中考數(shù)學大題狂練之壓軸大題突破培優(yōu)練

二次函數(shù)與線段和角的數(shù)量關系問題

1.（2020年泰州第26題）

2.（2020年準安第27題）

3.（2020年常州第28題）

4.（2020年鎮(zhèn)江第28題）

5.（2019年宿遷28題）

（―【真題再現(xiàn)】0

6.（2019年鹽城27題）

7.（2018年常州28題）

專題5二次函8.（2019年蘇州28題）

數(shù)與線段和角9.（2018年無錫28題）

的數(shù)量關系問

題

【真題再現(xiàn)】

1.（2020年泰州第26題）如圖，二次函數(shù)yi=a（.x-m）2+n,y2=6a^+n（cz<0,m>Q,

力>0）的圖象分別為Cl、Cl,Cl交y軸于點P,點A在Ci上，且位于y軸右側，直線

以與C2在y軸左側的交點為B.

（備用圖）

（1）若P點的坐標為（0,2）,Ci的頂點坐標為（2,4）,求a的值;

（2）設直線出與y軸所夾的角為a.

①當a=45°,且A為Ci的頂點時，求am的值;

②若a=90°,試說明：當。、相、”各自取不同的值時，而的值不變；

(3)若出=2尸8,試判斷點A是否為Ci的頂點？請說明理由.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法解決問題即可.

(2)①如圖1中，過點A作AN_Lx軸于N,過點尸作PALLAN于M.證明

m,根據(jù)AM+MV=AM+0P=A7V,構建關系式即可解決問題.

②如圖2中，由題意AB_Ly軸，求出B4,尸2的長即可解決問題.

(3))如圖3中，過點A作軸于H,過點尸作PK_LAH于K,過點8作BE_LKP

交KP的延長線于E.設B⑶6ab2+n),由PA=2PB,推出A[-2b,a2b-m)2+n],

,BEPB1一

由BE//AK,推出—=—=推出AK=2BE,由此構建關系式，證明m=-2b即可

AKPA2

解決問題.

【解析】(1)由題意m=2,"=4,

.,.yi—a(x-2)2+4,

把(0,2)代入得到。=一/

(2)①如圖1中，過點A作AMLx軸于N,過點尸作PM_LAN于

'.P(0,anr+n),

VA(m,n),

:?PM=m,AN—n,

VZAPM=45°,

：.AM=PM=m,

m+am+"=

Vm>0,

??4H2=-1.

VP(0,?m2+n),

當y=arr?+n時，an?+n—6ax^^n，

解得x=±—m,

6

B(-anr'+n),

:?PB=咯加，

9：AP=2m,

PA2m「

而F=2后

6

(3)如圖3中，過點A作AH_Lx軸于”，過點P作PK_LAH于K,過點8作BELLKP

交KP的延長線于E.

設5Qb,6〃/十〃)，

*：PA=2PB,

???點A的橫坐標為-24

.*.A[-2b,a(-2Z?-m)2+n],

9：BE//AK,

.BEPB1

AK~PA~2"

：.AK=2BE,

:,a(-2/?-m)2+H-am2-n=2(am1+n-6ab^-〃),

整理得：m2-2bm-8Z?2=0,

(m-4Z?)(m+2Z?)=0,

■:m-4/?>0,

m+2/?=0,

?*in~~~2b,

AA(m,n),

???點A是拋物線Ci的頂點.

2.(2020年淮安第27題)如圖①，二次函數(shù)y=-/+版+4的圖象與直線/交于4-1,2)、

B(3,")兩點.點P是無軸上的一個動點，過點尸作x軸的垂線交直線/于點交該

二次函數(shù)的圖象于點N,設點P的橫坐標為楊.

(1)b=1,n=-2；

(2)若點N在點M的上方，且MN=3,求機的值；

(3)將直線AB向上平移4個單位長度，分別與x軸、y軸交于點C、D(如圖②).

①記△NBC的面積為Si,△N4C的面積為S2,是否存在相，使得點N在直線AC的上

方，且滿足SI-S2=6?若存在，求出能及相應的Si,S2的值；若不存在，請說明理由.

②當機＞-1時，將線段MA繞點/順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MF,連接FB、FC、OA.若

ZFBA+ZAOD-ZBFC^45°,直接寫出直線OF與該二次函數(shù)圖象交點的橫坐標.

