數(shù)學(xué)試卷

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.

第I卷（選擇題共58分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的）

1.設(shè)卜卜2,。為單位向量，則a的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)锽+同嗣+同，忖=2,0為單位向量，所以忖+同43.

當(dāng)且僅當(dāng)Z/同向時(shí)，取到等號(hào).

故選：C

2.已知復(fù)數(shù)2=竺老（a$R,i為虛數(shù)單位），貝『七＞0”是“z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，，的

i

（）條件

A,充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷和選攔.

【詳解】z=?三二節(jié)三二3-出，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（3,一。）；

點(diǎn)（3,-。）位于第四象限的充要條件是一。＜0,即。＞0；

故＞0”是“z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，，的充要條件.

故選：A

3.設(shè)全集為。定義集合A與3的運(yùn)算：=且xdcB},則（Z*8）*4=（）

A.AB.BC.4nq8D.B“A

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)定義用交并補(bǔ)依次化簡(jiǎn)集合，即得結(jié)果.

【詳解】=且=(81Q/)U(4lQI)

.?.(4*8)*力=[/1Q"*8)]U[(4*8)I電川=(力I8)11(81Q/)=8

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查集合新定義、集合交并補(bǔ)概念，考查基本分析轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題.

4.已知出/￡（0,5）,COS(?-/7)=—,tana-tan,則a+/?=()

64

71n712兀

A.-B.一c.一D.一

3463

【答案】A

【解析】

【分析】利用兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到方程組，即可求出sinasin/7、

cosacos,再求出cos(a+〃)即可.

【詳解】因?yàn)閏os(a-￡)="|,tanatan〃=；,

cosacosfi+sinasinP=—

所以

sinasinP_1

cosacosp4

c2

cosacosp=-

解得

,c1

sinasinP=~

所以85(。+/)=(：050(：0$夕一5出0^110=3,

又。/《。看,所以a+〃w（0,7r）,所以a+/=1.

3

故選：A

5.如圖，將正四棱臺(tái)切割成九個(gè)部分，其中一個(gè)部分為長(zhǎng)方體，四個(gè)部分為直三棱柱，四個(gè)部分為四棱

錐.已知每個(gè)直三棱柱的體積為3,每個(gè)四棱錐的體積為1,則該正四棱臺(tái)的體積為（）

B.32

C.28D.24

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)每個(gè)直三棱柱高為心每個(gè)四棱錐的底面都是正方形，設(shè)每個(gè)四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6,設(shè)正四

—abh=3

2

棱臺(tái)的高為人，可得出《求出/力的值，即可求得該正四棱臺(tái)的體積.

—b2h=1

3

【詳解】設(shè)每個(gè)直三棱柱高為。，每個(gè)四棱錐的底面都是正方形，設(shè)每個(gè)四棱錐的底面邊長(zhǎng)為〃，

設(shè)正四棱臺(tái)的高為〃，因?yàn)槊總€(gè)直三棱柱的體積為3,每個(gè)四棱錐的體積為1,

1LIC

—abh=3

2

則可得a2b2卜2=a2hh2h=a2hx3=36?可得a%=12,

-b2h=\

13

所以，該正四棱臺(tái)的體積為P=/〃+4x3+4x1=12+16=28.

故選：C.

6.小李買(mǎi)了新手機(jī)后下載了個(gè)APP,已知手機(jī)桌面上每排可以放4個(gè)APP,現(xiàn)要將它們放成

兩排，且A和8放在同一排，則不同的排列方式有（）

A.288種B.336種C.384種D.672種

【答案】D

【解析】

【分析】分兩種情況，①A和6單獨(dú)放一排，②A和8與?；?。其中的一個(gè)放一排，再結(jié)合排列組合知識(shí)

求解.

