PAGE小題基礎(chǔ)練(三)不等式1．下列命題正確的是()A．若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．若a>b，則a2>b2C．若a>b，c<d，則a－c>b－dD．若a>b，c>d，則ac>bd解析：A項，若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，取a＝1，b＝－1不成立；B項，若a>b，則a2>b2，取a＝0，b＝－1不成立；C項，若a>b，c<d，則a－c>b－d，正確；D項，若a>b，c>d，則ac>bd，取a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2不成立．答案：C2．關(guān)于x的不等式x2＋ax－3<0，解集為(－3，1)，則不等式ax2＋x－3<0的解集為()A．(1，2) B．(－1，2)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))解析：由題，x＝－3，x＝1是方程x2＋ax－3＝0的兩根，可得－3＋1＝－a，即a＝2，所以不等式為2x2＋x－3<0，即(2x＋3)(x－1)<0，所以－eq\f(3,2)<x<1，故選D.答案：D3．若不等式x2－2ax＋a>0，對x∈R恒成立，則關(guān)于t的不等式a2t＋1<at2＋2t－3<1的解為()A．1<t<2 B．－2<t<1C．－2<t<2 D．－3<t<2解析：因為不等式x2－2ax＋a>0，對x∈R恒成立，所以Δ＝4a2－4a<0?0<a<1，那么：關(guān)于t的不等式a2t＋1<at2＋2t－3<1，等價于：2t＋1>t2＋2t－3>0，即：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2<4，,t2＋2t－3>0，))解得：1<t<2，故選A.答案：A4．“關(guān)于x的不等式x2－2ax＋a>0的解集為R”的一個必要不充分條件是()A．0<a<1 B．0<a<eq\f(1,3)C．0≤a≤1 D．a(chǎn)<0或a>eq\f(1,3)解析：因為關(guān)于x的不等式x2－2ax＋a>0的解集為R，所以函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a的圖象始終落在x軸的上方，即Δ＝4a2－4a<0，解得0<a<1，因為要找其必要不充分條件，從而得到(0，1)是對應(yīng)集合的真子集，對比可得C選項滿意條件，故選C.答案：C5．若兩個正實數(shù)x，y滿意eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，則實數(shù)m的取值范圍()A．(－1，4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4，1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：正實數(shù)x，y滿意eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1則x＋eq\f(y,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,4)))＝2＋eq\f(4x,y)＋eq\f(y,4x)≥2＋2eq\r(\f(4x,y)·\f(y,4x))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)y＝4x＝8，x＋eq\f(y,4)取得最小值4.由x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，可得m2－3m>4，解得m>4或m<－1.答案：B6．若關(guān)于x的不等式3－|x－a|>x2至少有一個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(13,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,4)，\f(13,4)))C．(－3，3) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,4)，3))解析：關(guān)于x的不等式3－|x－a|>x2等價于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x－a|<3－x2，,3－x2>0，))若不等式至少有一個實數(shù)解，則函數(shù)y＝3－x2，x∈(－eq\r(3)，eq\r(3))＝|x－a|的圖象，如下圖所示當(dāng)y＝|x－a|的圖象右邊部分與y＝3－x2相切時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－a，,y＝3－x2，))有唯一解，即x2＋x－a－3＝0有唯一解，則Δ＝1－4(－a－3)＝0，解得a＝－eq\f(13,4).當(dāng)y＝|x－a|的圖象左邊部分過(0，3)時，求得a＝3，則實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,4)，3))，故選D.答案：D7．若log2x＋log4y＝1，則x2＋y的最小值為()A．2 B．2eq\r(3)C．4 D．2eq\r(2)解析：因為log2x＋log4y＝log4x2＋log4y＝log4(x2y)＝1，所以x2y＝4(x>0，y>0)，則x2＋y≥2eq\r(x2y)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝y(tǒng)＝2時，等號成立，故x2＋y的最小值為4.答案：C8．(多選題)若a<b<0，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)2<b2 B．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．1<2a<2b D．a(chǎn)＋b<ab解析：因為y＝x2在(－∞，0)為減函數(shù)，故當(dāng)a<b<0時，有a2>b2，故A不正確；因為y＝2x在R為增函數(shù)，故當(dāng)a<b<0時，有2a<2b<1，故C錯誤；eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)，因為a<b<0，故ab>0，b－a>0，所以eq\f(b－a,ab)>0即eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故B正確．