2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變形章末綜合提升（教師用書）教案北師大版必修4學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點(diǎn)教具課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變形章末綜合提升

2.教學(xué)年級和班級：北師大版必修4

3.授課時間：2024-2025學(xué)年

4.教學(xué)時數(shù)：1課時核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在通過三角恒等變形的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。在邏輯推理方面，通過引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握三角恒等變形的基本原理和方法，使其能夠運(yùn)用邏輯推理的能力分析和解決三角函數(shù)問題。在數(shù)學(xué)建模方面，通過具體的案例和練習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會如何建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用三角恒等變形的方法解決實際問題。在數(shù)據(jù)分析方面，通過引導(dǎo)學(xué)生收集、整理和分析三角函數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)，使其能夠運(yùn)用數(shù)據(jù)分析的能力，從數(shù)據(jù)中提取有用的信息，對三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行深入理解和探究。

此外，通過小組討論、問題解決等教學(xué)活動，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊合作、批判性思維和創(chuàng)新能力，使其能夠在解決三角函數(shù)問題的過程中，獨(dú)立思考、善于與他人合作，對不同的解決方案進(jìn)行評估和選擇。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

本節(jié)課的核心內(nèi)容是三角恒等變形的原理和方法。具體包括：

（1）了解和掌握三角函數(shù)的基本恒等式，如正弦定理、余弦定理等。

（2）學(xué)會運(yùn)用三角恒等變形的方法，如倍角公式、和差化積、積化和差等，將三角函數(shù)式進(jìn)行簡化。

（3）理解三角恒等變形在實際問題中的應(yīng)用，如在幾何問題、物理問題中的運(yùn)用。

2.教學(xué)難點(diǎn)

本節(jié)課的難點(diǎn)內(nèi)容主要包括：

（1）三角函數(shù)基本恒等式的推導(dǎo)和理解。例如，正弦定理和余弦定理的推導(dǎo)過程，以及它們在解決實際問題中的應(yīng)用。

（2）三角恒等變形的方法和技巧。例如，倍角公式的運(yùn)用，和差化積、積化和差的操作步驟。

（3）如何將三角恒等變形的方法應(yīng)用到實際問題中。例如，在幾何問題中，如何運(yùn)用三角恒等變形求解角度和邊長；在物理問題中，如何運(yùn)用三角恒等變形求解振動周期等。

（4）學(xué)生在理解和運(yùn)用三角恒等變形時可能出現(xiàn)的錯誤。例如，對恒等式的記憶不準(zhǔn)確，變形過程中的步驟錯誤，以及在解決實際問題時對恒等式的應(yīng)用不當(dāng)?shù)取?/p>

針對以上重點(diǎn)和難點(diǎn)，教師應(yīng)采取有效的教學(xué)方法，如通過案例分析、問題解決、小組討論等形式，幫助學(xué)生理解和掌握三角恒等變形的核心知識，并突破其在實際應(yīng)用中的難點(diǎn)。同時，教師還應(yīng)關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能出現(xiàn)的錯誤，及時進(jìn)行指導(dǎo)和糾正，確保學(xué)生對三角恒等變形的理解和運(yùn)用達(dá)到預(yù)期目標(biāo)。教學(xué)資源1.軟硬件資源：

-教室內(nèi)的多媒體投影儀和屏幕

-教師和學(xué)生的計算器

-教學(xué)用的三角板和量角器

-筆記本電腦和投影儀

2.課程平臺：

-學(xué)校提供的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺

-數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)資源庫

3.信息化資源：

-數(shù)學(xué)教學(xué)軟件和應(yīng)用程序

-在線數(shù)學(xué)問題求解工具

-數(shù)學(xué)教學(xué)視頻和演示動畫

4.教學(xué)手段：

-小組討論和合作學(xué)習(xí)

-問題解決和案例分析

-互動式教學(xué)和提問回答

-實踐活動和操作演示教學(xué)流程一、導(dǎo)入新課（用時5分鐘）

同學(xué)們，今天我們將要學(xué)習(xí)的是《三角恒等變形》這一章節(jié)。在開始之前，我想先問大家一個問題：“你們在日常生活中是否遇到過需要將角度或邊長進(jìn)行轉(zhuǎn)換的情況？”（舉例說明）這個問題與我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容密切相關(guān)。通過這個問題，我希望能夠引起大家的興趣和好奇心，讓我們一同探索三角恒等變形的奧秘。

二、新課講授（用時10分鐘）

1.理論介紹：首先，我們要了解三角恒等變形的基本概念。三角恒等變形是……（詳細(xì)解釋概念）。它是……（解釋其重要性或應(yīng)用）。

2.案例分析：接下來，我們來看一個具體的案例。這個案例展示了三角恒等變形在實際中的應(yīng)用，以及它如何幫助我們解決問題。

3.重點(diǎn)難點(diǎn)解析：在講授過程中，我會特別強(qiáng)調(diào)……和……這兩個重點(diǎn)。對于難點(diǎn)部分，我會通過舉例和比較來幫助大家理解。

