一、選擇題1．已知點(diǎn)是的重心，，若則的最小值是（）A． B． C． D．2．過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A． B． C．10 D．203．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣1），點(diǎn)N的坐標(biāo)滿足,則的最大值為（）A．2 B．1 C．0 D．－14．已知非零向量滿足，且在方向上的投影與在方向上的投影相等，則等于（）A． B． C． D．5．已知非零向量，夾角為，且，,則等于（）A． B． C． D．6．在矩形ABCD中，||＝6，||＝3.若點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的三等分點(diǎn)，且BN＝BC，則·＝（）A．6 B．4 C．3 D．27．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，分別是、上的兩點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C． D．在方向上的投影為8．在中，，，，的垂直平分線交于，則（）A． B． C． D．9．在中，，圓O是的內(nèi)切圓，且與BC切于D點(diǎn)，設(shè)，，則（）A． B．C． D．10．已知向量，若，則與的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．11．已知為等邊三角形，則()A． B． C． D．12．在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，，點(diǎn)E是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題13．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，是以為直徑的半圓弧上一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____．14．在梯形中，，，，，動(dòng)點(diǎn)P和Q分別在線段和上，且，，則的最大值為_(kāi)_____.15．已知向量，，且，若，均為正數(shù)，則的最小值是__________.16．已知|，點(diǎn)在內(nèi)，且，設(shè)，則等于．17．向量，，在正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）中的位置如圖所示，若向量與共線，則________．18．已知向量，若與平行，則實(shí)數(shù)m等于______.19．如圖，在四邊形中，，，，，若M，N是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍為_(kāi)________．20．已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，則的最大值是_______.三、解答題21．在中，，，，D為邊的中點(diǎn)，M為中線的中點(diǎn).（1）求中線的長(zhǎng)；（2）求與的夾角的余弦值.22．已知，，其中.（1）求向量與所成的夾角；（2）若與的模相等，求的值（為非零的常數(shù)）.23．設(shè)，.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且，與的夾角為，求，的值.24．如圖，在正中，，，分別是、邊上一點(diǎn)，并且，設(shè)，與相交于．（1）試用，表示；（2）求的取值范圍．25．已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中.（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若，且，求與的夾角θ的余弦值.26．中，點(diǎn)、、.（1）若為中點(diǎn)，求直線所在直線方程；（2）若在線段上，且，求.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．D解析：D【分析】先根據(jù)重心得到，設(shè)，利用數(shù)量積計(jì)算，再利用重要不等式求解的最小值，即得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)是的重心，設(shè)D為BC邊上的中點(diǎn)，則，因?yàn)樵O(shè)，則，即，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值是.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于通過(guò)重心求得向量關(guān)系，利用數(shù)量積得到定值，才能利用重要不等式求最值，突破難點(diǎn)，要注意取條件的成立.2．D解析：D【分析】判斷函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，得出過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，得出A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，則有，再計(jì)算的值．【詳解】，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴，則．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱性，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題．3．A解析：A【分析】根據(jù)題意可得，＝2x﹣y，令Z＝2x﹣y，做出不等式組所表示的平面區(qū)域，做直線l0：2x﹣y＝0，然后把直線l0向可行域內(nèi)平移，結(jié)合圖象可判斷取得最大值時(shí)的位置．【詳解】根據(jù)題意可得，＝2x﹣y，令Z＝2x﹣y做出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示的△ABC陰影部分：做直線l0：2x﹣y＝0，然后把直線l0向可行域內(nèi)平移，到點(diǎn)A時(shí)Z最大，而由可得A（1，0），此時(shí)Zmax＝2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用線性規(guī)劃求解最優(yōu)解及目標(biāo)函數(shù)的最大值，解題的關(guān)鍵是正確作出不等式組所表示的平面區(qū)域，并能判斷出取得最大值時(shí)的最優(yōu)解的位置．利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域．(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．常見(jiàn)的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）．(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解．(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值。4．B解析：B【解析】因?yàn)樵诜较蛏系耐队芭c在方向上的投影相等，設(shè)這兩個(gè)向量的夾角為，則，又由且，所以，故選B.5．A解析：A【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算，兩邊平方即可求解.【詳解】,,，夾角為,,,解得：，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)量積的定義，屬于中檔題.6．