因為a<b<0，故ab>0，b＋a<0，所以a＋b<ab，故D正確．答案：BD9．?x≥0，keq\r(1＋x)≥1＋eq\r(x)恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是()A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)C．[eq\r(2)，＋∞) D．[2，＋∞)解析：因為x≥0，所以eq\r(1＋x)>0，所以不等式化簡為k≥eq\f(1＋\r(x),\r(1＋x))，設(shè)u＝eq\f(1＋\r(x),\r(1＋x))，x≥0，u>0，則u2＝eq\f(1＋x＋2\r(x),1＋x)＝1＋eq\f(2\r(x),1＋x)，又x≥0，1＋x≥2eq\r(x)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，所以u2＝1＋eq\f(2\r(x),1＋x)≤1＋eq\f(1＋x,1＋x)＝2，即0<u≤eq\r(2)，所以k≥eq\r(2)，故選C.答案：C10．當(dāng)0<x<eq\f(π,2)時，函數(shù)f(x)＝eq\f(1＋cos2x＋8sin2x,sin2x)的最小值為()A．2 B．2eq\r(3)C．4 D．4eq\r(3)解析：因為0<x<eq\f(π,2)，所以tanx>0，f(x)＝eq\f(1＋cos2x＋8sin2x,sin2x)＝eq\f(2cos2x＋8sin2x,2sinxcosx)＝eq\f(2＋8tan2x,2tanx)＝eq\f(1,tanx)＋4tanx≥2eq\r(\f(1,tanx)×4tanx)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)tanx＝eq\f(1,2)時取等號，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(1＋cos2x＋8sin2x,sin2x)的最小值為4，選C.答案：C11．(多選題)已知a>0，b>0，給出下列四個不等式，其中正確的不等式為()A．a(chǎn)＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2) B．(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4C．a(chǎn)＋eq\f(1,a＋4)≥－2 D．eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b解析：對A，因為a>0，b>0，所以a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(ab)＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2\r(ab)×\f(1,\r(ab)))＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b，,2\r(ab)＝\f(1,\r(ab))，))即a＝b＝eq\f(\r(2),2)時，等號成立．故A正確；＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b時等號成立.故B正確；對C，因為a>0，所以a＋eq\f(1,a＋4)>0≥－2，故C正確；＝(a－b)2(a2＋ab＋b2)≥0，所以(a2＋b2)2≥ab(a＋b)2，所以eq\f(（a2＋b2）2,ab)≥(a＋b)2，所以eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b.故D正確．答案：ABCD12．(多選題)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x)－lnx，若f(x)在x＝x1和x＝x2(x1≠x2)處切線平行，則()A．eq\f(1,\r(x1))＋eq\f(1,\r(x2))＝eq\f(1,2) B．x1x2<128C．x1＋x2<32 D．xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)>512解析：由題意知f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))－eq\f(1,x)(x>0)，因為f(x)在x＝x1和x＝x2(x1≠x2)處切線平行，所以f′(x1)＝f′(x2)，即eq\f(1,2\r(x1))－eq\f(1,x1)＝eq\f(1,2\r(x2))－eq\f(1,x2)，化簡得eq\f(1,\r(x1))＋eq\f(1,\r(x2))＝eq\f(1,2)，A正確；由基本不等式及x1≠x2，可得eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(x1))＋eq\f(1,\r(x2))>2eq\r(\f(1,\r(x1x2)))，即x1x2>256，B錯誤；x1＋x2>2eq\r(x1x2)>32，C錯誤；xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)>2x1x2>512，D正確．答案：AD13．不等式eq\f(x－2,x－1)≥2的解集是________．解析：原不等式可化為eq\f(x－2,x－1)－2≥0即eq\f(x,x－1)≤0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x－1）≤0，,x－1≠0，))故0≤x<1，所以原不等式的解集為[0，1)．答案：[0，1)14．已知x，y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy，則M與N的大小關(guān)系為________．解析：M－N＝x2＋y2＋1－(x＋y＋xy)＝eq\f(1,2)[(x2＋y2－2xy)＋(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)]＝eq\f(1,2)[(x－y)2＋(x－1)2＋(y－1)2]≥0，即M≥N.答案：M≥N15．已知a>b>0，則a2＋eq\f(64,b（a－b）)的最小值為__________.解析：a2＋eq\f(64,b（a－b）)≥a2＋eq\f(64,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋（a－b）