第七章概率

7.1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件..................................................1

7.2古典概型............................................................8

1、古典概率.........................................................8

2、古典概型的應(yīng)用..................................................12

7.3頻率與概率.........................................................17

7.4事件的獨(dú)立性.......................................................20

7.1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件

1、隨機(jī)現(xiàn)象樣本空間

1.確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象

(1)確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象,稱為確定性現(xiàn)象.

(2)隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下，進(jìn)行試驗(yàn)或觀察會(huì)出現(xiàn)丕回的結(jié)果，而且每

次試驗(yàn)之前都無(wú)法預(yù)言會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象.

(3)隨機(jī)現(xiàn)象的兩個(gè)特點(diǎn)：

①結(jié)果至少有2種；②事先并不知道會(huì)出現(xiàn)哪一種結(jié)果.

2.樣本空間

(1)試驗(yàn)與試驗(yàn)結(jié)果：在概率與統(tǒng)計(jì)中，把觀察隨機(jī)現(xiàn)象或?yàn)榱四撤N目的而

進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)統(tǒng)稱為試驗(yàn)，一般用旦來(lái)表示,把觀察結(jié)果或?qū)嶒?yàn)結(jié)果稱為試驗(yàn)結(jié)果.

(2)樣本空間：將試驗(yàn)一的所有可能結(jié)果組成的集合稱為試驗(yàn)￡的樣本空間，

記作色

(3)樣本點(diǎn)：樣本空間0的元素,即試驗(yàn)6的每種可能結(jié)果,稱為試驗(yàn)E

的樣本點(diǎn)，記作上.

(4)有限樣本空間：如果樣本空間O的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限的,那么稱樣本

空間。為有限樣本空間.

思考R(l)“向上拋擲一枚骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)”是隨機(jī)現(xiàn)象嗎？如果是

隨機(jī)現(xiàn)象，那么它可能的結(jié)果有哪些？

(2)觀察隨機(jī)現(xiàn)象或進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，其可能出現(xiàn)的結(jié)果的數(shù)量一定是有限的

嗎？

［提示］(1)是隨機(jī)現(xiàn)象.它可能的結(jié)果有：出現(xiàn)1點(diǎn)，出現(xiàn)2點(diǎn)，出現(xiàn)3

點(diǎn)，出現(xiàn)4點(diǎn)，出現(xiàn)5點(diǎn)，出現(xiàn)6點(diǎn)，共6個(gè).

(2)不一定，也可能是無(wú)限的.如在實(shí)數(shù)集中，任取一個(gè)實(shí)數(shù).

疑難解惑

□類型1隨機(jī)現(xiàn)象和確定性現(xiàn)象的判斷

［例1］指出下列現(xiàn)象是確定性現(xiàn)象還是隨機(jī)現(xiàn)象.

(1)小明在校學(xué)生會(huì)主席競(jìng)選中成功；

(2)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)的結(jié)果；

(3)某人購(gòu)買的彩票號(hào)碼恰好是中獎(jiǎng)號(hào)碼；

(4)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，把水加熱至100°C沸騰；

(5)騎車經(jīng)過(guò)十字路口時(shí)，紅綠燈的顏色.

［解］(1)隨機(jī)現(xiàn)象.因?yàn)楦?jìng)選能否成功是不可預(yù)知，無(wú)法確定的；

(2)隨機(jī)現(xiàn)象.因?yàn)槌霈F(xiàn)的結(jié)果可能是正面，也可能是反面，結(jié)果并不確定.

(3)隨機(jī)現(xiàn)象.因?yàn)椴势碧?hào)碼是否為中獎(jiǎng)號(hào)碼，本身無(wú)法預(yù)測(cè)，是不可知的.

(4)確定性現(xiàn)象.因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱至100°C時(shí)“沸騰”這個(gè)結(jié)果

一定會(huì)發(fā)生，是確定的.

(5)隨機(jī)現(xiàn)象.因?yàn)榧t綠燈的顏色對(duì)每位過(guò)路口的人來(lái)說(shuō)事先都是不可知的,

是無(wú)法確定的.

廠......反領(lǐng)悟..........一

判斷某一現(xiàn)象是隨機(jī)現(xiàn)象還是必然現(xiàn)象的關(guān)鍵是看在一定條件下，現(xiàn)象的結(jié)

果是否可以預(yù)知、確定.若在一定條件下，出現(xiàn)的結(jié)果是可以預(yù)知的，這類現(xiàn)象

為必然現(xiàn)象；若在一定條件下，出現(xiàn)哪種結(jié)果是無(wú)法預(yù)知、無(wú)法事先確定的，這

類現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.

□類型2樣本點(diǎn)和樣本空間

［例2］指出下列試驗(yàn)的樣本空間：

(1)從裝有紅、白、黑三種顏色的小球各1個(gè)的袋子中任取2個(gè)小球；

(2)從1,3,6,10四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)(不重復(fù))作差.

