（初中教案）九年級春季班第14講：兩圓相切的存在性問題-教師版-張于（初中教案）九年級春季班第14講：兩圓相切的存在性問題-教師版-張于/（初中教案）九年級春季班第14講：兩圓相切的存在性問題-教師版-張于兩圓相切的存在性問題兩圓相切的存在性問題知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu)模塊模塊一：以函數(shù)為背景的兩圓相切問題知識知識精講知識內(nèi)容：(1)如果兩圓的半徑長分別為和,圓心距為,那么兩圓的位置關(guān)系可用、和之間的數(shù)量關(guān)系表達,具體表達如下： 兩圓外離; 兩圓外切; 兩圓相交; 兩圓內(nèi)切; 兩圓內(nèi)含．注：兩圓相切包含外切和內(nèi)切兩種情況．(2)設(shè)、,則A、B兩點間的距離公式為：．兩圓相切本質(zhì)：線段的和差;解題思路：利用兩點距離公式或者是題目中已知條件表示出圓心距及兩圓半徑;根據(jù)條件列方程(可采用相似或勾股定理等其它方法);根據(jù)題意對所求的解進行取舍．例題解析例題解析如圖,在平面直角坐標系中,拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,其中點A的坐標為(,0),點D在線段AB上,AD=AC．如果以DB為半徑的⊙D與⊙C外切,求⊙C的半徑．【答案】見解析．ABCOxy【解析】∵拋物線經(jīng)過點A(-ABCOxy∴,解得：．∴所求拋物線的關(guān)系式為：．∴拋物線的對稱軸是直線．當時,,即得C(0,-4)．又由A(-3,0),得．∴AD=AC=5．又由A(-3,0),得D(2,0), ∴．又由直線為拋物線的對稱軸,得B(5,0)．∴BD=3．設(shè)圓C的半徑為r．∵圓D與圓C外切, ∴CD=BD+r．即得：．解得：．∴圓C的半徑長為．【總結(jié)】本題比較基礎(chǔ),主要考查函數(shù)背景下的兩圓外切問題,注意將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系進行求解即可．

如圖,在平面直角坐標系中,四邊形OABC是等腰梯形,其中OA=AB=BC=4,．(1)若點P在第四象限,且與相似,求滿足條件的所有點P的坐標;xyABCO(2)在(1)的條件下,若與以O(shè)C為直徑的xyABCO【答案】見解析．【解析】(1)∵tan∠BCO=,∴∠AOC=∠BCO=60°,∵等腰梯形OABC,∴AB//CO,∴∠CBA=120°=∠BAO=120°．在中,∵OA=AB=BC=4,∴∠OBA=∠BOA=30°,OC=8．要使∽,則必為等腰三角形,存在兩種情況．eq\o\ac(○,1)如圖1,當PO=PC時,則∠OPC=120°．∴∠POC=∠PCO=30°,∴P(4,)．AABCDOPxyABCOPxy圖1圖2eq\o\ac(○,2)如圖2,當OC=CP時,則∠OCP=120°．∴∠COP=∠CPO=30°,∵OC=PC=8,∴∠PCD=60°,∴PD=4,CD=4,∴P(12,),綜上所述,滿足條件的所有點P的坐標為(4,)或(12,);(2)的半徑和． 如圖1,∵PD=,∴的半徑為或． 如圖2,取OC中點Q,作． ∵∠POC=30°,∴, ∵P(12,),∴,∴, ∴,∴的半徑為或． 綜上,的半徑為或或或．【總結(jié)】本題主要考查平面直角坐標系背景下的相似問題及相切問題,注意進行分類討論,并對相應(yīng)的解題方法進行歸納整理．

如圖,線段PA=1,點D是線段PA延長線上的點,AD=a(a>1),點O是線段AP延長線上的點,,以O(shè)圓心,OA為半徑作扇形OAB,,點C是弧AB上的點,聯(lián)結(jié)PC、DC．(1)聯(lián)結(jié)BD交弧AB于E,當a=2時,求BE的長;(2)當以PC為半徑的和以CD為半徑的相切時,求a的值;(3)當直線DC經(jīng)過點B,且滿足時,求扇形OAB的半徑長．DBDBACOPEF【解析】(1)過點作,垂足為．設(shè),則,;∵,即,解得：;∴,,;當時,可得：,,∴;易得∽,∴,又,∴,∴．(2)當點與點重合時,．當點與點不重合時,聯(lián)結(jié),∵,∴;即,又,∴∽,∴,∴;又,∴;∵⊙和⊙相切,是圓心距,∴⊙和⊙相只能內(nèi)切;∴;即;解得：．(3)聯(lián)結(jié)、．∵∽,∴;∵,∴;∵,∴,即．∵,,∴;又,∴∽;∴;∴,∴;∴是等邊三角形,∴;在中,,,即,．即扇形OAB的半徑長為．【總結(jié)】本題主要考查扇形背景下的兩圓相切問題,注意將位置關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)量關(guān)系進行計算,另外第(3)問中注意對所給出的條件進行分析,從而找出相似的三角形進行求解．

