實際問題與二元一次方程組

（第3課時）人教版七年級數(shù)學下冊如圖，長青化工廠與A，B

兩地有公路、鐵路相連．這家工廠從A

地購買原料運回工廠，每噸運費159元，再把制成的產(chǎn)品從工廠運到B

地銷售，每噸的運費為162

元，試求鐵路、公路運價分別為多少元/(t·km)？每噸每千米多少元長青化工廠鐵路120

km公路10

km公路20

km鐵路110

kmAB長青化工廠鐵路120

km公路10

km公路20

km鐵路110

kmAB

解：設鐵路、公路運價分別為x

元/(t·km)和y

元/(t·km)．每噸120x

元每噸10y

元每噸20y

元每噸110x

元從A地到工廠從工廠到B地

由題意，得方程組

答：鐵路、公路運價分別為1.2

元/(t·km)和1.5元/(t·km)．解得

如圖，長青化工廠與A，B兩地有公路、鐵路相連．這家工廠從A

地購買一批每噸1

000元的原料運回工廠，制成每噸8

000元的產(chǎn)品運到B

地．已知公路運價為1.5

元/(t·km)，鐵路運價為1.2

元/(t·km)，且這兩次運輸共支出公路運費15

000元，鐵路運費97

200元．這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？長青化工廠鐵路120

km公路10

km公路20

km鐵路110

kmAB

思考：要求“這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？”我們必須知道什么？

如圖，長青化工廠與A，B兩地有公路、鐵路相連．這家工廠從A

地購買一批每噸1

000元的原料運回工廠，制成每噸8

000元的產(chǎn)品運到B

地．已知公路運價為1.5

元/(t·km)，鐵路運價為1.2

元/(t·km)，且這兩次運輸共支出公路運費15

000元，鐵路運費97

200元．這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？銷售款原料費

運輸費(公路和鐵路)

原料數(shù)量產(chǎn)品數(shù)量長青化工廠鐵路120

km公路10

km公路20

km鐵路110

kmAB原料數(shù)量產(chǎn)品數(shù)量

分析：銷售款與產(chǎn)品數(shù)量有關，原料費與原料數(shù)量有關，而公路運費和鐵路運費與產(chǎn)品數(shù)量和原料數(shù)量都有關．因此，我們設制成x

