江西省新八校2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)〃(形,1),貝!|cosa=()

A.逅B.且C.V2D.比

332

2.若拋物線丁=2〃式的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線/一丁=2的右焦點(diǎn)，則機(jī)的值為()

A.4B.-2C.2D.-4

3.己知等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，Sz=4,JLS3=4a2+a,,則=()

A.120B.40C.48D.60

4.從甲隊(duì)60人、乙隊(duì)40人中，按照分層抽樣的方法從兩隊(duì)共抽取10人，進(jìn)行一輪答題.相

關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：甲隊(duì)答對題目的平均數(shù)為I,方差為1；乙隊(duì)答對題目的平均數(shù)為1.5,方

差為0.4,則這10人答對題目的方差為()

A.0.8B.0.675C.0.74D.0.82

5.已知a>l,b>l,且lga=l-21g6,貝Ulog.2+10gz,4的最小值為()

A.10B.9C.91g2D.81g2

6.已知正方體ABC。-A4GA的棱長為4,點(diǎn)/滿足GM=3MC,若在正方形42c2內(nèi)

有一動(dòng)點(diǎn)P滿足3P〃平面AMA,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長為()

A.4B.V17C.5D.472

7.已知定義在R上的函數(shù),⑺滿足/(0)=0"(3元)=4f(x)且/(I一無)+/(x)=2,貝I]/

A-1B-IQtD-I

8.已知cos（14。。一a）=cos（200。+a）+sin（13。。一a）,求tana=（）

A.BR指

IJ.------------C.6D.-73

33

二、多選題

9.設(shè)Z,Z”Z2為復(fù)數(shù)，且Z1WZ2,下列命題中正確的是（）

A.右Z；+2；=0,貝5]Z]=Z2=。

B.若|z|二l,則|z+2i|最大值為3

C.若|z「Z2|=|zi+Z2|,則乎2=。

D.^|z-Z1|=|Z-z2|,貝Ijz在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上

10.已知「.ABC中，AB=1,AC=4,ZBAC=600,AE為/A1C的角平分線，交8c于點(diǎn)瓦。為

AC中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

A.BE=—

5

B.AE=^-

5

C.ABE的面積為走

5

D.P在△AB。的外接圓上，則PB+gp。的最大值為S'

11.若e"一3>alnx-a恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值可以是（）

2e+1

A.0B.e-C.eD./

三、填空題

12.若集合A={2,log2。},B={a,b\,且Aci3={0},則AD6=.

13.已知居，心分別為雙曲線5-[=1（。>0,10）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在雙曲線上且不與頂

ab

點(diǎn)重合，滿足遙

tanNPF=6ta”PFfi,則該雙曲線的離心率為

22

14.球面上的三個(gè)點(diǎn)，每兩個(gè)點(diǎn)之間用大圓劣弧相連接，三弧所圍成的球面部分稱為球面三

角形.半徑為6的球面上有三點(diǎn)A,昆C,且AB=2C=AC=20,則球面三角形ABC的面

積為.

四、解答題

15.如圖，圓臺。。2的軸截面為等腰梯形4ACG，AC=2A4,=2AG=4,8為下底面圓

周上異于A、C的點(diǎn).

試卷第2頁，共4頁

(1)點(diǎn)尸為線段3C的中點(diǎn)，證明：直線PG〃平面AA2；

(2)若四棱錐B-AACC)的體積為3,求直線與平面AAtB夾角的正弦值.

16.若數(shù)列｛%｝滿足條件：存在正整數(shù)%,使得。用+。.=2。"對一切"都成立，

則稱數(shù)列｛4｝為k級等差數(shù)列.

⑴若數(shù)列｛《｝為2級等差數(shù)列，且前四項(xiàng)分別為2,0,2,4,求數(shù)列｛4｝的前2“項(xiàng)和工“；

⑵若2=3〃+sin0〃(O<0<2,且也｝是3級等差數(shù)列，求數(shù)列｛2｝的前3〃項(xiàng)和Q.

17.已知函數(shù)/(x)=尤?一ax+lnx(aeR)

⑴當(dāng)。=3時(shí),求函數(shù)/(X)的極值;

(2)設(shè)函數(shù)/(>)有兩個(gè)極值點(diǎn)吃,馬,且玉>馬，若/(%)〈根恒成立，求機(jī)最小值.

