單元一簡(jiǎn)諧振動(dòng)

一、選擇、填空題

1.對(duì)一個(gè)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體,下面哪種說法是正確的？[C]

(A)物體處在運(yùn)動(dòng)正方向的端點(diǎn)時(shí)，速度和加速度都達(dá)到最大值；

(B)物體位于平衡位置且向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度和加速度都為零；

(C)物體位于平衡位置且向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度最大，加速度為零：

(D)物體處在負(fù)方向的端點(diǎn)時(shí)，速度最大，加速度為零。

2.一沿X軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的彈簧振子，振幅為4周期為7,振動(dòng)方程用余弦函數(shù)表示，如果該振子

的初相為士乃，則￡=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置在：[D]

3

白)過了=，4處，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；(B)過x處，向正方向運(yùn)動(dòng)；

22

(C)過x=—4A處，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；(D)過x=—4A處，向正方向運(yùn)動(dòng)。

22

3.將單投從平衡位置拉開，使擺線與豎直方向成微小角度。然后由靜止釋放任其振動(dòng)，從放手

開始計(jì)時(shí)，若用余弦函數(shù)表示運(yùn)動(dòng)方程，則該單擺的初相為：[B]

(A)0-,(B)0-,(On/2-,(D)-0

4.圖(a)、(b)、3為三個(gè)不同的諧振動(dòng)系統(tǒng)，組成各系統(tǒng)的各彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)及重物質(zhì)量如圖所

示，(a)、(b)、。三個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的①(。為固有圓頻率)值之比為：

[B]

5.一彈簧振子，當(dāng)把它水平放置時(shí)，它可以作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，若把它豎直放置或放在固定的光滑斜面上

如圖，試判斷下面哪種情況是正確的：[C]

(A)豎直放置可作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，放在光滑斜面上不能作簡(jiǎn)諧振動(dòng)；

(B)豎直放置不能作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，放在光滑斜面上可作簡(jiǎn)諧振動(dòng)；

(C)兩種情況都可作簡(jiǎn)諧振動(dòng)；

(D)兩種情況都不能作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

6.一諧振子作振幅為A的諧振動(dòng)，它的動(dòng)能與勢(shì)能相等時(shí)，它的相位和坐標(biāo)分別為:

7V|2式5

(A)+—,or±—乃，±如

3300

1

713(D)±

(C)±—,or±——兀,T±"士金

444-2

7.如果外力按簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律變化，但不等于振子的固有頻率。那么，關(guān)于受迫振動(dòng)，下列說法正

確的是：(B]

(A)在穩(wěn)定狀態(tài)下,受迫振動(dòng)的頻率等于固有頻率：

(B)在穩(wěn)定狀態(tài)下,受迫振動(dòng)的頻率等于外力的頻率;

(C)在穩(wěn)定狀態(tài)下,受迫振動(dòng)的振幅與固有頻率無關(guān);

(D)在穩(wěn)定狀態(tài)下,外力所作的功大于阻尼戰(zhàn)耗的功。

8.關(guān)于共振，下列說法正確的是：[A]

(A)當(dāng)振子為無阻尼自由振子時(shí)，共振的速度振幅為無限大；

(B)當(dāng)振子為無阻尼自由振子時(shí)，共振的速度振幅很大，但不會(huì)無限大；

(C)當(dāng)振子為有阻尼振動(dòng)時(shí)，位移振幅的極大值在固有頻率處；

(D)共振不是受迫振動(dòng)。

9.下列幾個(gè)方程，表示質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)為“拍”現(xiàn)象的是：【6】

(A)y=Acos((ot+(pt)+Bcos(cot+(p2);(B)y=Acos(200t)+Bcos(201t+(p);

(C)x,-A,coscot,y2-A2sin(a)t+);(D)x,-A,coscot,y2-A2cos2CDt

10.一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為7,質(zhì)點(diǎn)由平衡位置到二分之一最大位移處所需要的時(shí)間為‘-T；

