Page25河南省豫北名校2024年高三數(shù)學(xué)模擬考試理科考生留意：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘．2．請將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，且，則（）A.-1 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)一元二次不等式的解法求出集合，再利用一元一次不等式的性質(zhì)求出集合，然后利用交集的運算性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】因為集合，集合，又因為，所以，解得：，故選：.2.若，則（）A. B.5 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)運算，復(fù)數(shù)的模計算即可解決.【詳解】由題知，，故選：B3.已知向量，若，則（）A. B.2 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)平面對量的共線定理可知，存在實數(shù)使得，再依據(jù)平面對量的坐標運算即可計算得出結(jié)果.【詳解】由，且都是非零向量，可知存在實數(shù)使得，即滿意所以，得故選：C.4.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)選取特別值可解除AB，利用偶函數(shù)的定義可以解除C，依據(jù)奇函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)推斷D.【詳解】對于A選項，因為的定義域為，但，，故，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，不符合條件，A錯誤；對于B選項，函數(shù)的定義域為，，，，函數(shù)在不是增函數(shù)，不符合條件，B錯誤；對于C選項，函數(shù)的定義域為，，函數(shù)為偶函數(shù)，不符合條件，C錯誤；D選項，因為函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，將函數(shù)式變?yōu)椋驗楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，且，所以隨著增大，函數(shù)的函數(shù)值也增大，即是單調(diào)遞增函數(shù)，符合條件.故選：D.5.已知某圓臺的上底面和下底面的面積分別為、，高為，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用臺體的體積公式可求得該圓臺的體積.【詳解】由題意可知，該圓臺的體積為.故選：C.6.的綻開式中常數(shù)項為（）A.-160 B.60 C.240 D.-192【答案】B【解析】【分析】由題意可得要得的綻開式中常數(shù)，只需求出的展式中項，依據(jù)二項定理求出出的展式中項即可得答案.【詳解】解：因為的展式為:，要得的綻開式中常數(shù)，只需求出的展式中項即可.所以令，解得，所以的展式中項的系數(shù)為，所以的綻開式中常數(shù)項為60.故選：B.7.我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何？”其大意是：現(xiàn)有一位擅長步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值.關(guān)于該問題，下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天共行走了九百一十里 D.此人前八天共行走了一千零八十里【答案】A【解析】【分析】設(shè)此人第天走里，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，由題意可得出關(guān)于、方程組，解出的值，可推斷A選項；利用等差數(shù)列的通項公式可推斷B選項；利用等差數(shù)列的求和公式可推斷CD選項.【詳解】設(shè)此人第天走里，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，由題意可得，解得，A錯；，B對；，C對；，D對.故選：A.8.已知函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)的圖象重合，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意利用三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律求出平移之后的解析式，令其等于，利用誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的周期性求出的值，即可得的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可求解.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后可得，因為所得的圖象與的圖象重合，所以，可得：，所以，因為，所以，，所以，令，解得，即的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是平移之后的圖象與圖象重合，須要將兩個解析式化為同名的，求出再利用整體代入的方法求單調(diào)區(qū)間.9.若P是一個質(zhì)數(shù)，則像這樣的正整數(shù)被稱為梅森數(shù)．從50以內(nèi)的全部質(zhì)數(shù)中任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)都為梅森數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】找出50以內(nèi)的全部質(zhì)數(shù)和梅森數(shù)，利用組合數(shù)公式和古典概型概率計算公式可得答案.【詳解】50以內(nèi)的全部質(zhì)數(shù)為共15個，

