第一章集合與常用邏輯用語、不等式

1.3.1不等式的性質(zhì)與解法(題型戰(zhàn)法)

知識(shí)梳理

一不等式及其性質(zhì)

1.比較實(shí)數(shù)大小

(1)如果Q—。是正數(shù)，那么匕；如果。一匕等于零，那么如果。一匕是負(fù)數(shù)，那么。<b,反過

來也對(duì).

(2)符號(hào)表示：a-b>O^a>b-a-b=O=Q=b；a-b<0<^a<b.

2.不等式的性質(zhì)

(1)對(duì)稱性：a>b<^>b<a

(2)傳遞性：a>b,b>cna>c

(3)可加性：a>boa+c>b+c

同向可力口性：a>b,c>da+c>b+d

異向可減性：a>b,c<d=>a-c>b-d

(4)可積性：a>b,c>O^ac>bca>b,c<O=>ac<bc

(5)同向正數(shù)可乘性：a>b〉O,c>d>Onac>bd

異向正數(shù)可除性：0小0,0<,々。/

cd

(6)平方法則：〃〉Z?>0n〃〃>加(幾￡N,且〃>1)

(7)開方法則：a>b>0=>Ja>Jb(nGN,Sn>1)

(8)倒數(shù)法則：a>b>0=>—<—；a<b—>—

abab

3.不等式的證明方法

(1)綜合法：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法.

(2)分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成

立的事實(shí)，從而得出要證的命題成立.

(3)反證法：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立?

二不等式的解法

1.不等式的解集與不等式組的解集

（1）不等式的解集：一般地，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.

（2）不等式組的解集：對(duì)于由若干個(gè)不等式聯(lián)立得到的不等式組來說，這些不等式的解集的交集稱為不等

式組的解集.

注意事項(xiàng)：若不等式中所含不等式解集的交集為。時(shí)，則不等式組的解集為0.

2.絕對(duì)值不等式

絕對(duì)值不等式的概念：一般地，含有絕對(duì)值的不等式稱為絕對(duì)值不等式.

3.一元二次不等式的解法：

（1）圖像法

（2）因式分解法

一般地，如果Xy,則不等式（X—x）（X—沙0的解集是（％,X）,不等式（X—x）（x—%）〉0的解集是（—8,

x）U（x/+°°）.

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一不等式的性質(zhì)

典例1.下列說法正確的是（）

A.若a〉b,c>d,則a—2c〉b—2dB.若a,beR,則巳+2之2

ba

C.若a〉b>0,m>n>0,則也LD.若則。2>b2

aa+n

【答案】c

【解析】

【分析】

結(jié)合特殊值、差比較法確定正確選項(xiàng).

【詳解】

A：令a=2,b=1；c—1,d—0,則a—2c=0,b—2d—1,不滿足a—2c>b—2d,故A

錯(cuò)誤；

B：a,b異號(hào)時(shí)，不等式不成立，故B錯(cuò)誤；

C：3—2=3Xb(a①=*嗎--,m>n>0,.-.am-bm>0,即3>2,故C

ana(ari)a(an)aa>b>0ana

正確；

D：令a=l,b=-2,a?>>2不成立，故D錯(cuò)誤.

故選：C

變式1-1.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,bc,d,給定下列命題正確的是()

A.若a>b,則ac〉bcB.若a>b,c>d,則a—c〉b—d

C.若ac2>帥，貝I」。〉。D.若av匕，貝

ab

【答案】c

【解析】

【分析】

利用特殊值判斷A、B、D,根據(jù)不等式的性質(zhì)證明C；

【詳解】

解：對(duì)于A：當(dāng)c=0時(shí)，若a>b貝Uac=be=0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若a—0,b——1,c——1,d——10,滿足a>b,c>d,則a—c=l,b—d=9,a—c>

匕一d不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若ac2>bc2,則c2>0,所以0>b,故C正確；

對(duì)于D：若a=-l,b=1滿足a<b,但是工<L故D錯(cuò)誤；

ab

故選：c

變式1-2.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,下列選項(xiàng)正確的是()

A.若a<b,則|a|<|b|B.若a<b,則

ab

C.若a<b<0,則2<2D.若a<b<0,則a2<ab<Z?2

ab

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可得答案.

【詳解】

解：若a<b,貝ij|a|與g|,工與工均不能比較大小，故A,B不正確；

ab

若a<6<0,貝bb>0,b2<a2,所以絲<絲，即2〈區(qū)，故C正確，D不正確.

ababab

故選：c.

變式1-3.設(shè)v=2a(a—2)+4,N=(a—l)(a—3),則M,N的大小關(guān)系為()

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能確定

【答案】A

【解析】

【分析】

利用作差法比較.

