考研數(shù)學二（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷1（共9套）（共219題）考研數(shù)學二（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、已知A是四階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，若A*的特征值是1，一1，2，4，那么不可逆矩陣是()A、A—E。B、2A—E。C、A+2E。D、A一4E。標準答案：C知識點解析：因為A*的特征值是1，一1，2，4，所以｜A*｜=一8，又｜A*｜=｜A｜4—1，因此｜A｜3=一8，于是｜A｜=一2。那么，矩陣A的特征值是一2，2，一1，。因此A一E的特征值是一3，1，一2，。因為特征值非零，故矩陣A—E可逆。同理可知，矩陣A+2E的特征值中含有0，所以矩陣A+2E不可逆。故選C。2、三階矩陣A的特征值全為零，則必有()A、秩r(A)=0。B、秩r(A)=1。C、秩r(A)=2。D、條件不足，不能確定。標準答案：D知識點解析：考查下列矩陣它們的特征值全是零，而秩分別為0，1，2。所以僅由特征值全是零是不能確定矩陣的秩的。故選D。3、設A是n階實對稱矩陣，P是n階可逆矩陣，已知n維列向量α是A的屬于特征值A的特征向量，則矩陣(P—1AP)T屬于特征值A的特征向量是()A、P—1α。B、PTα。C、Pα。D、(P—1)Tα。標準答案：B知識點解析：設β是矩陣(PTAP)T屬于λ的特征向量，并考慮到A為實對稱矩陣AT=A，有(P—1AP)Tβ=λβ，即PTA(P—1)Tβ=λβ。把四個選項中的向量逐一代入上式替換β，同時考慮到Aα=λα，可得選項B正確，即左端=PTA(P—1)T(PTα)=PTAα=PTλα=λPTα=右端。故選B。4、設n階矩陣A與B相似，E為n階單位矩陣，則()A、λE—A=λE一B。B、A與B有相同的特征值和特征向量。C、A和B都相似于一個對角矩陣。D、對任意常數(shù)t，tE一A與tE一B相似。標準答案：D知識點解析：因為由A與B相似不能推得A=B，所以選項A不正確。相似矩陣具有相同的特征多項式，從而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故選項B也不正確。對于選項C，因為根據(jù)題設不能推知A，B是否相似于對角陣，故選項C也不正確。綜上可知選項D正確。事實上，因A與B相似，故存在可逆矩陣P，使P—1AP=B，于是P—1(tE一A)P=tE—P—1AP=tE—B，可見對任意常數(shù)t，矩陣tE一A與tE一B相似。故選D。5、設A，B均為n階矩陣，A可逆，且A～B，則下列命題中①AB～BA；②A2～B2；③AT～BT；④A—1～B—1。正確的個數(shù)為()A、1。B、2。C、3。D、4。標準答案：D知識點解析：因A～B，可知存在可逆矩陣P，使得P—1AP=B，于是P—1A2P=B2，PTAT(PT)—1=BT，P—1A—1P=B—1，故A2～B2，AT～BT，A—1～B—1。又由于A可逆，可知A—1(AB)A=BA，即AB～BA。即正確的命題有四個。故選D。6、已知P—1AP=，α1是矩陣A的屬于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩陣A的屬于特征值λ=6的特征向量，則矩陣P不可能是()A、(α1，一α2，α3)。B、(α1，α2+α3，α1—2α3)。C、(α1，α3，α2)。D、(α1+α2，α1一α2，α3)。標準答案：D知識點解析：由題意可得Aα1=2α1，Aα2=6α2，Aα3=6α3。由于α2是屬于特征值λ=6的特征向量，所以一α2也是屬于特征值λ=6的特征向量，故選項A正確。同理，選項B，C也正確。由于α1，α2是屬于不同特征值的特征向量，所以α1+α2，α1一α2均不是矩陣A的特征向量，故選項D一定錯誤。故選D。二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、矩陣的非零特征值為______。標準答案：4知識點解析：矩陣A的特征多項式為｜λE—A｜==λ2(λ—4)，所以非零特征值為4。8、已知矩陣的特征值的和為3，特征值的乘積是一24，則b=______。標準答案：一3知識點解析：矩陣的所有特征值的和等于該矩陣對角線元素的和，即a+3+(一1)=3，所以a=1。又因為矩陣所有特征值的乘積等于矩陣對應行列式的值，因此有所以b=一3。9、設X為三維單位列向量，E為三階單位矩陣，則矩陣E—XXT的秩為______。標準答案：2知識點解析：由題設知，矩陣XXT的特征值為0，0，1，故E—XXT的特征值為1，1，0。又由于實對稱矩陣是可相似對角化的，故它的秩等于其非零特征值的個數(shù)，即r(E—XXT)=2。10、設A是三階矩陣，且各行元素的和都是5，則矩陣A一定有特征值______。標準答案：5知識點解析：已知各行元素的和都是5，即化為矩陣形式，可得滿足，故矩陣A一定有一個特征值為5。11、若矩陣只有一個線性無關的特征向量，則這個線性無關的特征向量是______。標準答案：k(1，0，1)T，k≠0知識點解析：因A只有一個線性無關的特征向量，所以A的特征值必是三重的，且r(λE—A)=2。由tr(A)=λ1+λ2+λ3=9可得λ1=λ2=λ3=3。于是顯然a≠1。再由(3E一A)x=0的解得特征值λ=3對應的特征向量為(1，0，1)T。故線性無關的特征向量是k(1，0，1)T，k≠0。12、已知矩陣和對角矩陣相似，則a=______。標準答案：一2知識點解析：因為｜λE一A｜==(λ一2)(λ一3)2，所以矩陣A的特征值分別為2，3，3。因為矩陣A和對角矩陣相似，所以對應于特征值3有兩個線性無關的特征向量，即(3E—A)x=0有兩個線性無關的解，因此矩陣3E一A的秩為1?？梢奱=一2。13、設二階實對稱矩陣A的一個特征值為λ1=1，屬于λ1的特征向量為(1，一1)T，若｜A｜=一2，則A=______。標準答案：知識點解析：設矩陣A的特征值λ1=1和λ2對應的特征向量分別為α1=(1，一1)T和α2=(x1，x2)T。實對稱矩陣必可相似對角化，即存在可逆矩陣Q，使得Q—1AQ=。而相似矩陣的行列式相等，所以一2=｜A｜==λ2，即λ2=一2。又實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量正交，所以α1Tα2=0，即x1一x2=0。方程組x1一x2=0的基礎解系為α2=(1，1)T。令Q=(α1，α2)=，則三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)在某國，每年有比例為p的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn)，有比例為q的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村。假設該國總人口數(shù)不變，且上述人口遷移的規(guī)律也不變。把n年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總人口的比例依次記為xn和yn(xn+yn=1)。14、求關系式中的矩陣A；標準答案：由題意，人口遷移的規(guī)律不變xn+1=xn+qyn一pxn=(1一p)xn+qyn，yn+1=yn+pxn一qyn=pxn+(1一q)yn，用矩陣表示為因此知識點解析：暫無解析15、設目前農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口相等，即，求。標準答案：由，可知，由=(λ一1)(λ一1+p+q)，得A的特征值為λ1=1，λ2=r，其中r=1一p—q。當λ1=1時，解方程(A—E)x=0，得特征向量p1=。當λ2=r時，解方程(A一rE)x=0，得特征向量p2=。令P=(p1，p2)=，則P—1AP==Λ，A=PΛP—1，An=PΛnP—1。于是因此知識點解析：暫無解析設三階矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3對應的特征向量依次為α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T。16、將向量β=(1，1，3)T用α1，α2，α3線性表示；標準答案：設x1α1+x2α2+x3α3=β，即解得x1=2，x2=一2，x3=1，故β=2α1一2α2+α3。