PAGE22-遼寧省六校協(xié)作體2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文（含解析）一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，進(jìn)而求并集即可.【詳解】由題意可得，，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.已知在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則點(diǎn)不行能在（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】分、、、和五種狀況探討，分析復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的符號(hào)，可得出點(diǎn)可能所在的位置.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，，此時(shí)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限；當(dāng)時(shí)，則，則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，則，，此時(shí)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，則，，此時(shí)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.因此，點(diǎn)不行能在其次象限.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限，解題時(shí)要從復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的符號(hào)來(lái)進(jìn)行分析，考查分類探討思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3.已知?jiǎng)t（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，選C.4.已知分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則()A.－3 B.－1 C.1 D.3【答案】C【解析】試題分析：，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，故.考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性.5.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.若,則角的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)正弦定理將邊化角，可得，由可求得，依據(jù)的范圍求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化的應(yīng)用，涉及到兩角和差正弦公式、三角形內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，已知向量、滿意，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由平面對(duì)量減法的三角形法則得出，然后利用的形態(tài)以及平面對(duì)量數(shù)量積來(lái)推斷出各選項(xiàng)中命題的正誤.【詳解】，，，，，則與不垂直，.因此，D選項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量有關(guān)命題真假的推斷，解題時(shí)可以充分利用平面對(duì)量加減法以及平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算來(lái)進(jìn)行推斷，考查推理實(shí)力，屬于中等題.7.若，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】A【解析】分析：對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析，利用綜合法或舉反例的方法進(jìn)行解除即可得到結(jié)論．詳解：對(duì)于選項(xiàng)A，由，可得或，又，所以可得，故A正確．對(duì)于選項(xiàng)B，由條件可得或，故B不正確．對(duì)于選項(xiàng)C，由條件可得或相交或異面，故C不正確．對(duì)于選項(xiàng)D，由題意得，故D不正確．點(diǎn)睛：點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的推斷方法（1）平面的基本性質(zhì)是立體幾何的基本理論基礎(chǔ)，也是推斷線面關(guān)系的基礎(chǔ)．對(duì)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的推斷，常采納窮舉法，即對(duì)各種關(guān)系都進(jìn)行考慮，要發(fā)揮模型的直觀性作用．（2）利用線線平行、線面平行、面面平行以及線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定定理、性質(zhì)定理綜合進(jìn)行推理和推斷命題是否正確．8.等差數(shù)列，，，…的第四項(xiàng)等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，又，故則數(shù)列前三項(xiàng)依次為，，，，從而第四項(xiàng)為故選：A9.已知三棱錐中，，，，若該三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則此球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出三棱錐的外接長(zhǎng)方體，計(jì)算出該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即可得出其外接球的半徑，然后利用球體體積公式可計(jì)算出外接球的體積.【詳解】作出三棱錐的外接長(zhǎng)方體，如下圖所示：設(shè)，，，則，，，上述三個(gè)等式相加得，所以，該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，則其外接球的半徑為，因此，此球的體積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球體積的計(jì)算，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線作為外接球的直徑是解題的關(guān)鍵，考查空間想象實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.10.如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度BC等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】，，，所以.故選C.11.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間單調(diào)遞減；③在有個(gè)零點(diǎn)；④的最大值為.其中全部正確結(jié)論的編號(hào)是（）A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③【答案】A【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義可推斷出命題①的正誤；去肯定值，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可推斷出命題②的正誤；求出函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并利用偶函數(shù)的性質(zhì)可推斷出命題③的正誤；由取最大值知，然后去肯定值，即可推斷出命題④的正誤.