［思路點(diǎn)撥］根據(jù)題意，按照一定的順序列舉試驗(yàn)的樣本空間.

［解］(1)樣本空間。={(紅球，白球)，(紅球，黑球)，(白球，黑球)}.

(2)由題意可知：

1—3=—2,3—1=2,

1-6=-5,6-1=5,

1—10=—9,10—1=9,

3-6=-3,6-3=3,

3-10=-7,10-3=7,

6—10=—4,10—6=4.

即試驗(yàn)的樣本空間◎={—2,2,-5,5,-9,9,-3,3,~7,7,

—4,4).

［母題探究］

1.求本例(2)中試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù).

［解］樣本點(diǎn)的總數(shù)為12.

2.滿足“兩個(gè)數(shù)的差大于0”的樣本點(diǎn)有哪些？

［解］滿足"兩個(gè)數(shù)的差大于0”的樣本點(diǎn)有：2,5,9,3,7,4,

共6個(gè).

3.在本例(1)中，從裝有紅、白、黑三種顏色的小球各1個(gè)的袋子中任取1

個(gè)小球，記下顏色后放回，連續(xù)取兩次，寫出試驗(yàn)的樣本空間.

［解］樣本空間O={(紅球，紅球)，(紅球，白球)，(紅球，黑球)，(白

球，白球)，(白球，紅球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑

球，紅球)}.

4.在本例(2)中，從1,3,6,10四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)(不重復(fù))分別作為平面

內(nèi)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，指出試驗(yàn)的樣本空間.

［解］由題意可知:樣本空間0={(1,3),(1,6),(1,10),(3,1),(3,6),

(3,10),(6,1),(6,3),(6,10),(10,1),(10,3),(10,6)}.

廠........反領(lǐng)悟..........................

當(dāng)基本事件的總數(shù)比較大時(shí)，首先要列舉基本事件，然后查個(gè)數(shù)，得出總

數(shù).在列舉時(shí)要按照一定的順序，才能確保基本事件不重、不漏.

2、隨機(jī)事件隨機(jī)事件的運(yùn)算

1.三種事件的定義

一般地，把試驗(yàn)￡的樣本空間。的子集稱為后的隨機(jī)事件,

隨機(jī)簡(jiǎn)稱事件，常用力，B,。等表示.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)一個(gè)事

事件件發(fā)生時(shí)，這個(gè)子集中的樣本點(diǎn)必出現(xiàn)一個(gè);反之，當(dāng)這個(gè)

子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，這個(gè)事件必然發(fā)生

事樣本空間Q是其自身的子集，因此。也是一個(gè)事件；又因

必然

件為它包含所有的樣本點(diǎn),每次試驗(yàn)無(wú)論哪個(gè)樣本點(diǎn)3出現(xiàn)，

事件

Q都必然發(fā)生,因此稱Q為必然事件

空集0也是。的一個(gè)子集，可以看作一個(gè)事件；由于它不包

不可能

含任何樣本點(diǎn)，它在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生,故稱。為不可能

事件

事件

2.隨機(jī)事件的運(yùn)算

事件的運(yùn)算定義圖形表示符號(hào)表示

一般地，由事件/與事件8

都發(fā)生所構(gòu)成的事件,稱為4n網(wǎng)或

交事件

事件4與事件6的交事件(或?

積事件)

一般地，由事件/與事件8

至少有一個(gè)發(fā)生所構(gòu)成的事AUB

并事件

件，稱為事件力與事件8的（或A+力

并事件(或和事件)

3.互斥事件與對(duì)立事件?

事件的運(yùn)算定義圖形表示符號(hào)表示

一般地，不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)

互斥事件4與6(4C6=0)稱為互斥

408=0

事件事件.它可以理解為48同時(shí)

發(fā)生這一事件是不可能事件3

對(duì)立若/與6互斥(/C8=0),且/AC\B=^_

事件UB=Q,則稱事件/與事件8且AUB=g

互為對(duì)立事件，事件/的對(duì)立

事件記作，

思考(1)一顆骰子投擲一次，記事件4=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2｝,事件。=｛出現(xiàn)

的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)｝,事件。=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3｝,則事件4C,〃有什么關(guān)系？

(2)命題“事件A與8為互斥事件”與命題“事件A與8為對(duì)立事件”之間

是什么關(guān)系？(指充分性與必要性)

［提示］(i)4=cn〃

(2)根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念可知，“事件/與8為互斥事件”是“事

件/與6為對(duì)立事件”的必要不充分條件.

疑難解惑

□類型1事件類型的判斷

【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件.

