點點練10—導數的綜合應用

—基礎小題練透篇

1.若關于％的不等式工3—3X2—9x+22小對任意工￡[—2,2丁恒成立，則機的取值范圍

是()

A.(—8,7]B.(—8,-20]

C.(—8,0]D.[-12,7]

2.設函數加)=gx—lnx(x＞0),則加)()

A.在區(qū)間8，1),(1,e)上均有零點

B.在區(qū)間色，1),(1,e)上均無零點

C.在區(qū)間1)上有零點，在區(qū)間(1,e)上無零點

D.在區(qū)間(1,1)上無零點，在區(qū)間(1,e)上有零點

e

3.已知函數兀1)=》9,g(x)=—(x+lp+a,若三打，x2R＞使得?X2)Wg(xi)成立，則

實數。的取值范圍是()

A.(一：，+8)B.[―1,+°0)

C.[-e,+8)D.-p+8)

4.函數式x)=ef—2/的圖象大致為()

5.[2023?遼寧省沈陽市重點高中檢測]已知函數＞=八尤)在定義域(一|,3)內可導，其圖

象如圖所示.記＞=/(尤)的導函數為＞=/(尤)，則不等式對Xx)W0的解集為()

(31]

A.(一1,-gjU[0,1]U[2,3)

一11「8、

B.[一至，OjU[l,2]噌，3J

C.-1,1U[2,3)

、口「八

D-[(-32'~31)*,43]j心83J

6.若不等式2xlnx2—f+ax—3對xG(0,+8)恒成立，則實數。的取值范圍是()

A.(―0°,0)B.(-8,4]

C.(0,+8)D.[4,+8)

7.[2023?山東省煙臺市高三上學期期中]若函數y(x)=sin2x—2cosx,則八x)的最小值是

8.[2023?河北衡水中學檢測]不等式a無一2a>2x—In無一4(a>0)解集中有且僅有兩個整數,

則實數a的取值范圍是.

二能力小題提升篇

兀71

“2023?黑龍江雙鴨山檢測]a,眸一萬，2，且asina—"sin介0,則下列結論正確的

是()

A.a>PB.a+￡>0

C.a<PD.a2>^2

2.[2023J可南省部分重點高中測試]統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛過程中每小

時的耗油量武升)關于行駛速度x(千米/小時)的解析式可以表示為>=看麗X3~25X+

9(04W120).若甲、乙兩地相距200千米，當從甲地到乙地耗油最少時，汽車勻速行駛的速

度是()

A.70千米/小時B.80千米/小時

C.90千米/小時D.100千米/小時

3.[2023?安徽江淮十校聯考]已知函數式x)=V+2x+sinx,若式a)+/U—2a)>0,則實數

a的取值范圍是()

A.(1,+8)B.(—8,1)

xInx_2x,x>0

4.[2023?湖南省長沙同升湖實驗學校月考]已知函數,3的圖象上有

『+產xWO

且僅有四個不同的點關于直線y=一l的對稱點在y=fcv—1的圖象上，則實數4的取值范圍

是()

A.&1)B.&|)C.$1)D.&2)

5.已知函數兀V)是定義在R上的增函數，?+2VW><0)=1，則不等式In[A尤)+2]

-In3>尤的解集為.

6.[2023?山西省三晉名校聯盟試題]已知函數式x)=xln無+mx+l的零點恰好是於)的極

值點，則相=.

—高考小題重現篇

1.[2019?全國卷叫已知曲線y=aet+xInx在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則

()

A.a=e,b=—\

B.a=e,b=l

C.a=e~l,b=l

D.a=eIb=-l

b

2.［2022?全國甲卷］當x=l時，函數式x)=alnx+《取得最大值一2,則八2)=()

A.l1B.—2C.；D.1

3.［全國卷］設函數/(x)是奇函數4尤)QGR)的導函數，八-1)=0,當x>0時，力㈤一八力

<0,則使得五尤)>0成立的x的取值范圍是()

A.(-8,-1)U(O,1)

B.(-1,0)U(l,+8)

C.(—8,-1)U(-1,0)

D.(0,1)U(1,+oo)

4.［2021?全國乙卷］設aWO,若x=a為函數式x)=a(x—a>(x—6)的極大值點，貝(J()

A.a<bB.a>bC.ab<crD.ab〉心

四經典大題強化篇

“2023?山東濟南一模］已知函數兀c)=ox-ln(x+l).

(1)討論兀0的單調性；

(2)若火龍)》《J—對任意的xe(0,+8)恒成立，求實數。的取值范圍.

3

2.［2023?河南省洛陽市模擬］已知函數式尤)=x+q+21nx—a(aGR)有兩個不同的零點

X\,X2.

(1)求實數〃的取值范圍；

(2)求證：XlX2>l.

點點練10導數的綜合應用

一基礎小題練透篇

1.答案：B

解析：令(x)=￡—33一9x+2,則，(x)=3?—6x—9,

令/(x)=0,得x=—1或3(舍去).

因為廣(-1)=7,/(-2)=0,廣(2)=-20.