【分析】(1)將點A坐標代入二次函數(shù)解析式中，求出b,進而得出二次函數(shù)解析式，

再將點2坐標代入二次函數(shù)中，即可求出”的值；

(2)先表示出點M,N的坐標，進而用MN=3建立方程求解，即可得出結論；

(3)①先求出點C坐標，進而求出直線AC的解析式，再求出直線BC的解析式，進而

表示出Si,S2,最后用SI-S2=6建立方程求出機的值；

②先判斷出C尸〃。4,進而求出直線CF的解析式，再判斷出A尸〃x軸，進而求出點尸

的坐標，即可求出直線的解析式，最后聯(lián)立二次函數(shù)解析式，解方程組即可得出結

論.

【解析】⑴將點A(-1,2)代入二次函數(shù)y=-/+6x+4中，得-1-b+4=2,

???二次函數(shù)的解析式為y=-?+x+4,

將點5(3,〃)代入二次函數(shù)y=-/+x+4中，得幾=-9+3+4=-2,

故答案為：1,-2；

(2)設直線A5的解析式為由(1)知，點3(3,-2),

VA(-1,2),

.C—k+a=2

**l3/c+a=一2'

.(k=-1

**ta=1

???直線AB的解析式為y=-x+l,

由(1)知，二次函數(shù)的解析式為y=-/+%+4,

??,點尸(m,0),

?\M(m,-m+1),N(m,-m2+m+4),

???點N在點M的上方，且MN=3,

-m2+m+4-(-m+1)=3,

.*.m=0或m=2；

(3)①如圖1,由(2)知，直線AB的解析式為y=-x+1,

工直線CD的解析式為y=-x+l+4=-x+5,

令y=0,則-x+5=0,

?.x=5,

：.C(5,0),

VA(-1,2),B(3,-2),

A直線AC的解析式為產(chǎn)-1x+f,直線BC的解析式為y=x-5,

過點N作y軸的平行線交AC于K,交BC于H,；點P(n0),

15

:?NQm,一zn9+zn+4),K(m,一可加+可)‘H(m,m-5),

247

n￡--

NK=-m+m+4+33

]]o47、o

?\S2=S^NAC=(XC-X4)=2(~m2+3)X6=-3m2+4m+7,

SI=SANBC=^NHX(XC-XB)=-徵2+9,

VSi-52=6,

-m2+9-(-3m2+4m+7)=6,

.*.m=l+V3(由于點N在直線AC上方，所以，舍去)或m=1-V5；

：.S2=-3m2+4m+7=-3(1-V3)2+4(1-V3)+7=2舊一1,

Si=-m2+9=-(1-V3)2+9=2V3+5：

②如圖2,

記直線AB與x軸，y軸的交點為/,L,

由(2)知，直線AB的解析式為y=-x+1,

：.I(1,0),L(0,1),

OL=OI,

：.ZALD=ZOLI=45°,

AZAOD^-ZOAB=45°,

過點B作2G〃O4,

，ZABG=ZOAB,

：.ZAOD+ZABG=45°,

:ZFBA=ZABG+ZFBG,ZFBA+ZAOD-ZBFC=45°,

AZABG+ZFBG+ZAOD-ZBFC=45°,

：./FBG=/BFC,

：.BG//CF,

：.OA//CF,

VA(-1,2),

，直線OA的解析式為y=-2x,

VC(5,0),

直線CF的解析式為y=-2尤+10,

過點A,尸分別作過點M平行于x軸的直線的垂線，交于點。，S,

由旋轉(zhuǎn)知，AM=MF,ZAMF=9Q°,

,AAMF是等腰直角三角形，

：.ZFAM=45a,

■：ZAIO=45°,

AZFAM=乙4/0,

尸〃x軸，

...點尸的縱坐標為2,

：.F(4,2),

，直線OF的解析式為尸占①，

?二次函數(shù)的解析式為》=-f+x+4②,

(1+V65(1-V65

聯(lián)立①②解得,J或J，

1+V651-V65

\y=~8-\y=-8-

'：m>-1,

3.(2020年常州第28題)如圖，二次函數(shù)y=f+6x+3的圖象與y軸交于點A,過點A作x

軸的平行線交拋物線于另一點8,拋物線過點C(l,0),且頂點為。，連接AC、BC、

BD、CD.

