PAGEPAGE1第3章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2024河南高二期末)設(shè)a=x2-2x+2,b=1-x,則實數(shù)a與b的大小關(guān)系為()A.a>b B.a=bC.a<b D.與x有關(guān)答案A解析因為a-b=x2-x+1=x-122+34>0恒成立,所以a>b.故選A.2.不等式2+x-x2<0的解集為()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-2,1)C.(-1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案A解析不等式可變形為x2-x-2>0,即(x-2)(x+1)>0,解得x<-1或x>2,所以不等式2+x-x2<0的解集為(-∞,-1)∪(2,+∞).故選A.3.(2024福建泉州高一期末)若不等式ax2+bx-1≥0的解集是x-12≤x≤-13,則a=()A.-6 B.-5 C.65 D.答案A解析∵不等式ax2+bx-1≥0的解集為x-12≤x≤-13,∴-12,-13為方程ax2+bx-1=0的兩個根,∴依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得-12×-13=-1a,解得a=-6.故選A4.(2024安徽黃山高一期末)下列不等式正確的是()A.若a<b,則a2<b2B.若a>b,則ac>bcC.若a>b>0,c>d>0,e>f>0,則ace>bdfD.若a>b>c>0,d>e>f>0,則a答案C解析對于A,若a=-3,b=2,則a2>b2,錯誤;對于B,若c=0,則ac=bc,錯誤;對于C,若a>b>0,c>d>0,e>f>0,由不等式的基本性質(zhì)可得ace>bdf,正確;對于D,若a=3,b=2,c=1,d=3,e=2,f=1,則ad=be=cf5.(2024福建漳州高一期末)若正數(shù)x,y滿意2x+y=1,則x+2y的最小值為(A.2 B.4 C.6 D.8答案D解析x+2y=2x+yx+2y=2+4xy+xy+2≥4+24=8,當且僅當x=4,y=12時,等號成立.故x+2ymin=8.故選D.6.(2024云南高三期末)假如兩個正方形的邊長分別為x,y,且x+y=1,那么它們的面積之和的最小值是()A.14 B.12 C.1 D答案B解析由基本不等式可得x2+y2≥2xy,所以2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=1,所以x2+y2≥12,當且僅當x=y=12時,等號成立.因此,兩個正方形的面積之和x2+y2的最小值為12.7.(2024湖北高三一模)已知正數(shù)a,b是關(guān)于x的函數(shù)y=x2-(m2+4)x+m的兩個零點,則1a+1b的最小值為A.2 B.22 C.4 D.42答案C解析由題意,正數(shù)a,b是關(guān)于x的方程x2-(m2+4)x+m=0的兩根,可得a+b=m2+4,ab=m>0,則1a+1b=a+bab=m+4m≥2m×4m=4,當且僅當m=4m,即m=2時等號成立.經(jīng)檢驗知當m=2時,方程x2-(m28.(2024云南曲靖民族中學(xué)月考)已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β},α>0,則不等式cx2+bx+a>0的解集是()A.x1β<x<1α B.xx<1β或x>1αC.{x|α<x<β} D.{x|x<α或x>β}答案A解析不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β},且α>0,則α,β是方程ax2+bx+c=0的兩根,且a<0.