(1)某人購(gòu)買福利彩票一注，中獎(jiǎng)500萬(wàn)元；

⑵三角形的內(nèi)角和為和0°；

(3)沒(méi)有空氣和水，人類可以生存下去；

(4)同時(shí)拋擲兩枚硬幣一次，都出現(xiàn)正面向上；

(5)從分別標(biāo)有1,2,3,4的四張標(biāo)簽中任取一張，抽到1號(hào)標(biāo)簽；

(6)科學(xué)技術(shù)達(dá)到一定水平后，不需任何能量的“永動(dòng)機(jī)”將會(huì)出現(xiàn).

［解］(1)購(gòu)買一注彩票，可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)，所以是隨機(jī)事件.

(2)所有三角形的內(nèi)角和均為180°,所以是必然事件.

(3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒(méi)有空氣和水，人類無(wú)法生存，所以

是不可能事件.

(4)同時(shí)拋擲兩枚硬幣一次，不一定都是正面向上，所以是隨機(jī)事件.

(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4號(hào)標(biāo)簽中的任一張，所以是隨機(jī)事件.

(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動(dòng)機(jī)”不會(huì)出現(xiàn)，所以是不

可能事件.

廠........反領(lǐng)悟.............................

判斷一個(gè)事件是哪類事件要看兩點(diǎn)：

一看條件，因?yàn)槿N事件都是相對(duì)于一定條件而言的；

二看結(jié)果是否發(fā)生，一定發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件，一

定不發(fā)生的是不可能事件.

口類型2事件關(guān)系的判斷

［例2］某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽,

判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件.

⑴“恰有1名男生”與“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生"與“全是男生”；

(3)“至少有1名男生”與“全是女生”；

(4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”.

［解］從3名男生和2名女生中任選2人有如下三種結(jié)果：2名男生，2名

女生，1男1女.

(1)“恰有一名男生”指1男1女，與“恰有2名男生”不能同時(shí)發(fā)生，它

們是互斥事件；但是當(dāng)選取的結(jié)果是2名女生時(shí)，兩個(gè)事件都不發(fā)生，所以它們

不是對(duì)立事件.

(2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女兩種結(jié)果，與事件”全是男

生”可能同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件.

(3)“至少一名男生”與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們互斥，由

于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們是對(duì)立事件.

(4)“至少有一名女生”包括1男1女與2名女生兩種結(jié)果，當(dāng)選出的是1

男1女時(shí)，”至少有一名男生”與“至少有一名女生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是

互斥事件.

廠........反G?領(lǐng)悟.............................A

判斷事件間關(guān)系的方法

(1)要考慮試驗(yàn)的前提條件，無(wú)論是包含、相等，還是互斥、對(duì)立，其發(fā)生

的條件都是一樣的.

(2)考慮事件間的結(jié)果是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析，對(duì)較難判斷

關(guān)系的，也可列出全部結(jié)果，再進(jìn)行分析.

□類型3事件的運(yùn)算

【例3］在投擲骰子試驗(yàn)中，根據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義許多事件，如：A

=｛出現(xiàn)1點(diǎn)｝,8=｛出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)｝,八=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)｝,。=｛出現(xiàn)的點(diǎn)

數(shù)是偶數(shù)｝.

(1)說(shuō)明以上4個(gè)事件的關(guān)系；

(2)求/AS,AUB,AUD,BCD,8UC

［思路點(diǎn)撥］(1)|分析事件所包含的樣本點(diǎn)|-|判斷事件的關(guān)系

(2)|樣本點(diǎn)表示各事和-1進(jìn)行事件的運(yùn)算'

［解］在投擲骰子的試驗(yàn)中，根據(jù)向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6種基本事件，記作

4=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為抖(其中7=1,2,…,6).則A=Alf8=4U4,C=A^A.

U4,Z2=4U4U4.

(1)事件］與事件6互斥，但不對(duì)立，事件力包含于事件C,事件/與〃互

斥，但不對(duì)立；

事件8與。不是互斥事件，事件6與〃也不是互斥事件；事件。與〃是互斥

事件，也是對(duì)立事件.

(2)4C8=0,4U8=4UAU4=｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3或4｝,

NU片4U4U4U4=｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,2,4或6｝.

8n9=4=｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)4｝.

BUC=4U4U4U4=｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3,4或5).

［母題探究］

1.在例3的條件下，求/AC,AUC,BCC.

［解］/口。=力=｛出現(xiàn)1點(diǎn)｝,/^。=。=｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3或5｝,80。=4=｛出

現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3｝.

2.用事件4=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為丹(其中/=1,2,…，6)表示下列事件：

⑴6U〃；(2)f7UD.

［解］(1)8U9=｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)2,3,4或6｝=4040424.

(2)CUD=｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6)=4U4U4U4U4U4.

廠.......反廊領(lǐng)悟........--

進(jìn)行事件運(yùn)算應(yīng)注意的問(wèn)題

(1)進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考查同一條件

下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)

行分析.