知識點解析：暫無解析17、求Anβ。標準答案：Aβ=2Aα1一2Aα2+Aα3，則由題設條件及特征值與特征向量的定義可得Anβ=2Anα1一2Anα2+Anα3=2α1一2×2nα2+3nα3=。知識點解析：暫無解析18、已知A是三階實對稱矩陣，滿足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r(A)=2，求矩陣A的全部特征值，并求秩r(A+E)。標準答案：設λ是矩陣A的任一特征值，α(α≠0)是屬于特征值A的特征向量，則Aα=λα，于是Anα=λnα。用α右乘A4+2A3+A2+2A=O，得(λ4+2λ3+λ2+2λ)α=0。因為特征向量α≠0，故λ4+2λ3+λ2+2λ=λ(λ+2)(λ2+1)=0。由于實對稱矩陣的特征值必是實數(shù)，從而矩陣A的特征值是0或一2。由于實對稱矩陣必可相似對角化，且秩r(A)=r(Λ)=2，所以A的特征值是0，一2，一2。因A一Λ，則有A+E～Λ+E=，所以r(A+E)=r(Λ+E)=3。知識點解析：暫無解析設A，B為同階方陣。19、若A，B相似，證明A，B的特征多項式相等；標準答案：若A，B相似，那么存在可逆矩陣P，使P—1AP=B，則｜λE一B｜=｜λE—P—1AP｜=｜P—1λEP—P—1AP｜=｜P—1(λE一A)P｜=｜P—1｜｜λE—A｜｜P｜=｜λE—A｜。所以A、B的特征多項式相等。知識點解析：暫無解析20、舉一個二階方陣的例子說明第一小題的逆命題不成立；標準答案：令，那么｜λE—A｜=λ2=｜λE一B｜。但是A，B不相似。否則，存在可逆矩陣P，使P—1AP=B=O，從而A=POP—1=O與已知矛盾。也可從r(A)=1，r(B)=0，知A與B不相似。知識點解析：暫無解析21、當A，B均為實對稱矩陣時，證明第一小題的逆命題成立。標準答案：由A，B均為實對稱矩陣知，A，B均相似于對角陣，若A，B的特征多項式相等，記特征多項式的根為λ1，…，λn，則有所以存在可逆矩陣P，Q，使P—1AP==Q—1BQ。因此有(PQ—1)—1A(PQ—1)=B，矩陣A與B相似。知識點解析：暫無解析A為三階實對稱矩陣，A的秩為2，且22、求矩陣A的所有特征值與特征向量；標準答案：由，得，即特征值λ1=一1，λ2=1對應的特征向量為又由r(A)=2<3可知，A有一個特征值為0。設λ3=0對應的特征向量為，則與兩兩正交，于是得由此得，即是特征值0對應的特征向量。因此k1α1，k2α2，k3η是依次對應于特征值一1，1，0的特征向量，其中k1，k2，k3為任意非零常數(shù)。知識點解析：暫無解析23、求矩陣A。標準答案：設有則有知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設三階矩陣A的特征值是0，1，一1，則下列選項中不正確的是()A、矩陣A—E是不可逆矩陣。B、矩陣A+E和對角矩陣相似。C、矩陣A屬于1與一1的特征向量相互正交。D、方程組Ax=0的基礎解系由一個向量構成。標準答案：C知識點解析：因為矩陣A的特征值是0，1，一1，所以矩陣A一E的特征值是一1，0，一2。由于λ=0是矩陣A—E的特征值，所以A—E不可逆。因為矩陣A+E的特征值是1，2，0，矩陣A+E有三個不同的特征值，所以A+E可以相似對角化(或由A～Λ=>A+E～Λ+E而知A+E可相似對角化)。由矩陣A有一個特征值等于0可知r(A)=2，所以齊次線性方程組Ax=0的基礎解系由n—r(A)=3—2=1個解向量構成。選項C的錯誤在于，若A是實對稱矩陣，則不同特征值的特征向量相互正交，而一般n階矩陣，不同特征值的特征向量僅僅線性無關并不一定正交。故選C。2、設λ=2是非奇異矩陣A的一個特征值，則矩陣有特征值()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：因為A為A的非零特征值，所以λ2為A2的特征值，為(A2)—1的特征值。因此的特征值為。故選B。3、設λ1，λ2是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為α1，α2，則α1，A(α1+α2)線性無關的充分必要條件是()A、λ1≠0。B、λ2≠0。C、λ1=0。D、λ2=0。標準答案：B知識點解析：令k1α1+k2A(α1+α1)=0，則(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。因為α1，α2線性無關，所以k1+k2λ1=0，且k2λ1=0。當λ2≠0時，顯然有k1=0，k2=0，此時α1，A(α1+α2)線性無關；反過來，若α1，A(α1+α2)線性無關，則必然有λ2≠0(否則，α1與A(α1+α2)=λ1α1線性相關)。故選B。4、設A是n階矩陣，P是n階可逆矩陣，n維列向量α是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量，那么在下列矩陣中①A2；②P—1AP；③AT；④E一A。α肯定是其特征向量的矩陣個數(shù)為()A、1。B、2。C、3。D、4。標準答案：B知識點解析：由Aα=λα，α≠0，有A2α=A(λα)=λAα=λ2α，即α必是A2屬于特征值λ2的特征向量。由知α必是矩陣屬于特征值的特征向量。關于②和③則不一定成立。這是因為(P—1AP)(P—1α)=P—1Aα=λP—1α，按定義，矩陣P—1AP的特征向量是P—1α。因為P—1α與α不一定共線，因此α不一定是P—1AP的特征向量，即相似矩陣的特征向量是不一樣的。線性方程組(λE—A)x=0與(λE—AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二個方程組的解，即α不一定是AT的特征向量。故選B。5、已知矩陣，那么下列矩陣中與矩陣A相似的矩陣個數(shù)為()A、1。B、2。C、3。D、4。標準答案：C知識點解析：二階矩陣A有兩個不同的特征值1和3，因此A一Λ=，那么只要和矩陣Λ有相同的特征值，它就一定和Λ相似，也就一定與A相似。①和②分別是上三角和下三角矩陣，且特征值是1和3，所以它們均與A相似，對于③和④，由可見④與A相似，而③與A不相似。故選C。6、設A是三階矩陣，其特征值是1，3，一2，相應的特征向量依次是α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，一α2)，則P—1AP=()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由Aα2=3α2，有A(一α2)=3(一α2)，即當α2是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量時，一α2仍是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量。同理，2α3仍是矩陣A屬于特征值λ=一2的特征向量。當P—1AP=Λ時，P由A的特征向量構成，Λ由A的特征值構成，且P與Λ的位置是對應一致的，已知矩陣A的特征值是1，3，一2，故對角矩陣Λ應當由1，3，一2構成，因此排除選項B、C。由于2α3是屬于λ=一2的特征向量，所以一2在對角矩陣Λ中應當是第二列。故選A。7、設A為n階實對稱矩陣，則()A、A的n個特征向量兩兩正交。B、A的n個特征向量組成單位正交向量組。C、對于A的k重特征值λ0，有r(λ0E一A)=n一k。D、對于A的k重特征值λ0，有r(λ0E一A)=k。標準答案：C知識點解析：實對稱矩陣A必可相似對角化，A的屬于k重特征值λ0的線性無關的特征向量必有k個，故r(λ0E—A)=n一k。需要注意的是：實對稱矩陣A的特征向量不一定兩兩正交，但屬于不同特征值的特征向量一定正交；凡個特征向量不一定是單位正交向量組。故選C。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設矩陣有一特征值0，則a=______，A的其他特征值為______。標準答案：1；2，2知識點解析：因A有一個零特征值，所以｜A｜=2(a—1)=0，即a=1。A的特征多項式為｜λE一A｜==(λ一2)2λ=0，解得A的其他特征值為λ=2(二重)。9、已知α=(1，3，2)T，β=(1，一1，一2)T，A=E—αβT則A的最大的特征值為______。標準答案：7知識點解析：因為非零列向量α，β的秩均為1，所以矩陣αβT的秩也為1，于是αβT的特征值為0，0，tr(αβT)，其中tr(αβT)=βTα=一6。所以A=E一αβT的特征值為1，1，7，則A的最大的特征值為7。