【詳解】分兩種情況討論：

①A和8單獨(dú)放一排，有C；A；A：=2x4x3x4x3=288種排列方式,

②A和8與C或O其中的一個(gè)放一排，有CCA：A：=2x2x4x3x2x4=384種排列方式,

所以不同的排列方式有288+384=672種.

故選：D.

7.己知直線/：4丫+妁，+。=0(/+爐±0)與曲線?。喊?一》有三個(gè)交點(diǎn)。、E、F,且

\DE\=\EF\=2f則以下能作為直線/的方向向量的坐標(biāo)是().

A.(0,1)B.(1,-1)C.(1,1)D.(1,0)

【答案】C

【解析】

【分析】由函數(shù)丁=/一1的性質(zhì)可得曲線小的對(duì)稱中心(0,0),即得E(0,0),再根據(jù)給定長(zhǎng)度求出點(diǎn)。

的坐標(biāo)即得.

【詳解】顯然函數(shù)/(x)=d-x的定義域?yàn)镽,/(r)=(r)3-(r)=-/(x),即函數(shù)/⑴是奇函數(shù)，

因此曲線力的對(duì)稱中心為(0,0),由直線/與曲線%的三個(gè)交點(diǎn)。，已尸滿足|。目二|91=2,得

￡(0,0),

設(shè)。。,丁一工)，則/+,一幻2=4,令工2二”則有廣一2"+2-4=0,即(/+2)("2)=0,

解得U2,即工=±0,因此點(diǎn)。(五，&)或。(-0,-&),而=(右,逝)或而=(-0,-夜)，

選項(xiàng)中只有坐標(biāo)為(1,1)的向量與瓦共線，能作為直線/的方向向量的坐標(biāo)是(1,1).

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵首先是得到曲線對(duì)稱中心為(0,0),從而得到E(0,0),然后再去設(shè)點(diǎn)。

坐標(biāo)，根據(jù)閔二2,得到高次方程，利用換元法結(jié)合因式分解解出。的坐標(biāo)即可.

8.過(guò)拋物線C:_/=4x焦點(diǎn)R且斜率為"的直線與。交于4、8兩點(diǎn)，若方為△產(chǎn)力3的內(nèi)角平分線，則

△PZ3面積最大值為()

81632

A.—B.—C.—D.16

333

【答案】B

【解析】

【分析】求出直線48的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點(diǎn)48的坐標(biāo)，由內(nèi)角平分線可得

\PA\\AF\

=3,由此求出點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的關(guān)系，進(jìn)而求出點(diǎn)P到直線48距離的最大值即可得解.

\PB\\BF\

【詳解】拋物線C:_/=4x焦點(diǎn)廠(1,0),直線力4的方程為丁=月(％1),

x.=一

由卜「△、—解得.

D,'3x.=3不妨令8號(hào)1一o等)，,。,2折廣,

y"=4x2G'

…亍

16用

I-ARDI|=—1+1.+3a+1i=M-=?3+1■=3、

則??33'|3尸|1+1，由PF為△尸43的內(nèi)角平分線,

3

\pA\^\PA\-\PF\sinZAPFs

指3,—),

得

1尸8|L\PB\\PF\s\nABPFS^PF

于是Ja-3)2+(y-2VJ)2=3,(x_f+U+苧)2

整理得Y+(y+JJ)2=4,顯然點(diǎn)P在以點(diǎn)(0,一百)為圓心，2為半徑的圓上，因此點(diǎn)P到直線力8距

離的最大值為2,

所以面積最大值為］X2X3=2

233

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：借助三角形面積公式求出角平分線的性質(zhì)，進(jìn)而求出角頂點(diǎn)

的軌跡方程是解題之關(guān)鍵.

二、選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分)

11__7

9.設(shè).4,8是一次隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且尸(4)=一，=P(AB+AB)=二,貝ij()

3412

__5P(B|/)=；

A.A,8相互獨(dú)立B.P(A+B)=-c.D.P(孫尸(M

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用獨(dú)立事件、對(duì)立事件、互斥事件的定義與概率公式可判定A、B,利用條件概率的定義與公式

可判定C、D.