由最大位移到二分之一最大位移處所需要的時(shí)間為,T。

6

-JT

11.兩個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧交流電力69和心〃，的振動(dòng)曲線如圖所示，則位相差%-勿

12.一筒諧振動(dòng)用余弦函數(shù)表示，振動(dòng)曲線如圖所示，則此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量為：A=10cm,

co=—rad/s,g一

63

13.一質(zhì)量為加的質(zhì)點(diǎn)在力尸=-乃2苫的作用下沿x軸運(yùn)動(dòng)(如圖所示)，其運(yùn)動(dòng)周期為2標(biāo)。

14.試在圖中畫出諧振子的動(dòng)能，振動(dòng)勢(shì)能和機(jī)械能隨時(shí)間而變的三條曲線。(設(shè)t=0時(shí)物體經(jīng)過

平衡位置)

15.當(dāng)重力加速度g改變由時(shí)，單擺周期7的變化dT=,一只擺鐘，在.g=9.80m/$

處走時(shí)準(zhǔn)確，移到另一地點(diǎn)后每天快該地點(diǎn)的重力加速度為9.8023加//。

16.有兩個(gè)彈簧，質(zhì)量忽略不計(jì)，原長(zhǎng)都是/在加，第一個(gè)彈簧上端固定，下掛一個(gè)質(zhì)量為力的物體

后，長(zhǎng)11cm,兩第二個(gè)彈簧上端固定，下掛一質(zhì)量為勿的物體后，長(zhǎng)13cm,現(xiàn)將兩彈簧串聯(lián)，上

端固定，下面仍掛一質(zhì)量為力的物體，則兩彈簧的總長(zhǎng)為0.24機(jī)。

X.=6x.10cos(5t——7i)(SI)

17.兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)表達(dá)式分別為：/2它們

2

x2=2x70sin(7U-5t)(SI)

的合振動(dòng)的振幅為8x/0-2〃人初位相為一,萬。

--------2

Xj=Acos(-)

5兀

18.?質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了三個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振動(dòng)方程分別為：X2=ACOS(M+=^-)

x3=Acos(cot+7T)

其合成運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為X=0。

二、計(jì)算題

1.一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為10.0cm,周期為2。s。在力=。時(shí)坐標(biāo)為5.0cm,且向x

軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求在x=-6.0。/處，向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)、物體的速度和加速度。

TT

物體的振動(dòng)方程：x=4cos(of+6),根據(jù)已知的初始條件得到：X^10COS(^+―)

冗

物體的速度：v=-107rsin(+—)

物體的加速度：a=-IOTI2COS(R+?)

JI冗37i4

當(dāng)：x--6.0cm,-6=10cos(+—),cos(cot+-)=-^,sin(—)=±—

TT4

根據(jù)物體向力軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的條件，+=,

所以：v=-87rxl0-2m/s,a=67r2xl0-2m/s2

2.一質(zhì)點(diǎn)按如下規(guī)律沿才軸作筒諧振動(dòng)：x^0.1cos(87rt+27r/3)(5Z)

求此振動(dòng)的周期、振幅、初相、速度最大值和加

速度最大值；

⑵分別畫出這振動(dòng)的x-t圖。

241

周期：T=-=-s；

CD4

振幅：A=0Jm；

2萬

初相位：(p----;

速度最大值：xmax=Aco,xniax=0.8TTm/s

222

加速度最大值：xmax=Aco,xmax=6.4Km/s

3.定滑輪半徑為兄轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為/輕繩繞過滑輪，一端與固定的輕彈簧連接，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為

長(zhǎng)另一端掛一質(zhì)量為勿的物體，如圖?，F(xiàn)將勿從平衡位置向下拉--微小距離后放手，試證物體作

簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)周期。(設(shè)繩與滑輪間無滑動(dòng)，軸的摩擦及空氣阻力忽略不計(jì))。