(2)在一些比較簡(jiǎn)單的題目中，需要判斷事件之間的關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)常識(shí)

來(lái)判斷.但如果遇到比較復(fù)雜的題目，就得嚴(yán)格按照事件之間關(guān)系的定義來(lái)推理.

7.2古典概型

1、古典概率

1.隨機(jī)事件的概率

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A,我們通常用一個(gè)數(shù)尸(力)(0WPC4)W1)來(lái)表示該事件發(fā)

生的可能性的大小,這個(gè)數(shù)就稱為隨機(jī)事件力的概率.概率度量了隨機(jī)事件發(fā)生

的可能性的大小,是對(duì)隨機(jī)事件統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)量刻畫(huà).

2.古典概型

(1)古典概型的定義：一般地，若試驗(yàn)￡具有如下特征：

①有限性：試驗(yàn)后的樣本空間Q的樣本點(diǎn)總數(shù)有限,即樣本空間Q為有限

樣本空間;

②等可能性：每次試驗(yàn)中，樣本空間。的各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等.

則稱這樣的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓怕誓Ｐ停?jiǎn)稱古典概型.

(2)古典概型的概率計(jì)算公式：如果樣本空間O包含的樣本點(diǎn)總數(shù)為力隨

機(jī)事件4包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為加，那么事件Z發(fā)生的概率為

,}/包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)m

/⑼=O包含的樣本點(diǎn)總數(shù)=二

思考(1)“在區(qū)間［0,10］上任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)恰為5的概率是多少？”

這個(gè)概率模型屬于古典概型嗎？

(2)若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，則該試驗(yàn)是古典概

型嗎？

［提示］(1)不屬于古典概型.因?yàn)樵趨^(qū)間［0,10］上任取一個(gè)數(shù)，其試驗(yàn)結(jié)

果有無(wú)限個(gè)，故其樣本點(diǎn)有無(wú)限個(gè)，所以不是古典概型.

(2)不一定.還必須滿足每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，才屬于古典概型.

疑難解惑

□類型1古典概型的判斷

【例1】(1)向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，如果該點(diǎn)

落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，你認(rèn)為這是古典概型嗎？

為什么？

(2)如圖所示，射擊運(yùn)動(dòng)員向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗(yàn)

的結(jié)果只有有限個(gè)：命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中1環(huán)和

命中0環(huán)(即不命中).你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？

［解］(1)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是圓面內(nèi)的所有點(diǎn).試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是

無(wú)限的.因此，盡管每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，但這個(gè)試驗(yàn)不是古典概

型.

(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有11個(gè)，但是命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中

1環(huán)和命中0環(huán)(即不命中)的出現(xiàn)不是等可能的，這個(gè)試驗(yàn)不是古典概型.

「........反C?領(lǐng)悟.............................

判斷一個(gè)試驗(yàn)是古典概型的依據(jù)

判斷隨機(jī)試驗(yàn)是否為古典概型，關(guān)鍵是抓住古典概型的兩個(gè)特征一一有限性

和等可能性，二者缺一不可.

U類型2利用古典概型公式求概率

【例2】現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2

道題解答.試求：

(1)所取的2道題都是甲類題的概率；

(2)所取的2道題不是同一類題的概率.

［解］(1)將4道甲類題依次編號(hào)為1,2,3,4；2道乙類題依次編號(hào)為5,6.

任取2道題，

這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為。={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15

個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是等可能的，可用古典概型來(lái)計(jì)算概率.

用力表示“所取的2道題都是甲類題”這一事件，則［={(1,2),(1,3),

(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共有6個(gè)樣本點(diǎn)，所以0(/)=2=(.

(2)由⑴知試驗(yàn)的樣本空間共有15個(gè)樣本點(diǎn)，用6表示“所取的2道題不

是同一類題”這一事件，則8={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),

O

(4,5),(4,6)},共包含8個(gè)樣本點(diǎn)，所以以8)=/.

15

廠........反廊領(lǐng)悟.........--

求解古典概型概率“四步”法

II類型3較復(fù)雜的古典概型的概率計(jì)算

【例3】某兒童樂(lè)園在"六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活指針

動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待

轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別y/Qy

為x,卜獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：

①若犯￡3,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；②若孫28,則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)；③其余情況

獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.

假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).

(1)求小亮獲得玩具的概率；

(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說(shuō)明理由.

［解］用數(shù)對(duì)(X,力表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，

則樣本空間Q與點(diǎn)集S={(x,y)keN,y￡N,1WXW4,1WZ4}一—對(duì)應(yīng).

因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4X4=16,所以樣本點(diǎn)總數(shù)/7=16.

(1)記“xjW3”為事件4則事件/包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)共5個(gè)，

即4={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)}.

55

所以尸儲(chǔ))=奇，即小亮獲得玩具的概率為左.