(1)填空：b=-4；

(2)點P是拋物線上一點，點尸的橫坐標大于1,直線PC交直線3。于點。.若NC。。

=ZACB,求點尸的坐標；

(3)點E在直線AC上，點E關于直線3。對稱的點為凡點尸關于直線2C對稱的點

為G,連接AG.當點/在無軸上時，直接寫出AG的長.

【分析】(1)將點C坐標代入解析式可求解；

(2)分兩種情況討論，當點。在點。上方時，過點C作CELA8于E,設8。與x軸交

于點R可得點E(l,3),CE=BE=3,AE=1,可得NEBC=NECB=45°,tan/ACE=

AT1

第=6，ZBCF=45°,由勾股定理逆定理可得N8CO=90°,可求/ACE=NDBC,

可得/ACB=NCED,可得點歹與點。重合，即可求點尸坐標；

當點。在點。下方時，過點C作CHLOB于在線段28的延長線上截取H尸=。8,

連接C。交拋物線于點P,先求直線解析式，點/坐標，由中點坐標公式可求點。

坐標，求出C。解析式，聯(lián)立方程組，可求點P坐標；

(3)設直線AC與BD的交點為N,作CHLBD于H,過點N作MNLx軸，過點E作

EM±MN,連接CG,GF,先求出/CNH=45°,由軸對稱的性質(zhì)可得￡N=NF,ZENB

Q

=ZFNB=45°,由“AAS”可證AEMNmANKF,可得EM=NK=(MN=KF,可求

CF=6,由軸對稱的性質(zhì)可得點G坐標，即可求解.

【解析】(1)?.?拋物線y=/+bx+3的圖象過點C(1,0),

；.0=1+6+3,

:?b=-4,

故答案為：-4；

(2)9：b=-4,

.?.拋物線解析式為y=--4x+3

:拋物線y=7-4x+3的圖象與y軸交于點A,過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點

B,

.?.點A(0,3),3=X2-4X+3,

.'.xi=0(舍去)，X2=4,

...點B(4,3),

-/y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

頂點。坐標(2,-1),

如圖1,當點。在點D上方時，過點C作CELAB于設2D與x軸交于點R

圖1

:點A(0,3),點、B(4,3),點C(1,0),CELAB,

.?.點E(l,3),CE=BE=3,AE=1,

：.ZEBC=ZECB=45°,tanZAC￡=

：.ZBCF=45°,

二點B(4,3),點C(l,0),點。(2,-1),

：.BC=V9T9=3V2,CD=V1T1=V2,BD=V(4-2)2+(3+l)2=2V5,

VBC2+CD2=20=B￡>2,

：.ZBCD^90°,

1

--tanZDBC=BC=^=w=tanZACE,

???NACE=NDBC,

：.NACE+NECB=NDBC+/BCF,

：.NACB=/CFD,

又Y4CQD=/ACB,

...點二與點Q重合,

.,.點P是直線CF與拋物線的交點,

.'.0—x1-4x+3,

??XI=1,X2=3,

???點P(3,0)；

當點。在點。下方上，過點。作于X,在線段5H的延長線上截取族=。H

■:CH1DB,HF=QH,

：?CF=CQ,

：.ZCFD=ZCQD,

：.ZCQD=ZACB,

???點5(4,3),點。(2,-1),

J直線8。解析式為：y=2x-59

一5

，點F(-,0),

2

*,?直線CH解析式為：y=-p

.\y=一尹+5

y=2x—5

(11

解得"飛,

3=一5

11Q

二?點〃坐標為(=",—q),

5，

?:FH=QH,

44

--

???直線C。解析式為:33

4,4

聯(lián)立方程組?y=—/+w

y=x2—4%+3

5

2--

得

解3

8

---

29

5

P-

3

58

--

綜上所述：點尸的坐標為（3,39

（3）如圖，設直線AC與8。的交點為N,作CH_LB￡＞于X,過點N作MALLx軸，過

點E作連接CG,GF,

直線AC解析式為：y=-3x+3,

(y=—3x+3

[y=2%—5，

8Q

???點N坐標為(二，一亮)，

5。

110

:點”坐標為(二，一百，

53

°11o3090118°39cq

：.CH2=(―-1)2+(-)2=：,2=(---)2+(屋+/2=:,

55》5HN5535

：.CH=HN,

：.ZCNH=45°,

??,點E關于直線BD對稱的點為F,

:?EN=NF,ZENB=ZFNB=45°,

:?/ENF=90°,

:./ENM+/FNM=90°,

又?：/ENM+/MEN=90°,

JZMEN=/FNM,

:.AEMN%ANKF(AAS)

