不等式與不等關(guān)系

一、單選題

1.(2024?全國1卷)已知函數(shù)為/*)的定義域為R,/(x)>/(x-l)+/(x-2),且當(dāng)x<3時

〃x)=x,則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

c./(10)<1000D./(20)<10000

2.(2024?全國1卷)已知函數(shù)為〃X)」丁:在R上單調(diào)遞增，則。取值的

[e+ln(x+l),x>0

范圍是()

A.(-oo,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

3.(2024?全國2卷)已知命題p：VXGR,|X+1|>1；命題g3x>0,/=、，貝ij()

A.p和q都是真命題B.F和q都是真命題

c.p和「4都是真命題D.r7和都是真命題

4.(2024?全國2卷)設(shè)函數(shù)/(x)=(x+a)ln(x+6),若/(x)20,則/+〃的最小值為()

,111

A.一B.—C.-D.1

842

4x-3歹一320

5.(2024?全國甲卷文)若實數(shù)'J滿足約束條件卜-2y-2?0,貝”=x-5y的最小值為

2x+6y-9<0

()

A.5B.gC.—2D.—

22

6.(2024?北京)已知集合屈=,TV={x|-1<x<3},則()

A.{x|-4<x<3}B.{x|-l<x<l!

C.{0,1,2}D.{x|-l<x<4}

7.(2024?北京)記水的質(zhì)量為d=》，并且d越大，水質(zhì)量越好,若S不變，且4=2.1,

Inn

%=2.2,則々與〃2的關(guān)系為()

A.nx<n2

1

B.勺〉%

C.若S<1,則若S>1,則勺〉%；

D.若S<1,則勺>%；若S>1,則勺<〃2；

8.（2024?北京）已知（尤"J,（乙，%）是函數(shù)>=2、圖象上不同的兩點，則下列正確的是（）

A.log,五匹〉山B.log22i±A<^

C.log"；也>+xD.log%<x+x

22212

03

9.（2024?天津）若。=4.2弋/,=4.2,c=log420.2,則％b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

二、填空題

10.（2024?上海）已矢口xeR,貝（］不等式/一2x-3<0的解集為.

三、解答題

11.（2024?全國甲卷文）已知函數(shù)/（x）=a（x—l）-lnx+l.

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若時，證明：當(dāng)x>l時，/（x）<e-恒成立.

12.（2024?全國甲卷理）已知函數(shù)〃x）=（l-ax）ln（l+x）-K.

⑴當(dāng)a=-2時，求的極值；

（2）當(dāng)尤20時，/（x）20恒成立，求a的取值范圍.

2

參考答案：

1.B

【分析】代入得到〃1)=1J(2)=2,再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷

【解析】因為當(dāng)x<3時〃x)=x,所以/⑴=1,〃2)=2,

又因為/(x)>/(xT)+〃x-2),

則/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(11)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知/'(20)>1000,則B正確；

且無證據(jù)表明ACD一定正確.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用/⑴=1,〃2)=2,再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)

/(x)>/(x-l)+/(^-2),代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.

2.B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【解析】因為13在R上單調(diào)遞增，且北0時，f(x)=e'+ln(x+l)單調(diào)遞增，

――^—>0

則需滿足2x(-1),解得一IV.40,

-a<e°+lnl

即。的范圍是[TO].

故選：B.

3.B

【分析】對于兩個命題而言，可分別取工=-1、x=l,再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即

可得解.

【解析】對于夕而言，取尸-1,則有卜+1|=0<1,故夕是假命題，「夕是真命題，

對于9而言，取X=l,則有％3=]3=[=X，故鄉(xiāng)是真命題，[9是假命題，

綜上，r7和9都是真命題.

3

故選：B.

4.C

【分析】解法一：由題意可知：“刈的定義域為(-a+e),分類討論-。與-6,1-b的大小關(guān)

系，結(jié)合符號分析判斷，即可得6=a+1,代入可得最值；解法二：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分

析ln(x+6)的符號，進而可得x+a的符號，即可得b=a+l,代入可得最值.

【解析】解法一：由題意可知：的定義域為(-4+e),

令x+a=0解得％=；令ln(x+6)=0角軍得x=l—6；

若一aV—b,當(dāng)—時，可知x+a>0,ln(x+b)<0,

此時/(幻<0,不合題意;

若一6<—。<1一6,當(dāng)x￡(—a,l—b)時，可知X+Q>0,ln(x+Z))<0,

此時/(x)v0,不合題意;

若一4二1一6,當(dāng)(一"1—Z?)時，可知x+〃<0,ln(x+b)<0,此時/(x)>0；

當(dāng)不￡[1一仇+8)時，可知x+Q〉0,ln(x+6)20,止匕時/(x)20；

可知若_“=1一6,符合題意；

若一。>1一6,當(dāng)x￡(l—b,—Q)時，可知x+Q(0,ln(x+b>0,

此時/(x)<0,不合題意；

綜上所述：一。二1一6,即6=0+1,

貝IJQ2+62=。2+(。+])2=21q+J_]+1>1,當(dāng)且僅當(dāng)〃=一’,6=，時，等號成立，

v7{2J2222

所以/+〃的最小值為g；

解法二：由題意可知：/(%)的定義域為(-4+8),

令X+Q=0解得％=—。；令ln(x+6)=0解得x=l—6；

則當(dāng)x￡(—b,l—b)時，ln(x+Z?)<0,故％+〃W0,所以1-b+aWO；

XE(1—仇+8)時，ln(x+/?)>0,故X+QNO,所以1—6+Q20；

故1-6+〃=0,則/+/=/+(a+])2=2[4++—>—,

4

當(dāng)且僅當(dāng)。=-1,6=］時，等號成立，

22

所以a2+〃的最小值為

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：分別求x+a=o、ln(x+b)=o的根，以根和函數(shù)定義域為臨界，比較

大小分類討論，結(jié)合符號性分析判斷.