10、設α=(1，一1，a)T是的伴隨矩陣A*的特征向量，其中r(A*)=3，則a=______。標準答案：一1知識點解析：α是A*的特征向量，設對應于α的特征值為λ0，則有A*α=λ0α，該等式兩端同時左乘A，即得AA*α=｜A｜α=λ0Aα，即展開成方程組的形式為因為r(A*)=3，｜A*｜≠0，因此λ0≠0，根據(jù)方程組中的前兩個等式，解得a=一1。11、設A為二階矩陣，α1，α2為線性無關的二維列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，則A的非零特征值為______。標準答案：1知識點解析：根據(jù)題設條件，得A(α1，α2)=(Aα1，Aα2)=(α1，α2)。記P=(α1，α2)，因α1，α2線性無關，故P=(α1，α2)是可逆矩陣。由，可得P—1AP=。記B=，則A與B相似，從而有相同的特征值。因為｜λE—B｜==λ(λ—1)，所以A的非零特征值為1。12、設矩陣A與相似，則r(A)+r(A一2E)=______。標準答案：3知識點解析：矩陣A與B相似，則A一2E與B一2E相似，而相似矩陣具有相同的秩，所以r(A)+r(A一2E)=r(B)+r(B一2E)=2+1=3。13、已知Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中α1=(1，2，2)T，α2=(2，一2，1)T，α3=(一2，一1，2)T，則A=______。標準答案：知識點解析：由Aαi=iαi(i=1，2，3)可知A的特征值為1，2，3。令P=(α1，α2，α3)=則有P—1AP=所以三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)設向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且滿足條件αTβ=0。記n階矩陣A=αβT。14、求A2；標準答案：由αTβ=0可知α與β正交，則A2=(aβT)(αβT)=α(βTα)βT=0。知識點解析：暫無解析15、求矩陣A的特征值和特征向量。標準答案：設λ為A的特征值，則λ2為A2的特征值。因A2=0，所以A2的特征值全為零，故λ=0，即A的特征值全為零，于是方程組Ax=0的非零解就是A的特征向量。不妨設a1≠0，b2≠0，對A作初等行變換得則Ax=0的基礎解系為(一b2，b1，0，…，0)T，(一b3，0，b1，…，0)T，…，(一bn，0，0，…，b1)T，故矩陣A的特征向量為k1(一b2，b1，0，…，0)T+k2(一b3，0，b1，…，0)T+…+kn—1(一bn，0，0，…，b1)T，其中k1，k2，…，kn—1不全為零。知識點解析：暫無解析16、設矩陣，B=P—1A*P，求B+2E的特征值與特征向量，其中A*為A的伴隨矩陣，E為三階單位矩陣。標準答案：設A的特征值為A，對應特征向量為η，則有Aη=λη。由于｜A｜=7≠0，所以λ≠0。又因A*A=｜A｜E，故有A*η=。于是有B(P—1η)=P—1A*P(P—1)=(B+2E)P—1η=因此，為B+2E的特征值，對應的特征向量為P—1η。由于｜λE—A｜==(λ一1)2(λ一7)，故A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=7。當λ1=λ2=1時，對應的線性無關的兩個特征向量可取為當λ3=7時，對應的一個特征向量可取為η3=。由。因此，B+2E的三個特征值分別為9，9，3。對應于特征值9的全部特征向量為k1P—1η1+k2P—1η2=其中k1，k2是不全為零的任意常數(shù)；對應于特征值3的全部特征向量為k3P—1η3=，其中k3是不為零的任意常數(shù)。知識點解析：暫無解析17、設矩陣，行列式｜A｜=一1，又A*的屬于特征值λ0的一個特征向量為α=(一1，一1，1)T，求a，b，c及λ0的值。標準答案：AA*=｜A｜E=一E。對于A*α=λ0α，用A左乘等式兩端，得λ0Aα=一α，即由此可得由(1)一(3)得λ0=1。將λ0=1代入(2)和(1)，得b=一3，a=c。由｜A｜=一1和a=c，有=a一3=一1，即得a=c=2。故a=2，b=一3，c=2，λ0=1。知識點解析：暫無解析18、已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相應的特征向量且線性無關。證明如果α1+α2+α3仍是A的特征向量，則λ1=λ2=λ3。標準答案：若α1+α2+α3，是矩陣A屬于特征值入的特征向量，則A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3)。又A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，于是有(λ一λ1)α1+(λ一λ2)α2+(λ一λ3)α3=0。因為α1，α2，α3線性無關，故λ一λ1=0，λ—λ2=0，λ—λ3=0，即λ1=λ2=λ3。知識點解析：暫無解析19、設A為正交矩陣，且｜A｜=一1，證明λ=一1是A的特征值。標準答案：要證λ=一1是A的特征值，需證｜A+E｜=0。因為｜A+E｜=｜A+ATA｜=｜(E+AT)A｜=｜E+AT｜｜A｜=一｜A+E｜，所以｜A+E｜=0，故λ=一1是A的特征值。知識點解析：暫無解析已知是矩陣的一個特征向量。20、求參數(shù)a，b及特征向量p所對應的特征值；標準答案：設A是特征向量p所對應的特征值，根據(jù)特征值的定義，有(A一λE)p=0，即從而有方程組解得a=一3，b=0，且p所對應的特征值λ=一1。知識點解析：暫無解析21、問A能不能相似對角化?并說明理由。標準答案：A的特征多項式｜A—λE｜==一(λ+1)3，得A的特征值為A=一1(三重)。若A能相似對角化，則特征值λ=一1有三個線性無關的特征向量，而故r(A+E)=2，所以齊次線性方程組(A+E)x=0的基礎解系只有一個解向量，A不能相似對角化。知識點解析：暫無解析22、設矩陣的特征值有一個二重根，求a的值，并討論矩陣A是否可相似對角化。標準答案：矩陣A的特征多項式為｜λE—A｜==(λ一2)(λ2一8λ+18+3a)。如果λ=2是單根，則λ2一8λ+18+3a是完全平方，必有18+3a=16，即a=。則A的特征值是2，4，4，而r(4E一A)=2，故λ=4只有一個線性無關的特征向量，從而A不能相似對角化。如果λ=2是二重特征值，則將λ=2代入λ2一8λ+18+3A=0可得A=一2。于是λ2一8λ+18+3A=(λ一2)(λ一6)。則矩陣A的特征值是2，2，6，而r(2E—A)=1，故λ=2有兩個線性無關的特征向量，從而A可以相似對角化。知識點解析：暫無解析23、已知是n階矩陣，求A的特征值、特征向量，并求可逆矩陣P使P—1AP=Λ。標準答案：A的特征多項式為=(λ一2n+1)(λ一n+1)n—1，則A的特征值為λ1=2n一1，λ2=n一1，其中λ2=n一1為n一1重根。當λ1=2n一1時，解齊次方程組(λ1E一A)x=0，對系數(shù)矩陣作初等變換，有得到基礎解系α1=(1，1，…，1)T。當λ2=n一1時，齊次方程組(λ2E一A)x=0等價于x1+x2+…+xn=0，得到基礎解系α2=(一1，1，0，…，0)T，α3=(一1，0，1，…，0)T，…，αn=(一1，0，0，…，1)T，則A的特征向量是k1α1和k2α2+k3α3+…+knαn，其中k1≠0，k2，k3，…，kn不同時為0。令，則有P—1AP=。知識點解析：暫無解析24、設矩陣A與B相似，且。求可逆矩陣P，使P—1AP=B。標準答案：由A～B有于是得a=5，b=6。由A～B，知A與B有相同的特征值，于是A的特征值是λ1=λ2=2，λ3=6。當λ=2時，解齊次線性方程組(2E—A)x=0得到基礎解系為α1=(1，一1，0)T，α2=(1，0，1)T，即屬于λ=2的兩個線性無關的特征向量。當λ=6時，解齊次線性方程組(6E—A)x=0，得到基礎解系是(1，一2，3)T，即屬于A=6的特征向量。令P=(α1，α2，α3)=，則有P—1AP=B。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設A為n階可逆矩陣，λ是A的一個特征值，則A的伴隨矩陣A*的特征值之一是()A、λ—1｜A｜n。B、λ—1｜A｜。C、λ｜A｜。D、λ｜A｜n。標準答案：B知識點解析：設向量x(x≠0)是與λ對應的特征向量，則Ax=λx。兩邊左乘A*，結合A*A=｜A｜E得A*Ax=A*(λx)，即｜A｜x=λA*x，從而A*x=可見A*有特征值=λ—1｜A｜。