22

18.已知橢圓石：上+工=1,用,用分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，尸是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線尸片

43

交橢圓于另一點(diǎn)A,直線尸后交橢圓于另一點(diǎn)8.

⑴求面積的最大值；

(2)求△尸用耳與AW?面積之比的最大值.

19.在三維空間中，立方體的坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)(4,%，生)表示，其中qe｛0,l｝,i=l,2,3,而

在n維空間中(“22,”eN),以單位長度為邊長的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo)

此)，其中qe｛0,l｝(lViVaieN).現(xiàn)有如下定義：在"維空間中兩點(diǎn)間的曼

哈頓距離為兩點(diǎn)(4％,能,一，。“)與(乙也也，-也)坐標(biāo)差的絕對值之和，即為

|囚一片|+|。2—%+|/一4|++\an~^n\■回答下列問題：

(1)求出n維“立方體”的頂點(diǎn)數(shù)；

(2)在"維“立方體”中任取兩個(gè)不同頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離.

①求X的分布列與期望;

②求X的方差.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.

【詳解】根據(jù)題意r=J（應(yīng)了+F=6,

由三角函數(shù)的定義得cosa='=1e=45.

r石3

故選：A.

2.D

【分析】根據(jù)題意，求出拋物線的準(zhǔn)線方程列式運(yùn)算求得加的值.

【詳解】雙曲線/-y=2的右焦點(diǎn)為（2,0）,所以拋物線的準(zhǔn)線為x=2,

——=2,解得m=—4.

故選：D.

3.B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知條件列出方程求解％、q,驗(yàn)證利用等

比數(shù)列求和公式即可求解.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛七｝為等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比為4,

若4=1,則?！?q,

止匕時(shí)5*3=3%,由已知&=4%+%=5al，即5%=3〃i,

解得%=0,不成立，所以4工1;

因?yàn)槠?4,S3=4出+%，

a.+a.q=4

則有:2A，解得4=3,%=1,

%+4q+a1q=4%4+ax

"I")—11

所以邑=——ru?

1-q1-3

故選：B

4.D

【分析】根據(jù)分層抽樣的均值與方差公式計(jì)算即可.

答案第1頁，共18頁

【詳解】根據(jù)題意，按照分層抽樣的方法從甲隊(duì)中抽取10x急=6人，

40

從乙隊(duì)中抽取10x礪=4人，

這10人答對題目的平均數(shù)為g(6xl+4xL5)=1.2,

所以這10人答對題目的方差為《[6(1+1-1.22)+4(0.4+1.52-1.22)]=0.82.

5.C

【分析】由已知，可設(shè)log.2=m,log”“，利用換底公式表示出坨。=更工，

m

坨6=晝=&駁帶入lga=l-21g6中，得到機(jī)，”的等量關(guān)系，然后利用“1”的代換借助基

nn

本不等式即可求解最值.

【詳解】由已知，令log.2=根=髻，10gz,4=〃=黑，

lg。Igo

所以恒a=毆，電匕=虹=堊，代入lgq=l_21g6得：忠2+送2=1,

mnnmn

因?yàn)閍>l,b>l,

所以loga2+logfc4=(m+n)xl=(m+〃)(也+=51g2+(—Ig2+-lg2)

mnnm

>51g2+2.&^-^^=51g2+41g2=91g2.

Vnm

當(dāng)且僅當(dāng)幽驗(yàn)=小時(shí)，即aiTo：時(shí)等號成立.

nma-D-iu

log02+log%4的最小值為91g2.

故選：C.

6.C

【分析】在棱AA,M上分別取點(diǎn)瓦?，使得=連接

EF,BCi，BF，3E,DF，BM,證明平面BEEC"/平面AMD,即可得點(diǎn)尸的軌跡為線段，

再計(jì)算長度即可.