—，一3

【詳解】由題意可知尸（4）=l—P（1）=j,P（A）=l-P（B）=w，

事件初，而互斥，且P（4）+尸（，8）=尸⑷,可辦）+尸（4B）=P（8）,

所以+4與）二尸（）8）+尸（4月）=P（Z）+尸（8）—20（45）二"，

2171

即§+彳一20（45）=正=>P（/8）=w=P（4）P（B）,故A正確；

則P（N+耳）=尸（1）+尸伍）—P（刀）=P（N）+P（用一p（N）p3）

13135

一十一—X—=—故B正確;

34346

1

P(Z嘰％」1

由條件概率公式可知尸(4/)=故C錯(cuò)誤;

尸(4)243

3

L）P（8）尸（8）13

4

21

P(B\A需二"二?手*B）“（M故D正確.

3

故選:ABD

10.如圖，多面體8c。由正四棱錐〃一力3。。和正四面體S〃8c組合而成，其中〃S=1,貝ij（）

B,該幾何體為七面體

C.二面角力一PB—C的余弦值為-"

D.存在球。，使得該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上

【答案】AC

【解析】

【分析】求出幾何體的表面積判斷A：利用二面角的平面角的余弦計(jì)算判斷BC；利用正四棱錐、正四面體

的外接球球心位置判斷D.

【詳解】依題意，正四棱錐P-488和正四面體SP8C的所有棱長(zhǎng)均為1,

對(duì)于A,該幾何體的表面積為65/￥7)+5.7)=6、@乂12+12=班+1，,4正確；

ArCL/.ioCU42

對(duì)于B,取尸8中點(diǎn)G,連接4G,CG,SG,由aPABaPBC/PSB均為正三角形,

得4GJ?尸8,CGPB,SGlPBf則ZAGC/SGC分別是二面角A-PB-C和二面角S-尸4一C的

平面角，

且尸3_L平面4GC,依，平面SGC,而平面4GC與平面SGC有公共點(diǎn)G,因此四點(diǎn)4G,S,C共

面，

（當(dāng)2+（當(dāng)2_（向2]（務(wù)+（當(dāng)2721

又cosZ-AGC=------i—,=-----=——,cosZ.SGC=J廣—=—

n663V3V33

2x—x—20x—x——

2222

而4GC,NSGCe[0,7r],于是N/GC+NSGC=?r,

則平面PBS與月必為同一平面，同理，平面尸CQ和平面尸SC也為同一平面,

所以該幾何體為五面體，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由選項(xiàng)B知，二面角力一08-。的余弦值為-；，C正確；

對(duì)于D,正四棱錐P-ABCD的外接球球心?！吭谶^(guò)點(diǎn)P垂直于平面ABCD的直線上，

正四面體SPBC的外接球球心02在過(guò)點(diǎn)p垂直于平面SBC的直線上，而平面ABCDn平面

SBC=BC,

因此直線尸與直線尸。2不重合，顯然SQ>5。2，力。<力。2,即點(diǎn)S在球。外，點(diǎn)A在球。2外，

所以不存在球。，使得該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，D錯(cuò)誤.

故選：AC

II.已知函數(shù)/(x)=sinx+cos2x與g(x)=sin2x+cosx，記力(x)=2/(x)+〃g(x),其中4,//eR

且萬(wàn)+〃2工().下列說(shuō)法正確的是()

A.〃(x)一定為周期函數(shù)

B.若心〃>0,則〃'(x)在(0卷)上總有零點(diǎn)

C.C》)可能為偶函數(shù)

D.”x)在區(qū)間(0,2兀)上的圖象過(guò)3個(gè)定點(diǎn)

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)于A：計(jì)算力(工+2兀)，化簡(jiǎn)即可；對(duì)于B：求出“(X),然后計(jì)算的正負(fù)即可；

對(duì)于C：計(jì)算〃(x),6(r)是否恒相等即可；對(duì)于D：令m=o,求解x即可.