【詳解】對(duì)于命題①，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，命題①為真命題；對(duì)于命題②，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，命題②正確；對(duì)于命題③，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上有多數(shù)個(gè)零點(diǎn)，命題③錯(cuò)誤；對(duì)于命題④，若函數(shù)取最大值時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，命題④正確.因此，正確的命題序號(hào)為①②④.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查與余弦函數(shù)基本性質(zhì)相關(guān)的命題真假的推斷，解題時(shí)要結(jié)合自變量的取值范圍去肯定值，結(jié)合余弦函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行推斷，考查推理實(shí)力，屬于中等題.12.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，，則下面說(shuō)法不正確的是（）A. B.C. D.有微小值點(diǎn)，且【答案】C【解析】【分析】先證明出對(duì)數(shù)平均不等式，由題意得出，將兩式作差結(jié)合對(duì)數(shù)平均不等式可推斷出A、B選項(xiàng)的正誤，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合該函數(shù)的極值以及該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可推斷出選項(xiàng)的正誤，求出極值點(diǎn)，將中兩等式相加可推斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】先證明對(duì)數(shù)平均不等式.先考慮不等式，設(shè)，即證，即證，令，即證不等式.構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)，且時(shí)，；接下來(lái)考慮不等式，設(shè)，即證，即證，設(shè)，即證不等式.構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)，且時(shí)，有.即當(dāng)，且時(shí)，.對(duì)于C選項(xiàng)，，.①當(dāng)時(shí)，對(duì)于隨意恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，該函數(shù)最多有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，函數(shù)處取得微小值，由于該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于A、B選項(xiàng)，由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，且，由于，則，，且有，則，兩個(gè)等式兩邊取自然對(duì)數(shù)得，兩式相減得，，由對(duì)數(shù)平均不等式得，即，，，A、B選項(xiàng)都正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，將中兩個(gè)等式相加得，，即，D選項(xiàng)正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查極值點(diǎn)偏移的相關(guān)問(wèn)題，在推斷時(shí)可以利用對(duì)數(shù)平均不等式來(lái)進(jìn)行推斷，但在運(yùn)用對(duì)數(shù)平均不等式時(shí)應(yīng)當(dāng)先證明出對(duì)數(shù)平均不等式，考查推理實(shí)力，屬于難題.二．填空題：本大題共4小題，每小題5分13.函數(shù)的值域是_________.【答案】【解析】【分析】先求得函數(shù)的定義域,再由可求得函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?又,故函數(shù)的值域是.故答案為:.【點(diǎn)睛】(且,).14.若向量，則與夾角的余弦值等于_____【答案】【解析】【分析】利用坐標(biāo)運(yùn)算求得；依據(jù)平面對(duì)量夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角的求解，明確向量夾角的余弦值等于向量的數(shù)量積除以兩向量模長(zhǎng)的乘積.15.下圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是________________.【答案】【解析】【分析】由三視圖可知，該幾何體是圓柱內(nèi)挖去一個(gè)同底等高的圓錐，由三視圖中數(shù)據(jù)，利用柱體與錐體的體積公式求解即可.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是圓柱內(nèi)挖去一個(gè)同底等高的圓錐，圓錐與圓柱的底面半徑與高分別為2與3，所以幾何體的體積為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象實(shí)力和抽象思維實(shí)力，屬于難題.三視圖問(wèn)題是考查學(xué)生空間想象實(shí)力最常見(jiàn)題型，也是高考熱點(diǎn).視察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要留意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特殊留意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡(jiǎn)潔組合體三視圖問(wèn)題，先看俯視圖確定底面的形態(tài)，依據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形態(tài).16.如圖，已知中，點(diǎn)在邊上，為的平分線，且.則的值為_______，的面積為_______________.【答案】(1).(2).1【解析】【分析】在和中,分別由正弦定理可得和,進(jìn)而可求得;設(shè),分別表示出和的面積,再由二者面積之和為的面積,可求得的值,進(jìn)而可求出答案.【詳解】在中，由正弦定理得:,中，由正弦定理得:,因?yàn)?,所以.設(shè),則,,,則,解得,即.故.故答案為:;1.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的運(yùn)用,考查了三角形面積公式的運(yùn)用,考查了學(xué)生的計(jì)算求解實(shí)力,屬于中檔題.三．解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸方程；（2）探討函數(shù)在上的單調(diào)性．【答案】（1）最小正周期，對(duì)稱軸方程為，；（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．【解析】分析：（1）利用二倍角公式、兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，再利用周期公式和整體思想進(jìn)行求解；（2）利用整體思想和三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．詳解：（1），因?yàn)椋宰钚≌芷?，令，所以?duì)稱軸方程為，．（2）令，得，，設(shè)，，易知，所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．【名師點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式、兩角和公式、協(xié)助角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等學(xué)問(wèn)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和基本計(jì)算實(shí)力．18.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、、.（1）證明：平面；（2）證明：平面.試推斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）記陽(yáng)馬的體積為，四面體的體積為，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；四面體是鱉臑，四個(gè)面的直角分別是、、、；（3）.