由根與系數(shù)的關(guān)系得α+β=-ba,αβ=ca,所以,不等式cx2+bx+a>0可化為cax2+bax+1<0,即αβx2-(α+β)x+1<0,可化為(αx-1)(βx-1)<0.又β>α>0,所以1α>1β>0.因此,不等式cx2+bx+a>0的解集是x1β二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分.9.若1a<1b<0,A.a<b B.a>bC.a2<b2 D.ab<b2答案BCD解析因為1a<1b<0,故a<0,b<0,b<a,即b<a<0,故B正確,A錯誤.對于C,a2-b2=(a-b)(a+b),而a+b<0,a-b>0,故a2-b2<0,即a2<b2,故C正確.對于D,ab-b2=b(a-b)<0,故ab<b2,故D正確10.(2024湖北高三月考)若非零實數(shù)a,b滿意a>b,則下列結(jié)論正確的是()A.a+b≥2ab B.a2+b2>2abC.|a+b|<2(a2+b2) D.(答案BC解析對于A,若a,b均為負數(shù),則不等式明顯不成立,故A錯誤;對于B,明顯成立,故B正確;對于C,在a2+b2>2ab兩邊同時加上a2+b2,得2(a2+b2)>(a+b)2,則|a+b|<2(a2+b2)成立,故C正確;對于D,取a=2,b=-1,則(a+b)1a+1b=(2-1)×12+1-1=-12<4,則(a+b)111.(2024廣東高一期中)已知y=ax2+bx+c,不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|1<x<3},下列說法正確的是()A.a>0B.a+b+c=0C.關(guān)于x的不等式cx2+bx+a>0的解集是x13<x<1D.假如am2+bm+c>0,則a(m+2)2+b(m+2)+c<0答案BCD解析對于A,ax2+bx+c>0的解集是{x|1<x<3},則a<0,故A不正確;對于B,由題意知x=1是方程ax2+bx+c=0的一個實數(shù)根,故a+b+c=0,故B正確;對于C,由題意知x=1和x=3是方程ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根,則由根與系數(shù)的關(guān)系得ba=-4,ca=3,則不等式cx2+bx+a>0變?yōu)閏ax2+bax+1<0,即3x2-4x+1<0,解不等式得x的取值范圍為x13<x<1,故C正確;對于D,假如am2+bm+c>0,則1<m<3,故3<m+2<5,則a(m+2)2+b(m+2)+c<0,故D正確.故選12.(2024江蘇啟東高一期末)已知x>0,y>0,且2x+y=2,若mxym-1≤x+2y對隨意的x>0,y>0恒成立,則實數(shù)m的可能取值為A.12 B.98 C.107答案ACD解析∵x>0,y>0,∴mxym-1≤x+2y即mm-1≤1y1y+2x=125+2xy+2yx≥125+2當且僅當2xy=2yx,即x=y=23時,等號成立.即mm-1≤92,即mm-1-92≤0,三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2024山東日照高一期末)不等式x-1x>0的解集為答案(-∞,0)∪(1,+∞)解析由x-1x>0,解得x<0即原不等式的解集為(-∞,0)∪(1,+∞).14.(2024天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,則12a+1答案4解析∵ab=1,∴b=1a.∴1令1a+a=t>0,則原式=t2+8t≥2t2當且僅當t2=16,即t=4時,等號成立,此時1a+a=415.(2024上海黃浦格致中學(xué)高一期末)定義區(qū)間[a,b](a<b)的長度為b-a,若關(guān)于x的不等式x2-4x+m≤0的解集的區(qū)間長度為2,則實數(shù)m的值為.

