3.3*

垂徑定理探究一問題1：（1）在?O中有兩條直徑AB與CD，CD平分AB嗎？（2）若把直徑AB向下平移，變成非直徑的弦，弦AB是否一定被直徑CD平分？那么非直徑的弦AB與直徑CD有什么位置關(guān)系時，弦AB被直徑CD平分？OABCDOABCD問題2：如圖，AB是⊙O的一條弦，直徑CD⊥AB，垂足為P.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧呢？說一說你的理由.線段:AP=BP，OC=OD

弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，點A與點B重合，AP與BP重合；AC與BC、AD與BD也分別重合．⌒⌒⌒⌒·OABDPC探究二問題3：如圖，AB是⊙O的一條弦，直徑CD⊥AB，垂足為P.

求證：AP=BP，AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒·OABDPC證明：連接OA、OB，則OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵CD⊥AB，∴AP=BP，⌒⌒AC=BC.∴AD=BD，⌒⌒∠AOD=∠BOD.從而∠AOC=∠BOC.探究三垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.

∵CD是直徑，CD⊥AB∴AP=BP,⌒⌒

AC=BC,·OABCDP幾何書寫：可以是直徑劣弧或優(yōu)弧AD=BD⌒⌒想一想：下列圖形是否滿足垂徑定理的條件？如果不滿足，請說明理由.垂徑定理是不是，因為沒有垂直是不是，因為CD沒有過圓心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂徑定理的幾個基本圖形：垂徑定理·OABCDE（2）由垂徑定理可得AC=BC，

AD

=BD.⌒⌒⌒⌒解：（1）連接AO、BO，則AO=BO又∵AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）∴∠AEO=∠BEO=90°∴CD⊥AB.如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD交AB于點E，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？（2）AC與BC相等嗎？AD與BD相等嗎？為什么？⌒⌒⌒⌒垂徑定理推論·OABCDE如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD交AB于點E，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？（2）AC與BC相等嗎？AD與BD相等嗎？為什么？⌒⌒⌒⌒垂徑定理推論思考：本題中弦AB可以是直徑嗎？若不能，請舉出反例.·OABCD圓的兩條直徑互相平分但不一定垂直.垂徑定理推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧.垂徑定理推論：·OABCDE

∵直徑CD平分弦AB∴

CD⊥AB，⌒⌒

AC=BC,幾何書寫：AD=BD⌒⌒垂徑定理及其推論的應(yīng)用例1

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，已知CD＝12，BE＝2，則⊙O的直徑為(

)A．8

B．10

C．16

D．20D分析：連接OC.根據(jù)垂徑定理得CE＝

CD＝6.在Rt△OEC中，設(shè)OC＝x，由BE＝2，得OE＝x－2，∴(x－2)2＋62＝x2，解得x＝10，即直徑AB＝20.垂徑定理及其推論的應(yīng)用例2

如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD，點O是弧CD的圓心)，其中CD=600m，E為弧CD上的一點，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m，求這段彎路的半徑.●

OCDEF┗解:連接OC.設(shè)這段彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m.根據(jù)勾股定理，得解得R=545.∴這段彎路的半徑約為545m.方法歸納在圓中有關(guān)弦長a，半徑r，弦心距d（圓心到弦的距