所以f(x)的最小值為f(2)=-20,

故mW—20.

2.答案：D

解析：因為/(x),

3x

所以當(0,3)時，f(x)<0,F(x)單調遞減，

而0<一<l<e<3,

e

又/ft)=白+1>0,f(1)=；>0,f(e)=5—KO,

\ej3e33

所以/'(x)在區(qū)間g,I)上無零點，在區(qū)間(1,e)上有零點.

3.答案:D

解析：f'(x)=ex+xex=(1+x)e\當x>—l時，f'(x)>0,函數單調遞增；當

X<—1時，f'(x)<0,函數單調遞減.所以當x=—\時，f(x)取得最小值，/(―1)

=—1.函數g(x)的最大值為a.若三￡,X2^R，使得f(入2)Wg(￡)成立，則有g(x)

max2F(X)min,即22一一.

e

4.答案：A

解析：???F(x)=fQ—x),當x>0時，f'(x)=ef?2x—4x,令/(x)=0,則

2x(e/-2)=0nx=]ln2e(0,1),且2(7In2)=2—21n2>0,?,?當x>0時，f

(x)>0,且只有一個極值點，，排除B,C,D.

5.答案：A

解析：對于不等式x/(x)WO,

當一2<京0時，f'(x)20,則結合圖象，知原不等式的解集為(一5，-gj;

當0Wx<3時，r(x)W0,則結合圖象，知原不等式的解集為[0,l]u[2,3).

綜上，原不等式的解集為(一5，-gjU[o,l]u[2,3).

故選A.

6.答案：B

33

解析：由題意知aW21nx+x+-對(0,+8)恒成立，令g(x)=21nx+x+-,

xx

.,23x~\~2x—3

則g(x)=一+1-2=-------2-----,

xxx

由H(X)=0得x=l或x=—3(舍)，

且(0,1)時，g'(x)<0,(1,+°°)時，g'(x)>0.

因此g(X)min=g(1)=4.所以dW4.

Mg3A/3

7,?套口室，,一.2

解析：???f(x)周期為2兀，.,?只需考慮x￡[0,2兀]的最小值即可，

f'(x)=2cos2x+2sinx=2(1—2sin2jr)+2sinx

=2(1—sinx)(2sinx+1)

則F(x)在［0,2兀］上的單調性如下表：

77r(511黨11K

X027r

(。￥)Tv696/…)

/(])+0一0+

，(力/極大極小

11Ji11Ji3J3?,3J3

f(0)=-2,sin--—-2cos—~J-,因為一沫<一2,

36

所以函數的最小值為

8.答案：(0,2-ln3]

解析：由題意可知，ax—28>2x—Inx—4,設g(x)=2x—Inx—4,hQx)=ax—2a

由/(x)=2—：=在/?，可知g(x)=2x—InX—4在(0,g)上為減函數，在$+°°^

上為增函數.

h(x)=ax—2a的圖象恒過點(2,0),在同一平面直角坐標系中作出g(x),h(x)

的圖象如圖所示.

a>0,

若有且只有兩個整數Xl,X2,使得力(Xi)>g(xi)且力(X2)>g(X2),貝(力(1)〉g(1),

h(3)Wg(3),

5>0,

即<—a>—2,解得0<aW2—In3.

—In3,

二能力小題提升篇

1.答案：D

「兀]

解析：構造函數f(x)=xsinx,則f'(x)=sinx+xcosx,xG0,—時，

導函數/(x)20,fQx)單調遞增；,0)時，導函數尸(x)<0,fQx)單

調遞減.

「。sin。一￡sin￡>0,工。sin。>￡sin￡,又(x)為偶函數，.*.|(7|>||,

：.伊.

2.答案:C

解析：當速度為X千米/小時，汽車從甲地到乙地需行駛四小時，

X

設耗油量為/1(X)升，依題意得

(*)-(162000*25"Sx2001,1800z

八x—810小卜------8(0〈xW120),

X

21800

則F(X)=疏X—.(0CE20).

令/(x)=0,得x=90,

當(0,90)時，f'(x)<0,f>(x)是減函數，

當Xd(90,120)時，f(X)>0,f(x)是增函數.

所以當x=90時，函數f(x)取最小值，

即汽車勻速行駛的速度是90千米/小時時，從甲地到乙地耗油最少.

故選c.

3.答案：B

解析：???函數F(x)的定義域為R,r(-X)=—f(x),???F(x)為奇函數.又尸

(x)=33+2+cos￡>0,/(^)在R上單調遞增，所以廣(Z)>f(2a—1),a>2a~l,

解得水L

4.答案：A

解析：可求得直線尸Ax—1關于直線尸一1的對稱直線為尸腔一1("=-A),

當x>0時，F(x)=xInx—2x,f'(x)=lnx~l,當x=e時，f'(x)=0,則

當(0,e)時，f'(x)<0,f3單調遞減，當(e,+oo)時，f'(x)>0,f

(x)單調遞增；

333

當xWO時，f(x)=x+-x、f'(x)=2x+-,當才=一7，f(x)=0,當x<

33

--時，廣(x)單調遞減，當一i〈水0時，f9單調遞增;

根據題意畫出函數大致圖象，如圖:

31

當y=mx~\與F(x)=殳+-x(xWO)相切時，得A=0,解得m=~-；

y=xInx—2x

當y=mx—\馬fQx)=xInx—2x(x>0)相切時，滿足<y=mx—\

”=lnx-l

，即一，住生

解得x=1,〃=—1,結合圖象可知/￡1,31,1

故選A.