1616

(2)記“打28”為事件8,“3VxyV8”為事件C

則事件8包含的樣本點(diǎn)共6個(gè)，即6={(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),

(4,4)}.所以尸(.=■=，

168

事件。包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)共5個(gè)，即。={(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),

(4,1)).

所以凡。==因?yàn)椋?gt;己，

1b816

所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.

［母題探究］

1.在本例中求小亮獲得玩具或水杯的概率.

［解］用數(shù)對(duì)(％力表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，

則樣本空間。與點(diǎn)集S={(x,y)IxGN,y￡N,1WXW4,一—對(duì)應(yīng).

因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4X4=16,

所以樣本點(diǎn)總數(shù)〃=16.

記“小亮獲得玩具或水杯”為事件反

則事件少包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)共11個(gè)，

即E={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),

(4,3),(4,4)}.

所以P(￡)

2.在本例中獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則改為：

①若3<x+j<5,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；②其余情況沒(méi)有獎(jiǎng)，求小亮獲得玩具

的概率.

［解］用數(shù)對(duì)(x,0表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，

則樣本空間Q與點(diǎn)集S={(x,力|x￡N,yGN,1WXW4,一—對(duì)應(yīng).

因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4X4=16,

所以樣本點(diǎn)總數(shù)〃=16.

記"3Wx+j<5”為事件D,

則事件〃包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)共9個(gè)，

即3{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)).

9

所以尸(〃)=—

16

廠........反G?領(lǐng)悟.............................A

解古典概型問(wèn)題時(shí)，要牢牢抓住它的兩個(gè)特點(diǎn)和計(jì)算公式.但是這類問(wèn)題的

解法多樣，技巧性強(qiáng)，在解決此類題時(shí)需要注意以下兩個(gè)問(wèn)題：

(1)試驗(yàn)必須具有古典概型的兩大特征一一有限性和等可能性.

(2)計(jì)算樣本點(diǎn)的數(shù)目時(shí)，要做到不重不漏，常借助坐標(biāo)系、表格及樹(shù)狀圖

等列出所有樣本點(diǎn).

2、古典概型的應(yīng)用

互斥事件的概率加法公式

(1)在一個(gè)試驗(yàn)中，如果事件/和事件6是互斥事件，那么有/(4+個(gè)=P(/)

+M,這一公式稱為互斥事件的概率加法公式.特別地，m=1-^(7).

(2)一般地，如果事件4,旗…，4兩兩互斥，那么有尸(4+4+…+4)

=。(4)+尸(4)+???+尸(4).

思考氐(1)設(shè)事件4發(fā)生的概率為P(4),事件8發(fā)生的概率為尸(8),那么事

件4+8發(fā)生的概率是P(A)+P(而嗎？

(2)從某班任選6名同學(xué)作為志愿者參加市運(yùn)動(dòng)會(huì)服務(wù)工作，記“其中至少

有3名女同學(xué)”為事件4那么事件/的對(duì)立事件7是什么？

［提示］(1)不一定.當(dāng)事件力與6互斥時(shí)，產(chǎn)儲(chǔ)+0=。(用+尸(而；當(dāng)事件

4與6不互斥時(shí)，戶(Z+而WPG4)+尸(0.

(2)事件力的對(duì)立事件7是“其中至多有2名女同學(xué)”.

疑難解惑

□類型1互斥事件的概率加法公式及應(yīng)用

【例1】一盒中裝有各色球12個(gè)，其中5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球、

1個(gè)綠球.從中隨機(jī)取出1球，求：

(1)取出1球是紅球或黑球的概率；

(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率.

［解］法一：(1)從12個(gè)球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取

法，得紅球或黑球共有5+4=9種不同取法，任取1球有12種取法.

QQ

任取1球得紅球或黑球的概率為8=府=不

JL44

(2)從12個(gè)球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有

2種取法，從而得紅球或黑球或白球的概率為<一,=7.

JL乙JL乙

法二：(利用互斥事件求概率)

記事件4=｛任取1球?yàn)榧t球｝，A2=｛任取1球?yàn)楹谇颍?

54

4=｛任取1球?yàn)榘浊颍?=｛任取1球?yàn)榫G球｝，則尸(4)=—,尸儲(chǔ)2)=—,

?L乙<1乙

21

尸(4)=逐，0(4)=區(qū).

根據(jù)題意知，事件4,4,4,4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得

(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為

543

尸(4U4)=尸(4)+尸(4)=12+12=4,

(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為

54211

產(chǎn)(4U4U4)=尸(4)+尸(4)+尸(4)

1■乙JL乙■1乙1?乙

法三：(利用對(duì)立事件求概率)

(1)由法二知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球,

即4U4的對(duì)立事件為4U4,所以取得1球?yàn)榧t球或黑球的概率為

2193

尸(4U4)=1一尸(4U4)=1一尸(4J一尸(4)=1—Tz—7z=77-=j.