以物體的平衡位置為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)。

物體的運(yùn)動(dòng)方程：mg-T,=mx

Y

滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方程：=J—

R

對(duì)于彈簧:T2=k(x+x0),kx0=mg

k

由以上四個(gè)方程得到：x+-------x=0

計(jì)算題⑶

令。2

K

物體的運(yùn)動(dòng)微分方程：x+co2x^O

物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。振動(dòng)周期：T=2乃11—仁

4.一個(gè)輕彈簧在仇W的拉力作用下可伸長(zhǎng)30cm.現(xiàn)將一物體懸掛在彈簧的下端并在它上面放一小

物體，它們的總質(zhì)量為4kg。待靜止后再把物體向下拉10cm,然后釋放。問：

①此小物體是停在振動(dòng)物體上面還是離開它？

0如果使放在振動(dòng)物體上的小物體與振動(dòng)物體分離，則振幅/需滿足何條件？二者在何位置開

始分離？

物體的振動(dòng)方程：x=Acos(cot+(p)

根據(jù)題中給定的條件和初始條件得到：k，,k="=200N/m

So0.3

CD-

選取向下為X軸的正方向，f=0：物體的位移為為正，速度為零。

所以初位相°=。

物體的振動(dòng)方程：x^0.1cos5)2t

22

物體的最大加速度：amax=A(o=5m/s

小物體的運(yùn)動(dòng)方程：mg-N=ma,物體對(duì)小物體的支撐力：N=mg-ma

小物體脫離物體的條件：N=0

即a=g=9.8m/I,而/皿=5m/s2<9.8m/s2

右)此小物體停在振動(dòng)物體上面;

⑵如小物體與振動(dòng)物體分離，小物體運(yùn)動(dòng)的加速度：a=g=9.8m/s2

有：Aa>2=g,4=鳥

----co

A=0.196m,兩個(gè)物體在振動(dòng)最高點(diǎn)分離。

5.兩個(gè)同振動(dòng)方向，同頻率的諧振動(dòng),它們的方程為x,=5cos乃力(c4和x2=5cos(nt+ji/2)(cm),

如有另一個(gè)同振向同頻率的諧振動(dòng)|，使得處，必和加三個(gè)諧振動(dòng)的合振動(dòng)為零。求

第三個(gè)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程。

已知X/=5COSE,x2=5COS(-)

f

x=x,+x2=Acos(cot+(p)

A=)A；+A；+2AJA2COS((p2一仍),A=5^2cm

A,sin(p,+A.sincp,乃

(p=arctg—i------L-/------J,(p=—

A,cosq)[+A2COS(p24

1

X=x=x'+x3=0,x3=-x

5J2cos(m+芳)

X3

6.已知兩同振向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：

Xj=0.05cos(10),x2=0.06cos(10t-\-^7r)(SI)

(7)求合成振動(dòng)的振幅和初相位；

(2)另有一個(gè)同振動(dòng)方向的諧振動(dòng)與=0.07cos(10/+%"S/),問夕,為何值時(shí)X1+與的振

幅為最大，仍為何值時(shí)工2十%的振幅為最小;

⑶用旋轉(zhuǎn)矢量圖示(7人⑵的結(jié)果。

(1)為和必合振動(dòng)的振幅：

4=)+A，2+2,A.JA,2COS((p2-(pJ)

A=0.09m

振動(dòng)的初相位9=arctgAR〃…血外

Afcos(p{+A2COS(p2

(P—68°

(2)振動(dòng)1和振動(dòng)3疊加，當(dāng)滿足

3

A(p=/一。/=2kji,即(p3=2k兀+；兀時(shí)合振動(dòng)的振幅最大。

A—jA；++24A,cos(cp3-(p])=A1+A,^

A=0.12m

振動(dòng)2和振動(dòng)3的疊加，當(dāng)滿足：A(p=(p^(p2=(2k-^l)7v

即仍=(2k+1)TC+-7T振幅最小°

A=)++2A^A2COS((P2—(p3)=4-A?