5.D

【分析】畫出可行域后，利用2的幾何意義計算即可得.

4x-3y-3>0

【解析】實數(shù)x，y滿足x-2y-2Vo,作出可行域如圖:

2%+6y一9<0

由z=x-5y可得y=卜_卜,

即z的幾何意義為y=的截距的一：,

則該直線截距取最大值時，2有最小值，

此時直線yugx-gz過點A,

4x-3y-3=0

聯(lián)立

2x+6y-9=0

37

貝1Jz向nMg—Sxl：一,

故選：D.

6.A

【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.

【解析】由題意得MDN=(-4,3),

故選：A.

7.C

5

s-i

【分析】根據(jù)題意分析可得,討論s與1的大小關(guān)系，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析

22

n2=e

判斷

7S—I。1

4=-------2.1S-1

In=尹

【解析】由題意可得，解得<

5-1

4="=2.2=聲

Inn2

5,—1S—1_5-15-1

1rZPInn

若S>1,貝可得e^T〉e三，即〃1>%；

2.12.2c

C_1C_1

若S=l,則萬7=萬了二0'可得〃L"=1；

1

若S<1,貝可得e*<e雪，即〃1<"2；

2.12.2cy

結(jié)合選項可知C正確，ABD錯誤;

故選：C.

8.A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即

可.

【解析】由題意不妨設(shè)無1<工2，因為函數(shù)了=2才是增函數(shù)，所以0<2*<2"2,即

22

對于選項AB：可得3十二>"-2巧=2，即>0,

22

國+%2.

根據(jù)函數(shù)y=log?x是增函數(shù)，所以10反匕產(chǎn)〉1。&2丁=三生，故A正確，B錯誤;

對于選項C：例如玉=0,9=1，則必=L%=2,

可得log?七匹=log?|e(0,1),gplog2^±A<l=x1+x2,故C錯誤；

對于選項D：例如%=-1,%=-2,貝ij%=；,%=；,

可得log?我妥=log2]=log”-3e(-2,T),即log?看上>一3=%+/,故D錯誤，

故選：A.

9.B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.

【解析】因為>=4.2、在R上遞增，且一0.3<0<0.3,

6

所以0<4.2《3<4.2°<4.2°3,

所以0<4.243<1<4,2°3,即0<.<1<6,

因為y=log42X在(0,+co)上遞增，且0<0.2<1,

所以loggOZvlogapl=。，即c<0,

所以6>a>c,

故選：B

10.{尤|-l<x<3}

【分析】求出方程一一2》-3=0的解后可求不等式的解集.

【解析】方程x2-2x-3=0的解為x=-l或x=3,

故不等式/一2x-3<0的解集為{劃-1(尤<3},

故答案為：{x|-l<x<3}.

11.(1)見解析

⑵見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性;

(2)先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)x>l時，e，T-2x+l+lnx>0即可.

【解析】(1)〃x)定義域為(0,+功，f\x)=a--=—

XX

z/Y—1

當(dāng)aWO時，/'(%)=——<0,故在(0,+8)上單調(diào)遞減；

x

當(dāng)a>0時，X時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe/J時，/'(x)<0,/(X)單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)aVO時，/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

Q>0時，/(%)在［―,+勿］上單調(diào)遞增，在［。，一)上單調(diào)遞減.

(2)a<2,且x>l時，ex-1-/(%)=Qx~l-a(^x-1)+Inx-1>ex-1-2x+1+Inx,

令g(x)---2x+1+Inx(x>1),下證g(%)>0即可.

g'(x)=e、T-2+L再令從x)=g'(x),貝I]h'(x)=e1-4，

XX

7

顯然”(x)在(1,+8)上遞增,貝I]〃(x)>/⑴=e°-1=0,

即g'(x)=Mx)在(1,+8)上遞增,

故g'(x)>g,(l)=e°-2+1=0,即g(x)在(1,+⑹上單調(diào)遞增,

故8。)>86=6°-2+1+山1=0,問題得證

12.(1)極小值為0,無極大值.

1

(2)a<--

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點可求函數(shù)的極值.

(2)求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就--<a<0,。上0分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.

22

【解析】(1)當(dāng)〃=-2時,f(x)=(1+2x)ln(l+x)—x,

故/(x)=21n(l+x)+H^-l=21n(l+x)-一—+1,

1+x1+x

因為>=2111(1+%)/=-」一+1在(一1,+8)上為增函數(shù)，

1+x

故/'(