PAGEPAGE20天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)二模試題（含解析）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題，共45分）一、選擇題（本題共9個(gè)小題，每題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有一個(gè)是正確的）1.已知集合，，則（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】先解得不等式,即,再依據(jù)并集的定義求解即可【詳解】由題,,則,所以,則,故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合間的并集運(yùn)算,考查解一元二次不等式2.設(shè)x∈R，則“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行推斷即可．【詳解】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要條件，故選A．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的推斷．3.某學(xué)校組織學(xué)生參與英語測(cè)試，成果的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組一次為若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)是()A. B. C. D.【答案】B【解析】依據(jù)頻率分布直方可知成果低于60分的有第一、二組數(shù)據(jù)，在頻率分布直方圖中，對(duì)應(yīng)矩形的高分別為0.005，0.01，每組數(shù)據(jù)的組距為20，則成果低于60分的頻率P=(0.005+0.010)×20=0.3.又因?yàn)榈陀?0分的人數(shù)是15人，所以該班的學(xué)生人數(shù)是15÷0.3=50.本題選擇B選項(xiàng).4.已知函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.【答案】D【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，，其圖像為一條直線；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖像為函數(shù)圖像向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的，故選D.考點(diǎn)：函數(shù)圖像變換.5.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線（，）的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為4，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由拋物線，求得，得到，再由焦點(diǎn)到漸近線的距離為，求得，進(jìn)而得到，即可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到答案.【詳解】由題意，拋物線可化為，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，又由雙曲線的一條漸近線的方程為，即，所以焦點(diǎn)到的距離為，所以，又由，所以雙曲線的方程為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)潔的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，合理運(yùn)算時(shí)解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)對(duì)稱性將自變量轉(zhuǎn)化到上，再依據(jù)時(shí)單調(diào)遞減，推斷大小.【詳解】∵定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，∴函數(shù)為偶函數(shù)，∵，∴，∴，，．∵當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，∴，故選A．【點(diǎn)睛】比較兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大?。菏紫纫罁?jù)函數(shù)的性質(zhì)把兩個(gè)函數(shù)值中自變量調(diào)整到同一單調(diào)區(qū)間，然后依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，推斷兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大小7.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的改變.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“一一”，如圖就是一重卦.在全部重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】干脆依據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：由題，隨機(jī)取一重卦有種取法，其中恰有3個(gè)陽爻有種取法，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算公式，考查排列組合等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱且，f(x)在區(qū)間上單調(diào)，則ω可取數(shù)值的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】又三角函數(shù)的對(duì)稱性及三角函數(shù)的值可得或，再結(jié)合三角函數(shù)的周期性可得，然后求解即可.【詳解】解：由題設(shè)可知,,或,,則或，即或，又由已知有，即，則或，則的取值個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱性及周期性的應(yīng)用，重點(diǎn)考查了運(yùn)算實(shí)力與分析實(shí)力，屬中檔題.9.已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的最小值為，且，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.2或3 B.3或4 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】由題意可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于方程或的根的個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫圖求解，即可.【詳解】如圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為所以．因?yàn)?，所以或．因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，且，畫出直線，．則直線與必有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)有2個(gè)實(shí)數(shù)根.即函數(shù)由兩個(gè)零點(diǎn)．直線與可能有一個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn)，此時(shí)有一個(gè)實(shí)數(shù)根或無實(shí)數(shù)根．綜上可知：函數(shù)的零點(diǎn)有2個(gè)或3個(gè)．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，屬于較難題.第Ⅱ卷（非選擇題，共105分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卷中相應(yīng)的橫線上）10.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)的值是________.【答案】2【解析】分析】由是純虛數(shù),則,求解即可【詳解】由題,因?yàn)槭羌兲摂?shù),所以,則,故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查已知復(fù)數(shù)類型求參數(shù),一個(gè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則虛部不為0,實(shí)部為011.在的二項(xiàng)綻開式中，常數(shù)項(xiàng)的值為__________【答案】15【解析】【分析】寫出二項(xiàng)綻開式通項(xiàng)，通過得到，從而求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)綻開式通項(xiàng)為：當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12.設(shè)直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，若，則______.【答案】【解析】【分析】將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，求圓心到直線的距離，利用勾股定理即可求解.【詳解】圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線方程化為一般式為∴圓心，半徑為∴圓心到直線的距離，∵∴解得∵∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于中檔題.13.一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積是，那么這個(gè)三棱柱的體積是.【答案】【解析】試題分析：由球的體積公式，得，解得,所以正三棱柱的高h(yuǎn)=2R=4．設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，則其內(nèi)切圓的半徑為：，得，全部該正三棱柱的體積為.考點(diǎn)：1.