故選B。2、已知A是三階矩陣，r(A)=1，則λ=0()A、必是A的二重特征值。B、至少是A的二重特征值。C、至多是A的二重特征值。D、一重、二重、三重特征值都有可能。標準答案：B知識點解析：A的對應λ的線性無關特征向量的個數(shù)小于或等于特征值的重數(shù)。r(A)=1，即r(0E一A)=1，(0E一A)x=0必有兩個線性無關的特征向量，故λ=0的重數(shù)大于等于2，其至少是二重特征值，也可能是三重。例如，r(A)=1，但λ=0是三重特征值。故選B。3、已知α=(1，一2，3)T是矩陣的特征向量，則()A、a=一2，b=6。B、a=2，b=一6。C、a=2，b=6。D、a=一2，b=一6。標準答案：A知識點解析：設α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，按定義有即有所以λ=一4，a=一2，b=6。故選A。4、設A是n階矩陣，下列命題中正確的是()A、若α是AT的特征向量，那么α是A的特征向量。B、若α是A*的特征向量，那么α是A的特征向量。C、若α是A2的特征向量，那么α是A的特征向量。D、若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量。標準答案：D知識點解析：如果α是2A的特征向量，即(2A)α=λα，那么Aα=λα，所以α是矩陣A屬于特征值的特征向量。由于(λE—A)x=0與(λE一AT)x=0不一定同解，所以α不一定是AT的特征向量。例如上例還說明當矩陣A不可逆時，A*的特征向量不一定是A的特征向量；A2的特征向量也不一定是A的特征向量。故選D。5、下列選項中矩陣A和B相似的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：選項A中，r(A)=1，r(B)=2，故A和B不相似。選項B中，tr(A)=9，tr(B)=6，故A和B不相似。選項D中，矩陣A的特征值為2，2，一3，而矩陣B的特征值為1，3，一3，故A和B不相似。由排除法可知應選C。事實上，在選項C中，矩陣A和B的特征值均為2，0，0。由于A和B均可相似對角化，即A和B均相似于對角矩陣，故由矩陣相似的傳遞性可知A和B相似。故選C。6、已知P—1AP=，α1是矩陣A屬于特征值λ=1的特征向量，α2與α3是矩陣A屬于特征值λ=5的特征向量，那么矩陣P不可能是()A、(α1，一α2，α3)。B、(α1，α2+α3，α2一2α3)。C、(α1，α3，α2)。D、(α1+α2，α1一α2，α3)。標準答案：D知識點解析：若P—1AP=Λ=，P=(α1，α2，α3)，則有AP=PΛ，即(Aα1，Aα2，Aα3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，可見αi是矩陣A屬于特征值λi(i=1，2，3)的特征向量，又因矩陣P可逆，因此α1，α2，α3線性無關。若α是屬于特征值λ的特征向量，則一α仍是屬于特征值λ的特征向量，故選項A正確。若α，β是屬于特征值λ的特征向量，則α與β的線性組合仍是屬于特征值λ的特征向量。本題中，α2，α3是屬于λ=5的線性無關的特征向量，故α2+α3，α2一2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2一2α3線性無關，故選項B正確。對于選項C，因為α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2與α3誰在前誰在后均正確。故選項C正確。由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1一α2不再是矩陣A的特征向量，故選項D錯誤。故選D。二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、設有二重特征根，則a=______。標準答案：2或知識點解析：｜λE一A｜==(λ一2)[λ2一2λ一2(a—2)]=0。如果λ=2是二重根，則λ=2是λ2—2A一2(a—2)=0的單根，故a=2。如果λ2一2λ一2(a—2)=0是完全平方，則有△=4+8(a一2)=0，滿足λ=1是一個二重根，此時。8、已知λ=12是的特征值，則a=______。標準答案：4知識點解析：因為λ=12是A的特征值，因此｜12E—A｜=0，即｜12E—A｜==9(4—a)=0，所以a=4。9、設α=(1，一1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩陣A的特征值，則矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量是______。標準答案：k(1，一1，1)T，k≠0知識點解析：令B=αβT，則矩陣B的秩是1，且βTα=a+1，由此可知矩陣B的特征值為a+1，0，0。那么A=E+B的特征值為a+2，1，1。因為λ=3是矩陣A的特征值，所以a+2=3，即a=1。于是Bα=(αβT)α=α(βTα)=2α，即α=(1，一1，1)T是矩陣B屬于特征值λ=2的特征向量，所以矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量是k(1，一1，1)T，k≠0。10、已知α=(a，1，1)T是矩陣的逆矩陣的特征向量，則a=______。標準答案：一1知識點解析：設α是矩陣A—1屬于特征值λ的特征向量，則A—1α=λα，即α=λaα，于是解得，a=一1。11、已知矩陣只有一個線性無關的特征向量，那么A的三個特征值是______。標準答案：2，2，2知識點解析：因為矩陣A只有一個線性無關的特征向量，所以A的特征值必定是三重根，否則A至少應該有兩個不同的特征值，同時也會有兩個線性無關的特征向量。由主對角元素的和等于所有特征值的和可知1+2+3=3λ，故λ1=λ2=λ3=2。12、已知有三個線性無關的特征向量，則x=______。標準答案：0知識點解析：由A的特征方程｜λE一A｜==(λ—1)(λ2一1)=0，可得A的特征值是λ=1(二重)，λ=一1。因為A有三個線性無關的特征向量，所以λ=1必有兩個線性無關的特征向量，因此r(E—A)=3—2=1，根據(jù)得x=0。13、設A是三階實對稱矩陣，特征值分別為0，1，2，如果特征值0和1對應的特征向量分別為α1=(1，2，1)T，α2=(1，一1，1)T，則特征值2對應的特征向量是______。標準答案：t(一1，0，1)T，t≠0知識點解析：設所求的特征向量為α(x1，x2，x3)T，因為實對稱矩陣不同的特征值對應的特征向量是正交的，故有所以對應于特征值2的特征向量是t(一1，0，1)T，t≠0。三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)已知矩陣與相似。14、求x與y的值；標準答案：相似矩陣有相同的特征值，由矩陣B的特征值為2，y，一1可知矩陣A的特征值也為2，y，一1，故｜A｜=2×y×(一1)=一2，且tr(A)=2+0+x=2+y+(一1)，解得y=1，x=0。知識點解析：暫無解析15、求一個滿足P—1AP=B的可逆矩陣P。標準答案：A的特征值為λ1=2，λ2=1，λ3=一1。由(λiE—A)x=0(i=1，2，3)解得矩陣A的屬于特征值λ1=2，λ2=1，λ3=一1的特征向量分別為α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，1)T，α3=(0，一1，1)T，令可逆矩陣P=(α1，α2，α3)=，則P—1AP=B。知識點解析：暫無解析16、設矩陣。當k為何值時，存在可逆矩陣P，使得P—1AP為對角矩陣?并求出矩陣P和相應的對角矩陣。標準答案：矩陣A的特征多項式為｜λE—A｜==(λ+1)2(λ一1)。則A的特征值為λ1=λ2=一1，λ3=1。矩陣A與對角矩陣相似的充要條件是屬于特征值λ=一1的線性無關的特征向量有兩個，即線性方程組(一E一A)x=0有兩個線性無關的解向量，則r(A+E)=1。對矩陣A+E作初等行變換得當k=0時，r(A+E)=1。此時，由(一E一A)x=0解得屬于特征值一1的兩個線性無關的特征向量為α1=(一1，2，0)T，α2=(1，0，2)T；由(E一A)x=0解得屬于特征值1的特征向量為α3=(1，0，1)T。令可逆矩陣P=(α1，α2，α3)，則P—1AP=。知識點解析：暫無解析17、設矩陣與相似，求x，y的值，并求一個正交矩陣P，P—1AP=Λ。