【詳解】

答案第2頁，共18頁

如圖，在棱上分別取點(diǎn)2歹，使得AE=；A2，4尸=；4人,

連接EF,BQ,BFgE,DtF,BM,

因?yàn)锳F=；AA,

所以，EF//ADlt

因?yàn)樗鵘平面AMD,,ARu平面AMD,,

所以EF〃平面AMR,

因?yàn)镚M=3MC,所以CC；=4CN,

又AF=；AA,正方體ABCO-ABCi，的棱長為4,

所以，AF=C{M=3,CM=AlF=l,

在棱2馬上取點(diǎn)G，使得Bfi=；與2,

則bG〃AB且FG=鉆，又AB//CO且AB=CQ,

所以FG//CQ且，所以四邊形尸GGR是平行四邊形，

所以FDJ/Gq,

又BG//MQ且BG=MC,,則四邊形GBMC,是平行四邊形，

所以GG//BM,所以尸

因?yàn)?BC,ZBCM=NFAR,

所以BCM=D{A{F,則DtF=BM,

所以四邊形引7〃〃是平行四邊形，所以

因?yàn)?方.平面AMDl,D】Mu平面AMDl,

答案第3頁，共18頁

所以，BF〃平面AMR,

因?yàn)锽FcEF=F,BF,EFu平面BFEG,

所以平面BFECJI平面AMDlt

因?yàn)槠矫鍮FEC,平面44GA=GE,

所以，在正方形AgGR內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)尸滿足BP//平面AMR時(shí)，

點(diǎn)尸的軌跡為線段GE,

因?yàn)镚E=西盧；+ED；=%+32=5,

所以，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長為5.

故選：C.

7.A

【分析】根據(jù)題意，可得〃X)關(guān)于對稱，進(jìn)一步求得〃1)=2,結(jié)合條件求得

可求得/弓]

【詳解】由"1—x)+/(x)=2,可知"X)關(guān)于gj對稱，又〃0)=。，貝廳⑴=2,

又〃3x)=4〃x),則〃x)=；〃3x),

4d』=2-/日=2一丁|.

故選：A.

8.D

【分析】由誘導(dǎo)公式將條件式化簡為-cos(4(r+?)=-cos(2(T+a)+cos(40。-e),再利用

兩角和與差公式化簡運(yùn)算得解.

【詳解】根據(jù)題意，cos[180°-(40°+a)]=cos[180°+(20°+a)]+sin[90°+(40°-(z)],

由誘導(dǎo)公式，可得-cos(40。+(z)=-cos(20。+a)+cos(40。-?),

所以cosacos20°-2cosacos40°=sin20°sina,

皿Icos20°-2cos40°cos20°-2cos(60°-20°)

貝1Jtana=-----------------------=---------------------------------

sin20°sin20°

答案第4頁，共18頁

_-73sin20°_r-

sin20°

故選：D.

9.BD

【分析】通過舉反例判斷A和C；由復(fù)數(shù)的幾何意義判斷B和D.

【詳解】對于A,令Z]=i,Z2=-i,滿足Z；+Z；=0,但Z]=Z2=。不成立，故A錯(cuò)誤；

對于B,設(shè)2=4+為，a,beR,

因?yàn)閨2|=1,則復(fù)數(shù)Z的對應(yīng)點(diǎn)（4,6）在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，|z+2i|的幾何意義

為（a⑼到（0,-2）的距離，其最大值為2+1=3,故B正確；

對于C,令Z]=l,Z2=i,貝!]憶]—=|1—i|=V5,|z[+z2|=|1+i|=,\/2,

滿足|z「Z2|=|zi+Z2|,但空2=1*0,故C錯(cuò)誤；

對于D,因?yàn)閆[WZ2，設(shè)40對應(yīng)的點(diǎn)為4,8,

若|z-zj=|z-zz|,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)到A和3的距離相等，即z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)在線

段A5的垂直平分線上，所以z在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上，故D正確；

故選：BD.

10.ACD

【分析】對每一個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，由余弦定理求出8c=jm,再由角平分線定理可知

BE=,利用三角形面積公式求出S.E=LxAExlxsin'=走，再設(shè)/尸皮）=6,將

5ABE265

依+gp。表示為9的三角函數(shù)求最值即可判斷.