【詳解】

M—N—1a(a—2)+4—(a—l)(tz—3)=a2+1>0,

故選：A.

變式1-4.若為=2x2—2x+l,y2=x2—Ax—1,則為與為的大小關(guān)系是()

A.yt>y2B.yt=y2

C.y<y2D.隨x值變化而變化

【答案】A

【解析】

【分析】

采用作差法，判斷差的正負(fù)，從而可判斷匕與巳的大小關(guān)系.

【詳解】

2-2-—

-72=2%2%+1—(%4x1)=久2+2久+2=(久+1)2+1>0,

故為>y2，

故選：A

題型戰(zhàn)法二解一元二次不等式

典例2.已知集合4={%|1<%<2],B={%|%2-3%4-2<0},則ACB=()

A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<2}C.{x|l<%<2]D.{x|l<x<2}

【答案】D

【解析】

【分析】

先解不等式寫出集合B,再按照交集運(yùn)算求解.

【詳解】

集合A={x|l<x<2],B-{幻久2-3%4-2<0}={x|l<x<2],則ACB={x|l<x<2].

故選：D.

變式2-1.已知集合4=—1>0},B={x|%2-3x-18<0},則AClB=()

A.(1,6)B.(1,3)C.(-3,6)D.(-6,3)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)不等式的解法求得集合4B,再結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】

由集合4={x\2x—1>0}={%|x>工}，

2

又由不等式工2—3久-18<0,即1+3)(%—6)<0,

解得一3<久<6,即8={洌-3<x<6},

所以4B=(x\-<x<6]=fl,6).

2v27

故選：A.

變式2-2.關(guān)于X的不等式第2—ax—6a2Vo(aVO)的解集為()

A.{x\x<2a或％>—3a}B.{x\2a<x<—3a}

C.{x\x<3a或%>2a}D.(x\3a<x<—2d]

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，把原不等式進(jìn)行因式分解，結(jié)合圖象即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意，由％2-a比-6a2<0,得(x-3a)(x+2a)<0,

a<0,3a<x<—2a.

故選：D.

變式2-3.若0<.<1,則不等式(久―a)O-工)<0的解集是()

a

A.(a,1)B.(-co,a)U(1,4-oo)

aa

C.ID.(-00,1)U(a,+a))

\a)a

【答案】A

【解析】

【詳解】

因?yàn)?<a<l,所以a<\則不等式解集為：（a」）.

aa

故選：A.

變式2-4.已知a<0,則關(guān)于x的不等式久2-4以―5a2<0的解集是（）

A.{%|久>5a或無<-a}B.1%|久<5a或久>—a}

C.{x\—a<x<5a]D.{x|5a<x<-d]

【答案】D

【解析】

【分析】

直接根據(jù)一元二次不等式的解法解不等式即可.

【詳解】

解：因?yàn)榉匠蘕2-4a比—5a2=。的解為x=-a或5a,且a<0,

所以不等式*-4ax-5a2<0的解集是{x|5a<%<-a}.

故選：D.

題型戰(zhàn)法三由一元二次不等式的解確定參數(shù)

典例3.不等式a尤2+5%+c>0的解集為{對(duì)工<K<工},則a,c的值為（）

32

A.ci—6,c—1B.a——6,c——1C.a—c—1D.a——1,c——6

【答案】B

【解析】

【分析】

由題知方程。久2+5尤+C=0的兩根為％=工和尤=1,進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.

23

【詳解】

解：因?yàn)椴坏仁揭?+5x+c>0的解集為｛制1<x<1｝,

32

所以方程（2久2+5%+C=。的兩根為X=工和久=

23

所以由韋達(dá)定理得：1X1=￡,1+1=-5,即a=-6,c=-l

23a23a

故選：B

變式3-1.不等式"2—b%+2<0的解集為｛久則a,b的值分別為（）

A.3,1B.3,-1C.1,-3D.1,3

【答案】D

【解析】

【分析】

利用一元二次不等式的解法求解.

【詳解】

因?yàn)椴坏仁絘比2-bx+2<0的解集為｛幻1<x<2],

a>0

b—Q

所以｛二3,

2=2

a

解得｛二，

故選：D

變式32關(guān)于x的一元二次不等式a久2+以+1>0的解集為｛久|—1<久<?,則必的值為（）

3

A.3B.2C.1D.6

【答案】D

【解析】

【分析】

由a久2+bx+1>0的解集為"|一1<%<1,可知a<0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出a,b的值,

即可求得ab的值.