【詳解】對(duì)于A,VXGR,A(x+2TC)=A/(x+2^)+jug(x+2n)=2/(x)+jug(x)=A(x),A正確;

對(duì)于B,/ir(x)=2(cosx-2sin2x)+/z(2cos2x-sinx),

則力'(0)=4+2〃，=—

因?yàn)镸>o,即％,〃同號(hào)，所以"⑼1仔'<°，

/\

由零點(diǎn)存在定理知/(X)在0,5上總有零點(diǎn)，故B正確；

對(duì)于C,//(%)=2sinx+/lcos2x+//sin2x+//cosx,

h(-x)=-2sinx+2coslx-/J,sin2x+jucosx,

由/j(x)=/j(-x)22sinx+2//sin2x=24sinx+2〃2sinxcosx

=2sinx（4+2〃cosx）=0對(duì)x￡R恒成立,

則％=〃=0與題意不符，故C錯(cuò)誤；

/(力=0

對(duì)于D,令，

g⑴=0'

sinx+cos2x=l-2sin2x+sinx=-(sinx-l)(2sinx+l)=0

則〈

sin2x+cosx=cosx(2sinx+1)=0

2_

sinx=1或sinx=

2

=>，:,即xw—+2E,—+2^71,—+2Zr7r?,kwZ,

626

cosx=0或sinx=—

2

TI/711lit…八，

故所有定點(diǎn)坐標(biāo)為一：+2E,0,—4-2hc,0,N~+2E,0j,keZ,

I6)［2}

又因?yàn)閤?0,2兀），所以函數(shù)力（工）的圖象過(guò)定點(diǎn)故D正確;

故選：ABD.

第H卷（非選擇題共92分）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

a1Y

12.x+—lx--展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是120,則實(shí)數(shù)。

xX)

［發(fā)］2

【解析】

、

【分析】求出的通項(xiàng)公式，得到4=一4絲0與4=80%,從而得到「+a

2x--展開(kāi)式常數(shù)

xxx,x

項(xiàng)，得到方程，求出。=2.

【詳解】*：\2x--\展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為ZF4-I=(-1)'C⑵-"526=0,1,2,...,5),

X

40

令5—2廠=-1得廣=3,即7；=-(3；22<|=——

X

令5—2尸=1得尸=2,即7；=C；23X=80X,

a

x+—2x--\展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為公7；+且公=-40+80。,

XX)X

故-40+80。=120,解得。=2.

故答案為：2

22

13.已知雙曲線c：J一方=I（Q>O/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡,鳥(niǎo)，過(guò)E的直線與丁軸相交于點(diǎn)

M,與c在第一象限的交點(diǎn)為尸，若府=2訴，用?郎=o,則。的離心率為.

【答案】6+i##i+VJ

【解析】

【分析】設(shè)|“0|=乙利用雙曲線定義、勾股定理得加2+（2。—3。2=402,再由△片Pgs△片。加，得

2tc

—,可得答案.

2c3（

【詳解】設(shè)|必|=匕則|耳M|=2f,所以歸局=3-2%

因?yàn)?衣=0,所以/￡建=90"

22

可得儼片『+|叫「=|月眉2,Bp9r+（3r-2a）=4（?①，

因?yàn)閊PF2=N片OM,ZF/P=/必片。，所以△片尸△片0歷,

也一幽

所以同”啜弋②，

由①②可得/一2限+2=0，

解得e=JJ+l，或？=6-1（舍去）.

故答案為：4-1.

14.若對(duì)于V〃?e[-e,e],VyG（-l,+oo）,使得不等式4—+ln（x+l）+（2023-次）工-1<yln（y+l）恒

成立，則整數(shù)x的最大值為.