【詳解】在ABC中，由余弦定理得叱=1+4?-2xlx4xcosg=13,BC=g,

由角平分線定理得：BE:EC=BA:AC=l:4,BE:BC=l:5,BE=~BC=—,所以A正確；

55

由S4防+SACE=$ABC得,xAExlxsinP+'xAEx4xsin'=』xlx4xsinC,解得AE=,

2626235

所以B錯(cuò)誤；

S=—xAExlxsin—=—,所以C正確；

.ABE265

在△■BD尸中，BD=.1+22-2x2xcos-=s/3,ZBPD=~,

V33

答案第5頁，共18頁

cz,TT._P__D_BPBD-/>

設(shè)公BD=e,則/尸。5=k—e,由正弦定理得：sine".工冗°、一.兀一百一'

3sin(------0)sin-

332

/.PB+—PD=2sin(--0)+sin0=A/3COS0+2sin0=y/lsin(0+(p),其中tan°=^^,所以D

232

正確.

故選：ACD.

11.ABD

【分析】分類討論a的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值的關(guān)系即可求

解.

【詳解】由題知，x>0,

①當(dāng)a=0時(shí)，同>0在(0,+e)恒成立，

②當(dāng)a<0時(shí)，由/-q>0,則e*-g>alnx-a,即e，>J'+lnx-l］恒成立，

XX〈XJ

設(shè)/(尤)=—I-In%—1,x>0,貝!J/'(無)=—齊—=—1'令/'(X)=。得x=1,

xXXX

所以當(dāng)xe(0,1)時(shí)，尸(幻<0,則/(x)在(0,1)單調(diào)遞減，

當(dāng)無e(l,+oo)時(shí)，f'(x)>0,則/(x)在(1,+oo)單調(diào)遞增，

所以/(x)2/(1)=0,則a"(x)W0,

所以e*>02“1：+lnx-l)即a<0滿足題意；

③當(dāng)。>0時(shí)，設(shè)g(x)=xe',貝!|g'(x)=e*(x+l),令g'(x)=0,x=-l,

當(dāng)xe(-8,-l)時(shí)，g'(x)<0,則g(X)在(一8,-1)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(-l,+8)時(shí)，g'(x)>0,則g(x)在(-l,+oo)單調(diào)遞增，

所以g(x)-o=xe*-a在(0,+力)單調(diào)遞增，且g(0)-a=-a<0,g(a)-a=a(e"—1)>0,

所以七°e(0,a),使得8(%)-々=%0非-a=0；

當(dāng)xe(O,Xo)時(shí)，%eA-a<0,即e*-幺<0,設(shè)〃z(x)=4-e、-alnx+a,x>0,

九X

答案第6頁，共18頁

則加(無)所以加(X)在(0,5)上單調(diào)遞減，

a_JQe"

所以當(dāng)X￡(。,/)時(shí)，m(x)>m(x0)=---------a]nx0+a=-a]nx0+a；

當(dāng)時(shí)，xex-?>0BPex-->0,設(shè)〃(%)=匕'一@一。111%+〃,%>%,

XX

貝14(%)=]+彳_3=冗e—r+〃,設(shè)〃(%)=12^一依+々,%￡(毛,+。)，

XXX

2x

p\x)=(x+2x)e—a,設(shè)q(x)=(12+2x)e》—?,XG(X0,+<X?),

貝U/(%)=(Y+4%+2)e">0,

可知q[x)在(%,+e)內(nèi)單調(diào)遞增,

所以虱兀)>4(%0)=(%+2)秒飛-a=a(^x0+1)>0,即p\x)>0,

所以p(x)>p(x0)=x：e"-ax0+a=axQ-axG+a=a>0,

所以“'(尤)='學(xué)>0,

X

所以"(X)在(%,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)了￡(%,+8)時(shí)，幾(%)2〃(%0)=-alnx。+a,

又因?yàn)楫?dāng)工￡(。,％0)時(shí)，m(x)>m^x0^=-a]nx0a,

所以當(dāng)〃>0時(shí)，ex-->alnx-a^-alnx+a>0解得0</<e,

x09

又a=M，所以ae(0,ee+i),

綜上，ae(-<?,ee+1),

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)a>0時(shí)，*?0,a),使得觸'。=。，當(dāng)xe(O,/)時(shí)，設(shè)

m(x)=--ex-alnx+a,求得最小值—alnx。+a；當(dāng)X€(Xo，+8)時(shí)，n(x)=e'~——alnx+a,

求得最小值-aln%+a,令-alnx。+a>0即可.