標準答案：A與Λ相似，相似矩陣有相同的特征值，故λ=5，λ=一4，λ=y是A的特征值。因為λ=一4是A的特征值，所以解得x=4。又因為相似矩陣的行列式相同，，｜Λ｜=一20y，解得y=5。當λ=5時，解方程(A一5E)x=0，得兩個線性無關的特征向量和，將它們正交化、單位化得當λ=一4時，解方程(A+4E)x=0，得特征向量，單位化得則有P=(P1，P3，P2)=，所以P—1AP=Λ。知識點解析：暫無解析設A為三階矩陣，α1，α2，α3是線性無關的三維列向量，且滿足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。18、求矩陣A的特征值；標準答案：由已知可得A(α1，α2，α3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3)=(α1，α2，α3)，記P1=(α1，α2，α3)，B=，則有AP1=P1B。由于α1，α2，α3線性無關，即矩陣P1可逆，所以P1—1AP1=B，因此矩陣A與B相似，則矩陣B的特征值是1，1，4，故矩陣A的特征值為1，1，4。知識點解析：暫無解析19、求可逆矩陣P使得P—1AP=Λ。標準答案：由(E—B)x=0，得矩陣B對應于特征值λ=1的特征向量β1=(一1，1，0)T，β2=(一2，0，1)T；由(4E—n)x=0，得對應于特征值λ=4的特征向量β3=(0，1，1)T。令P2=(β1，β2，β3)=，得P2—1BP2=，則P2—1P1—1AP1P2=，即當P=P1P2=(α1，α2，α3)=(一α1+α2，一2α1+α3，α2+α3)時，有P—1AP=Λ=。知識點解析：暫無解析設A是三階方陣，α1，α2，α3是三維線性無關的列向量組，且Aα1=α2+α3，Aα2=α3+α1，Aα3=α1+α2。20、求矩陣A的全部特征值；標準答案：α1，α2，α3線性無關，則α1+α2+α3≠0，α2一α1≠0，α3一α1≠0，且由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，A(α2一α1)=一(α2一α1)，A(α3一α1)=一(α3一α1)，可知矩陣A的特征值為2和一1。又由α1，α2，α3線性無關可知α2一α1，α3一α1也線性無關，所以一1是矩陣A的二重特征值，即A的全部特征值為2，一1，一1。知識點解析：暫無解析21、矩陣A是否可對角化?標準答案：因為α1，α2，α3線性無關，而(α1+α2+α3，α2一α1，α3一α1)=(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)P，且｜P｜=3≠0，所以α2一α1，α3一α1，α1+α2+α3線性無關，即矩陣A有三個線性無關的特征向量，所以矩陣A可相似對角化。知識點解析：暫無解析22、已知矩陣A與B相似，其中。求a，b的值及矩陣P，使P—1AP=B。標準答案：由A～B，得解得a=7，b=一2。由矩陣A的特征多項式｜λE—A｜==λ2一4λ一5，得A的特征值是λ1=5，λ2=一1。它們也是矩陣B的特征值。分別解齊次線性方程組(5E—A)x=0，(一E—A)x=0，可得到矩陣A的屬于λ1=5，λ2=一1的特征向量依次為α1=(1，1)T，α2=(一2，1)T。分別解齊次線性方程組(5E—B)x=0，(一E—B)x=0，可得到矩陣B的屬于λ1=5，λ1=一1的特征向量分別是β1=(一7，1)T，β2=(一1，1)T。令，則有P1—1AP1==P2—1AP2。取P=P1P2—1=，即有P—1AP=B。知識點解析：暫無解析某試驗性生產(chǎn)線每年1月份進行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計，然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補齊。新、老非熟練工經(jīng)過培訓及實踐至年終考核有成為熟練工。設第n年1月份統(tǒng)計的熟練工與非熟練工所占百分比分別為xn和yn，記成向量。23、求與的關系式并寫成矩陣形式；標準答案：由題意得化成矩陣形式為可見知識點解析：暫無解析24、驗證是A的兩個線性無關的特征向量，并求出相應的特征值；標準答案：因為行列式｜η1，η2｜==5≠0，所以η1，η2線性無關。又Aη1==η1，故η1為A的特征向量，且相應的特征值λ1=1。，故η2為A的特征向量，且相應的特征值λ2=。知識點解析：暫無解析25、當時，求。標準答案：令P=(η1，η2)=。則由P—1AP=，有A=。于是因此知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、已知A是四階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，若A*的特征值是1，一1，2，4，那么不可逆矩陣是()A、A—E。B、2A—E。C、A+2E。D、A一4E。標準答案：C知識點解析：因為A*的特征值是1，一1，2，4，所以｜A*｜=一8，又｜A*｜=｜A｜4－1，因此｜A｜3=一8，于是｜A｜=一2。那么，矩陣A的特征值是：一2，2，一1，一。因此，A一E的特征值是一3，1，一2，一。因為特征值非零，故矩陣A—E可逆。同理可知，矩陣A＋2E的特征值中含有0，所以矩陣A+2E不可逆。所以應選C。2、已知A是三階矩陣，r(A)=1，則λ=0()A、必是A的二重特征值。B、至少是A的二重特征值。C、至多是A的二重特征值。D、一重、二重、三重特征值都有可能。標準答案：B知識點解析：A的對應λ的線性無關特征向量的個數(shù)小于或等于特征值的重數(shù)。r(A)=l，即r(OE—A)=1，(OE—A)x=0必有兩個線性無關的特征向量，故λ=0的重數(shù)大于等于2。至少是二重特征值，也可能是三重。例如A=，r(A)=1，但λ=0是三重特征值。所以應選B。3、設λ1，λ2是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為α1，α2，則α1，A(α1+α2)線性無關的充分必要條件是()A、λ1≠0。B、λ2≠0。C、λ1=0。D、λ2=0。標準答案：B知識點解析：令k1α1+k2A(α1+α2)=0，則(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。因為α1，α2線性無關，所以k1+k2λ1=0，且k2λ2=0。當λ2≠0時，顯然有k1=0，k2=0，此時α1，A(α1+α2)線性無關；反過來，若α1，A(α1+α2)線性無關，則必然有λ2≠0(否則，α1與A(α1+α2)=λ1α1線性相關)，故應選B。4、已知三階矩陣A與三維非零列向量α，若向量組α，Aα，A2α線性無關，而A3α=3Aα一2A2α，那么矩陣A屬于特征值λ=一3的特征向量是()A、α。B、Aα＋2α。C、A2α一Aα。D、A2α+2Aα一3α。標準答案：C知識點解析：因為A3α+2A2α一3Aα=0。故(A+3E)(A2α一Aα)=0=0(A2α一Aα)。因為α，Aα，A2α線性無關，必有A2α一Aα≠0，所以A2α一Aα是矩陣A+3E屬于特征值λ=0的特征向量，即矩陣A屬于特征值λ=一3的特征向量。所以應選C。5、設n階矩陣A與B相似，E為n階單位矩陣，則()A、λE—A=λE—B。B、A與B有相同的特征值和特征向量。C、A和B都相似于一個對角矩陣。D、對任意常數(shù)t，tE一A與tE一B相似。標準答案：D知識點解析：因為由A與B相似不能推得A=B，所以選項A不正確。相似矩陣具有相同的特征多項式，從而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故選項B也不正確。對于選項C，因為根據(jù)題設不能推知A，B是否相似于對角陣，故選項C也不正確。綜上可知選項D正確。事實上，因A與B相似，故存在可逆矩陣P，使P－1AP=B。于是P－1(tE—A)P=tE一P－1AP=tE一B，可見對任意常數(shù)t，矩陣tE一A與tE一B相似。所以應選D。6、下列選項中矩陣A和B相似的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：選項A中，r(A)=1，r(B)=2，故A和B不相似。選項B中，tr(A)=9，tr(B)=6，故A、和B不相似。選項D中，矩陣A的特征值為2，2，一3，而矩陣B的特征值為1，3，一3，故A和B不相似。由排除法可知應選C。事實上，在選項C中，矩陣A和B的特征值均為2，0，0。由于A和B均可相似對角化，也即A和B均相似于對角矩陣，故由矩陣相似的傳遞性可知A和B相似。