC?平面EBD∴PC∥平面EBD；(2)∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD∴BC⊥PD∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD又∵PD∩CD＝D∴BC⊥平面PCD．29．如圖，正方體中，點，分別為棱，的中點.(1)證明：平面；(2)證明：平面.【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.【分析】（1）利用線面垂直的判定定理即證；（2）設，由題可得EF∥GB，再利用線面平行的判定定理可證.(1)由正方體的性質，可得，平面，∴，又，∴平面；(2)設，連接，則∴，∴四邊形BFEG為平行四邊形，∴EF∥GB，又平面，平面，∴平面30．如圖，在棱長都相等的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AA1，B1C的中點.(1)求證：DE平面ABC；(2)求證：B1C⊥平面BDE.【答案】(1)證明過程見解析；(2)證明過程見解析.【分析】（1）根據(jù)面面平行的判定定理，結合線面平行的判定定理、面面平行的性質進行證明即可；（2）根據(jù)正三棱柱的幾何性質，結合面面垂直的性質定理、線面垂直的判定定理、面面平行的性質定理進行證明即可.(1)設G是CC1的中點，連接，因為E為B1C的中點，所以，而，所以，因為平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，同理可證平面ABC，因為平面，且，所以面平面ABC，而平面，所以DE平面ABC；(2)設是的中點，連接，因為E為B1C的中點，所以，而，所以，由（1）可知：面平面ABC，平面平面，平面平面，因此，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面平面ABC，而平面平面ABC，因為ABC是正三角形，是的中點，所以，因此平面，而平面，因此，而，所以，因為正三棱柱ABC－A1B1C1中棱長都相等，所以，而E分別為B1C的中點，所以，而平面BDE，，所以B1C⊥平面BDE.針對練習七面面垂直的判定31．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D、E分別是AB、PB的中點．(1)求證：平面PAC；(2)求證：平面PAB⊥平面PBC．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）依題意根據(jù)三角形中位線的性質得到，即可得證；（2）由線面垂直的性質得到，再根據(jù)，即可得到平面，即可得證；(1)證明：∵點D、E分別是棱AB、PB的中點，∴，又∵平面，平面；

∴平面．(2)證明：∵底面，底面，∴，∵，，平面，∴平面，又∵AB?平面，∴平面平面．32．如圖，已知正方體，試求證：平面平面．【答案】證明見解析【分析】由，結合面面垂直的判定定理證明即可.【詳解】因為平面，平面，所以.又，，平面所以平面，又平面，所以平面平面．33．如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面平面ABCD，，，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點．求證：(1)∥平面PCD；(2)平面平面PCD．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)取PC的中點G，連接FG，DG，由DEFG為平行四邊形得；(2)由平面平面ABCD得平面PAD，得，結合得平面PAB．(1)如圖，取PC的中點G，連接FG，DG．∵F，G分別為PB，PC的中點，∴，．∵四邊形ABCD為矩形，且E為AD的中點，∴，．∴，．∴四邊形DEFG為平行四邊形．∴．又∵平面PCD，平面PCD，∴平面PCD．(2)∵底面ABCD為矩形，∴．又∵平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，∴平面PAD，∵平面PAD，∴．又∵，，∴平面PAB．∵平面PCD，∴平面平面PCD．34．如圖，在直三棱柱中，，，與交于點，為的中點，(1)求證：平面；(2)求證：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)直棱柱的性質、平行四邊形的性質，結合三角形中位線定理、線面平行的判定定理進行證明即可；（2）根據(jù)直棱柱的性質、菱形的判定定理和性質，結合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進行證明即可.(1)在直三棱柱中，，且四邊形為平行四邊形，又，則為的中點，又為的中點，故，即：，且平面，平面，所以平面；(2)在直三棱柱中，平面，平面，則，且，，平面，故平面，因為平面，所以，又在平行四邊形中，，則四邊形為菱形，所以，且，平面，故平面，因為平面，所以平面平面.35．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面平面，，，分別為，的中點．(1)求證：平面平面；(2)求證：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題意易知，平面，平面，根據(jù)面面平行的判定定理即可證出；（2）根據(jù)平面知識可證，再根據(jù)面面垂直的性質定理可知平面，即可根據(jù)面面垂直的判定定理證出．(1)因為，分別為，的中點，所以，又平面，平面，所以平面①；因為且，所以四邊形為平行四邊形，即有，又平面，平面，所以平面②，由①②及，平面，所以平面平面．(2)由（1）可知，，所以，即有，而平面平面，平面平面，所以平面，而平面，所以平面平面．針對練習八線面垂直的性質36．已知四棱錐中，底面為正方形，平面，，，、分別為、的中點.求證：；【答案】證明見解析.【分析】先證明兩兩互相垂直，然后建立直角坐標系，用向量法證明即可.【詳解】連接FC，∵面，面，∴又，面，，∴平面即平面，∴∴以為坐標原點，以、、方向分別為，，軸正向建立空間直角坐標系，則，，，∴，，∴，∴.37．如圖，已知在正方體中，E為的中點．求證：．【答案】證明見解析.【分析】由正方體性質知且面，再根據(jù)線面垂直的性質有，由線面垂直的判定及性質即可證結論.【詳解】連接，在正方體中且面，又面，則，且，、面，所以面，又面，即.38．如圖，在三棱錐中，，．求證：．【答案】見解析【分析】轉化為證明線面垂直，再利用線面垂直的性質得出結論.【詳解】如圖：取的中點，連接、.因為，，所以，.又，平面，平面，所以平面.又平面，所以.39．如圖，正方體中，求證.【答案】證明見解析．【分析】證明與平面垂直后可得線線垂直．【詳解】證明：如圖，連接，是正方形，則，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，又因為平面，所以．40．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面．證明：；【答案】證明見解析【分析】由題意，結合余弦定理與線面垂直的判定定理即可證明.【詳解】因為，由余弦定理得，從而，故，又PD底面ABCD，可得BDPD，且所以BD平面PAD，且平面PAD故PABD.針對練習九面面垂直的性質41．如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，求證：平面【答案】證明見詳解【分析】由平面平面，證得平面，可得，再利用勾股定理證得，即可得證.【詳解】證明：平面平面，平面平面，，，所以平面，又平面，，又，，，，，，，，又，平面.42．如圖，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，求證：AE平面BCD.【答案】證明見解析【分析】取BC的中點M，連接DM，AM，則可得DM⊥BC，再由平面BCD⊥平面ABC，可得DM⊥平面ABC，而AE⊥平面ABC，所以AEDM，然后利用線面平行的判定定理可證得結論【詳解】證明：如圖，取BC的中點M，連接DM，AM，因為BD=CD，所以DM⊥BC.又因為平面BCD⊥平面ABC，DM?平面BCD，兩平面交線為BC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AEDM.又因為AE?平面BCD，DM?平面BCD，所以A