【答案】0

【解析】

【分析】由題，有[4》3+111(工+1)+(2023-加)工-1]陋<[川11('+1)]而.利用導(dǎo)數(shù)可得

[^ln(^+l)]m,n=0,則可得[4/+In(x+1)+(2023-w)x-1]皿<0,

后將4/+ln(x+l)+(2023-w)x-1看成關(guān)于m的函數(shù)g(〃?)，后分類討論

g(加)的最大值與0的大小即可.

【詳解】4工3+In(x+1)+(2023-m)x-l<yin(y+1)恒成立，

等價(jià)于[4/+In(0+1)+(2023-/M)Tmax

令/(歹)=yIn(y+1),ye(-l,+00),則/'(y)=In(y+1)+,

注意到Jw(-LO)時(shí),/f(O)=O,歹￡(0,+co)時(shí)，/''3>o.

則/(力在(TO)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增,則/(力之/(0)=0.

<ln，+1

M[^ln(^+l)]mjn=O,則[4x3+ln(x+l)+(2023-m)x-lLb(>)]rain

<=>[4x3+In(x+1)+(2023-w)J-1]^<0.

令S(加)=~xm+4x3+2023x+In(x+1)-1,mG[-e?e],

當(dāng)x=0,g(w)=-1<0,故x=0滿足條件；

當(dāng)x21,則g(加)在[-e,e]上單調(diào)遞減,

故g("Drax=g(-e)=?+4/4-2023x+In(x+1)-1.

令p(x)=ex+4x3+2023x+In(x+1)-1,XG[1,+<?).

則p'l：x)=12x2+e+2023+>0,得p(x)在口,依)上單調(diào)遞增，

xNl時(shí)，p(x)>p(1)>0,不合題意；

綜上，整數(shù)x的最大值為0.

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及雙變量與恒成立，難度較大.

恒成立問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為最值相關(guān)問(wèn)題，本題因告知，〃范圍，求x范圍，故還采取了變換主元的做題方法.

四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

15.已知函數(shù)/（x）=xlnx-or2-3x（awR）.

（1）若x=l是/（X）的一個(gè)極值點(diǎn)，求。的值；

⑵若/（X）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，占，其中王＜/，求。的取值范圍.

【答案】（1）-1

（2）（哈）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)的概念求參數(shù)。的值；

（2）函數(shù)由兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為/'（可=0有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，再分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題解

決.

【小問(wèn)1詳解】

易知/'（x）=Inx+1-lax-3=Inx-2ax-2,

又x=l是/（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，所以/'（1）=0,即—2a—2=0,所以a=T,

此時(shí)/'（x）=lnx+2x-2,

令lnx+2x-2,A,（x）=—+2＞0,

X

所以/‘（》）=%卜）在（。,+8）上單調(diào)遞增，且r⑴=o,

當(dāng)xw（0,l）時(shí)，/,（x）＜0,當(dāng)xe（l,+8）時(shí)，/\x）＞0,

所以/（力在（0』）上單調(diào)遞減，在（1,+。）上單調(diào)遞增，

所以入=1是/（X）的極小值點(diǎn)，即符合題意，

因此。的值為-1.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?'（力=欣一2or-2,且/（x）=Mnr-加_3x（?wR）有兩個(gè)極值點(diǎn)多，x2,

所以方程/'（X）=0在（0,+。）上有兩個(gè)不同的根，

即方程lnx-2ar-2=0有兩個(gè)不同的正數(shù)根,

IG

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=里工與函數(shù)歹=2〃的圖象在(o,+8)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

X

則g'(x)=3，令g，(x)=3產(chǎn)=0,解得x=e3,

XJC

當(dāng)工〉e3時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)0<x<e3時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

0,故作出g(x)的圖象如圖所示:

即。E，即。的取值范圍為

16.在四棱錐尸—48CQ中，平面P4C1底面48CQ,BDLAP.