所以選C。7、設A是三階矩陣，其特征值是1，3，一2，相應的特征向量依次是α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，一α2)，則P－1AP=()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由Aα2=3α2，有A(一α2)=3(一α2)，即當α2是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量時，一α2仍是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量。同理，2α3仍是矩陣A屬于特征值λ=一2的特征向量。當P－1AP=時，P由A的特征向量構成，由A的特征值構成，且P與的位置是對應一致的，已知矩陣A的特征值是1，3，一2，故對角矩陣應當由1，3，一2構成，因此排除選項B、C。由于2α3是屬于λ=一2的特征向量，所以一2在對角矩陣中應當是第二列，所以應選A。8、已知三階矩陣A的特征值為0，1，2。設B=A3一2A2，則r(B)=()A、1。B、2。C、3。D、不能確定。標準答案：A知識點解析：因為矩陣A有三個不同的特征值，所以A必能相似對角化，即存在可逆矩陣P，使得P－1AP=，于是P－1BP=P－1(A3一2A2)P=P－1A3P一2P－1A2P=(P－1AP)3一2(P－1AP)2則矩陣B的三個特征值分別為0，0，一1，故r(B)=1。所以選A。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)9、矩陣的非零特征值為________。標準答案：4知識點解析：矩陣A的特征多項式為｜λE一A｜==λ2(λ一4)，所以非零特征值為4。10、已知λ=12是A=的特征值，則a=_________。標準答案：4知識點解析：因為λ=12是A的特征值，因此｜12E—A｜=0，即｜12E—A｜==9(4一a)=0，所以a=4。11、已知α=(1，3，2)T，β=(1，一1，一2)T，A=E一αBT，則A的最大的特征值為_________。標準答案：7知識點解析：因為非零列向量α，β的秩均為1，所以矩陣αβT的秩也為1，于是αβT的特征值為0，0，tr(αβT)，其中tr(αβT)=βTα=一6。所以A=E一αβT的特征值為1，1，7，則A的最大的特征值為7。12、若三維列向量α，β滿足αTβ=2，其中αT為α的轉置，則矩陣βαT的非零特征值為_________。標準答案：2知識點解析：因為αTβ=2，所以(βαT)β=β(αTβ)=2β，故βαT的非零特征值為2。13、設A是三階矩陣，且各行元素的和都是5，則矩陣A一定有特征值_________。標準答案：5知識點解析：已知各行元素的和都是5，即化為矩陣形式，可得滿足，故矩陣A一定有一個特征值為5。14、已知矩陣A=只有一個線性無關的特征向量，那么A的三個特征值是_________。標準答案：2，2，2知識點解析：因為矩陣A只有一個線性無關的特征向量，所以A的特征值必定是三重根，否則A至少應該有兩個不同的特征值，同時也會有兩個線性無關的特征向量。由主對角元素的和等于所有特征值的和可知1+2+3=3λ，故λ1=λ2=λ3=2。15、設矩陣A與B=相似，則r(A)+r(A一2E)=_________。標準答案：3知識點解析：矩陣A與B相似，則A一2E與B一2E相似，而相似矩陣具有相同的秩，所以r(A)+r(A一2E)=r(B)+r(B一2E)=2+1=3。16、設三階方陣A的特征值是1，2，3，它們所對應的特征向量依次為α1，α2，α3，令P=(3α1，α2，2α2)，則P－1AP=________。標準答案：知識點解析：因為3α3，α1，2α2分別為A的對應特征值3，1，2的特征向量，所以P－1AP=。17、設二階實對稱矩陣A的一個特征值為λi=1，屬于λ1的特征向量為(1，一1)T，若｜A｜=一2，則A=________。標準答案：知識點解析：設矩陣A的特征值λ1=1和λ2對應的特征向量分別為α1=(1，一1)T和α2=(x1，x2)T。實對稱矩陣必可相似對角化，即存在可逆矩陣Q，使得Q－1AQ=。而相似矩陣的行列式相等，所以一2=｜A｜==λ2，即λ2=一2。又實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量正交，所以α1Tα2=0，即x1一x2=0。方程組x1一x2=0的基礎解系為α2=(1，1)T。令Q=(α1，α2)=，則三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)18、設矩陣A=，行列式｜A｜=一1，又A*的屬于特征值λ0的一個特征向量為α=(一1，一1，1)T，求a，b，c及λ0的值。標準答案：AA*=｜A｜E=一E。對于A*α=λ0α，用A左乘等式兩端，得λ0Aα=一α，即，由此可得(1)一(3)得λ0=1。將λ0=1代入(2)和(1)，得b=一3，a=c。由｜A｜=一1和a=c，有=a—3=一1，即得a=c=2。故a=2，b=一3，c=2，λ0=1。知識點解析：暫無解析已知的一個特征向量。19、求參數(shù)a，b及特征向量p所對應的特征值；標準答案：設λ是特征向量p所對應的特征值，根據(jù)特征值的定義，有(A—λE)p=0，即從而有方程組解得a=一3，b=0，且p所對應的特征值λ=一1。知識點解析：暫無解析20、問A能不能相似對角化?并說明理由。標準答案：A的特征多項式｜A—λE｜==一(λ+1)3，得A的特征值為λ=一1(三重)。若A能相似對角化，則特征值λ=一1有三個線性無關的特征向量，而A+E=，故r(A+E)=2，所以齊次線性方程組(A+E)x=0的基礎解系只有一個解向量，A不能相似對角化。知識點解析：暫無解析21、設矩陣A=的特征值有一個二重根，求a的值，并討論矩陣A是否可相似對角化。標準答案：矩陣A的特征多項式為｜λE一A｜==(λ一2)(λ2一8λ+18+3a)。如果λ=2是單根，則λ2一8λ+18+3a是完全平方，必有18+3a=16，即a=。則矩陣A的特征值是2，4，4，而r(4E—A)=2，故λ=4只有一個線性無關的特征向量，從而A不能相似對角化。如果λ=2是二重特征值，則將λ=2代入λ2一8λ+18+3a=0可得a=一2。于是λ2一8λ+18+3a=(λ一2)(λ一6)。則矩陣A的特征值是2，2，6，而r(2E—A)=l，故λ=2有兩個線性無關的特征向量，從而A可以相似對角化。知識點解析：暫無解析22、設矩陣A=。當k為何值時，存在可逆矩陣P，使得P－1AP為對角矩陣?并求出P和相應的對角矩陣。標準答案：矩陣A的特征多項式為｜λE—A｜==(λ+1)2(λ一1)，則A的特征值為λ1=λ2=一1，λ3=1。矩陣A與對角矩陣相似的充要條件是屬于特征值λ=一1的線性無關的特征向量有兩個，即線性方程組(一E—A)x=0有兩個線性無關的解向量，則r(A+E)=1。對矩陣A+E作初等行變換得當k=0時，r(A+E)=1。此時，由(一E一A)x=0解得屬于特征值一1的兩個線性無關的特征向量為α1=(一1，2，0)T，α2=(1，0，2)T；由(E—A)x=0解得屬于特征值1的特征向量為α3=(1，0，1)T。令可逆矩陣P=(α1，α2，α3)，則P－1AP=。知識點解析：暫無解析設A是三階方陣，α1，α2，α3是三維線性無關的列向量組，且Aα1=α2+α3，Aα2=α3+α1，Aα3=α1+α2。23、求A的全部特征值；標準答案：α1，α2，α3線性無關，則α1+α2+α3≠0，α2一α1≠0，α3一α1≠0，且由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，A(α2一α1)=一(α2一α1)，A(α3一α1)=一(α3一α1)可知矩陣A的特征值為2和一1。又由α1，α2，α3線性無關可知α2一α1，α3一α1也線性無關，所以一1是矩陣A的二重特征值，即A的全部特征值為2，一1，一1。知識點解析：暫無解析24、A是否可對角化?標準答案：因為α1，α2，α3線性無關，而(α1+α2+α3，α2一α1，α3一α1)=(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)P，且｜p｜=3≠0，所以α2一α1，α3一α1，α1+α2+α3線性無關，即矩陣A有三個線性無關的特征向量，所以矩陣A可相似對角化。