5.答案：(一8,0)

F(x)—f3一2

解析：設g(X)='("+2,則g'(X)

eeX<0,所以函數g

(x)在R上為減函數.又/'(0)=1,所以不等式In"(x)+2]—In3>x等價于In\_g

(x)]>ln[g(0)],所以g(x)>g(0),所以矛<0,故原不等式的解集為(-8,0).

6.答案：一1

解析：根據題意，設xo是F(x)=xInX+EX+1的零點，也是/*(x)的極值點，

因為(x)=lnx+1+以，

f^bln劉+皿￥b+l=O

所以，，解得照=1,m——1.

[In苞+1+/=0

此時F(x)=xInx—x+1,f'(x)=lnx,

當(0,1)時，f'(x)<0,函數廣(x)在(0,1)上單調遞減，當(1,+

8)時，f'(x)>0,函數廣(x)在(1,+°°)上單調遞增，

所以，函數F(x)在牙=1處取得極小值，且F(l)=0,滿足條件.

三高考小題重現篇

1.答案：D

解析：因為/=ae"+lnx+l,所以/L=i=ae+1,所以曲線在點（1,ae）處的切

仿e+l=2,fa=e-1

線方程為P—匏=（匏+1）（x—1）,即尸（非+1）x—1,所以，?解得，

[b=-l,[b=-l.

2.答案：B

oAoy-h

解析：由題意，得f（x）的定義域為（0,+-）,f'（x）=---?又當x

XXX

5<0,5<0,

=1時，fQx）取得最大值一2,所以<f'（1）=0,即<a-b=0,所以a=b=—2,則f'

1/(1)=-2,b=—2

19

—2x+2-2X2+2-故選B

（X）,所以「(2)==2

3.答案：A

f（Y）

解析:令尸（X）=----，因為/Xx）為奇函數，所以戶（x）為偶函數，由于9（x）

xf（X）—F（X）f(X)s

,當x>0時,f'(x)—f(x)<0,所以"x)=丁在(0,

X2X

+8）上單調遞減，根據對稱性，FQx）=------在（一8,0）上單調遞增，又/?（—1）

X

=0,f（1）=0,數形結合可知，使得F（x）>0成立的x的取值范圍是（-8,-1）U

（0,1）.

4.答案：D

解析：若a=b,則/\x）=a（x—a）°為單調函數，無極值點，不符合題意，故

.??/1（x）有x=a和x=Z?兩個不同零點，且在x=a左右附近是不變號，在x=Z?左右附

近是變號的.依題意，x=a為函數F（x）=a（x—a）2Qx—b）的極大值點，，在左

右附近都是小于零的.

當水0時，由x>b,f

由圖可知6<劣水0,故36>/

當a>0時，由x>6時，f（x）>0,畫出廣（x）的圖象如圖所示:

由圖可知6>a,a>0,故a垃J.

綜上所述，a力才成立.

故選D.

四經典大題強化篇

1.解析：(1)f'(x)=a--工=出土『，其中x>—1,

X十1X十1

若aWO,f'(x)<0,此時_f(x)在(一1,+8)上單調遞減；

若a>0,由f'(x)>0得x>~—1,由f'(x)<0得一l〈x〈！—1,

aa

故f(X)在(一1,1)上單調遞減，在1，+8)上單調遞增.

綜上所述，當aWO時，f(X)在(一1,+°°)上單調遞減；

當己〉0時，_f(x)在(一1,——1)上單調遞減，在七一1，+°°j上單調遞增.

(2)由題意得ax+ex—In(x+1)—,20對任意(0,+00)恒成立,

一x十11

]

x

記g(x)=ax+e~—ln(x+1)7Fi(0,+°°),

其中g(0)=0,

g'(X)=a-「一擊1

其中W(0)=a—l；

(x+1)

12(x—1)e+(x+1)

+(x+1)2—(x+1)3=?(x+1)3-

記h(x)=(x—1)e"+(x+1)3,

因

為H(x)=xe，+3(x+1)2>0,xe(0,+<^),

所

乂方(x)在(0,+8)上單調遞增，

所

隊所以

所h(x)>h(0)=0,g"(x)>0,

乂g'(x)在(0,+8)上單調遞增.

a<0,則g(l)=a+e—'一In2—1〈0,不符合題意；

11

若0〈水1,因為g‘(x)=a-e<3—e\

^+1(x+1)

所以g'(—Ina)<a—elna=0,

又因為g'(0)=a—1<0,g'(x)在(0,+°°)上單調遞增,

所以當(0,—Ina)時，g'(x)<0