C解析：C【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，求得，，再結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】由題意，作出圖形，如圖所示：由圖及題意，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，，所以.故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的運(yùn)算法則，以及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中熟練應(yīng)用向量的運(yùn)算法則和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.7．D解析：D【分析】利用，判斷出A錯(cuò)誤；由結(jié)合平面向量的基本定理，判斷出選項(xiàng)B錯(cuò)誤；以為原點(diǎn)，，分別為軸，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出的值，判斷出選項(xiàng)C錯(cuò)誤；利用投影的定義計(jì)算出D正確．【詳解】由題為中點(diǎn)，則，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由平面向量線性運(yùn)算得，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；以為原點(diǎn)，，分別為軸，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，，設(shè)，，，，，所以，，解：，，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，，在方向上的投影為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查平面向量基本定理，考查投影的定義，考查平面向量的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．8．C解析：C【分析】由的垂直平分線交于，且可得為等腰直角三角形，且，；進(jìn)而由可求出的長(zhǎng)，從而求出的值.【詳解】解：因?yàn)榈拇怪逼椒志€交于、，所以為等腰直角三角形，，，在中，，，，所以，所以，，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題型.9．B解析：B【分析】由題得三角形是直角三角形，設(shè)，設(shè)求出，再利用平面向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋允侵苯侨切?，設(shè)如圖，設(shè)由題得，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.10．A解析：A【分析】根據(jù)向量平行，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求出k的值，再利用平面向量夾角公式求解即可.【詳解】因?yàn)榍?，所以，，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行的性質(zhì)，考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量夾角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11．B解析：B【分析】判斷兩向量夾角容易出錯(cuò)，是，而不是【詳解】由圖發(fā)現(xiàn)的夾角不是而是其補(bǔ)角，【點(diǎn)睛】本題考查的是兩向量夾角的定義，屬于易錯(cuò)題，該類型題建議學(xué)生多畫畫圖.12．D解析：D【分析】把用表示，由三點(diǎn)共線把用表示，然后計(jì)算數(shù)量積，利用函數(shù)的知識(shí)得取值范圍．【詳解】∵菱形ABCD邊長(zhǎng)為2，，，∴，，∵E是AB邊上的中點(diǎn)，∴，點(diǎn)F是BC邊上，設(shè)（），則，，∵，∴．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是對(duì)動(dòng)點(diǎn)引入?yún)?shù)：（），這樣所求數(shù)量積就可表示為的函數(shù)，從而得到范圍．本題考查了向量共線的條件，屬于中檔題．二、填空題13．6【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系再表示出點(diǎn)的坐標(biāo)接著表示出最后求求得最大值即可【詳解】解：以點(diǎn)為原點(diǎn)以方向?yàn)檩S正方向以方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系如圖則由圖可知以為直徑的圓的方程為：參數(shù)方向：因?yàn)榻馕觯?【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，再表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，接著表示出，，最后求求得最大值即可.【詳解】解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正方向，以方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，由圖可知以為直徑的圓的方程為：，參數(shù)方向：，因?yàn)槭且詾橹睆降陌雸A弧上一點(diǎn)，所以，（），所以，，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題14．【分析】由題可知據(jù)平面向量的混合運(yùn)算法則可化簡(jiǎn)得到；設(shè)函數(shù)由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)推出在上的單調(diào)性求出最大值即可得解【詳解】根據(jù)題意作出如下所示圖形：∵∴又P和Q分別在線段和上∴解得設(shè)函數(shù)由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可解析：【分析】由題可知，，據(jù)平面向量的混合運(yùn)算法則可化簡(jiǎn)得到；設(shè)函數(shù)，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)推出在上的單調(diào)性，求出最大值即可得解.【詳解】根據(jù)題意，作出如下所示圖形：∵，，∴，又P和Q分別在線段和上，∴，解得..設(shè)函數(shù)，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，，∴，即的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的應(yīng)用，考查數(shù)量積的定義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．15．9【分析】根據(jù)可得然后根據(jù)利用基本不等式可求出最小值【詳解】解：向量且又均為正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直和利用基本不等式求最值考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想屬于中檔題解析：9【分析】根據(jù)，可得，然后根據(jù)利用基本不等式可求出最小值．