知識點解析：暫無解析設三階矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3對應的特征向量依次為α1=(1，l，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T。25、將向量β=(1，1，3)T用α1，α2，α3線性表示；標準答案：設x1α1+x2α2+x3α3=β，即解得x1=2，x2=一2，x3=1，故β=2α1—2α2+α3。知識點解析：暫無解析26、求Anβ。標準答案：Aβ=2Aα1一2Aα2+Aα3，則由題設條件及特征值與特征向量的定義可得Anβ=2Anα1一2Anα2+Anα3=2α1一2×2nα2+3nα3=。知識點解析：暫無解析設三階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是線性方程組Ax=0的兩個解。27、求A的特征值與特征向量；標準答案：因為矩陣A的各行元素之和均為3，所以有則λ=3是矩陣A的特征值，α=(1，1，1)T是對應的特征向量。對應λ=3的全部特征向量為kα=k(1，1，1)T，其中k是不為零的常數(shù)。又由題設知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0．α1，Aα2=0．α2，而且α1，α2線性無關，所以λ=0是矩陣A的二重特征值，α1，α2是其對應的特征向量，因此對應λ=0的全部特征向量為k1α1+k2α2=k1(一1，2，一1)T+k2(0，一1，1)T，其中k1，k2是不全為零的常數(shù)。知識點解析：暫無解析28、求正交矩陣Q和對角矩陣A，使得QTAQ=A。標準答案：因為A是實對稱矩陣，所以α與α1，α2正交，只需將α1與α2正交化。由施密特正交化法，取β1=α1，β2=α2－。再將α，β1，β2單位化，得令Q=(η1，η2，η3)，則Q－1=QT，且QTAQ=。知識點解析：暫無解析29、設三階實對稱矩陣A的特征值為λ1=一1，λ2=λ3=1，對應于λ1的特征向量為ξ1=(0，1，1)T，求A。標準答案：設矩陣A的屬于特征值λ=1的特征向量為x=(x1，x2，x3)T。實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量正交，所以ξ1Tx=0，即x2+x3=0。方程組x2+x3=0的基礎解系為ξ2=(1，0，0)T，ξ3=(0，一1，1)T。知識點解析：暫無解析30、28．已知矩陣A=有特征值λ=5，求a的值；當a＞0時，求正交矩陣Q，使Q－1AQ=A。標準答案：因λ=5是矩陣A的特征值，則由｜5E一A｜==3(4一a2)=0，可得a=±2。當a=2時，矩陣A的特征多項式｜λE一A｜==(λ一2)(λ一5)(λ一1)，矩陣A的特征值是1，2，5。由(E一A)x=0得基礎解系α1=(0，1，一1)T；由(2E一A)x=0得基礎解系α2=(1，0，0)T；由(5E—A)x=0得基礎解系α3=(0，1，1)T。即矩陣A屬于特征值1，2，5的特征向量分別是α1，α2，α3。由于實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交，故只需單位化，則知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、已知A是n階可逆矩陣，那么與A有相同特征值的矩陣是()A、AT。B、A2。C、A—1。D、A—E。標準答案：A知識點解析：由于｜λE—AT｜=｜(λE—A)T｜=｜λE—A｜，A與AT有相同的特征多項式，所以A與AT有相同的特征值。由Aα=λα，α≠0可得到A2α=λ2α，A—1α=λ—1α，(A—E)α=(λ一1)α，說明A2，A—1，A—E與A的特征值是不一樣的(但A的特征向量也是它們的特征向量)。故選A。2、已知α1=(一1，1，a，4)T，α2=(一2，1，5，a)T，α3=(a，2，10，1)T是四階方陣A的三個不同特征值對應的特征向量，則()A、a≠5。B、a≠一4。C、a≠一3。D、a≠一3且a≠一4。標準答案：A知識點解析：矩陣A的不同特征值對應的特征向量必線性無關，所以r(α1，α2，α3)=3。由于所以a≠5。故選A。3、已知三階矩陣A與三維非零列向量α，若向量組α，Aα，A2α線性無關，而A3α=3Aα一2A2α，那么矩陣A屬于特征值λ=一3的特征向量是()A、α。B、Aα+2α。C、A2α—Aα。D、A2α+2Aα一3α。標準答案：C知識點解析：因為A3α+2A2α一3Aα=0。故(A+3E)(A2α—Aα)=0=0(A2α一Aα)。因為α，Aα，A2α線性無關，必有A2α一Aα≠0，所以A2α—Aα是矩陣A+3E屬于特征值λ=0的特征向量，即A2α一Aα是矩陣A屬于特征值λ=一3的特征向量。故選C。4、n階矩陣A和B具有相同的特征值是A和B相似的()A、充分必要條件。B、必要而非充分條件。C、充分而非必要條件。D、既非充分也非必要條件。標準答案：B知識點解析：由A～B，即存在可逆矩陣JP，使P—1AP=B，故｜λE一B｜=｜λE—P—1AP｜=｜P—1(λE—A)P｜=｜P—1｜｜λE—A｜｜P｜=｜λE—A｜，即A與B有相同的特征值。但當A，B有相同特征值時，A與B不一定相似。例如雖然A，B有相同的特征值λ1=λ2=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似。所以，相似的必要條件是A，B有相同的特征值。故選B。5、下列矩陣中，不能相似對角化的矩陣是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：選項A是實對稱矩陣，實對稱矩陣必可以相似對角化。選項B是下三角矩陣，主對角線元素就是矩陣的特征值，因而矩陣有三個不同的特征值，所以矩陣必可以相似對角化。選項C是秩為1的矩陣，由｜λE—A｜=λ3一4λ2，可知矩陣的特征值是4，0，0。對于二重根λ=0，由秩r(OE—A)=r(A)=1可知齊次方程組(OE一A)x=0的基礎解系有3—1=2個線性無關的解向量，即λ=0時有兩個線性無關的特征向量，從而矩陣必可以相似對角化。選項D是上三角矩陣，主對角線上的元素1，1，一1就是矩陣的特征值，對于二重特征值λ=1，由可知齊次線性方程組(E—A)x=0只有3—2=1個線性無關的解，即λ=1時只有一個線性無關的特征向量，故矩陣必不能相似對角化。故選D。6、已知三階矩陣A的特征值為0，1，2。設B=A3一2A2，則r(B)=()A、1。B、2。C、3。D、不能確定。標準答案：A知識點解析：因為矩陣A有三個不同的特征值，所以A必能相似對角化，即存在可逆矩陣P，使得P—1AP=Λ=于是P—1BP=P—1(A3一2A2)P=P—1A3P一2P—1A2P=(P—1AP)3一2(P—1AP)2則矩陣B的三個特征值分別為0，0，一1，故r(B)=1。故選A。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)7、設矩陣的一個特征值為λ1=—3，且A的三個特征值之積為一12，則a=______，b=______，A的其他特征值為______。標準答案：1，2或一2，λ2=λ3=2知識點解析：由題意可得｜A｜=一4a一2b2=一12，所以2a+b2=6。又A的特征多項式為｜λE—A｜==(λ一2)[λ2一(a—2)λ一6]，而A有特征值一3，所以λ1=一3必是方程λ2一(a—2)λ一6=0的根，故a=1，b=2或一2。由｜λE一A｜=(λ一2)(λ2+λ一6)=(λ一2)2(λ+3)可得矩陣A的另外兩個特征值為λ2=λ3=2。8、已知，A*是A的伴隨矩陣，那么A*的特征值是______。標準答案：1，7，7知識點解析：由矩陣A的特征多項式｜λE—A｜==(λ一7)(λ一1)2可得矩陣A的特征值為7，1，1。所以｜A｜=7×1×1=7。如果Aα=λα，則有A*α=，因此A*的特征值是1，7，7。9、若三維列向量α，β滿足αβT=2，其中αT為α的轉置，則矩陣βαT的非零特征值為______。標準答案：2知識點解析：因為αTβ=2，所以(βαT)β=β(αTβ)=2β，故βαT的非零特征值為2。10、設A是三階可逆矩陣，A的各行元素之和為k，A*的各行元素之和為m，則｜A｜=______。標準答案：km知識點解析：由A的各行元素之和為k，A*的各行元素之和為m可知A(1，1，1)T=k(1，1，1)T，A*(1，1，1)T=m(1，1，1)T，在A(1，1，1)T=k(1，1，1)T兩邊同時左乘A*可得A*A(1，1，1)T=kA*(1，1，1)T，即｜A｜(1，1，1)T=kA*(1，1，1)T=km(1，1，1)T，故｜A｜=km。