9

:?EM=NK=W，MN=KF,

???點E的橫坐標為-1，

118

點E(一耳,—

27

：.MN=弋=KF,

.\CF=1+^-1=6,

???點F關于直線BC對稱的點為G,

：.FC=CG=6,ZBCF=ZGCB=45°,

：.ZGCF=90°,

.,.點G(1,6),

：.AG=V12+(6-3)2=V10.

4.(2020年鎮(zhèn)江第28題)如圖①，直線/經(jīng)過點(4,0)且平行于y軸，二次函數(shù)y=a/

-2ax+c(a,c是常數(shù)，a<0)的圖象經(jīng)過點M(-1,1),交直線/于點N,圖象的頂

點為。，它的對稱軸與x軸交于點C,直線DM、DN分別與無軸相交于A、B兩點.

(1)當〃=-1時，求點N的坐標及成;的值；

AC

(2)隨著。的變化，少的值是否發(fā)生變化？請說明理由；

BC

(3)如圖②，E是無軸上位于點B右側的點，BC=2BE,DE交拋物線于點尺若FB=

FE,求此時的二次函數(shù)表達式.

【分析】⑴證明△OMGS/\D4C,△DCBsADTN,求出AC=?,BC=|,即可求解;

(2)點ZX1,1-4a),N(4,1+5°),貝I]AfE=2,OE=-4a,由(1)的結論得：AC=士聿,

-LCL

8C=與力，即可求解；

5512

(3)利用△fWEs\CE,求出/(一——,即可求解.

2jD312a63

【解析】(1)分別過點M、N作MGLC。于點E,NTLOC于點T,

\'MG//TN//x^,

：.叢DMGs△DAC,/\DCB^/\DTN,

.MGDGBCDC

""AC~DCTN-DT'

a=-1,貝！］y=-/+2x+c,

將M(-1,1)代入上式并解得：c=4,

拋物線的表達式為：y=-/+2x+4,

則點。(1,5),N(4,-4),

則MG=2,DG=4,DC=5,TN=3,DT=9,

24BC56s

?解得：AC=2,BC=q,

AC—5'3

AC3

----=—?

BC2'

(2)不變，

理由：?.?尸0?-2依+。過點M(-1,1),貝!J〃+2〃+c=l,

解得：c—1-3”，

??y=aj^-2ox+(1-3i),

，點D(L1-4。)，N(4,1+5〃)，

：.MG=2,DG=-4a,0c=1-44,FN=3,DF=-9a,

由(1)的結論得：AC=主要，BC=上券，

-Ztt—DU

.AC3

??一;

BC2

(3)過點尸作切_Lx軸于點〃，則切〃/,則△尸HES^DCE,

:?BH=HE,

'：BC=2BE,

貝!JCE=6HE,

'：CD=1-4a,

1—4a

：.FH=~~6~

4a—1

9：BC=

3a

...CEHI=-57X-4^a5—1=20a—5

43a12a

將點尸的坐標代入-2ox+(1-3a)—a(x+1)(%-3)+1得:

125555

—~a4(一一一+1+1)(---+1-3)+1,

63312a312a

解得：〃=-1或，(舍棄),

q4

經(jīng)檢驗〃=

十.57,5,19

故y=一平+>+彳?

解法二：VAC：3c=3：2,BC=2BE,

：.AC=CE,

：.AD與DE關于直線CD對稱,

VAD,。石交拋物線于M,F,

：.M,廠關于直線8對稱，

：.F(3,1),

?12

??一——a—1,

63

??〃=~7?

,,,5o,5,19

故y=-4X+2x+~4'

5.(2019年宿遷28題)如圖，拋物線y=/+b無+c交x軸于A、B兩點，其中點A坐標為(1,

0),與y軸交于點C(0,-3).