【詳解】

因?yàn)殛P(guān)于%的一元二次不等式a%2+bx+l>0的解集為一1<%<工｝,

則a<0,一1,工是方程a%2+bx+l=0的根.

3

由根與系數(shù)的關(guān)系，得一2=-1+2J=-lxZ,

a3a3

解得a=—3,b=-2,故ab=6.

故選：D.

變式3-3.若關(guān)于x的不等式+（a+l）x+ab>0的解集為｛x[x豐1）,則ab的值為（）

A.1B.2C.3D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系列出滿足的條件，解得答案.

【詳解】

,4=（a4-1）2—4ab=0

由題意知｛_a+i_]，解得ab=1，

2

故選：A.

變式3-4.已知關(guān)于%的不等式/一￡1%一6<0的解集是（_2,3）,則a+匕的值是（）

A.-5B.5C.-7D.7

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可得-ax-b=0的根為-2,3,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程組可求得結(jié)果

【詳解】

因?yàn)殛P(guān)于x的不等式％2—a%-匕<0的解集是（_2,3）,

所以方程》2—ax—b=0的根為一2,3,

所以｛二■;二，

所以a+b=7,

故選：D

題型戰(zhàn)法四一元二次方程根的分布問題

典例4.已知°：a<m(其中aCR,mGZ),q：關(guān)于x的一元二次方程ax2+2久+1=0有一正

一負(fù)兩個(gè)根.若夕是q的充分不必要條件，則加的最大值為()

A.1B.0C.-1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

由一元二次方程根的分布可得。<0求命題q的參數(shù)a范圍，再由命題間的關(guān)系求m的最值即可.

a

【詳解】

因?yàn)閍x2+2x+1-0有一正一負(fù)兩個(gè)根，

M=22—4a>0

所以｛I<0，解得a<°-

a

因?yàn)?是9的充分不必要條件，

所以機(jī)<0,且meZ,則"2的最大值為-1.

故選：C

變式4-1.已知方程％2+(租-2)久+5-6=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根都大于2,

則實(shí)數(shù)小的取值范圍是()

A.(―5,—4)U(4,+8)B.(-5,+co)

C.(-5,-4)D.(-4,-2)U(4,+oo)

【答案】c

【解析】

【分析】

rJ>o

令/(尤)=/+(m-2)尤+5-根據(jù)二次方程根的分布可得式子，三%>2,計(jì)算即可.

7(2)>0

【詳解】

令/(x)-x2+(m—2)x+5—m

(4〉0f(m-2)2-4x(5-m)>0>4或m<—4

由題可知：(歹>2=[m<-2m<-2

|/(2)>0(4+(m-2)x2+5-m>0(m>-5

則一5<m<—4,即mG(一5,一4)

故選：C

變式4-2.要使關(guān)于光的方程T2+（a2—1）久+a—2=0的一根比1大且另一根比1小，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是（）

A.yi|-1<a<2]B.yx|-2<a<1]

C.ja|a<—2]D.<a|a>1]

【答MBI

【解析】

【分析】

根據(jù)二次方程根的分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

由題意可得1+（a2—l）+a—2=a2+a—2<0,解得—2<a<1.

故選：B.

變式4-3.關(guān)于式的方程*2+（租-2）久+6-租=0的兩根都大于2,則粗的取值范圍是（)

A.（一嗎一2百）U（2代+oo）B.（-6,-275]

C.（_6,—2）U（2V5,+oo）D.（一co,-2）

【答案】B

【解析】

由題意利用一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，求出m的范圍.

【詳解】

解：,/關(guān)于%的方程/+（血-2）尤+6-m=0的兩根都大于2,

令f（久）=久2+（血-2）x+6—m,

A—(m—2)2—4(6—m)>0

可得一叱1>2,

2

/(2)=4+2(m-2)+6-m>0

m>2V5或m<-2A/5

即m<—2，

m>—6

求得-6<m<一2J5,

故選：B.

變式4-4.若方程一％2+ar+4=0的兩實(shí)根中一個(gè)小于t,另一個(gè)大于2,則a的取值范圍是()

A.(0,3)B.[0,3]C.(-3,0)D.(-oo,1)U(3,4-oo)

【答案】A

【解析】

因?yàn)榉匠?+a尤+4=o有兩根，一個(gè)大于2,另一個(gè)小于T，所以

函數(shù)/(無)=-x2+ax+4有兩零點(diǎn)，一個(gè)大于2,另一個(gè)小于t，

根據(jù)二次函數(shù)圖像可得：/(2)>0/(-1)>0,即可求得答案.