模塊模塊二：以幾何圖形為背景的兩圓相切問題知識知識精講知識內(nèi)容：(1)如果兩圓的半徑長分別為和,圓心距為,那么兩圓的位置關(guān)系可用、和之間的數(shù)量關(guān)系表達,具體表達如下： 兩圓外離; 兩圓外切; 兩圓相交; 兩圓內(nèi)切; 兩圓內(nèi)含．注：兩圓相切包含外切和內(nèi)切兩種情況．兩圓相切本質(zhì)：線段的和差;解題思路：根據(jù)動點的運動方式表示出相關(guān)線段的長度;利用幾何圖形的相關(guān)性質(zhì)表示出線段間的關(guān)系;根據(jù)相似的性質(zhì)或者是勾股定理或者是兩圓相切的關(guān)系等列出有關(guān)未知數(shù)的方程;求出方程的解,并根據(jù)題意進行取舍．

例題解析例題解析如圖,已知：在中,射線AM//BC,P是邊BC上一動點,∠APD=∠B,PD交射線AM于點D,聯(lián)結(jié)CD．AB=4,BC=6,∠B=60°．(1)求證：;(2)如果以AD為半徑的與以BP為半徑的相切,求線段BP的長度．ABABCDMPH【解析】(1)∵AM//BC,∴∠PAD=∠APB．∵∠APD=∠B,∴∽．∴．∴．(2)過點A作AH⊥BC,垂足為點H．∵∠B=60°,AB=4,∴BH=2,．設(shè)BP=x,那么．∴．∴．當與外切時,．即．整理,得：,∵,∴此方程無實數(shù)解．當與內(nèi)切時,．即．當時,解得x=2;當,此方程無解．綜上所述,如果兩圓相切,那么BP=2．【總結(jié)】本題比較基礎(chǔ),主要考查幾何背景下的兩圓相切問題,注意將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系,并進行分類討論．

如圖,在中,AB=AC=10,BC=12,點E、F分別在邊BC、AC上(點F不與點A、C重合),EF//AB．把沿直線EF翻折,點C與點D重合,設(shè)FC=x．(1)求∠B的余切值;(2)當點D在的外部時,DE、DF分別交AB于M、N,若MN=y,求y關(guān)于xABCABCEF(3)(直接寫出結(jié)果即可)以點E為圓心,BE為半徑的與邊AC,eq\o\ac(○,1)有公共點時,求x的取值范圍;②一個公共點時,求x的取值范圍;eq\o\ac(○,3)個公共點時,求x的取值范圍．【答案】見解析．ABCH圖1【解析】ABCH圖1∵,,∴．∴,∴．ABCDEFNM圖2(2)ABCDEFNM圖2∴,∴．∵,EF//AB,∴,,∴,∴,∴．∵EF//MN,∴=．∴．(3)①當或時,與邊沒有公共點;②當或時,與邊有一個公共點;③時,與邊有兩個公共點．【總結(jié)】本題主要考查幾何圖形背景下的銳角三角比及相似的綜合,第(3)問中,主要從臨界點區(qū)分即可,由于是圓與邊的交點個數(shù),因此要從多個角度考慮．

隨堂檢測隨堂檢測如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,∠A=90°,AD=6,AB=8,,點P在射線DC上,點Q在射線AB上,且PQ⊥CD．設(shè)DP=x,若以點B為圓心、BQ為半徑的與以點C為圓心、CP為半徑的相切,求線段DP的長．ABABCDPQS【解析】延長BA、CD相交于點S,由題意條件,易得BC=12．∵AD//BC且BC=12,∴AD=BC,∴,∴SD=DC=10,SA=AB=8．∵DP=x,∴SP=x+10．由∽,得：．∴,∴．當與相切時,有三種情況：(ⅰ)當點P在線段DC上,且點Q在線段AB上時,只有可能兩圓外切,由BQ+CP=BC,,解得：;(ⅱ)當點P在線段DC上,且點Q在線段AB的延長線上時,兩圓不可能相切;(ⅲ)當點P在線段DC的延長線上,且點Q在線段AB的延長線上時,此時,CP=x-10,若兩圓外切,BQ+CP=BC,即,解得：;若兩圓內(nèi)切,,即;由,解得：;由,解得：．綜上所述,與相切時,線段DP的長為或或22．【總結(jié)】本題主要考查梯形背景下的兩圓相切問題,本題綜合性較強,要從多個角度考慮問題,首先要分析動點的位置,其次相切問題下要分為內(nèi)切和外切兩種情況進行討論．