J■乙LLJ乙X

(2)4U4U4的對(duì)立事件為4,所以尸(4U4U4)=1一尸(4)=1—上

「........反c?領(lǐng)悟.............................

概率公式的應(yīng)用

(1)互斥事件的概率加法公式P(AU切=尸(用+尸(而是一個(gè)非常重要的公

式，運(yùn)用該公式解題時(shí)，首先要分清事件間是否互斥，同時(shí)要學(xué)會(huì)把一個(gè)事件分

拆為幾個(gè)互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出結(jié)果.

(2)當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件個(gè)數(shù)比較煩瑣時(shí)，可間接地先計(jì)算出其對(duì)立

事件的個(gè)數(shù)，求得對(duì)立事件的概率，然后利用對(duì)立事件的概率加法公式尸(4)+

尸(7)=1,求出符合條件的事件的概率.

□類型2“放回”與“不放回”問(wèn)題

【例2】從含有兩件正品a”a2和一件次品，的三件產(chǎn)品中，每次任取一

件.

(1)若每次取后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的

概率；

(2)若每次取后放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概

率.

［解］(1)每次取出一個(gè)，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組

成的樣本點(diǎn)有6個(gè),即的,刈),(si>力，3,Si),3,力，(b,ai),成a2).其

中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)

品.總的事件個(gè)數(shù)為6,而且可以認(rèn)為這些樣本點(diǎn)是等可能的.

用力表示“取出的兩件中恰有一件次品”這一事件，

所以4={(a”6),(a”b),(b,a),(b,a2)}.

49

因?yàn)槭录?由4個(gè)樣本點(diǎn)組成，所以/(/)=￡=*

63

(2)有放回地連續(xù)取出兩件，其所有可能的結(jié)果為(a,a),(a,a)，(a,

t>),(a?,<2i),(a2,32),(4，6)，(b,a),(b,32),(b,6),共9個(gè)樣本點(diǎn)組

成.由于每一件產(chǎn)品被取到的機(jī)會(huì)均等，因此可以認(rèn)為這些樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可

能的.用8表示“恰有一件次品”這一事件，則6={3，6),(a2,6),(b,a),

4

(b,a?)}.事件8由4個(gè)樣本點(diǎn)組成，因而夕㈤=§.

「.......反c?領(lǐng)悟..............................

解決有序和無(wú)序問(wèn)題應(yīng)注意兩點(diǎn)

(1)關(guān)于不放回抽樣，計(jì)算樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，既可以看做是有順序的，也可以

看做是無(wú)順序的，其最后結(jié)果是一致的.但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必

須一致，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.

(2)關(guān)于有放回抽樣，應(yīng)注意在連續(xù)取出兩次的過(guò)程中，因?yàn)橄群箜樞虿煌?

所以3，6),(b,4)不是同一個(gè)樣本點(diǎn).解題的關(guān)鍵是要清楚無(wú)論是“不放回

抽取”還是“有放回抽取”，每一件產(chǎn)品被取出的機(jī)會(huì)都是均等的.

□類型3建立概率模型解決問(wèn)題

【例3】有4B,C,〃四位貴賓，應(yīng)分別坐在a,b,c,d四個(gè)席位上,

現(xiàn)在這四人均未留意，在四個(gè)席位上隨便就坐.

(1)求這四人恰好都坐在自己的席位上的概率；

(2)求這四人恰好都沒(méi)坐在自己的席位上的概率.

［解］將4B,C,〃四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來(lái)：

一

一國(guó)一C—ID

一叵一國(guó)

一回一回「因一回

0-一叵一國(guó)-一回一

一回一國(guó)

一國(guó)一國(guó)

一國(guó)-一m一國(guó)一國(guó)一

—0—［H-0—0

一回?—回-0-0

-0-

一同一國(guó)一回一回

-0—0一回一國(guó)

回

一回一區(qū)1-0-0

一回一國(guó)-0—@

一回-—0—

—0—0-0-0

如圖所示，本題中的樣本點(diǎn)的總數(shù)為24.

(1)設(shè)事件力為“這四人恰好都坐在自己的席位上”，則事件4只包含1個(gè)

樣本點(diǎn)，所以/儲(chǔ))=(.

(2)設(shè)事件6為“這四個(gè)人恰好都沒(méi)有坐在自己席位上”，則事件6包含9

93

個(gè)樣本點(diǎn)，所以尸(皮

=7T=go.

［母題探究］

1.求這四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率.

［解］設(shè)事件。為“這四個(gè)人恰有1位坐在自己席位上”，則事件。包含8

O1

個(gè)樣本點(diǎn)，所以尸(0=^7=n-

2.求這四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率.

［解］法一：設(shè)事件〃為“這四人中至少有2人坐在自己的席位上”，事件

E為“這四人中有2人坐在自己的席位上”，則事件￡包含6個(gè)樣本點(diǎn)，則〃=/

1/?