三、實踐活動（用時10分鐘）

1.分組討論：學(xué)生們將分成若干小組，每組討論一個與三角恒等變形相關(guān)的實際問題。

2.實驗操作：為了加深理解，我們將進(jìn)行一個簡單的實驗操作。這個操作將演示三角恒等變形的基本原理。

3.成果展示：每個小組將向全班展示他們的討論成果和實驗操作的結(jié)果。

四、學(xué)生小組討論（用時10分鐘）

1.討論主題：學(xué)生將圍繞“三角恒等變形在實際生活中的應(yīng)用”這一主題展開討論。他們將被鼓勵提出自己的觀點(diǎn)和想法，并與其他小組成員進(jìn)行交流。

2.引導(dǎo)與啟發(fā)：在討論過程中，我將作為一個引導(dǎo)者，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題。我會提出一些開放性的問題來啟發(fā)他們的思考。

3.成果分享：每個小組將選擇一名代表來分享他們的討論成果。這些成果將被記錄在黑板上或投影儀上，以便全班都能看到。

五、總結(jié)回顧（用時5分鐘）

今天的學(xué)習(xí)，我們了解了三角恒等變形的基本概念、重要性和應(yīng)用。同時，我們也通過實踐活動和小組討論加深了對三角恒等變形的理解。我希望大家能夠掌握這些知識點(diǎn)，并在日常生活中靈活運(yùn)用。最后，如果有任何疑問或不明白的地方，請隨時向我提問。知識點(diǎn)梳理1.三角函數(shù)的基本恒等式

-正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC

-余弦定理：c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

-正切定理：a/tanA=b/tanB=c/tanC

2.三角恒等變形的方法

-倍角公式：sin2A=2sinA*cosA，cos2A=cos^2A-sin^2A，tan2A=(2tanA)/(1-tan^2A)

-和差化積：sin(A±B)=sinA*cosB±cosA*sinB，cos(A±B)=cosA*cosB?sinA*sinB

-積化和差：sinA*cosB=(1/2)[sin(A+B)+sin(A-B)]，cosA*sinB=(1/2)[sin(A+B)-sin(A-B)]

3.三角恒等變形的應(yīng)用

-在幾何問題中的應(yīng)用：求解角度和邊長，如通過已知兩邊和夾角求第三邊長，或通過已知兩邊和它們之間的夾角求第三角的度數(shù)。

-在物理問題中的應(yīng)用：求解振動周期，如通過單擺的振動周期公式T=2π√(L/g)來求解未知的重力加速度g。

4.三角恒等變形的性質(zhì)

-三角函數(shù)的周期性：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)都具有周期性，如sin(x+2π)=sinx，cos(x+2π)=cosx，tan(x+π)=tanx。

-三角函數(shù)的奇偶性：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是周期函數(shù)，不具備奇偶性，而正切函數(shù)具有奇函數(shù)性質(zhì)，即tan(-x)=-tanx。

-三角函數(shù)的單調(diào)性：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[π,2π]上單調(diào)遞減；正切函數(shù)在區(qū)間(-π/2,π/2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(π/2,3π/2)上單調(diào)遞減。板書設(shè)計1.三角函數(shù)的基本恒等式

-正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC

-余弦定理：c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

-正切定理：a/tanA=b/tanB=c/tanC

2.三角恒等變形的方法

-倍角公式：sin2A=2sinA*cosA，cos2A=cos^2A-sin^2A，tan2A=(2tanA)/(1-tan^2A)

-和差化積：sin(A±B)=sinA*cosB±cosA*sinB，cos(A±B)=cosA*cosB?sinA*sinB

-積化和差：sinA*cosB=(1/2)[sin(A+B)+sin(A-B)]，cosA*sinB=(1/2)[sin(A+B)-sin(A-B)]

3.三角恒等變形的應(yīng)用

-幾何問題中的應(yīng)用：求解角度和邊長，如通過已知兩邊和夾角求第三邊長，或通過已知兩邊和它們之間的夾角求第三角的度數(shù)。

-物理問題中的應(yīng)用：求解振動周期，如通過單擺的振動周期公式T=2π√(L/g)來求解未知的重力加速度g。

4.三角恒等變形的性質(zhì)

-周期性：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)都具有周期性，如sin(x+2π)=sinx，cos(x+2π)=cosx，tan(x+π)=tanx。

-奇偶性：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是周期函數(shù)，不具備奇偶性，而正切函數(shù)具有奇函數(shù)性質(zhì)，即tan(-x)=-tanx。

-單調(diào)性：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[π,2π]上單調(diào)遞減；正切函數(shù)在區(qū)間(-π/2,π/2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(π/2,3π/2)上單調(diào)遞減。教學(xué)反思與改進(jìn)今天教授了《三角恒等變形》這一章節(jié)，通過講解基本恒等式、方法和應(yīng)用，以及進(jìn)行實踐活動和小組討論，學(xué)生們對三角恒等變形有了更深入的理解。在教學(xué)過程中，我注意到了一些需要改進(jìn)的地方，并在未來的教學(xué)中計劃實施以下改進(jìn)措施。

