專題05一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）知識(shí)點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念1、函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)定義一般地，稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3、函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)：稱函數(shù)f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnx(x>0)f′(x)＝eq\f(1,x)2、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）復(fù)合函數(shù)的概念：一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)和，如果通過中間變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為和的復(fù)合函數(shù)，記作.（2）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：一般地，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.規(guī)律：從內(nèi)到外層層求導(dǎo)，乘法連接。（3）求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟第一步分層：選擇中間變量，寫出構(gòu)成它的內(nèi)、外層函數(shù)；第二步分別求導(dǎo)：分別求各層函數(shù)對(duì)相應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)；第三步相乘：把上述求導(dǎo)的結(jié)果相乘；第四步變量回代：把中間變量代回。知識(shí)點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．【注意】（1）在某區(qū)間內(nèi)（）是函數(shù)在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充分不必要條件；（2）可導(dǎo)函數(shù)在上是增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)?x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．2、導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．知識(shí)點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值1、函數(shù)的極值（1）函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．（2）函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．2、函數(shù)的最值（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．（2）若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．3、函數(shù)極值與最值的關(guān)系（1）函數(shù)的最大值和最小值是比較整個(gè)定義域區(qū)間上的函數(shù)值得到的，是一個(gè)整體的概念，與函數(shù)的極大（?。┲挡煌?，函數(shù)的最大（?。┲等粲?，則只有一個(gè)。（2）開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，若有唯一的極值，則這個(gè)極值是函數(shù)的最值。重難點(diǎn)01根據(jù)切線情況求參數(shù)已知，過點(diǎn)，可作曲線的（）條切線問題第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.第四步：將代入切線方程，得：，整理成關(guān)于得分方程；第五步：題意已知能作幾條切線，關(guān)于的方程就有幾個(gè)實(shí)數(shù)解；【典例1】（23-24高三上·廣東·月考）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則．【典例2】（22-23高三下·湖南長(zhǎng)沙·月考）設(shè)直線是曲線的一條切線，則．【典例3】（23-24高三上·廣西南寧·月考）已知曲線與的公切線為，則實(shí)數(shù).重難點(diǎn)02含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)（1）導(dǎo)函數(shù)有無零點(diǎn)討論（或零點(diǎn)有無意義）；（2）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在不在定義域或區(qū)間內(nèi)；（3）導(dǎo)函數(shù)多個(gè)零點(diǎn)時(shí)大小的討論?！镜淅?】（23-24高三下·江西·月考）已知函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程;（2）若，討論的單調(diào)性.【典例2】（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)），討論的單調(diào)性.重難點(diǎn)03構(gòu)造函數(shù)法解決函數(shù)問題中的常見類型關(guān)系式為“加”型構(gòu)造：構(gòu)造（2）構(gòu)造（3）構(gòu)造（4）構(gòu)造（注意的符號(hào)）（5）構(gòu)造關(guān)系式為“減”型構(gòu)造：（6）構(gòu)造（7）構(gòu)造（8）構(gòu)造（9）構(gòu)造（注意的符號(hào)）（10）構(gòu)造【典例1】（2024·山東聊城·三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)數(shù)為，若當(dāng)時(shí)，，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三上·河北·月考）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且恒成立，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高三上·山東菏澤·月考）若定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為重難點(diǎn)04單變量不等式恒成立問題一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：1、，2、，3、，4、，【典例1】（2024·河南·三模）若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C．1 D．【典例2】（2024·陜西·二模），有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．重難點(diǎn)05雙變量不等式與等式一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故．【典例1】（23-24高三上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）對(duì)于，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【典例2】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，．（1）若曲線在處的切線過點(diǎn)，求的值；（2）設(shè)若對(duì)，，使得成立，求的取值范圍．重難點(diǎn)06導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)問題利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法1、圖象法：根據(jù)題目要求畫出函數(shù)的圖象，標(biāo)明函數(shù)極（最）值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問題（畫草圖時(shí)注意有時(shí)候需要使用極限）；2、利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）及區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。【典例1】（2024高三下·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高三下·河北·月考）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).重難點(diǎn)07隱零點(diǎn)問題的應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求時(shí)的應(yīng)對(duì)策略：1、“特值試探”法：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求時(shí)，可嘗試?yán)锰厥庵翟囂?