t產(chǎn)品，購買y

t原料．

思考：你能根據(jù)題中數(shù)量關系完成下表嗎？產(chǎn)品x

t原料y

t合計公路運費/元鐵路運費/元價值/元產(chǎn)品x

t原料y

t合計公路運費/元鐵路運費/元價值/元長青化工廠鐵路120

km公路10

km公路20

km鐵路110

kmAB總價＝單價×數(shù)量單價：1

000元/t單價：8

000元/t原料產(chǎn)品8

000x1

000y產(chǎn)品x

t原料y

t合計公路運費/元鐵路運費/元價值/元8

000x1

000y長青化工廠鐵路120

km公路10

km公路20

km鐵路110

kmAB運輸費＝數(shù)量×運價×距離原料產(chǎn)品鐵路運價為1.2

元/(t·km)1.2×110x1.2×120y1.2(110x＋120y)產(chǎn)品x

t原料y

t合計公路運費/元鐵路運費/元1.2×110x1.2×120y1.2(110x＋120y)價值/元8

000x1

000y長青化工廠鐵路120

km公路10

km公路20

km鐵路110

kmAB運輸費＝數(shù)量×運價×距離原料產(chǎn)品公路運價為1.5

元/(t·km)1.5×20x1.5×10y1.5(20x＋10y)產(chǎn)品x

t原料y

t合計公路運費/元1.5×20x1.5×10y1.5(20x＋10y)鐵路運費/元1.2×110x1.2×120y1.2(110x＋120y)價值/元8

000x1

000y

思考：你發(fā)現(xiàn)相等關系了嗎？如何列方程組并求解？根據(jù)兩次運輸共支出公路運費15

000元，鐵路運費97

200元，列方程組

解：設制成x

t產(chǎn)品，購買y

t原料．

由題意，得方程組化簡，得所以化工廠從A

地購買了400

t

原料，制成300

t

產(chǎn)品運往B

地．解得

思考：這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？

銷售款：8

000x＝8

000×300＝2

400

000（元）；原料費：1

000y＝1

000×400＝400

000（元）；運輸費：15

000＋97

200＝112

200（元）；

2

400

000－(400

000＋112

200)＝1

887

800（元）．這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多1

887

800

元．歸納若在直接設要求的量為未知數(shù)不容易列方程（組）時，應設間接未知數(shù)，求得未知數(shù)的值后再計算要求的量．

從以上探究可以看出，方程組是解決含有多個未知數(shù)問題的重要工具．用方程組解決問題時，要根據(jù)問題中的數(shù)量關系列出方程組，求出方程組的解后，應進一步考慮它是否符合問題的實際意義．問題

一個農機服務隊有技術員工和輔助員工共15

人，技術員工人數(shù)是輔助員工人數(shù)的2

倍．服務隊計劃對員工發(fā)放獎金共計20

000

元．按每名技術員工A元和每名輔助員工B元兩種標準發(fā)放，其中A，B

均不小于800，且A

不小于B，并且A，B

都是100

的整數(shù)倍．（注：農機服務隊是一種農業(yè)機械化服務組織，為農民提供耕種、收割等有償服務．）（1）求該農機服務隊中技術員工和輔助員工的人數(shù)；（2）求本次獎金發(fā)放的具體方案．

分析：（1）①由“服務隊有技術員工和輔助員工共15

人”得相等關系：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．由“技術員工人數(shù)是輔助員工人數(shù)的2

倍”得相等關系：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

②設該農機服務隊有技術員工x

人，輔助員工y

人，根據(jù)①中的兩個相等關系可列方程組解得即該農機服務隊有技術員工＿＿＿人，輔助員工＿＿＿人．技術員工人數(shù)＋輔助員工人數(shù)＝15技術員工人數(shù)＝輔助員工人數(shù)×2x＋y＝15x＝2y105105

分析：（2）①由“服務隊計劃對員工發(fā)放獎金共計20

000

元”得相等關系：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．據(jù)此可列出關于A，B

的二元一次方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

②因為A≥B≥800，且A，B

都是100

的整數(shù)倍，所以當B＝800

時，A＝＿＿＿＿＿；當B＝900

時，A＝＿＿＿＿＿（A不是100

的整數(shù)倍，舍去）；當B＝1

000

時，A＝＿＿＿＿＿；當B＝1

100

時，A＝＿＿＿＿（A不是100

的整數(shù)倍，舍去）；技術員工總獎金＋輔助員工總獎金＝20

000元10A＋5B＝20

0001

6001

5501

5001

450

當B＝1

200

時，A＝＿＿＿＿＿；當B＝1

300

時，A＝＿＿＿＿（A不是100

的整數(shù)倍，舍去）；當B＝1

400

時，A＝＿＿＿＿＿（A＜B，舍去）；由此再取下去都不符合題意．所以本次獎金發(fā)放的具體方案有3

種：方案1：技術員工每人＿＿＿＿＿元，輔助員工每人800

元；方案2：技術員工每人＿＿＿＿＿元，輔助員工每人1

000

元；方案3：技術員工每人＿＿＿＿＿元，輔助員工每人1

200

元．1

4001

3501

3001

6001

5001

400歸納要求兩個量，且已知兩個相等關系，一般列二元一次方程組即可求解；若要求兩個量，且只知一個相等關系，則一般列二元一次方程，然后根據(jù)問題的實際情況討論得出符合題意的結果．

例某工廠去年的總產(chǎn)值比總支出多500

萬元．由于今年總產(chǎn)值比去年增加15％，總支出比去年節(jié)約10％，因此，今年總產(chǎn)值比總支出多950

萬元．今年的總產(chǎn)值和總支出各是多少萬元？

分析：解決此類問題要先明確幾個基本關系：（1）增長量＝原有量×增長率；（2）原有量＝現(xiàn)有量－增長量；（3）現(xiàn)有量＝原有量×(1＋增長率)．再根據(jù)相等關系列方程組．

解：設去年總產(chǎn)值是x

萬元，總支出是

y

萬元，列表如下：

由題意，得方程組

所以(1＋15％)x＝2

300，(1－10％)y＝1

350．解得總產(chǎn)值/萬元總支出/萬元差/萬元去年x