A=0.01m

A~4-4

x=x2+x3

計(jì)算題⑹計(jì)算題(6)

單元二簡(jiǎn)諧波波動(dòng)方程

一、選擇題

TT

1.頻率為100Hz,傳播速度為3。詼/s的平面簡(jiǎn)諧波,波線上兩點(diǎn)振動(dòng)的相位差為;，則此兩

點(diǎn)相距：

(A)2m;(B)2.19m;(C)0.5m;(D)28.6m

2.一平面余弦波在r=。時(shí)刻的波形曲線如圖所示，則。點(diǎn)的振動(dòng)初位相夕為：[D]

[B]

兀71

+

(A)y=Acos[2m(t+t0)~^](B)y=Acos[2m(t-t0)+—]

(C)y=Acos[2m>(t-t0)~~1(D)y=Acos[2/n>(t-t0)+JI]

4.某平面簡(jiǎn)諧波在時(shí)的波形曲線和原點(diǎn)(x=〃處)的振動(dòng)曲線如圖⑷㈤所示，則該簡(jiǎn)諧波

的波動(dòng)方程6。為：

選擇題(4)

[C]

JI兀3

(A)y=2cos(7rt+-x+一);(B)y=2cos(加----x+―兀)

2222

71TC7171

(C)y=2cos(Tut--x(D)y=2cos(nt-x--)

5.在簡(jiǎn)諧波傳播過程中，沿傳播方向相距為生，(4為波長(zhǎng))的兩點(diǎn)的振動(dòng)速度必定：[A]

2

(A)大小相同，而方向相反；(B)大小和方向均相同；

(C)大小不同，方向相同；(D)大小不同,而方向相反。

6.橫波以波速u沿x軸負(fù)方向傳播，2時(shí)刻的波形曲線如圖，則該時(shí)刻：【〃】

力點(diǎn)的振動(dòng)速度大于零；㈤6點(diǎn)靜止不動(dòng)；

(C)C點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)；(D)〃點(diǎn)振動(dòng)速度小于零

7.當(dāng)機(jī)械波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，一媒質(zhì)質(zhì)元的最大變形量發(fā)生在：[C]

后A

(A)媒質(zhì)質(zhì)元離開其平衡位置最大位移處；(B)媒質(zhì)質(zhì)元離開其平衡位置(2七)處；

2

A

(C)媒質(zhì)質(zhì)元在其平衡位置處；益媒質(zhì)質(zhì)元離開其平衡位置勺處C4是振動(dòng)振幅)。

2

8.一平面簡(jiǎn)諧波在彈性媒質(zhì)中傳播，在媒質(zhì)質(zhì)元從最大位移處回到平衡位置過程中：[C]

(A)它的勢(shì)能轉(zhuǎn)換成動(dòng)能；

如它的動(dòng)能轉(zhuǎn)換成勢(shì)能；

⑨它從相鄰的一段媒質(zhì)質(zhì)元獲得能量，其能量逐漸增加；

3它把自己的能量傳給相鄰的一段媒質(zhì)質(zhì)元，其能量逐漸減小。

9.一平面簡(jiǎn)諧波在彈性媒質(zhì)中傳播時(shí)，在傳播方向上媒質(zhì)中某質(zhì)元在負(fù)的最大位移處，則它的能

量是：【夕】

(A)動(dòng)能為零，勢(shì)能最大；(B)動(dòng)能為零，勢(shì)能為零；

(C)動(dòng)能最大，勢(shì)能最大；(D)動(dòng)能最大，勢(shì)能為零。

二、填空題

1.一平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為y=0.25cos(125t-0.37x)(SI),其圓頻率0=125rad/s,

^u=337.80m/s,波長(zhǎng)4=16.97〃？。

2.一平面筒諧波沿才軸正方向傳播，波速u=100m/s,t=0時(shí)刻的波形曲線如圖所示,波長(zhǎng)

