PAGE10-安徽省池州市2024-2025學年高二數(shù)學下學期4月期中試題理一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分）1.設f(x)存在導函數(shù)，且滿意eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))，則曲線y＝f(x)上點(1，f(1))處的切線斜率為()．A．2B．－1C．1D．－22.已知i是虛數(shù)單位，是z的共軛復數(shù)，若，則的虛部為（）A.B.C.D.3.一質(zhì)點做直線運動，若它所經(jīng)過的路程與時間的關系為s(t)＝4t2－3(s(t)的單位：m，t的單位：s)，則t＝5時的瞬時速度為()A．37 B．38C．40D．394.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A．B．C．D．5.（）A． B．C．D．6.函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間[－π，π]上的圖象大致是()7．某個與正整數(shù)有關的命題：假如當n＝k(k∈N*)時命題成立，則可以推出當n＝k＋1時該命題也成立．現(xiàn)已知n＝5時命題不成立，那么可以推得()A．當n＝6時命題成立B．當n＝6時命題不成立C．當n＝4時命題成立D．當n＝4時命題不成立8.記I為虛數(shù)集,設,則下列類比所得的結論正確的是（）A.由,類比得B.由,類比得C.由,類比得D.由,類比得9.若函數(shù)有極值點，且，若關于的方程QUOTE的不同實數(shù)根的個數(shù)是（）A.6B.5C.4D.310.設函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為f′（x），且有，則不等式（x﹣2024）2f（x﹣2024）﹣f（1）＞0的解集為（）A．（2024，+∞） B．（0，2024） C．（0，2024） D．（2024，+∞）11.如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點的水平距離10千米處下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖像的一部分，則函數(shù)的解析式為（）A．B．C．D．12.若對隨意，不等式恒成立，則a的范圍是（）A．B．C．D．二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一個根，則m＋n＝____.14．把一個帶電量的點電荷放在r軸上坐標原點處，形成一個電場，已知在該電場中，距離坐標原點為r處的單位電荷受到的電場力由公式(其中k為常數(shù))確定.在該電場中，一個單位正電荷在電場力的作用下，沿著r軸的方向從r＝a處移動到r＝b(a<b)處，則電場力對它所做的功______________.15．如圖數(shù)表，它的第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，此后下一行數(shù)由前一行每兩個相鄰的數(shù)的和寫在這兩個數(shù)正中間下方得到.依次類推，則該數(shù)表中，第n行第2個數(shù)是___________.第15題圖第16題圖16.如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為15cm，該紙片上的等邊三角形的中心為，、、為圓上的點，，，分別是以，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，為折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱錐．當?shù)倪呴L改變時，所得三棱錐體積的最大值為_______．三、解答題（本題共6小題，17小題10分，其余每小題12分，共70分）17．已知復數(shù).（1）若對應復平面上的點在第四象限，求m的范圍；（2）若是純虛數(shù)，求m的值.18．（1）用數(shù)學歸納法證明：；（2）已知，，且，求證：和中至少有一個小于．19．已知函數(shù)，其中為實數(shù)，（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若方程在上有實數(shù)解，求的取值范圍；20.我們要計算由拋物線、軸以及直線所圍成的曲邊區(qū)域的面積，可用軸上的分點0、、、…、、1將區(qū)間分成個小區(qū)間，從其次個小區(qū)間起，在每一個小區(qū)間上作一個小矩形，使得每個矩形的左上端點都在拋物線上，這么矩形的高分別為、、…、，矩形的底邊長都是，設全部這些矩形面積的總和為，就有.（1）求的表達式，并求出面積；（可以利用公式）（2）利用上述方法，探求由函數(shù)、軸、軸以及直線和所圍成的區(qū)域的面積.（可以利用公式：）21.某設計部門承接一產(chǎn)品包裝盒的設計（如圖所示），客戶除了要求、邊的長分別為和外，還特殊要求包裝盒必需滿意：①平面平面；②平面與平面所成的二面角不小于；③包裝盒的體積盡可能大。若設計出的樣品滿意：與均為直角且長，矩形的一邊長為，請你推斷該包裝盒的設計是否符合客戶的要求？說明理由。22．已知函數(shù)．（1）當時，推斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關于的方程有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明．高二期中理數(shù)參考答案2024.041.B2.A3.C4.D5.B6.A7.D8.B9.D10.D11.C12.C9.10.解：令g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x），∵2f（x）+xf′（x）＞0，∴g′（x）＞0，在（0，+∞）恒成立，∴g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，∵（x﹣2024）2f（x﹣2024）﹣f（1）＞0，∴（x﹣2024）2f（x﹣2024）＞f（1），∵g（1）=f（1），∴g（x﹣2024）＞g（1）∴x-2025＞1∴x＞2024，故選D．11.QUOTE12.由題意可得：，，由可得，即，令，可得,由可得，由可得，如圖：可得在單調(diào)遞增，若，則，可得，令，只須要，對于恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，實數(shù)a的范圍為，13.解：將代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，即，即，由復數(shù)相等的充要條件，得解得，故.14.依據(jù)定積分的幾何意義，可得電場力對它所做的功.15.視察數(shù)表，得出每一行都成等差數(shù)列，且第行公差為，因此設第n行第1個數(shù)是，則第n行第2個數(shù)是，從而可得，從而，所以是等差數(shù)列，公差為，所以，．第n行第2個數(shù)是16.由題，連接，交與點，由題，，即的長度與的長度或成正比，設，則，，三棱錐的高則令，，令，即，,令，即，,則即體積最大值為．17．（1）由題意可得，解得（5分）（2）由題意可得，解得（10分）18．（1）①當時，左邊，右邊，左邊右邊．②假設時等式成立，即，那么當時，，即當時，等式成立．綜上，．（6分）（2）假設，，因為，，所以，，所以，故，這與沖突，所以原假設不成立，故和中至少有一個小于．（12分）19．（1）當時，，則，由得：；當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；.（5分）（2）；①當時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，方程在上無實數(shù)解，不合題意；②當時，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，方程在上無實數(shù)解，不合題意；③當時，令得：；當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，若方程在上有實數(shù)解，則只需，即，解得：，；綜上所述：的取值范圍為.（12分）20．（1）由題意可知，，因為，，；（6分）（2）依據(jù)題中方法，探求由函數(shù)、軸、軸以及直線和所圍成的區(qū)域的面積，可將區(qū)間分成個小區(qū)間，每一個小區(qū)間對應一個小矩形，使得每個矩形的左上端點都在拋物線上，這么矩形的高分別為、、、…、，矩形的底邊長都是，則，，因為，.（12分）21.解：該包裝盒的樣品設計符合客戶的要求。（1分）（1）以下證明滿意條件①的要求.∵四邊形為矩形，與均為直角，∴且∴面，在矩形中，∥∴面∴面面（5分）（2）以下證明滿意條件②、③的要求.∵矩形的一邊長為，而直角三角形的斜邊長為，∴設，則，以為原點，分別為軸的正半軸建立空間直角坐標系，則，，，設面的一個法向量為，，∵∴，取，則而面的一個法向量為，設面與面所成的二面角為，則，∴，∴，即當時，面與面所成的二面角不小于.又，由與均為直角知，面，該包裝盒可視為四棱錐，當且僅當，即時，的體積最大，最大值為.而，可以滿意面與面所成的二面角不小于的要求，綜上，該包裝盒的設計符合客戶的要求。（12分）（對于條件②、③，先由體積最大求出t的值為QUOTE