【詳解】解：向量，，且，，又，均為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直和利用基本不等式求最值，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．16．【詳解】方法一：①又②③將②③代入①得：所以點(diǎn)在內(nèi)所以方法二：以直線OAOB分別為軸建立直角坐標(biāo)系則設(shè)又得即解得故答案為：3解析：【詳解】方法一：,①又,②,③將②③代入①得：，所以，點(diǎn)在內(nèi)，所以.方法二：以直線OA,OB分別為軸建立直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，又，得，即，解得.故答案為：3.17．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系從而得到的坐標(biāo)這樣即可得出的坐標(biāo)根據(jù)與共線可求出從而求出的坐標(biāo)即得解【詳解】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系則：；與共線故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量線性運(yùn)算和共線的坐標(biāo)表解析：【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，從而得到的坐標(biāo)，這樣即可得出的坐標(biāo)，根據(jù)與共線，可求出，從而求出的坐標(biāo)，即得解.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：；與共線故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量線性運(yùn)算和共線的坐標(biāo)表示，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.18．【分析】由向量坐標(biāo)的數(shù)乘及加減法運(yùn)算求出與然后利用向量共線的坐標(biāo)表示列式求解【詳解】解：由向量和所以由與平行所以解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平行向量與共線向量考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算屬于基礎(chǔ)題解析：【分析】由向量坐標(biāo)的數(shù)乘及加減法運(yùn)算求出與，然后利用向量共線的坐標(biāo)表示列式求解．【詳解】解：由向量和，所以，，由與平行，所以．解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行向量與共線向量，考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】首先以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)表示再求取值范圍【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系當(dāng)時(shí)取得最小值當(dāng)時(shí)取得最大值所以的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用坐標(biāo)法解解析：【分析】首先以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示，再求取值范圍.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用坐標(biāo)法解決數(shù)量積的范圍問(wèn)題.20．【分析】設(shè)設(shè)則有聯(lián)立四個(gè)方程令整理得到從方程有根判別式大于等于零求得結(jié)果【詳解】設(shè)由題意可知?jiǎng)t由與夾角為所以①且②③④因?yàn)槁?lián)立①②③④令即整理得將其看作關(guān)于的方程若方程有解則有整理得解得因?yàn)樗缘淖罱馕觯骸痉治觥吭O(shè)設(shè)，，則有，，，，聯(lián)立四個(gè)方程，令，整理得到，從方程有根，判別式大于等于零求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，由題意可知，則由與夾角為，所以，①且，②，③，④因?yàn)?，?lián)立①②③④，，令，即，，整理得，將其看作關(guān)于的方程，若方程有解，則有，整理得，解得，因?yàn)?，所以的最大值是，故答案為?【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)向量的問(wèn)題，解題思路如下：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的定義式求得兩向量的數(shù)量積；（2）根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算法則求得其結(jié)果；（3）利用向量的平方與向量模的平方相等，得到等量關(guān)系式；（4）聯(lián)立，從方程有根，判別式大于等于零，得到不等關(guān)系式，求得結(jié)果.三、解答題21．（1）；（2）.【分析】（1）由于，進(jìn)而根據(jù)向量的模的計(jì)算求解即可；（2）由于，，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積得，故.【詳解】解:（1）由已知，，又，所以，所以.（2）由（1）知，，所以，從而.，所以.解法2：（1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，為x軸，過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線為y軸建系，則，，，因?yàn)镈為邊的中點(diǎn)，所以，，所以.（2）因?yàn)镸為中線的中點(diǎn)，由（1）知，，所以，所以，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量夾角的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力與化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于向量表示中線向量，進(jìn)而根據(jù)向量模的計(jì)算公式計(jì)算.22．（1）；（2）.【分析】（1）先求出，利用數(shù)量積運(yùn)算法則可求得，從而證得結(jié)論；（2）利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求得和，利用模長(zhǎng)相等可求得，根據(jù)角的范圍可確定最終取值.【詳解】（1）由已知得：，則：，因此：，因此，向量與所成的夾角為；（2）由，，可得，，，，，整理可得：，即：，，，即，，因此：，即：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，根據(jù)向量模長(zhǎng)相等關(guān)系求解參數(shù)值的問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠熟練掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.23．（1）；（2），或，.【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解；（2）由模的向量坐標(biāo)運(yùn)算及夾角的向量坐標(biāo)運(yùn)算聯(lián)立方程即可求解.【詳解】