A=0.8m,振幅4=。.2用，頻率i/=/25Hz。

U

LL—TL一

P,OP2X

填空題（3）

3.如圖所示，一平面簡(jiǎn)諧波沿如軸正方向傳播，,若Q點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振

動(dòng)方程為=Acos(27ivt+(p),貝I」振動(dòng)方程為

乃=Acos(2m4-24與里力+夕/；與尸,點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)相同的那些點(diǎn)的位置是x=H-

A>-------------------------

k=±7,±2,±3,…。

4.?簡(jiǎn)諧波沿如軸負(fù)方向傳播，x軸上Q點(diǎn)處振動(dòng)方程

TT

Pp)=0.04cos(m--)(SI),乃軸2點(diǎn)坐標(biāo)減去Q點(diǎn)坐標(biāo)等于

二，(4為波長(zhǎng))，則2點(diǎn)振動(dòng)方程：

4

yP=0.04cos(加+萬)。

已知。點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖Q）,試在圖如上畫出x=，2處質(zhì)點(diǎn)"的振動(dòng)曲線。

5.

4

6.余弦波y=Acos07--）在介質(zhì)中傳播，介質(zhì)密度為,波的傳播過程也是能量

C

傳播過程，不同位相的波陣面所攜帶的能量也不同，若□在某一時(shí)刻去觀察位相為勺7T處的波陣面，

2

三、計(jì)算題

Y

1.如圖所示，一平面筒諧波沿如軸傳播，波動(dòng)方程為y=Acos/2加可-勿，求

A

。）夕處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；

⑨該質(zhì)點(diǎn)的速度表達(dá)式與加速度表達(dá)式。

u

P處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程：y-Acos[2TI（vt+—）+（/）]

A

一I-

（x=-L,尸處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位相超前）

P0x

〃處質(zhì)點(diǎn)的速度：v=y=-2A^sin[27i（vt+—）+（p]

A

------------------------------計(jì)算題(“

P處質(zhì)點(diǎn)的加速度：a=y=-4ATT2V2COS[2TI(vt+—)+(p]

A

2.某質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為2s,振幅為0.06m,開始計(jì)時(shí)（t=0）,質(zhì)點(diǎn)恰好處在負(fù)向最

大位移處，求

該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；

⑵此振動(dòng)以速度"二2%沿x軸正方向傳播時(shí)，形成的一維筒諧波的波動(dòng)方程；

⑶該波的波長(zhǎng)。

質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程：y=Acos（2兀*+如，由初始條件得到：y=0.06cosm+乃）

X

一維筒諧波的波動(dòng)方程：y^0.06cos[7i（t-）+7r],波長(zhǎng)：4=4=4加

3.一平面簡(jiǎn)諧波在介質(zhì)中以速度u=20m/s自左向右傳播,已知yU

在傳播路徑上的某點(diǎn)A的振動(dòng)方程為

y=3cos(4m-K)(SI),另一點(diǎn)〃在力點(diǎn)右方9米處。H

4)若取X軸方向向左，并以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，試寫出波動(dòng)方X/D

程，并求出。點(diǎn)的振動(dòng)方程；

⑵若取開軸方向向右，以4點(diǎn)左方5米處的。點(diǎn)為x軸原點(diǎn)，YII

重新寫出波動(dòng)方程及〃點(diǎn)的振動(dòng)方程。

X軸方向向左，傳播方向向右。--------j-------------方

力的振動(dòng)方程：y=3cos(4m-7r)(坐標(biāo)原點(diǎn))

、山辦十項(xiàng)2//一次1計(jì)算題(3)

波動(dòng)力程：y=3cos[4TT(r+—)-7i]7

4

將x=—9m代入波動(dòng)方程，得到〃點(diǎn)的振動(dòng)方程：=3cos(4m--7r)

取X軸方向向右，。點(diǎn)為乃軸原點(diǎn)，。點(diǎn)的振動(dòng)方程：y0=3cos[47i(t+*)-7i]

x5x

波動(dòng)方程：y=3cos[4兀(+三)一兀],y=3cos4兀(t-三)