(1)3OJ.4C是否一定成立？若是，請(qǐng)證明，若不是，請(qǐng)給出理由；

(2)若△PZC是正三角形，且P-Z8D是正三棱錐，AB=2,求平面以。與平面P8C夾角的余弦

值.

【答案】(1)不一定，理由見(jiàn)解析

⑵運(yùn)

13

【解析】

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)P作4c的垂線交片。于點(diǎn)E,由面面垂直的性質(zhì)得到尸￡_L底面N8CO,舉出反例

當(dāng)/尸_L4C,即點(diǎn)A與點(diǎn)E重合時(shí)，均可得得到30_L力尸.

(2)依題意可得點(diǎn)E為ZC的中點(diǎn)，再由線面垂直的性質(zhì)得到PEJL8。，從而得到301平面力0C,

設(shè)BZ)c/C=。，則。為80的中點(diǎn)，作OF//EP,則OFJ?底面/8CQ,如圖建立空間直角坐標(biāo)，利

用空間向量法計(jì)算可得.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)槠矫鍼AC1底面ABCD,過(guò)點(diǎn)P作AC的垂線交AC于點(diǎn)E,

又平面P4Cn底面48C0=4C,PEu平面P4C,所以_L底面46。。，

若彳尸_L4C,則點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，即力產(chǎn)1底面為3cO,

所以/尸垂直平面/SCO內(nèi)任意直線，即8。與4c無(wú)論何種位置關(guān)系，都有8。_L4尸,

所以3D_L/C不一定成立.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)椤魇?c是正三角形，則點(diǎn)E為4c的中點(diǎn)，

由（1）PE_L底面/3CO,又BDu底面4BCD,所以尸E_L8Q,

又BD1AP,PE[}AP=Pt莊',/Pu平面/PC,所以8Q/平面/尸。,

又/Cu平面4PC,所以3O_L4C,又。一力3。是正三棱錐，即△N5Z）為等邊三角形,

設(shè)BDcAC=O,則。為3。的中點(diǎn)，焊OFHEP、則。/1底面NBCZ）.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則4（0,-/,0）,60,0,0）,C0,弓,0,。（一1,0,0）,

pfo-^,2

\3J

。當(dāng)麗中,辛,

所以而二（一1,石,0bAP=J,反=7,去,0,

n-AD=-x+y/3y=0

設(shè)平面尸/Q的法向量為為=（%J,z）,則＜

n?AP=~~y+2z=0

—V3

mBC=-a+—b=0

設(shè)平面P8C的法向量為而=（Q,b,c）,貝］＜；,取而二（石,3,百上

n^P=-a-—b+2c=0

3

所以平面尸4D與平面P8C夾角的余弦值為姮

13

17.10米氣步槍是國(guó)際射擊聯(lián)合會(huì)的比賽項(xiàng)目之一，資格賽比賽規(guī)則如下：每位選手采用立姿射擊60發(fā)子

彈，總環(huán)數(shù)排名前8的選手進(jìn)入決賽.三位選手甲、乙、丙的資格賽成績(jī)?nèi)缦?

678910

環(huán)數(shù)

環(huán)環(huán)環(huán)環(huán)環(huán)

甲的射擊

11102424

頻數(shù)

乙的射擊

32103015

頻數(shù)

丙的射擊

24101826

頻數(shù)

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的射擊成績(jī)相互獨(dú)立.

（1）若丙進(jìn)入決賽，試判斷甲是否進(jìn)入決賽，并說(shuō)明理由;

（2）若甲、乙各射擊2次，估計(jì)這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)T0環(huán)”的概率;

（3）甲、乙、丙各射擊10次，用X（i=l,2,3）分別表示甲、乙、丙的10次射擊中大于。環(huán)的次數(shù)，其

中aw{6,7,8,9},寫(xiě)出一個(gè)。的值，使。（丫3）＞。（丫2）＞。（吊），并說(shuō)明理由.