12.{0,1,2)

【分析】依題意可得OeA且OeB,即可求出a、6的值，從而求出集合A、B,再根據(jù)并

答案第7頁，共18頁

集的定義計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)锳={2,log2。},B^{a,b},且AcB={0},

所以O(shè)eA且OeB,顯然a>0,所以log2a=。且b=O,所以a=l,

所以A={2,0},B={l,0},

所以A8={0,1,2}.

故答案為：{0,1,2)

13.2+用6+2

【分析】首先確定P點(diǎn)在左支上，作出△尸斗鳥的內(nèi)切圓M,內(nèi)切圓M切片B于A點(diǎn)，

證明點(diǎn)A為雙曲線的左頂點(diǎn)，從而根據(jù)tan和匹=V^tan和遍得到|9|=石|4⑷，從

而得到(退+1卜，=(6-l)c,求出離心率.

【詳解】

所以一—產(chǎn)故尸點(diǎn)在左支上，

22

作△尸片月的內(nèi)切圓設(shè)內(nèi)切圓M與尸［切于點(diǎn)C,與尸與切于點(diǎn)3,

該內(nèi)切圓M切片耳于A點(diǎn)，

連接用耳，MF2,MA,MB,MC,則MA，月居，MB±PF2,MCVPF1,

且M月平分NP￡工，"平分/尸乙6，

接下來證明點(diǎn)A為雙曲線的左頂點(diǎn)：

答案第8頁，共18頁

由雙曲線的定義可知:\PF2\-\PF1\=2a,

因?yàn)閨陽=「C|,|C4|=|少|(zhì),忸閶二|伍

所以忸閭-|C周=|9|-|A耳上2a,設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（m,0）,

則（c-〃z）-（m+c）=2a,解得：機(jī)=-。，故點(diǎn)A為雙曲線的左頂點(diǎn),

因?yàn)閠an芻退=73tan迫理,

22

MA\MA\,,,

所以雨=8r篇，所以館用上石仙胤

所以c+a=6c-陋(1,所以(6+1)。=(6—l)c,

所以c_（小+1）_4+2』_2一百，所以e=2+百.

a22

故答案為：2+6

14.3兀

【分析】設(shè)過BC的大圓與過AC的大圓交于直徑CC',求出二面角A-CC'-B,同理求出

二面角A-B3'-C和B-AA-C；再結(jié)合球的表面積公式及球面的對稱性，求解即可.

【詳解】如圖1所示，設(shè)過AC的大圓與過2C的大圓交于直徑CC',過點(diǎn)AB分別作

AMLCC',BMLCC,垂足為M,連接AO,則AO=CO=石,AC=20,

在AOC中，由余弦定理得，cosNAOC=2重）=一；,則sin/AOC=半，

所以AA/=^^x^=亞，則AM==亞,AB=2后，

333

12兀

在一中，由余弦定理得，COS/AMB=-5，即=

2兀

由二面角定義得，二面角A-CC-3為a=/AM8=7，

在圖2中，設(shè)過AB的大圓與過BC的大圓交于直徑88',過A3的大圓與過AC的大圓交于

2冗2兀

直徑A4',同理可得，二面角A-33'-C為夕=不，二面角3-A4=C為7=?■；

答案第9頁，共18頁

設(shè)球。的表面積為S,則5=4兀尺2=12兀，設(shè)球面三角形ABC的面積為S.MC，

則A8所在的大圓和AC所在的大圓，將球面分成了四個(gè)部分，其中面積較大的兩個(gè)部分的

面積之和'等于球的表面積S的?x2=；倍，

2兀3

222

即類似可定義工,星，且同理有邑=§s,s3=-s,

而根據(jù)球面被這三個(gè)大圓的劃分情況，又有E+S2+S3=（s-2sABC）+6SMC，

所以H+S2+S3=S+4SMC，

所以S曲=：（5+邑+$3一S）=：]|x3-1]=%=3兀，

故答案為：3兀.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：球面一ABC的面積5ABe=（夕+〃+7一兀）.尺2,其中。,民/即為本題中

所求二面角（也稱球面角），R為球的半徑，解題關(guān)鍵即為求出二面角的大小.

