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解析函數(shù)無窮次可導性

問題:(1)解析函數(shù)是否有高階導數(shù)?(2)若有高階導數(shù),其定義和求法是否與實變函數(shù)相同?回答:(1)解析函數(shù)有各高階導數(shù).(2)高階導數(shù)值能夠用函數(shù)在邊界上值經過積分來表示,這與實變函數(shù)完全不一樣.第1頁形式上，以下將對這些公式正確性加以證實。第2頁1.解析函數(shù)高階導數(shù)定理3.3在定理3.1條件下,函數(shù)f(z)在區(qū)域D內有各階導數(shù),而且有注上式也可寫成該公式在求積分是慣用到第3頁第4頁先證實結論關于n=1時成立。是D內另一點。證實只需證實，當h趨近于0時，下式也趨近于0

第5頁現(xiàn)在預計上式右邊積分。設以z為心，以d為半徑圓盤完全在D內，而且在這個圓盤內取z+h，使得0<|h|<d，那么當時設|f(z)|在C上一個上界是M，而且設C長度是L，于是我們有所以當h趨近于0時，要證積分趨于0。第6頁至此我們證實了一個解析函數(shù)導數(shù)依然是解析函數(shù).依次類推,利用數(shù)學歸納法可證[證畢]注3.高階導數(shù)公式作用:不在于經過積分來求導,而在于經過求導來求積分.第7頁例1解第8頁例2解由柯西－古薩基本定理得由柯西積分公式得第9頁第10頁例3解第11頁依據復合閉路定理和高階導數(shù)公式,第12頁第13頁例4解分幾個情況第14頁同理有第15頁依據復周線Cauchy積分定理和高階導數(shù)公式,第16頁2解析函數(shù)無窮可微性定理3.4設函數(shù)f(z)在z平面上區(qū)域D內解析,則f(z)在D內有各階導數(shù),而且它們也在D內解析.證實第17頁在數(shù)學分析中，我們知道一個在區(qū)間內有導數(shù)實變函數(shù)f(x)在這區(qū)間內不一定有二階導數(shù)。但在一個區(qū)域內解析函數(shù)，即只設有一階導數(shù)函數(shù)卻含有任意階導數(shù)?？梢姀妥兒瘮?shù)在一區(qū)域內有導數(shù)是很強條件，由它可逐步推出柯西-黎曼方程，柯西定理，柯西公式及解析函數(shù)有任意階導數(shù)。第18頁課堂練習答案第19頁四、小結與思索高階導數(shù)公式是復積分主要公式.它表明了解析函數(shù)導數(shù)依然是解析函數(shù)這一異常重要結論,同時表明了解析函數(shù)與實變函數(shù)本質區(qū)分.高階導數(shù)公式第20頁思索題解析函數(shù)高階導數(shù)公式說明解析函數(shù)導數(shù)與實

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