【答案】（1）甲進(jìn)入決賽，理由見(jiàn)解析

⑵旦

100

（3）答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）分別計(jì)算出丙射擊成績(jī)和甲射擊成績(jī)，比較大小即可判斷.

(2)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用頻率估計(jì)概率分別得出甲、乙命中9環(huán)的概率和甲、乙命中10環(huán)的概率，再根據(jù)

互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的乘法公式求解即可.

(3)根據(jù)題意禺(，=1,2,3)服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布方差公式求出每一個(gè)a對(duì)應(yīng)的

。(%),。(％2)，。(冬)，即可解答.

【小問(wèn)1詳解】

甲進(jìn)入決賽，理由如下:

丙射擊成績(jī)的總環(huán)數(shù)為2x6+4x7+10x8+18x9+26x10=542,

甲射擊成績(jī)的總環(huán)數(shù)為1x6+1x7+10x8+24x9+24x10=549,

因?yàn)?49＞542,所以用樣本來(lái)估計(jì)總體可得甲進(jìn)入決賽.

【小問(wèn)2詳解】

242

根據(jù)題中數(shù)據(jù)：“甲命中9環(huán)”的概率可估計(jì)為二=二，

605

242

“甲命中10環(huán)”的概率可估計(jì)為二二二，

605

301

“乙命中9環(huán)”的概率可估計(jì)為一=二，

602

“乙命中10環(huán)”的概率可估計(jì)為￡=工，

604

所以估計(jì)這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率為

x（牙+C；x信［xC；x仕xJ］二旦.

⑸⑶［5）（24）100

【小問(wèn)3詳解】

。=7或a=8(寫(xiě)出其中一個(gè)即可).

根據(jù)題中數(shù)據(jù)：

59

當(dāng)4=6時(shí)，在每次射擊中，甲擊中大于6環(huán)的概率為尸

60

19

在每次射擊中，乙擊中大于6環(huán)的概率為P=—,

20

29

在每次射擊中，丙擊中大于6環(huán)的概率為P=—,

30

(59（19

由題意可知10,二：X,?B10,—

I602I20

591591911929129

此時(shí)。（Xj=10x二x—==，Z）（yJ=10x—X—=—,D（X）=10x—x—,不滿

'176060360,27202040137303090

足。(區(qū))＞。(％)＞。(%).

當(dāng)。=7時(shí)，在每次射擊中，甲擊中大于7環(huán)的概率為尸=：；；；,

30

在每次射擊中，乙擊中大于7環(huán)的概率為尸==，

12

9

在每次射擊中，丙擊中大于7環(huán)的概率為P二二，

(29、(八11、(9]

由題意可知X?810,京，X2-B\10,—,X「B10,—,

\JU/\"/\1UJ

70129111559IXI

此時(shí)川Xj=10x—x—=一，D(ArJ=10x—X—=—,Z)(%J=10x—X—=—,滿足

1727

'3030901121272'貓i01090

D(X5)>D(X2)>D(%.).

4

當(dāng)a=8時(shí).，在每次射擊中，甲擊中大于8環(huán)的概率為尸=w，

3

在每次射擊中，乙擊中大于8環(huán)的概率為P=i，

在每次射擊中，丙擊中大于8環(huán)的概率為P=U,

由題意可知乂?卜；瑪?白

80,1,X2-B[10,1),8110,

此時(shí)(；(11488

OXj=10x*x=|,P%2)=10x1xl=y￡>(%,)=10x—x—

v37151545

滿足。(*3)＞。(牙2)＞。(%).

2

當(dāng)。=9時(shí)，在每次射擊中，甲擊中大于9環(huán)的概率為尸=不，

在每次射擊中，乙擊中大于9環(huán)的概率為尸=：,

4

13

在每次射擊中，丙擊中大于9環(huán)的概率為尸=.，

由題意可知乂?X??工?3(10,那

2a471%15H17771

此時(shí)O(Xj=10x*x2=一，D(yJ=10x-x-=—,D(yJ=10x—x-,

'"5520v27448v37303090

不滿足O(X3)>O(X2)>Z)(XJ.