如圖1,已知梯形ABCD中,AD//BC,∠D=90°,BC=5,CD=3,cotB=1．點P是邊BC上的一個動點(不與點B、C重合),過點P作射線PE,使射線PE交射線BA于點E,∠BPE=∠CPD．(1)如圖2,當點E與點A重合時,求∠DPC的正切值;(2)當點落在線段上時,設(shè),,試求與之間的函數(shù)解析式,并寫出的取值范圍;(3)設(shè)以BE長為半徑的和以AD為直徑的相切,求BP的長．AABCDPA（E）BCD圖1圖2【答案】見解析．【解析】PABCDH(1)過點作PABCDH由題意得,．在Rt中,∵,∴,．由,可得．易證≌．∴,PABCDPABCDGE(2)過點作,垂足為點．在Rt△中,,∴．∵,∴．可得,解得：．的取值范圍為．QABCDO(3)聯(lián)結(jié),過點作,垂足為點QABCDO在中,得．eq\o\ac(○,1)和外切時,,即,將代入上式,得分式方程,解得：;經(jīng)檢驗,是方程的根且符合題意．PABCDME∴當和PABCDMEeq\o\ac(○,2)和內(nèi)切時,,得．設(shè)與的交點為,,即,解得;經(jīng)檢驗,是方程的根且符合題意．∴當和內(nèi)切時,．綜上所述：當與相切時,的長是或．【總結(jié)】本題考查的是直角梯形、相似三角形、銳角三角比及兩圓相切的相關(guān)知識,綜合性較強,解答時要注意數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論思想的綜合運用．

如圖,在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD//BC,AB=8,BC=18,,點P從點B開始沿BC邊向終點C以每秒3個單位的速度移動,點Q從點D開始沿DA邊向終點A以每秒2個單位的速度移動,設(shè)運動時間為秒．如果的半徑為6,的半徑為4,在移動的過程中,試探索：為何值時與外離、外切、相交?ABABCDEQP圖1【解析】過點D作于點(如圖1)．∠ABC＝90°,AD//BC,．,當與外切時,,此時．故當與外切時,四邊形為等腰梯形或平行四邊形．當四邊形為等腰梯形時(如圖2),ABCDFQP圖ABCDFQP圖2則,所以．,,．,．ABCDMQABCDMQP圖3過點Q作于點,同理,得：,,．當或時,與外離;當或時,與外切;當時,與相交．【總結(jié)】本題主要考查梯形背景下的兩元位置關(guān)系的討論,綜合性較強,主要從外切的關(guān)系入手,求出相應(yīng)的值,再進行討論,同時注意動點所處的問題的討論．

課后作業(yè)課后作業(yè)如圖,已知在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,AB=4,AD=3,,點P是對角線BD上一動點,過點P作PH⊥CD,垂足為H．(1)求證：∠BCD=∠BDC;(2)如圖,若以P為圓心、PB為半徑的圓和以H為圓心、HD為半徑的圓外切時,ABCDABCDPHG【答案】見解析．【解析】(1)過點D作DG⊥BC,垂足為G．∵在Rt中,∠ABC=90o,AB=4,AD=3,∴BD=5．在Rt中,∠DGC=90o,=,∵AD//BC,∴AB=DG=4,AD=BG=3,∴DC=,∴CG=2,∴BC=3+2=5,∴BD=BC,∴∠BCD=∠BDC．．(2)設(shè)DP=,則RP=PB=．∵∠BCD=∠BDC,∴．在Rt中,∠PHD=90o,=,∴PH=,∴DH=,∴RH=HD=．∵與外切,∴．∴,解得：．即．【總結(jié)】本題主要考查直角梯形背景下的銳角三角比與兩圓相切的綜合運用,由于本題強調(diào)的是外切,因此只要考慮一種情況即可．

如圖,中,∠ACB=90°,AC=4厘米,BC=3厘米,為的內(nèi)切圓．(1)求的半徑;(2)動點P從點B沿BA向點A以每秒1厘米的速度勻速運動,以P為圓心,PB為半徑作圓．設(shè)點P運動的時間為t秒,若與相切,求t的值．【答案】見解析．【解析】解：(1)如圖1,設(shè)與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F,DEF圖1ABCOP連接OD、OE、OF,則AD=AF,BD=DEF圖1ABCOP為的內(nèi)切圓, ,,即． ,四邊形是矩形． ,四邊形是正方形．ABCOPDEFGABCOPDEFG圖2 在中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3, ． , ,解得：． 即