【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)得到，然后再利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；（2）證明出平面，可得出，再利用三線合一性質(zhì)得出，再利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面，然后結(jié)合定義推斷出四面體是鱉臑，并寫出每個(gè)面的直角；（3）利用錐體的體積公式計(jì)算出和的表達(dá)式，即可得出的值.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，，又平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)榈酌妫矫?，所?由底面為長(zhǎng)方形，有，而，所以平面.平面，所以.又因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.而，所以平面.由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別是、、、；（3）由已知，是陽(yáng)馬的高，所以；由（2）知，是鱉臑高，，所以.在中，因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，于是.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行與垂直的判定，同時(shí)也考查了錐體體積公式的應(yīng)用，考查推理論證實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.19.遼寧省六校協(xié)作體（葫蘆島第一中學(xué)、東港二中、鳳城一中、北鎮(zhèn)中學(xué)、瓦房店中學(xué)、丹東四中）中的某校文科試驗(yàn)班的名學(xué)生期中考試的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成果都不低于分，其中語(yǔ)文成果的頻率分布直方圖如圖所示，成果分組區(qū)間是：、、、、．（1）依據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這名學(xué)生語(yǔ)文成果的中位數(shù)和平均數(shù)；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表；中位數(shù)精確到）（2）若這名學(xué)生語(yǔ)文成果某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)與數(shù)學(xué)成果相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)之比如下表所示：分組區(qū)間從數(shù)學(xué)成果在的學(xué)生中隨機(jī)選取人，求選出的人中恰好有人數(shù)學(xué)成果在的概率．【答案】（1）中位數(shù)是；平均數(shù)是；（2）.【解析】【分析】（1）利用中位數(shù)左邊矩形面積之和為可求出中位數(shù)，將每個(gè)矩形底邊中點(diǎn)值乘以相應(yīng)矩形的面積，再相加可得出這名學(xué)生語(yǔ)文成果的平均數(shù)；（2）計(jì)算出數(shù)學(xué)成果在、的學(xué)生人數(shù)，列舉出全部的基本領(lǐng)件，然后利用古典概型的概率公式可計(jì)算出所求事務(wù)的概率.【詳解】（1），，這名學(xué)生語(yǔ)文成果的中位數(shù)是.這名學(xué)生語(yǔ)文成果的平均數(shù)是：；（2）數(shù)學(xué)成果在之內(nèi)的人數(shù)為，數(shù)學(xué)成果在的人數(shù)為人，設(shè)為、、，而數(shù)學(xué)成果在的人數(shù)為人，設(shè)為、，從數(shù)學(xué)成果在的學(xué)生中隨機(jī)選取人基本領(lǐng)件為：、、、、、、、、、，共個(gè)，選出的人中恰好有人數(shù)學(xué)成果在的基本領(lǐng)件為：、、、、、，共個(gè)，選出的人中恰好有人數(shù)學(xué)成果在的概率是．【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)與中位數(shù)，同時(shí)也考查了利用古典概型的概率公式計(jì)算事務(wù)的概率，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.20.已知數(shù)列、滿意，且（1）令證明：是等差數(shù)列，是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列和的前n項(xiàng)和公式．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），；（3）數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.【解析】【分析】（1）在等式中將兩式分別相加或相減，利用等差數(shù)列的定義可證明出數(shù)列是等差數(shù)列，利用等比數(shù)列的定義可證明出數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求出數(shù)列、的通項(xiàng)公式，可建立關(guān)于、的方程組，解出、，即可得出數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（3）利用分組求和法可求出數(shù)列和的前項(xiàng)和.【詳解】（1），將上述兩等式相加得，即，因此，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，.又由題設(shè)得，即，因此，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由（1）知，，即，解得，；（3）設(shè)數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，則，同理可得.【點(diǎn)睛】本題考查利用定義證明等差數(shù)列和等比數(shù)列，以及利用分組求和法求和，解題時(shí)要熟識(shí)分組求和法對(duì)數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)的要求，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.21.已知函數(shù)．（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）（1）探討的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．【答案】（1）單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域?yàn)?，利用?dǎo)數(shù)得出函數(shù)在和上均為增函數(shù)，并利用零點(diǎn)存在定理得出函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，得出，再證明出也滿意方程，從而得出函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）由題意得出，利用這個(gè)關(guān)系式得出函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，從而證明出題中結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)在、上單調(diào)遞增.又，.所以，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)，即，即.又，，因此，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn).綜上所述，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）因?yàn)?，所以點(diǎn)在曲線上.由題設(shè)，即.所以直線的斜率因?yàn)榍€在點(diǎn)處切線的斜率是，曲線在點(diǎn)處切線的斜率也是，因此，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)也考查了利用零點(diǎn)存在定理推斷零點(diǎn)的存在性以及利用