首先，在講解基本恒等式時，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生們對于公式的記憶和理解存在一定的困難。為了加強(qiáng)學(xué)生們對公式的記憶，我計劃在今后的教學(xué)中引入更多的實際例子，讓學(xué)生們通過具體的問題來運(yùn)用和鞏固這些公式。例如，可以通過解決幾何問題和物理問題來讓學(xué)生們實踐運(yùn)用三角恒等變形。

其次，在實踐活動中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生們在實際操作中存在一些問題，如步驟不清晰、計算錯誤等。為了提高學(xué)生們解決問題的能力，我計劃增加更多的小組討論和互動式教學(xué)環(huán)節(jié)。通過小組討論，學(xué)生們可以相互學(xué)習(xí)和交流，共同解決問題。同時，我可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用批判性思維和創(chuàng)新能力，鼓勵他們提出不同的解決方案，并進(jìn)行評估和選擇。

此外，我還注意到學(xué)生在小組討論中積極性不高，有些學(xué)生不愿意發(fā)表自己的觀點(diǎn)和想法。為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性，我計劃引入更多的游戲化和趣味性教學(xué)資源。例如，可以通過數(shù)學(xué)競賽、角色扮演等方式，讓學(xué)生們在輕松愉快的氛圍中學(xué)習(xí)三角恒等變形。

最后，在教學(xué)過程中，我要時刻關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度和理解情況，及時進(jìn)行指導(dǎo)和糾正。對于那些仍然有疑問或不明白的學(xué)生，我要耐心地為他們解答，并提供額外的輔導(dǎo)資源，確保他們能夠跟上教學(xué)進(jìn)度。作業(yè)布置與反饋1.作業(yè)布置：

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是三角恒等變形，為了讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識并提高能力，請同學(xué)們完成以下作業(yè)：

（1）請同學(xué)們回憶本節(jié)課所學(xué)的三角恒等變形的基本恒等式，包括正弦定理、余弦定理、正切定理等，并用自己的話簡要描述它們的含義和應(yīng)用。

（2）請同學(xué)們根據(jù)本節(jié)課所學(xué)的三角恒等變形的方法，如倍角公式、和差化積、積化和差等，選擇一個具體的案例進(jìn)行分析和解答。

（3）請同學(xué)們運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)的三角恒等變形在實際問題中的應(yīng)用，如求解幾何問題中的角度和邊長，或求解物理問題中的振動周期等，選擇一個實際問題進(jìn)行分析和解答。

2.作業(yè)反饋：

（1）對于作業(yè)中出現(xiàn)的問題，我會及時進(jìn)行批改和反饋。對于學(xué)生正確理解和運(yùn)用三角恒等變形的基本恒等式的情況，我會給予肯定和鼓勵。對于學(xué)生出現(xiàn)錯誤的情況，我會指出存在的問題，并給出具體的改進(jìn)建議。例如，如果學(xué)生在使用正弦定理時計算錯誤，我會指出錯誤的原因，并指導(dǎo)學(xué)生正確使用正弦定理進(jìn)行計算。

（2）對于作業(yè)中使用三角恒等變形的方法的情況，我會評價學(xué)生是否正確理解和運(yùn)用了這些方法。如果學(xué)生能夠準(zhǔn)確運(yùn)用倍角公式、和差化積、積化和差等方法進(jìn)行解答，我會給予肯定和鼓勵。如果學(xué)生在使用這些方法時出現(xiàn)問題，我會指出存在的問題，并給出具體的改進(jìn)建議。例如，如果學(xué)生在使用和差化積時步驟錯誤，我會指出錯誤的原因，并指導(dǎo)學(xué)生正確使用和差化積進(jìn)行解答。

（3）對于作業(yè)中運(yùn)用三角恒等變形在實際問題中的應(yīng)用的情況，我會評價學(xué)生是否能夠準(zhǔn)確理解和運(yùn)用這些應(yīng)用。如果學(xué)生能夠正確運(yùn)用三角恒等變形解決實際問題，我會給予肯定和鼓勵。如果學(xué)生在應(yīng)用這些應(yīng)用時出現(xiàn)問題，我會指出存在的問題，并給出具體的改進(jìn)建議。例如，如果學(xué)生在求解幾何問題時步驟錯誤，我會指出錯誤的原因，并指導(dǎo)學(xué)生正確使用三角恒等變形求解幾何問題。典型例題講解1.例題1：已知三角形ABC中，AB=AC，求證：∠B=∠C。

解答：

利用正弦定理，我們有：

AB/sinA=AC/sinC

由于AB=AC，因此sinA=sinC

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，sinA=sinC意味著∠A=∠C

因此，∠B=180°-∠A=180°-∠C

所以，∠B=∠C

2.例題2：已知等差數(shù)列{an}，求通項公式an。

解答：

等差數(shù)列的通項公式為：

an=a1+(n-1)d

其中，a1是首項，d是公差。

3.例題3：已知等比數(shù)