十￡且事件A與￡為互斥事件，所以P⑦=0(4+而=以力)+尸(￡)=—+—=

7

24-

法二：設(shè)事件〃為“這四人中至少有2人坐在自己的席位上"，則力=8+

317

C,所以尸(功=1—P(B+。=1一尸(0—P(。=1—［―彳=▽.

oo

「.......反G?領(lǐng)悟..........................

1.當(dāng)事件個(gè)數(shù)沒(méi)有很明顯的規(guī)律，并且涉及的樣本點(diǎn)又不是太多時(shí)，我們

可借助樹(shù)狀圖法直觀地將其表示出來(lái)，這是進(jìn)行列舉的常用方法.樹(shù)狀圖可以清

晰準(zhǔn)確地列出所有的樣本點(diǎn)，并且畫(huà)出一個(gè)樹(shù)枝之后可猜想其余的情況.

2.在求概率時(shí)，若事件可以表示成有序數(shù)對(duì)的形式，則可以把全體樣本點(diǎn)

用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示，即采用圖表的形式可以準(zhǔn)確地找出樣本點(diǎn)的個(gè)

數(shù).故采用數(shù)形結(jié)合法求概率可以使解決問(wèn)題的過(guò)程變得形象、直觀，給問(wèn)題的

解決帶來(lái)方便.

7.3頻率與概率

1.概率的概念和性質(zhì)

(1)概率的定義：在相同條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件力發(fā)

生的頻率通常會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，即隨機(jī)事件力發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性.這

時(shí)，把這個(gè)常數(shù)叫作隨機(jī)事件力的概率.

(2)記法：皿.

(3)范圍：ow/a)wi.

2.頻率與概率的關(guān)系

概率是可以通過(guò)頻率來(lái)“測(cè)量”的，或者說(shuō)頻率是概率的一個(gè)近似.概率從

數(shù)量上反映了一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小.

思考,(1)向上拋擲一枚均勻的硬幣100次，其中正面向上的有53次，則在

本次試驗(yàn)中硬幣正面向上的頻率是多少？拋擲一枚硬幣，正面向上的概率是多

少？

(2)同一個(gè)隨機(jī)事件在相同條件下在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都一樣嗎？

(1)在本次試驗(yàn)中硬幣正面向上的頻率是面，拋擲一枚硬幣，正面

向上的概率是g.

(2)概率是從數(shù)量上反映隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生可能性的大小的一個(gè)

量，是一個(gè)確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無(wú)關(guān)；同一個(gè)隨機(jī)事件在相同

條件下在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的.

疑難解惑

n類型1概率的意義

【例1】解釋下列概率的含義.

(1)某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的合格率為0.9；

(2)一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)的概率為0.2.

［解］(1)“某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的合格率為0.9”，說(shuō)明該廠產(chǎn)品合格的可能性

為90%,也就是說(shuō)100件該廠的產(chǎn)品中大約有90件是合格的.

(2)“中獎(jiǎng)的概率為0.2”說(shuō)明參加抽獎(jiǎng)的人中有20%的人可能中獎(jiǎng)，也就是

說(shuō)，若有100人參加抽獎(jiǎng)，大約有20人中獎(jiǎng).

廠.......反廓領(lǐng)悟.........--

三個(gè)方面理解概率

(1)概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事件力的本質(zhì)屬性，隨

機(jī)事件A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值.

(2)由概率的定義我們可以知道隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)

的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映.

(3)正確理解概率的意義，要清楚與頻率的區(qū)別與聯(lián)系，對(duì)具體的問(wèn)題要從

全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗(yàn)或某一個(gè)具體的事件.

口類型2概率與頻率的關(guān)系及求法

【例2］下面是某批乒乓球質(zhì)量檢查結(jié)果表:

抽取球數(shù)5010020050010002000

優(yōu)等品數(shù)45921944709541902

優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率

⑴在上表中填上優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率；

(2)估計(jì)該批乒乓球優(yōu)等品的概率是多少？

［解］⑴如下表所示：

抽取球數(shù)5010020050010002000

優(yōu)等品數(shù)45921944709541902

優(yōu)等品出

0.90.920.970.940.9540.951

現(xiàn)的頻率

(2)從表中數(shù)據(jù)可以看出，這批乒乓球優(yōu)等品的概率是0.95.

「.......?反G?領(lǐng)悟............................

如果隨機(jī)事件4在〃次試驗(yàn)中發(fā)生了加次，則當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)〃很大時(shí)，可以

將事件A發(fā)生的頻率￡作為事件A的概率的近似值.

D類型3概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【例3】某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶

4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理

完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān).如果最高

氣溫不低于25℃,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量

為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)

劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

[10,15

最高氣溫[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為H單位：元).

當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出V的所有可能值，并估計(jì)

Y大于零的概率.