15.（1）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意證明四邊形AGP"為平行四邊形，得到尸G〃A?,利用線面平行的

判定定理證明；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【詳解】（1）取A3中點(diǎn)//,連接則有尸“〃AC,PH=^AC,

如圖：

答案第10頁，共18頁

在等腰梯形AACG中，AC〃AG，AC=2AG，

所以尸打〃AG，PH=AG,

則四邊形AG/w為平行四邊形，所以PG〃A?,

又AHu平面44小，尸GN平面血由，所以直線PG〃平面AA].

(2)過點(diǎn)3作3D_LAC于。，在等腰梯形AACG中，AC=2AA,=2^=4,

所以梯形的高〃=6,所以等腰梯形AACG面積為S=；x(2+4)x退=34，

所以8-AACG四棱錐的體積V=gs-3￡?=；x3指xBO=3,解得80=6，

在Rt^ABC中，由射影定理得40=1,8=3或AD=3,C￡>=1,

當(dāng)">=1,。=3時(shí)，以。?為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)。2平行與8。的方向，。2。,。2。1所在直線為

x,y,z坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；

則有4(0,-2,0),B(后T,0),C(0,2,0),A(0,T⑹，

故朋=(0,1，⑹，AB=(V3,l,0),BC=卜后3,0),

/、n,-AB=6x+y=0

設(shè)平面的法向量4=(x,y,z),故"二

勺朋=y+gz=0

令z=6,得%=(也,-3,括)，

設(shè)直線BC與平面AA.B夾角的大小為3,

答案第11頁，共18頁

BC%|-3-9+0|

則sin6=cos<BC,勺>

|Bc|,|zi]|J3+9xJ3+9+35

所以直線BC與平面夾角的正弦值為竽；

當(dāng)AO=3,CD=I時(shí)，以仇為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)。2平行與8。的方向，ac。2a所在直線為

x,y,z坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；

/B

X

則有A（0,-2,0）,3（后l,0）,C（0,2,0），A（0,T@,

故伍=（0,1,道），AB=（>/3,3,0）,JBC=（-V3,l,0）,

n?AB=6m+3n=0

設(shè)平面的法向量叼=（九〃,〃），故＜2

n2-AA^=n+6p=0

令p=6，得九2二3,V^）,

設(shè)直線BC與平面AA3夾角的大小為6,

所以直線BC與平面夾角的正弦值為誓，

綜上所述，直線BC與平面的8夾角的正弦值為平或等.

16.⑴邑“=2"

⑵&=二

【分析】（1）由題得。“+2+。,一2=24，分別求出。5，&，%，得出奇數(shù)項(xiàng)是常數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是

首項(xiàng)為0,公差為4的等差數(shù)列，根據(jù)分組求和計(jì)算即可；

（2）根據(jù)定義得2+3+2-3=22，再由兩角和與差的正弦公式化簡，求得。=三，再利用

答案第12頁，共18頁

分組求和及等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列｛%｝為2級等差數(shù)列，所以。“+2+。“_2=2%,對一切〃eN*,〃>2都

成立，

因?yàn)?—4=2—2=0,%—々2=4—0=4,

若〃為奇數(shù)，由q+2+。“一2=2%可知奇數(shù)項(xiàng)是常數(shù)列;

若〃為偶數(shù)，由%+2+?！耙?=2%可知偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為0,公差為4的等差數(shù)列;

所以邑“=2/+”4；4）=2后

（2）因?yàn)榛?級等差數(shù)列，所以*3+限3=2%對一切〃eN*,〃>3都成立,

所以2(3〃+sina>ri)=3(n+3)+sin(<y?+3a>)+3(n-3)+sin(a)n-3<w)eN*),

2sincon-sin(加+3G)+sm(con-3G)=2sinconcos3G,

所以sin麗=0或cos30=1,

當(dāng)sin麗=0時(shí)，co=kn(keZ),

2krt

當(dāng)cos30=l時(shí)，3G=2E(左wZ),GZ),

2冗2冗

又因?yàn)?<G<7i,所以G止匕時(shí)a=3〃+sinw〃

古丁.2(3〃—2).2(3〃—1).2(3〃).2.121八八

3333I3J

所以。3”一2+4i+公=9(3〃-1),

所以&=(4+〃2+4)+(〃4+仇+&)++(4〃-2+4〃-1+%)

n27/+9幾

=-[18+9(3〃-1)]=——--.