梅森數(shù)有，，三個，從50以內(nèi)的全部質(zhì)數(shù)中任取兩個數(shù)有種狀況，兩個數(shù)都為梅森數(shù)有種狀況，所以兩個數(shù)都為梅森數(shù)的概率為.故選：A.10.已知拋物線的焦點為F，動點M在C上，圓M的半徑為1，過點F的直線與圓M相切于點N，則的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】由題作圖，由圖可得，依據(jù)拋物線定義可得等于點到準線的距離，依據(jù)圖形可得最小值狀況，從而可得的最小值.【詳解】因為拋物線，所以焦點坐標為，如下圖所示：連接，過作垂直準線于，則在直角中，，所以，由拋物線的定義得：，則由圖可得的最小值即拋物線頂點到準線的距離，即，所以.故選：D.11.已知數(shù)列滿意，則數(shù)列的前40項和（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知，依據(jù)題意由可得：，從而計算，由遞推可得：，結(jié)合可得：，從而計算，將兩組和合并即可完成求解.【詳解】由已知，數(shù)列滿意①，②，②①得；，所以，由遞推可得：③，③②得；，，所以.故選：D.12.已知，若不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】當(dāng)時，不等式明顯成立，當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，可求出的取值范圍.【詳解】由有意義，知，因為，所以當(dāng)時，，，不等式明顯成立，當(dāng)時，不等式恒成立，等價于恒成立，等價于恒成立，設(shè)，因為，所以在上單調(diào)遞增，因，，所以，所以恒成立，等價于，又在上單調(diào)遞增，所以不等式等價于在上恒成立，等價于在上恒成立，等價于在上恒成立，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立等價于.綜上所述：的取值范圍為.故選：B第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.設(shè)x，y滿意約束條件，則的最大值為___________.【答案】5【解析】【分析】作出可行域，數(shù)形結(jié)合求解，【詳解】作出可行域如圖所示，由得，表示斜率為的直線與軸的截距，數(shù)形結(jié)合得，當(dāng)直線過點時取最大值，故答案：514.已知為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性轉(zhuǎn)化后求解，【詳解】由函數(shù)與均在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，而為上奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，等價于，得，故答案為：15.如圖，在梯形ABCD中，，將沿邊AC翻折，使點D翻折到P點，且，則三棱錐外接球的表面積是___________.【答案】【解析】【分析】先證明出面，作出的外心，過作，推斷出三棱錐外接球的球心必在直線上，設(shè)外接球的半徑為，利用球的性質(zhì)列方程求出，即可求出三棱錐外接球的表面積.【詳解】在梯形ABCD中，，所以梯形ABCD為等腰梯形，.因為，所以，所以，即.所以，.因為,所以，所以.又面,面,,所以面.在中，作出其外心如圖所示：所以,.過作，由球性質(zhì)可知，三棱錐外接球的球心必在直線上.設(shè)外接球的半徑為，由球的性質(zhì)可得：，即，解得：.所以三棱錐外接球的表面積為.故答案為：.16.已知橢圓和雙曲線有共同的左、右焦點，M是它們的一個交點，且，記和的離心率分別為，則的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，依據(jù)橢圓及雙曲線的定義可解出，結(jié)合，，依據(jù)余弦定理列式，可得方程，最終依據(jù)基本不等式答案.【詳解】不妨設(shè)M為第一象限的點．如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，則依據(jù)橢圓及雙曲線的定義知，，所以，，設(shè)在中，，由余弦定理得，，化簡得，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即等號成立，所以的最小值為．故答案為：．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求角B；（2）若，求周長的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得，由此求得.（2）利用正弦定理將的周長用角來表示，結(jié)合三角函數(shù)的學(xué)問求得周長的最大值.【小問1詳解】由正弦定理得，由余弦定理得，由于，所以.【小問2詳解】由正弦定理得，，，的周長為，由于，所以,當(dāng),即時,所以周長的最大值為.18.甲、乙兩家公司生產(chǎn)同一種零件，其員工的日工資方案如下：甲公司，底薪140元，另外每生產(chǎn)一個零件的工資為2元；乙公司，無底薪，生產(chǎn)42個零件以內(nèi)（含42個）的員工每個零件4元，超出42個的部分每個5元．假設(shè)同一公司的員工一天生產(chǎn)的零件個數(shù)相同，現(xiàn)從這兩家公司各隨機選取一名員工，并分別記錄其30天生產(chǎn)的零件個數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司一名員工生產(chǎn)零件個數(shù)頻數(shù)表生產(chǎn)零件個數(shù)3839404142天數(shù)59565乙公司一名員工生產(chǎn)零件個數(shù)頻數(shù)表生產(chǎn)零件個數(shù)4041424344天數(shù)39693若將頻率視為概率，回答以下問題：（1）現(xiàn)從記錄甲公司某員工30天生產(chǎn)的零件個數(shù)中隨機抽取3天的個數(shù)，求這3天生產(chǎn)的零件個數(shù)都不高于39的概率；（2）小明準備到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘生產(chǎn)零件的工作，假如僅從日工資的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)學(xué)問為小明做出選擇，并說明理由．