4

將x=/4機(jī)代入波動(dòng)方程，得到〃點(diǎn)的振動(dòng)方程：yD=3cos(4m—M兀)

可見，對(duì)于給定的波動(dòng)，某一點(diǎn)的振動(dòng)方程與坐標(biāo)原點(diǎn)以及X軸正方向的選取無關(guān)。

4.一平面簡(jiǎn)諧波沿。T軸的負(fù)方向傳播，波長(zhǎng)為/I,￡=。時(shí)

刻，〃處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律如圖所示。

求尸處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；

⑵求此波的波動(dòng)方程。若圖中d=4,求坐標(biāo)原點(diǎn)0

2

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。

〃處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程：yP^Acos[27v~:+(p]

根據(jù)圖中給出的條件：T=4s

JI

由初始條件：t=Ofyp=-A,中=兀，yp=Acos[+7T]

TT2冗(I

原點(diǎn)。的振動(dòng)方程：yo^Acos[(-t--)+7r](。點(diǎn)振動(dòng)落后于尸點(diǎn)的振動(dòng))

2A

波動(dòng)方程：y=Ac。咤+2加；勺+%/

如果：d,九,原點(diǎn)0的振動(dòng)方程：yo^Acos-m

202

單元三波的干涉駐波多普勒效應(yīng)

一、選擇、填空題

I.如圖所示，兩列波長(zhǎng)1|的機(jī)干波在戶點(diǎn)相遇,S,

點(diǎn)的初位相是0"S到。點(diǎn)的距離是r”W點(diǎn)的初位相是我，&

到月點(diǎn)的距離是力，以k代表零或正、負(fù)整數(shù)，則一點(diǎn)是干涉極大

的條件為：

[D]

(A)r2-rj=kQ

(B)①2一①i=2k兀;

(C)①2-①盧27r(,2-。)=2k兀;

A>

4

2.如圖所示，S”￡為兩相干波源，其振幅皆為0.5m,頻率皆為100Hz,但當(dāng)S為波峰時(shí)，$

點(diǎn)適為波谷，設(shè)在媒質(zhì)中的波速為10ms",則兩波抵達(dá)〃點(diǎn)的相位差和P點(diǎn)的合振幅為：

(A)2。如，Im;(B)20bi,0.5m;(C)20歷，0;(D)20(kf0;(E)20bi,Im

7T

3.兩相干波源S和S的振動(dòng)方程是力=Acos+5J和%=，S,距P點(diǎn)6個(gè)波長(zhǎng)，S2

距尸點(diǎn)為13.4個(gè)波長(zhǎng)，兩波在月點(diǎn)的相位差的絕對(duì)值是15.3冗。

4.在弦線上有一簡(jiǎn)諧波，其表達(dá)式為力=26萬3〃0血。+當(dāng)告/6。為了在此弦線上形

成駐波，并在x=0處為一波腹，此弦線上還應(yīng)有一簡(jiǎn)諧波，其表達(dá)式為：[D]

2

(A)y2=2.0xl0cos[100t--^)+y](SI)

4

2x

(B)y2=2.0xl0cos[100TV(t--)+-TT](SI)

2

(C)y2=2.0xlOcos[10071((SI)

)x4

(D)y2=2.0x10~cos[100TV(](SI)

XX

y2=Acos27rv(t一一),設(shè)反射波無能量損失，那么入射波的方程式力=Acos[”+—J+萬],

4A

X7T7T

形成駐波的表達(dá)式y(tǒng)=2Acos(2萬一+—卜cos(2九7十一)。

丸22

277T

7.在繩上傳播的入射波波動(dòng)方程乃=Acos(m+q),入射波在x=0處繩端反射，反射端為自

由端，設(shè)反射波不衰減，則反射波波動(dòng)方程V2=Acos-二人形成駐波波動(dòng)方程

2

y=2Acos----cosMo

4

277Y7T

8.弦線上的駐波方程為y=Acos(W+?％os3.，則振動(dòng)勢(shì)能總是為零的點(diǎn)的位置是

A2

x=(2k-l)--,振動(dòng)動(dòng)能總是為零的位置是》=人生。其中

42

k=0,±i,±2,±3…

9.已知一駐波在t時(shí)刻各點(diǎn)振動(dòng)到最大位移處，其波形如圖

⑷所示，?行波在t時(shí)刻的波形如圖㈤所示，試分別在圖

(A),圖劃上注明所示的a、b、c、d四點(diǎn)此時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度的

