人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊第三章圓錐曲線的方程3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、橢圓的定義1.橢圓的定義

2.下列說法正確的是(

)A.到F1(-4,0),F2(4,0)兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓B.到F1(-4,0),F2(4,0)兩點的距離之和為6的點的軌跡是橢圓C.到F1(-4,0),F2(4,0)兩點的距離之和等于12的點的軌跡是橢圓D.到F1(-4,0),F2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓解析:A中,|F1F2|=8,故到F1,F2兩點的距離之和為常數(shù)8的點的軌跡是線段F1F2;B中,到F1,F2兩點的距離之和6小于|F1F2|,故這樣的軌跡不存在;C中,根據(jù)橢圓的定義,知軌跡是橢圓;D中,點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.答案:C二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

2.已知橢圓的焦點坐標(biāo)為(-1,0)和(1,0),點P(2,0)在橢圓上,則橢圓的方程為(

)A合作探究釋疑解惑探究一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別為(-4,0)和(4,0),且橢圓經(jīng)過點(5,0);分析:求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)鍵是確定焦點的位置及a,b的值,若不能確定焦點位置,則要討論焦點在x軸上還是在y軸上.解:(1)∵橢圓的焦點在x軸上,(3)(方法一)①當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時,②當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時,反思感悟

1.利用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟:(1)先確定焦點位置;(2)設(shè)出方程;(3)尋求a,b,c的等量關(guān)系;(4)求a,b的值,代入所設(shè)方程.2.當(dāng)焦點位置不確定時,可設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因為它包括焦點在x軸上(m<n)或焦點在y軸上(m>n)兩類情況,所以可以避免分類討論,從而簡化了運算.【變式訓(xùn)練1】

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)中心在原點,焦點在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過兩點(2,0)和(0,1);解:(1)設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).因為橢圓過(2,0)和(0,1)兩點,(2)(方法一)因為橢圓的焦點在y軸上,(方法二)因為橢圓的焦點在y軸上,(3)(方法一)若橢圓的焦點在x軸上,(方法二)設(shè)橢圓的方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).探究二橢圓的定義及其應(yīng)用在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos

60°,即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①由橢圓的定義得10=|PF1|+|PF2|,將等式兩邊進行完全平方,即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②②-①,得3|PF1|·|PF2|=75,∴|PF1|·|PF2|=25,反思感悟

1.橢圓的定義具有雙向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),則點M的軌跡是橢圓;反之,橢圓上任意一點M到兩焦點的距離之和必為2a.2.橢圓中的焦點三角形,橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1,F2構(gòu)成的△PF1F2,稱為焦點三角形.解關(guān)于橢圓的焦點三角形的問題,通常要利用橢圓的定義,結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識求解.

探究三與橢圓有關(guān)的軌跡方程【例3】

如圖,一動圓過定點A(2,0),且與定圓B:x2+4x+y2-32=0內(nèi)切,求動圓圓心M的軌跡方程.分析:根據(jù)兩圓內(nèi)切的特點,得出|MA|+|MB|=6>|AB|=4,故點M的軌跡是以A,B為焦點的橢圓,進而求出a2,b2即可得點M的軌跡方程.解:設(shè)|MA|=r,圓B的方程化為(x+2)2+y2=36,則B(-2,0).∵圓M與圓B內(nèi)切,∴|MB|=6-r,即|MB|+|MA|=6>|AB|=4.∴點M的軌跡是以A,B為焦點的橢圓.∴2a=6,2c=4.∴b2=a2-c2=9-4=5.解析:設(shè)Q(x,y),P(x0,y0),由點Q是線段OP的中點知x0=2x,y0=2y.反思感悟

利用橢圓定義求動點軌跡方程的三個步驟

【變式訓(xùn)練3】

已知動圓與圓O1:(x+3)2+y2=1外切,與圓O2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切,試求動圓圓心M的軌跡方程.解:由已知,兩定圓的圓心和半徑分別為O1(-3,0),r1=1,O2(3,0),r2=9.設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為R,則由題設(shè)有|MO1|=