球的體積；2.柱體的體積14.已知正實(shí)數(shù)a，b滿意，則的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】由=2a++，代換后利用基本不等式即可求解．【詳解】正實(shí)數(shù)a，b滿意2a+b=3，∴2a+b+2=5，則=2a++=2a+b+2+﹣4=1+=1+（）[2a+（b+2）]=1+（4+）=，當(dāng)且僅當(dāng)且2a+b=3即a=，b=時(shí)取等號(hào)，即的最小值是．故答案為【點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特殊留意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿意基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必需為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤15.如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3,對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn),||=2,E為BC邊(包含端點(diǎn))上一點(diǎn),則||的取值范圍是_____,的最小值為_____.【答案】(1).(2)..【解析】【分析】時(shí)，長(zhǎng)度最短，與重合時(shí)，長(zhǎng)度最長(zhǎng)．然后以)以O(shè)為原點(diǎn),BD所在直線為x軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，把向量數(shù)量積用坐標(biāo)表示后可求得最小值．【詳解】依據(jù)菱形性質(zhì)可得OC,則BO.(1)作AF⊥BC,則AF,此時(shí)AE最短,當(dāng)E與C重合時(shí),AE最長(zhǎng),故,即||∈;(2)以O(shè)為原點(diǎn),BD所在直線為x軸建系如圖:則A(0,)B(,0),C(0,),D(,0),所以BC:y,設(shè)E(m,)則,其中m對(duì)稱軸為m,故當(dāng)m時(shí)最小,最小值為.故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查向量的模和向量的數(shù)量積，向量模的范圍可由幾何圖得出，而數(shù)量積的最值通過建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運(yùn)算把數(shù)量積表示一個(gè)函數(shù)，由函數(shù)學(xué)問求解．這樣只要計(jì)算即可．三、解答題（本大題5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知（1）求的值（2）若（i）求的值（ii）求的值.【答案】（1）；（2）（i）;（ii）.【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)原式，干脆利用余弦定理求的值即可；（2）（i）由（1）可得，再利用正弦定理求的值；（ii）利用二倍角的余弦公式求得，可得，再由二倍角的正弦公式以及兩角和的正弦公式可得結(jié)果.【詳解】（1）在中，由，整理得，又由余弦定理，可得；（2）（i）由（1）可得，又由正弦定理，及已知，可得；（ii）由（i）可得，由已知，可得，故有，為銳角，故由，可得，從而有,.【點(diǎn)睛】以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對(duì)三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng).解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，肯定要嫻熟駕馭并敏捷應(yīng)用，特殊是二倍角公式的各種改變形式要熟記于心.17.如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）設(shè)為棱上的點(diǎn)（不與，重合），且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，確定各點(diǎn)坐標(biāo)，得到，，依據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明.（2）由（1）可知，平面的法向量，確定平面的法向量，依據(jù)，求解即可.（3）設(shè)，確定，，依據(jù)直線與平面所成角的正弦值為，求解，即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，平面所以，因則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知可得，，，，，.所以，，.因?yàn)椋?所以，又，平面，平面.所以平面．（2）設(shè)平面的法向量，由（1）可知，設(shè)平面的法向量因?yàn)椋?所以，即不妨設(shè)，得．所以二面角的余弦值為．（3）設(shè)，即.所以，即.因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為所以即解得即．【點(diǎn)睛】本題考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于較難題.18.已知橢圓C:l(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(,1),且離心率e.(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l與橢圓C相交于A?B兩點(diǎn),且滿意∠AOB=90°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求|AB|的取值范圍.【答案】(1);(2)[,2].【解析】【分析】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得一個(gè)關(guān)系式，離心率得，結(jié)合可求得，得橢圓方程；（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),設(shè)直線l為:x=m,代入計(jì)算，當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線為:y=kx+m,A(x,y),B(,),代入橢圓中整理，由韋達(dá)定理得，代入得出的關(guān)系，計(jì)算，用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的取值范圍得出結(jié)論．【詳解】(1)由題意:e,1,a2=b2+c2,解得:a2=8,b2=4,所以橢圓的方程為:;(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),設(shè)直線l為:x=m,A(x,y),B(,),代入橢中:y2=4(1),∠AOB=90°,∴0,∴x+y=m2﹣4(1)=0,∴m2,∴|AB|=|y﹣|=4;當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線為:y=kx+m,A(x,y),B(,),代入橢圓中整理得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=x+,x,=k2xx'+km(x+)+m2,∵∠AOB=90°,∴x+y=0,∴2m2﹣8+m2﹣8k2=0,∴3m2=8+8k|AB|,令t∈(0,1],所以|AB|,當(dāng)t,g(t)=1(t2﹣t)最大為,t=1時(shí),g(t)取得最小值1,綜上所述:|AB|的取值范圍[,2].【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交中的范圍問題．解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個(gè)方面：(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系．(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．19.已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列.數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿意（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前項(xiàng)和；（3）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)，按原來的依次成等差數(shù)列？若存在，求出全部滿意條件的正整數(shù)的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）;（2）;（3）在數(shù)列中，僅存在連續(xù)的三項(xiàng)，按原來的依次成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)的值為1.【解析】【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則,,又，，解得,∴對(duì)于，有,故.（2）.（3）在數(shù)列中，僅存在連續(xù)的三項(xiàng)，按原來的依次成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)的值為1，下面說明理由.若，則由，得,化簡(jiǎn)得，此式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不行能成立.若，則由，得,化簡(jiǎn)得.令，則.因此，，故只有，此時(shí).20.已知函數(shù)(1)求證:當(dāng)時(shí),對(duì)隨意恒成立;(2)求函數(shù)的極值;(3)當(dāng)時(shí),若存在且,滿意,求證:.【答案】(1)見解析(2)微小值,無極大值.(3)見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到，即，函數(shù)單調(diào)遞增，得到證明.（2），探討和兩種狀況，分別計(jì)算極值得到答案.（3）在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)不成立，不