11、已知矩陣有兩個線性無關的特征向量，則a=______。標準答案：一1知識點解析：A的特征多項式為｜λE—A｜==(λ+1)3，所以矩陣A的特征值是一1，且為三重特征值，但是A只有兩個線性無關的特征向量，故r(一E—A)=1，因此a=一1。12、設三階方陣A的特征值是1，2，3，它們所對應的特征向量依次為α1，α2，α3，令P=(3α3，α1，2α2)，則P—1AP=______。標準答案：知識點解析：因為3α3，α1，2α2分別為A的對應特征值3，1，2的特征向量，所以P—1AP=。三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)13、n階矩陣，求A的特征值和特征向量。標準答案：矩陣A的特征多項式為｜λE—A｜==[λ一1一(n一1)b][λ一(1—b)]n—1，則A的特征值為1+(n一1)b和1—b(n一1重)。①當b=0時，A的特征值是1(n重)，任意n維非零列向量均為A的特征向量。②當b≠0時，對方程組{[1+(n一1)]bE—A}x=0的系數(shù)矩陣作初等行變換得解得上述方程組的基礎解系為ξ1=(1，1，1，…，1)T。所以A的屬于λ=1+(n一1)b的全部特征向量為kξ1=k(1，1，1，…，1)T，k≠0。對方程組[(1一b)E—A]x=0的系數(shù)矩陣作初等行變換得解得上述方程組的基礎解系為ξ2=(1，一1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，一1，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，一1)T，所以A的屬于λ=1一b的全部特征向量為k2ξ2+k3ξ3+…+knξn，其中k2，k3，…，kn是不全為零的常數(shù)。知識點解析：暫無解析設三階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是線性方程組Ax=0的兩個解。14、求矩陣A的特征值與特征向量；標準答案：因為矩陣A的各行元素之和均為3，所以有則λ=3是矩陣A的特征值，α=(1，1，1)T是對應的特征向量。對應λ=3的全部特征向量為kα=k(1，1，1)T，其中k是不為零的常數(shù)。又由題設知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0·α1，Aα2=0·α2，而且α1，α2線性無關，所以λ=0是矩陣A的二重特征值，α1，α2是其對應的特征向量，因此對應λ=0的全部特征向量為k1α1+k2α2=k1(一1，2，一1)T+k2(0，一1，1)T，其中k1，k2是不全為零的常數(shù)。知識點解析：暫無解析15、求正交矩陣Q和對角矩陣A，使得QTAQ=Λ。標準答案：因為A是實對稱矩陣，所以α與α1，α2正交，只需將α1與α2正交化。由施密特正交化法，取β1=α1，β1=再將α，β1，β2單位化，得令Q=(η1，η2，η3)，則Q—1=QT，且QTAQ==Λ。知識點解析：暫無解析16、設三階實對稱矩陣A的特征值為λ1=一1，λ2=λ3=1，對應于λ1的特征向量為ξ1=(0，1，1)T，求矩陣A。標準答案：設矩陣A的屬于特征值λ=1的特征向量為x=(x1，x2，x3)T。實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量正交，所以ξ1Tx=0，即x2+x3=0。方程組x2+x3=0的基礎解系為ξ2=(1，0，0)T，ξ3=(0，一1，1)T。令P=(ξ1，ξ2，ξ3)=，則P—1AP=，所以知識點解析：暫無解析17、設三階實對稱矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=一1，λ3=0；對應λ1，λ2的特征向量依次為p1=(1，2，2)T，p2=(2，1，一2)T，求矩陣A。標準答案：因為A為實對稱矩陣，故必存在正交矩陣Q=(q1，q2，q3)，使QTAQ=Q—1AQ==Λ。將對應于特征值λ1，λ2的特征向量單位化，得由正交矩陣的性質(zhì)，q3可取為的單位解向量，則由可知，因此知識點解析：暫無解析18、設三階實對稱矩陣A的秩為2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(一1，2，一3)T都是A屬于λ=6的特征向量，求矩陣A。標準答案：由r(A)=2知，｜A｜=0，所以λ=0是A的另一特征值。因為λ1=λ2=6是實對稱矩陣的二重特征值，故A屬于λ=6的線性無關的特征向量有兩個，因此α1，α2，α3必線性相關，顯然α1，α2線性無關。設矩陣A屬于λ=0的特征向量α=(x1，x2，x3)T，由于實對稱矩陣不同特征值的特征向量相互正交，故有解得此方程組的基礎解系α=(一1，1，1)T。根據(jù)A(α1，α2，α)=(6α1，6α2，0)得A=(6α1，6α2，0)(α1，α2，α)—1=知識點解析：暫無解析設三階實對稱矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的屬于特征值λ1的一個特征向量，記B=A5一4A3+E，其中E為三階單位矩陣。19、驗證α1是矩陣B的特征向量，并求矩陣B的全部特征值與特征向量；標準答案：由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次遞推，則有A3α1=α1，A5α1=α1，故Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=一2α1，即α1是矩陣B的屬于特征值一2的特征向量。由關系式B=A5一4A3+E及A的三個特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2得B的三個特征值為μ1=一2，μ2=1，μ3=1。設α2，α3為B的屬于μ2=μ3=1的兩個線性無關的特征向量，又由A為對稱矩陣，則B也是對稱矩陣，因此α1與α2，α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0。因此α2，α3可取為下列齊次線性方程組兩個線性無關的解，即得其基礎解系為，故可取。B的全部特征向量為，其中k1≠0，k2，k3不同時為零。知識點解析：暫無解析20、求矩陣B。標準答案：令P=(α1，α2，α3)=，則P—1BP=，于是知識點解析：暫無解析21、已知矩陣有特征值λ=5，求a的值；當a＞0時，求正交矩陣Q，使Q—1AQ=Λ。標準答案：因A=5是矩陣A的特征值，則由=3(4一a2)=0，可得a=±2。當a=2時，矩陣A的特征多項式=(λ一2)(λ一5)(λ一1)，矩陣A的特征值是1，2，5。由(E—A)x=0得基礎解系α1=(0，1，一1)T，由(2E—A)x=0得基礎解系α2=(1，0，0)T，由(5E—A)x=0得基礎解系α3=(0，1，1)T。矩陣A屬于特征值1，2，5的特征向量分別是α1，α2，α3。由于實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交，故只需單位化，則令Q=(γ1，γ2，γ3)=，則有Q—1AQ=。知識點解析：暫無解析22、設，且存在正交矩陣Q使得QTAQ為對角矩陣。若Q的第一列為(1，2，1)T，求a，Q。標準答案：按已知條件，(1，2，1)T是矩陣A的特征向量，設特征值是λ1，那么又因=(λ一2)(λ一5)(λ+4)，知矩陣A的特征值是2，5，一4。對λ=5，由(5E—A)x=0得基礎解系α2=(1，一1，1)T。對λ=一4，由(一4E—A)x=0得基礎解系α3=(一1，0，1)T。因為A是實對稱矩陣，對應于不同特征值的特征向量相互正交，故只需單位化α2，α3，即則令則有QTAQ=Q—1AQ=知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設A是n階矩陣，下列命題中正確的是()A、若α是AT的特征向量，那么α是A的特征向量。B、若α是A*的特征向量，那么α是A的特征向量。C、若α是A2的特征向量，那么α是A的特征向量。D、若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量。標準答案：D知識點解析：由于(λE—A)x=0與(λE—AT)x=0不一定同解，所以α不一定同時是AT和A的特征向量。例如該例還說明當矩陣A不可逆時，A*的特征向量不一定是A的特征向量；A2的特征向量不一定是A的特征向量。若α是