【答案】（1）（2）小明應(yīng)當(dāng)選擇到甲公司應(yīng)聘，理由見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)甲公司員工生產(chǎn)零件個數(shù)頻數(shù)表以及古典概型概率公式計算可得結(jié)果；（2）設(shè)甲公司員工的日工資為，則的全部可能取值為：，求出的分布列以及數(shù)學(xué)期望；設(shè)乙公司員工的日工資為，則的全部可能取值為：，求出的分布列以及數(shù)學(xué)期望，比較兩個數(shù)學(xué)期望的大小可作出選擇.【小問1詳解】記“這3天生產(chǎn)的零件個數(shù)都不高于39”為事務(wù)，則.所以這3天生產(chǎn)的零件個數(shù)都不高于39的概率為.【小問2詳解】設(shè)甲公司員工的日工資為，當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為個時，元，當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為個時，元，當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為個時，元，當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為個時，元，當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為個時，元，又，，，，，所以的分布列為：所以元.所以甲公司員工的日工資的平均值為元.設(shè)乙公司員工的日工資為，則當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為個時，元，當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為個時，元，當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為個時，元，當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為個時，元，當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為個時，元，又，，，，，所以的分布列為：所以元.所以乙公司員工的日工資的平均值為元.因為，所以假如僅從日工資的角度考慮的話，小明應(yīng)當(dāng)選擇到甲公司應(yīng)聘.19.在四棱錐中，平面底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中點，，，．（1）證明：平面EAC；（2）求直線EC與平面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）構(gòu)造中位線，通過線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，先求平面PAB的法向量，再求與法向量所成角的余弦值，再得到結(jié)果.【小問1詳解】如圖1，連接，設(shè)與交于點，連接.因為底面ABCD是菱形，所以為的中點，又E是PD的中點，所以，又平面EAC，平面EAC，所以平面EAC；【小問2詳解】如圖2，取的中點.在中，，，為的中點，所以，所以.因為平面底面ABCD，平面底面ABCD，所以底面ABCD，又底面ABCD，所以.在菱形ABCD中，，，所以△與△是等邊三角形，所以，，.以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，則，，.設(shè)為平面的一個法向量，則，即，令，則，則..所以直線EC與平面PAB所成角的正弦值．20.已知雙曲線的右焦點為，且點在雙曲線C上.（1）求雙曲線C的方程；（2）過點F的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點，在x軸上是否存在不與F重合的點P，使得點F到直線PA，PB的距離始終相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，，理由見解析【解析】【分析】（1）首先得，再將點的坐標代入雙曲線方程，聯(lián)立方程求解，即可求雙曲線方程；（2）假設(shè)存在點，據(jù)題意設(shè)，聯(lián)立方程得到，，再由點到直線的距離相等可得，由此代入式子即可求得點坐標，再考慮斜率不存在的狀況即可【小問1詳解】由題意得，，所以，所以，，所以雙曲線C的標準方程為；【小問2詳解】假設(shè)存，設(shè)，，由題意知，直線斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，消去，得，則，，且，，因為使得點F到直線PA，PB的距離相等，所以PF是的角平分線，則，即，則，整理得，故，即，因為，所以，此時；當(dāng)直線的斜率不存在時，依據(jù)拋物線的對稱性，易得也能讓點F到直線PA，PB的距離相等；綜上所述，故存在滿意題意21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，證明：對隨意的，都有；（2）證明：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】證明，所以，求函數(shù)即可.依據(jù)原題可以轉(zhuǎn)化證明，也就是證明結(jié)合第一問可得.【小問1詳解】設(shè)函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，即又因為，因為，所以，即在恒成立，所以，得證.【小問2詳解】，而，欲證即證，也就是證對即可.即證，即證，視察可知與有關(guān)系，由(1)知時對恒成立即，故得證畢.（二）選考題：共10分．請考生從第22，23兩題中任選一題作答．假如多做，