，此時(shí)特殊值的選取應(yīng)遵循以下原則：①在含有的函數(shù)中，通常選取，特別地，選當(dāng)時(shí)，來試探；②在含有的函數(shù)中，通常選取，特別地，選取當(dāng)時(shí)，來試探，在探得導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)后，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，確定導(dǎo)函數(shù)在零點(diǎn)左右的符號(hào)，進(jìn)而確定原函數(shù)的單調(diào)性和極值，使問題得到解決.2、“虛設(shè)和代換”法：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)無法求出顯性的表達(dá)式時(shí)，我們可以先證明零點(diǎn)存在，再虛設(shè)為，接下來通常有兩個(gè)方向：①由得到一個(gè)關(guān)于的方程，再將這個(gè)關(guān)于的方程的整體或局部代入，從而求得，然后解決相關(guān)的問題；②根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得出兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值，使問題得解?！镜淅?】（23-24高三上·湖南·月考）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【典例2】（23-24高三下·四川巴中·月考）函數(shù)；（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）在恒成立，求整數(shù)的最大值.重難點(diǎn)08極值點(diǎn)偏移問題證明極值點(diǎn)偏移問題常用思路：利用分析法，將所證不等式中的變量分到不等式的兩邊，構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)，注意將和化到同一區(qū)間，再利用導(dǎo)數(shù)據(jù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求極致、最值等手段證得不等式?！镜淅?】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)為實(shí)數(shù).（1）討論函數(shù)的極值；（2）若存在滿足，求證：.【典例2】（2024·云南·二模）已知常數(shù)，函數(shù).（1）若，求的取值范圍;（2）若、是的零點(diǎn)，且，證明:.一、導(dǎo)數(shù)定義中極限的計(jì)算瞬時(shí)變化率的變形形式lim?x→0【典例1】（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算值為（

）A．1 B． C．0 D．2【典例2】（2024·江蘇南通·二模）已知，當(dāng)時(shí)，.二、求曲線“在”與“過”某點(diǎn)的切線1、求曲線“在”某點(diǎn)處的切線方程步驟第一步（求斜率）：求出曲線在點(diǎn)處切線的斜率第二步（寫方程）：用點(diǎn)斜式第三步（變形式）：將點(diǎn)斜式變成一般式。2、求曲線“過”某點(diǎn)處的切線方程步驟第一步：設(shè)切點(diǎn)為；第二步：求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；第三步：利用Q在曲線上和，解出及；第四步：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為．【典例1】（23-24高三上·河南·月考）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【典例2】（23-24高三上·山東青島·期中）曲線過原點(diǎn)的切線方程為.三、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)（1）函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)增（單減）在區(qū)間D上恒成立；（2）函數(shù)在區(qū)間D上存在單調(diào)增（單減）區(qū)間在區(qū)間D上能成立；（3）已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)不存在變號(hào)零點(diǎn)（4）已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)不單調(diào)存在變號(hào)零點(diǎn)【典例1】（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的可能取值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【典例2】（2023·寧夏銀川·三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．m>1四、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法步驟（1）求導(dǎo)數(shù)；（2）求方程的所有實(shí)數(shù)根；（3）觀察在每個(gè)根x0附近，從左到右導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)如何變化．①如果的符號(hào)由正變負(fù)，則是極大值；②如果由負(fù)變正，則是極小值．③如果在的根x＝x0的左右側(cè)的符號(hào)不變，則不是極值點(diǎn)．【典例1】（23-24高三下·山東菏澤·月考）函數(shù)的極小值點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·海南·月考）已知函數(shù)在處的切線平行于直線.（1）求的值；（2）求的極值.五、根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍問題的一般思路：根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍問題的一般思路先求解出，然后分析的根的個(gè)數(shù)：①分類討論法分析的根的個(gè)數(shù)并求解參數(shù)范圍；②參變分離法分析的根的個(gè)數(shù)并求解參數(shù)范圍；③轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題并求解參數(shù)范圍.【典例1】（23-24高三上·山西臨汾·月考）已知曲線在點(diǎn)處的切線斜率為3，且是的極值點(diǎn)，則函數(shù)的另一個(gè)極值點(diǎn)為.【典例2】（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知函數(shù)在上無極值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高三上·河北衡水·月考）（多選）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）A． B． C． D．六、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求函數(shù)最值的步驟為：（1）求函數(shù)在區(qū)間上的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值；（3）實(shí)際問題中，“駐點(diǎn)”如果只有一個(gè)，這便是“最值”點(diǎn)?！镜淅?】（23-24高三下·河南·月考）函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·月考）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）討論在區(qū)間上的最小值.易錯(cuò)點(diǎn)1復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)錯(cuò)誤點(diǎn)撥：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，即?！镜淅?】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是．【典例2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則易錯(cuò)點(diǎn)2誤解“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”的邏輯關(guān)系點(diǎn)撥：在使用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時(shí)，很容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是求出使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)，而沒有對(duì)這些點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判斷，誤以為使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)。出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的原因就是對(duì)導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系不清?？蓪?dǎo)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為0只是這個(gè)函數(shù)在此點(diǎn)取到極值的必要條件，充要條件是兩側(cè)異號(hào)?！镜淅?】（2