18,已知7是O4:(x+l)2+y2=i6上的動(dòng)點(diǎn)(A點(diǎn)是圓心).定點(diǎn)8(1,0),線段78的中垂線交直線〃

于點(diǎn)P.

(1)求尸點(diǎn)軌跡「；

(2)設(shè)尸點(diǎn)(不在“軸上)在「處的切線是/.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。點(diǎn)做平行于/的直線，交直線P/、尸8分別于

點(diǎn)C、D.試求S'PAB-S&PCD的取值范圍.

【答案】（1）工+匕=1；

43

聲]

【解析】

【分析】（1）利用中垂線的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義求解;

\PA\\PB\

鬲局,設(shè)直線，的方程，聯(lián)立方程組由條件

（2）方法一：結(jié)合三角形面積公式可得￡P(guān)/8：SAPCD

\PA\\PB\

求腕，扃，由此可得S.p/8：Sj8解析式，再求其范圍;

方法二：結(jié)合橢圓的光線性質(zhì)證明歸。|=|尸。1=2,結(jié)合三角形面積公式可得

S.B:ShPCD=^\PA\\4-\PA\),再求其范圍即可.

【小問(wèn)1詳解】

由中垂線的性質(zhì)得|P5|=|PT],所以|尸5|十|「4卜|"|+|尸7卜4>|陰=2,

所以，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以48為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,

設(shè)該橢圓的方程為二+E=I,

a2b1

則。=2，b=yja2—1=^3?

因此，曲線「的方程為：—+^-=1.

43

【小問(wèn)2詳解】

hpA\]PB[sinZAPB以閥

方法一：因?yàn)椋篠“c。=-j-----------------------------=雨?麗，

-|PC||PZ)|sinZ.CPD\PC\\PD\

設(shè)。（%,%）,。（和,加）,尸（即為＞）?則J'p，

rclyp-yc\rL）\yp-yo

因?yàn)?存在斜率，設(shè)為2,

所以直線/的方程為卜=左（工一與）+力

x2y2_

聯(lián)立可得彳43,

y=k（x-xp）^yp

22

消去J,（4公+3）X+8（^-AXP）AX+4（^-AXP）-12=0?,

由已知，方程①的判別式A=64（M，—1）廉2-4（4〃2+3）[43-缶）2-12]=0,

所以4%2-（yp-hp）2+3=o,

所以（4-焉產(chǎn)+2xpy/-yJ+3=0②，

方程②的判別式A2=以沉-4（4一年）（3-吊）=16"+12郎—48,

又底+近=1,即3x；+4y：=12,

43

所以4=0,所以方程②的解為A=一;*，又4"=3（4-焉）,

,3x

所以％=一;;—p

所以直線/的方程為：?x+4_y=i

43

所以CQ：生x+"y=0③.

43

xn+1

又直線?出%=——y-\?,

yP

聯(lián)立③④，消，可得，子”,

辦為＞

解得”?

4+/

4+Xp

4

歸陽(yáng)二孫二4-馬

同理可得,

\PD\~yP-yD^4

所以：S“co[6'；又-2<Xp<2,

方法二：由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，/是/.4P3的外角平分線（如圖標(biāo)識(shí)）,

n-N4PR

即a=B

2

因?yàn)镃O〃/,所以NPCQ=a=4=NPZ）C,

從而|PC|=|PQ|,結(jié)合/COA=/BOD,

廣\AC\sinZCOAsinZBOD\BD\

所以由正弦定理可知品=際3=誨5=扃'

這意妖著|4C|二忸必，從而4=忸㈤+|P3|=|PC|+\PD\=2\PC\,