方向(設(shè)為橫波)。

在圖4中：va-vh-vc-vd-0

二、計(jì)算題

1.兩列相干平面簡(jiǎn)諧波沿X軸傳播。波源S與￡相距

d=30m,S/為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知Xi=9m和x2=12m處的

兩點(diǎn)是相鄰的兩個(gè)因干涉而靜止的點(diǎn)。求兩波的波長(zhǎng)和兩

波源的最小位相差。d=30m______________________-

選取/軸正方向向右，S向右傳播，W向左傳播。.T(

兩列波的波動(dòng)方程：y,^A,cos[(ca-27r)+(pl0]2及|

A

y2=A2cos[(at-2TC)+(p20]計(jì)算就

A,

Xj=9m和x2=12tn的兩點(diǎn)為干涉相消。

d-xx

滿足：(P2-(Pi=[(M------2TT)+(p20]-[(M——2兀)+(p[0]=(2k+l)7T

4A

((p20-(Pi0)+2^(^--^——)=(2k+l)7c

A/I

(①20-)+2兀(與一=[2(k+1)+1]兀

AA

兩式相減：4兀(皂~—)=2^-,2=6機(jī)。由I%。-0/0)+2%(土一'一~)=(2k+l)7t

A-------AA,

得到(°2o一夕/o)=(2%+】用■一4%，k=0,1,2,3…，兩波源的最小位相差：(p20~(pl0=71

2.0—列波長(zhǎng)為4的平面筒諧波沿才軸正方向傳播。已知在x=/l/2處振動(dòng)方程尸4cos〃，試

寫出該平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程；

(2)如果在上述波的波線上x=>4/2)處放一和波線相垂直的波密介質(zhì)反射面，如圖，假

777Y4兀I

設(shè)反射波的振幅為A',試證明反射波的方程為y'=A'cos(a)t+----------)

22

已知x=A/2處振動(dòng)方程：y=Acosa)t

原點(diǎn)處。點(diǎn)的振動(dòng)方程：U

2%A

y0=ACOS(cot+------),>0=4cos(M+7T)

A,2

277Y0X

平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程：y=Acos(cot---+^)L

71

計(jì)算題(2)

反射面處入射波的振動(dòng)方程:y=Acos((Dt--+^)

A

2jrJ

反射面處反射波的振動(dòng)方程:y'=A'cos-一卜)(波疏到波密介質(zhì)，反射波發(fā)生萬相變)

A

反射波在原點(diǎn)。的振動(dòng)方程:y'=A'cos(M-2——)(反射波沿才軸負(fù)方向傳播，。點(diǎn)的

o2

振動(dòng)位相滯后)

反射波的方程：y'o=A'cos(m+亨—等J

y,-0.06cos7i(x-4t)

3.兩列波在一根很長(zhǎng)的細(xì)繩上傳播，它們的方程為：…,,、

y2=0.06cosx+4t)