17.(1)極大值-W-In2；極小值—2

4

31

【分析】（1）將，=3代入函數(shù)解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得

極值.

（2）對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合已知條件得方程2%2_G+I=O有兩個(gè)相異的正根玉>%2，利用為韋

答案第13頁，共18頁

達(dá)定理求得%+%="|>0,再結(jié)合△=々2一8>0,求出4范圍，進(jìn)而確定天的范圍，由

(母、(

dXy—2x；+1,得f(石)——k+lnXj_1%>—,構(gòu)造函數(shù)g(%)=_冗2+Inx—1x>—

I2JI2J

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即可求解.

【詳解】(1)當(dāng)。=3時(shí)，W/(x)=x2-3x+lnx(x>0),

廣(x)=2x-3+L型3±1(%>0)

XX

令/'(x)=0,即2d_3x+l=0,解得x=g或X=1,

所以當(dāng)時(shí)，/。)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)尤eg,1］時(shí)，/'(x)<0,〃x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(l,+”)時(shí)，r(x)>。，/(x)單調(diào)遞增；

所以x=g時(shí)，/(無)取得極大值，極大值為/-山2,

*=1時(shí)，〃x)取得極小值，極小值為/。)=-2.

(2)因?yàn)?(%)=/一〃x+inx(Q￡R)(%>0),

所以「(耳=2…+L”速把(x>o)

XX

由已知函數(shù)/(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)占,三，

所以方程2元2一改+1=0有兩個(gè)相異的正根玉>馬

所以A=q2-8>0,即a>2夜或4<一2點(diǎn)，

又占+%=5>0，所以。>0，現(xiàn)?尤2=；，所以a>20;

所以y=2無2_辦+1對稱軸為x=?>￥，二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)為玉、巧,

且不>馬，所以4在對稱軸的右側(cè)，則有%>孝，

因?yàn)?片-咐+1=0,即時(shí)=2才+1,

所以〃%)=才一3+ln玉=—(2町+l)+ln玉=―才+1口玉一1,其中玉〉］

令g(x)=+Inx-1x>

答案第14頁，共18頁

則g'(x)=—2x+，=^~~—x>~^~，

XXI2J

令g'(x)=。，解得x=±*均不在定義域內(nèi)，

I—//T"\

所以x>業(yè)時(shí)，g'(x)<0,g(x)在千，+。上單調(diào)遞減,

2k>

,、g31,o

3131

所以根2---------In2,即，"最小值為------ln2.

2222

18.(1)3

【分析】(1)先設(shè)定直線出的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求得韋達(dá)定理形式，分別求1以1

的長和點(diǎn)工到直線h的距離，進(jìn)而表達(dá)△尸4k的面積，求最大值即可；

(2)分別設(shè)直線尸片和尸后的方程，并分別與橢圓方程聯(lián)立，求得韋達(dá)定理形式，分別求出

A3兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，表達(dá)△尸月耳與二卜鉆面積之比，求最大值即可.

【詳解】(1)設(shè)P(x。,%),A5,%),

設(shè)直線F4的方程為x=kX-l,

x-my—1

聯(lián)立方程組《爐y2，得(3川+4);/一6啊-9=0,

—+—=1

143

,6m-9

所CC以H3+X=a，Ml2；，

3m+43m+4

貝!!|PA|=+11%-%|=J療+1-?~1

3m+4

點(diǎn)F?到直線PA的距離為:

12，療+1

所以=^\PA\d=

3m2+4

令/=1后+1>1，

答案第15頁，共18頁

nt12/20

、e=-----=-----<—=i

則“3r+ia,」-4，當(dāng)r=l即根=0時(shí)△PA月面積取得最大值,

t

所以△以月面積的最大值為3.

(2)設(shè)尸(%,%),A。，％),B(x2,y2)

設(shè)直線尸月的方程為X=9y—1,

%