答案3解析設(shè)x1,x2是方程x2-4x+m=0的兩個根,則x1+x2=4,x1x2=m,∴|x1-x2|=(x1解得m=3.16.(2024江蘇鹽城高二期末)有一塊直角三角形空地ABC,∠A=π2,AB=250米,AC=160米,現(xiàn)欲建一矩形停車場ADEF,點D,E,F分別在邊AB,BC,CA上,則停車場的面積最大為平方米.答案10000解析設(shè)AD=x,AF=y,則BD=AB-AD=250-x,CF=AC-AF=160-y,tan∠ABC=DEBD=CFEF=ACAB,即y由基本不等式可得4000=16x+25y≥216x×25y=40xy,當且僅當x=125,y=80時,等號成立.因此,停車場的面積最大為10000平方米.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)(2024寧夏長慶高級中學(xué)高二期末)設(shè)x,y為正實數(shù),且x+y=1,求證:1+1x1+1y≥9.證明因為x,y為正實數(shù),且x+y=1,所以1+1x1+1y=1+1x+=1+x+yx+=3+yx+xy+x+≥5+4yx·當且僅當x=y=12時,等號成立所以1+1x1+1y≥9.18.(12分)(2024吉林高一期末)已知x>0,y>0,且x+4y=40.(1)求xy的最大值;(2)求1x+解(1)因為x>0,y>0,所以40=x+4y≥24xy=4xy(當且僅當x=4y,即x=20,y=5時,等號成立)所以xy≤100,因此xy的最大值為100.(2)因為x+4y=40,即140(x+4y)=所以1x+1y=140(=1405+4y≥1405+24y=940當且僅當x=2y,即x=403,y=203時,等號成立所以1x+119.(12分)(2024云南昆明高二期末)已知函數(shù)y=x+1x-1(x(1)解不等式(x-1)x+1x-1>(2)當x>1時,求x+1x-解(1)由(x-1)x+1x-1>3,得x2-x-2>0又x≠1,所以解得x>2或x<-1,即原不等式的解集為(-∞,-1)∪(2,+∞).(2)當x>1時,x-1>0,y=x+1x-1=x-1+1x-1+1當且僅當x-1=1x-1,即x=2或x=0(舍)時所以x+1x-120.(12分)某漁業(yè)公司今年年初用98萬元購進一艘漁船用于捕撈,若該公司從第1年到第n年花在該漁船修理等事項上的全部費用為(2n2+10n)萬元,該船每年捕撈的總收入為50萬元.(1)該船捕撈幾年起先盈利?(即總收入減去成本及全部費用之差為正值)(2)該船捕撈若干年后,處理方案有兩種:①當年平均盈利達到最大值時,以26萬元的價格賣出;②當盈利總額達到最大值時,以8萬元的價格賣出.哪一種方案較為合算?請說明理由.解(1)設(shè)捕撈n年的盈利為y萬元,則y=50n-(2n2+10n)-98=-2n2+40n-98.由y>0,得n2-20n+49<0,解得10-51<n<10+51(n∈N+).則3≤n≤17.所以捕撈3年起先盈利.(2)方案①合算.理由如下,①yn=-2n-98n+40≤-22n·98n+40=12,當且僅當2n=98n,即n=7時,等號成立.故經(jīng)過7年捕撈,年平均盈利最大,共盈利12×7②因為y=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102,所以當n=10時,y取得最大值102.故經(jīng)過10年捕撈盈利總額最大,共盈利102+8=110(萬元).綜上知,兩種方案獲利相等,但方案②的時間長,所以方案①合算.21.(12分)(2024山東濟寧高一期末)設(shè)函數(shù)y=ax2+(b-2)x+3.(1)若不等式ax2+(b-2)x+3>0的解集為(-1,1),求實數(shù)a,b的值;(2)若b=-a-1,且存在x∈R,使ax2+(b-2)x+3>4成立,求實數(shù)a的取值范圍.解(1)由題意可知,方程ax2+(b-2)x+3=0的兩根是-1,1,所以-b-(2)存在x∈R,使ax2+(b-2)x-1>0成立,將b=-a-1代入上式可得ax2-(a+3)x-1>0成立.當a≥0時,明顯存在x∈R使得上式成立;當a<0時,需使方程ax2-(a+3)x-1=0有兩個不相等的實根,所以Δ=(a+3)2+4a>0,即a2+10a+9>0,解得a<-9或-1<a<0.綜上可知,a的取值范圍是(-∞,-9)∪(-1,+∞).22.(12分)(2024云南曲靖其次中學(xué)高一期末)設(shè)y=x2-(a-1)x+a-2(a∈R).(1)若不等式x2-(a-1)x+a-2≥-2對一切實數(shù)x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(2)解關(guān)于x的不等式x2-(a-1)x+a-2<0.解(1)由題意,不等式x2-(a-1)x+a-2≥-2對于一切實數(shù)x恒成立,等價于x2-(a-1)x+a≥0