證明細(xì)繩上作駐波振動(dòng)，并求波節(jié)和波腹的位置；

仞波腹處的振幅有多大？在x=1.%7處振幅有多大？

yt-0.06cos(7ix-4t7i),y,-0.06cos(4加一公)向右傳播的行波。

y2=0.06cos(TJX+4t7i),y2=0.06cos(4t兀+7ix)向左傳播的行波。

兩列波的頻率相等、且沿相反方向傳播，因此細(xì)繩作駐波振動(dòng)：y=2Acosmcos4m

A今=2A|cos利

兀1

波節(jié)滿足：7ix=(2k+1)—x=k+—,%=0,±7,±2,±3…

292

波幅滿足：7rx=k7i,x=k,女=0,±/,±2,±3…

波幅處的振幅：A合二2業(yè)os利，將x=Z和A=0.06加代入得到：A=0.12m

在x=1.2〃z處，振幅：A=2A|C(75^X|,A=0.12\cos,A=0.097m

tx

4.設(shè)入射波的表達(dá)式為y,=Acos2亞上+土)，在x=0發(fā)生反射，反射點(diǎn)為一固定端，求：

TX

反射波的表達(dá)式；(2)駐波的表達(dá)式；⑶波腹、波節(jié)的位置。

tX

入射波：y,^Acos27r(-+^),反射點(diǎn)x=。為固定點(diǎn)，說明反射波存在半波損失。

T2

tX

反射波的波動(dòng)方程：乃=-----)+^7

TA

根據(jù)波的疊加原理，駐波方程：)，=24。。5(2萬：+經(jīng)二")。。$(2萬,+0)

42T

X7T

將％=0和°2="代入得到：駐波方程：y=2Asin27r—cos(2^vr+—)

A2

駐波的振幅：A合=2As比2萬目

波幅的位置:27r-=(2k+l)-,x=(2k+l)~,k=0,1,2,3-

224

Yk

波節(jié)的位置：27tt=k兀，x=±/l,k=0,l,2,3…(因?yàn)椴ㄖ辉诘目臻g，4取正整數(shù))

22

5.一駐波的表達(dá)式y(tǒng)=2Acos2;r—cos。/,求：

(1)x=一處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；⑵該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度。

2

駐波方程：y=2Acos27i—coscot,在工=一處的質(zhì)點(diǎn)，振幅：2ACOS2TT—=2A

222

振動(dòng)表達(dá)式：y=2Acos(a)t+7r)

該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度：v=y=-2Acosin(a)t+7i),v=2Acosincot

6.一固定波源在海水中發(fā)射頻率為"的超聲波，射在一艘運(yùn)動(dòng)的潛艇上反射回來，反射波與入射波

u

的頻率差為潛艇的運(yùn)動(dòng)速度『遠(yuǎn)小于海水中的聲速〃，試證明潛艇運(yùn)動(dòng)的速度為：V=—Av

2v

根據(jù)多普勒效應(yīng)，艦艇收到的信號(hào)頻率：(波源靜止，觀察者背離波源運(yùn)動(dòng))

U

潛艇反射回來的信號(hào)頻率："'=('一)/(觀察者靜止，波源背離觀察者運(yùn)動(dòng))

4+V

,,=u,,,

v(---)(1--)v,V=(---)(v-v),當(dāng)V<<〃，v+v=2vfAv=v-v',

w+Vu?+/'

V=—Av

2v

7.一個(gè)觀測(cè)者在鐵路邊，看到一列火車從遠(yuǎn)處開來，他測(cè)得遠(yuǎn)處傳來的火車汽笛聲的頻率為650

Hz,當(dāng)列車從身旁駛過而遠(yuǎn)離他時(shí)，他測(cè)得汽笛聲頻率降低為540Hz,求火車行駛的速度。已知

空氣中的聲速為330m/s.

根據(jù)多普勒效應(yīng)，列車接近觀察者時(shí)，測(cè)得汽笛的頻率：）/'=（」一）％（觀察者靜止，波源朝

u-vs

著觀察者運(yùn)動(dòng)）

列車離開觀察者時(shí)，測(cè)得汽笛的頻率：/'=（'一）v0（觀察者靜止，波源背離觀察者運(yùn)動(dòng)）

U^rVs

]/'//4-V|/一

由上面兩式得到：—=——5列車行駛的速度：匕=------u,vs=30.5m/s

v"u-vsv'+v"--------------

單元四（一）振動(dòng)和波習(xí)題課

一、填空、選擇題