［解］(1)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于

25℃,由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25℃的頻率為2+12+36=0.6,所以這

種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.

(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，

若最高氣溫不低于25C,則1=6X450—4X450=900；

若最高氣溫位于區(qū)間區(qū)0,25),則7=6X300+2(450-300)-4X450=300；

若最高氣溫低于20℃,則1=6X200+2(450-200)-4X450=-100.

所以，Y的所有可能值為900,300,-100.

Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20°C,

由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20℃的頻率為西土告上=0.8,

因此F大于零的概率的估計(jì)值為0.8.

［母題探究］

1.估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不低于300瓶的概率.

［解］這種酸奶一天的需求量不低于300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于

3^4-25+7+4

20℃,由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20℃的頻率為——go=0.8,所

以這種酸奶一天的需求量不低于300瓶的概率的估計(jì)值為0.8.

2.把本例⑵中“六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶”改為“六月份這

種酸奶一天的進(jìn)貨量為300瓶”，寫出V的所有可能值，并估計(jì)V大于500的概

［解］當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為300瓶時(shí)，

若最高氣溫不低于20℃,則Y=6X300—4X300=600；

若最高氣溫低于20℃,則卜=6*200+2(300—200)-4X300=200.

所以,Y的所有可能值為600,200.

Y大于500當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20°C,

由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20C的頻率為36+2?：7+4=0.8,

因此V大于500的概率的估計(jì)值為0.8.

廠........反c?領(lǐng)悟......

用頻率估計(jì)概率的步驟：

⑴進(jìn)行大量的隨機(jī)試驗(yàn)得頻數(shù).

(2)由頻率計(jì)算公式￡(心=小，得頻率.

n

⑶由頻率與概率的關(guān)系，估計(jì)概率值.

7.4事件的獨(dú)立性

相互獨(dú)立事件的概念和性質(zhì)

事件/(或而是否發(fā)生對(duì)事件8(或4)發(fā)生的概率沒(méi)有影響,這樣的

定義

兩個(gè)事件叫作相互獨(dú)立事件

計(jì)算兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于這兩個(gè)事件發(fā)生的概率的

公式積，即P(AS)=P(心

性質(zhì)如果兩個(gè)事件相互獨(dú)立，那么把其中一個(gè)換成它的對(duì)立事件，這樣

的兩個(gè)事件仍然相互獨(dú)立.即當(dāng)事件46相互獨(dú)立時(shí)，則事件/

與事件下相互獨(dú)立，事件7■與事件8相互獨(dú)立，事件，與事件下相

互獨(dú)立

思考(1)事件力與3相互獨(dú)立可以推廣到〃個(gè)事件的一般情形嗎？

(2)公式P{AB)=P(A)P⑦可以推廣到一般情形嗎？

［提示］(D對(duì)于〃個(gè)事件4,4,…，4,如果其中任何一個(gè)事件發(fā)生的概

率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱事件4,4,…，4相互獨(dú)立.

(2)公式亞力?=P(用/(而可以推廣到一般情形：如果事件4,4,…，4

相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即

產(chǎn)(4也…4)=0(4)0(4)…2(4).

疑難解惑

□類型1相互獨(dú)立事件的判斷

【例1】判斷下列各對(duì)事件哪些是互斥事件，哪些是相互獨(dú)立事件.

(1)擲一枚骰子一次，事件.%“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；事件必“出現(xiàn)的點(diǎn)

數(shù)為偶數(shù)”；

(2)擲一枚骰子一次，事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；事件B-.“出現(xiàn)3點(diǎn)或6

點(diǎn)”.

［解］(IL.?二者不可能同時(shí)發(fā)生，二"與”是互斥事件.

(2)樣本空間為。={1,2,3,4,5,6},事件《={2,4,6},事件8={3,6},事

件AB={6},

3121111

，0(/)=￡=5，尸(而=3=可，P(AB)=7=0Xn?即0(4而=尸(力)尸(③.

6263623

故事件［與3相互獨(dú)立.當(dāng)“出現(xiàn)6點(diǎn)”時(shí)，事件48可以同時(shí)發(fā)生，因

此46不是互斥事件.

廠......反卵領(lǐng)悟...........一

判斷事件是否相互獨(dú)立的方法

(1)定義法：事件48相互獨(dú)立=0(力而=/(4?P(面.

(2)利用性質(zhì)：力與8相互獨(dú)立，則/與下，7與B,7與7也都相互獨(dú)立.

II類型2相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算

【例2】甲、乙、丙3位大學(xué)生同時(shí)應(yīng)聘某個(gè)用人單位的職位，3人能被

931

選中的概率分別為‘j,鼻，且各自能否被選中互不影響.

543

(1)求3人同時(shí)被選中的概率；

(2)求3人中至少有1人被選中的概率.

93

［解］設(shè)甲、乙、丙能被選中的事件分別為兒B