【詳解】

因?yàn)榉匠桃?2+a%+4=0有兩根，一個(gè)大于2,另一個(gè)小于_i，所以

函數(shù)/(無)=一無2+a光+4有兩零點(diǎn)，一個(gè)大于2,另一個(gè)小于_1，由二次函數(shù)的圖像可知，

/(2)>0—22+聯(lián)2+4>0

f(一1)〉0'—(—1)2+a,(-1)+4>0

解得:0<a<3

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本考查了方程根與二次函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，由函數(shù)零點(diǎn)范圍求參數(shù)范圍問題，解題關(guān)鍵是掌握零點(diǎn)定

義和二次函數(shù)圖像特征，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

題型戰(zhàn)法五一元二次不等式恒成立問題

典例5.當(dāng)xeR時(shí)，不等式—2比一1—a20恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-oo,-2]B.(—oo,—2)

C.(—oo,0]D.(—00,0)

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意，保證當(dāng)xeR時(shí)，不等式/一2久一1一￡120恒成立，只需/=(―2)2+4(l+a)W0,求

解即可

【詳解】

由題意，當(dāng)xeR時(shí)，不等式/一2久一1一a20恒成立，

故/=(-2)2+4(1+a)<0

解得a<-2

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是-8,-2

故選：A

變式5-1.不等式(a-2)久24-(a-2)%-1<0對(duì)一切xeR恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-2,2)B.(-2,2]

C.(一co,-2)U(2,4-00)D.(一00,—2)U2,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

當(dāng)a-2=0時(shí)，得到不等式-1<0恒成立；當(dāng)a-2H0時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，

即可求解.

【詳解】

由題意,不等式(0-2)方+(a-2)x-l<0對(duì)一切XGR恒成立，

當(dāng)a—2=0時(shí)，即a=2時(shí)，不等式—1<0恒成立，符合題意；

當(dāng)a—2H0時(shí),即a豐2時(shí)，

要使得不等式(0-2冰+("2近-1<0對(duì)一切尤GR恒成立，

則滿足j-(a-2)2+4(a-2)<0,解得一2<a<2,

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-2,2].

故選：B.

變式52對(duì)任意實(shí)數(shù)久，不等式2版2+依-3<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.0<k<24B.-24<k<0

C.0</c<24D./c>24

【答案】B

【解析】

【分析】

討論k=U和kH0兩種情況，并結(jié)合判別式法即可求得答案.

【詳解】

當(dāng)k=Q時(shí)，不等式即為一3<0,不等式恒成立；當(dāng)k中0時(shí)，若不等式恒成立,則{/=渣：4<0

-24<k<0,于是一24<k<0.

故選：B.

變式5-3.已知關(guān)于久的不等式依2-3依+k+2》0對(duì)任意KCR恒成立，則實(shí)數(shù)k取值范圍是

()

A.{k|04k44B.{k|04k41}

C.{kIk40或k>1}D.\k\k<0或k》◎}

【答案】A

【解析】

【分析】

當(dāng)k=0時(shí)不等式恒成立，當(dāng)kHO時(shí)，根據(jù)一元二次不等式恒成立列出不等式組

L1=9上-4k(k+2)W(T解不等式組即可?

【詳解】

當(dāng)k=0時(shí)，不等式依2-3kx+k+2》0可化為220,顯然成立；

當(dāng)kH0時(shí)，要滿足關(guān)于x的不等式Ze*-3kx+k+2>。對(duì)任意％eR恒成立，

只需Ll=9k2-4k(k+2)《(T解得°<卜建

綜上，k的取值范圍是{k|04k4

故選：A

變式5-4.已知命題P：“V%GR,(a+l)%2—2(Q+1)X+320”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

A.-Ka<2B.a>1

C.a<一1D.-1<a<2

【答案】D

【解析】

【分析】

考慮a=-1和aH-1兩種情況，得到/=?a+l)t-I2(a+1)W0，解得答案.

【詳解】

當(dāng)a=-1時(shí)，3>0成立；

當(dāng)aH-l時(shí)，需滿足：/=4(a+1)2-]2(a+1)W0，解得一1<aW2.

綜上所述：—1<a<2.

故選：D.

題型戰(zhàn)法六其他不等式

典例6.(分式不等式)已知集合4=Q<0},集合B=x|^x<5},則4CB=()

x-5

A.(3,5)B.[3,5)C.[4,5)D.(4,5)

【答案】D

【解析】

【分析】

解分式不等式得到4=x|/kx<5],進(jìn)而根據(jù)交集的概念即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)樨?<0,所以4Vx<5,因此4=取<0}=x|4Cx<5},

%—5x—5

因此AClB=%|4<%<5},

故選：D.

變式6-1.(絕對(duì)值不等式)設(shè)久CR,則久一2|4卻是“QW