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖①，連接AC,點尸在拋物線上，且滿足NP4B=2NACO.求點尸的坐標；

(3)如圖②，點。為x軸下方拋物線上任意一點，點。是拋物線對稱軸與x軸的交點,

直線A。、3。分別交拋物線的對稱軸于點M、N.請問。M+ON是否為定值？如果是,

請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

【分析】(1)把點4、C坐標代入拋物線解析式即求得6、c的值.

(2)點P可以在x軸上方或下方，需分類討論.①若點P在x軸下方，延長4P至

使AH=AB構造等腰△ABH,作BH中點G,即有/E4B=2/A4G=2/ACO,利用ZACO

的三角函數(shù)值，求BG、8”的長，進而求得H的坐標，求得直線A〃的解析式后與拋物

線解析式聯(lián)立，即求出點尸坐標.②若點尸在x軸上方，根據(jù)對稱性，AP一定經(jīng)過點X

關于x軸的對稱點H,求得直線的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點尸坐標.

(3)設點。橫坐標為f,用/表示直線A。、8N的解析式，把x=-1分別代入即求得點

M.N的縱坐標，再求OW、DV的長，即得到DM+DN為定值.

【解析】(1)?..拋物線y=/+bx+c經(jīng)過點A(1,0),C(0,-3)

?f聚c=。解得:『=2

(0+0+c=—3I。=-3

...拋物線的函數(shù)表達式為y=/+2x-3

(2)①若點尸在x軸下方，如圖1,

延長A尸到"使A8=A3,過點3作3/Lx軸，連接作出/中點G,連接并延長

4G交8/于點尸，過點”作HUB/于點/

,當.P+2x-3=0,解得：xi=-3,X2=1

：.B(-3,0)

VA(1,0),C(0,-3)

：.OA=l,OC=3,AC=Vl2+32=V10,AB=4

?./""八OA710/“八八OC3710

■?RtZ\AOC中，sin/ACO=，cos/ACO=~JQ-

'：AB=AH,G為①/中點

：.AG±BH,BG=GH

：.ZBAG=ZHAG,即/E4B=2/BAG

,：ZPAB=2ZACO

：.ZBAG=ZACO

/Tn

.?.n△A8G中，ZAGB=90°,sin/ft4G=譚=爵

.?―弗=爭

：.BH=2BG=^^-

'：ZHBI+ZABG=ZABG+ZBAG=90°

???ZHBI=ZBAG=ZACO

：.RtABHI^fZBIH=90°,sinNHB/=焉=挈，cosZHBI=

bibh

二聯(lián)播汨4=^=￥

，砧=一3+仁母，,弋,即打（一春一）

設直線AH解析式為y=kx+a

k+a=0

11,12

~~5k7+a=~~5

*,?直線AH：y=.

9

X-

2--4

y=4%解得：（即點A）,39

y-

y=%24-2x—32--16

939

_---

?416

②若點尸在x軸上方，如圖2,

在AP上截取AH1=AH,則與X關于x軸對稱

(一11甘—12)

55

設直線解析式為y=k'x+a'

k7+a/=0k

[-11k'+a'=12解得:

TTa

**?直線AH'：y=-4%+

15

%2二一彳

?.?)=一4久+4解得:（即點幻，

y=/+2%—357

.^=16

1557

：.P(一%—)

416

綜上所述，點尸的坐標為（-/-瑞）或（-苧，*.

(3)DM+DN為定值

:拋物線y=x2+2x-3的對稱軸為：直線x=-1

:.D(-1,0),XM=XN=-1

設。G,尸+2L3)(-3<?<1)

設直線AQ解析式為y=dx+e

?1d+e=0解得：｛二13

**tdt+e=t2+2t—3

,直線A。：y=(r+3)x-t-3

當x=-1時，yM=-t-3-t-3=-2t-6

：.DM=O-(-2Z-6)=2什6

設直線BQ解析式為y=mx+n

?f—3m+n=0冷刀汨fm=t—1

imt+n=t2+2t-3牛得，tn=3t—3

，直線5Qy=(Z-1)x+3r-3

當x=-1時，yN=-Z+l+3r-3=2t-2

：.DN=O-(2L2)=-2什2

為定值.

圖1

點睛：本題考查了求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式，解一元二次方程、二元一次

方程組，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應用.第（2）題由于不確定點尸位置需分類討

論；（2）（3）計算量較大，應認真理清線段之間的關系再進行計算.

6.（2019年鹽城27題）如圖所示，二次函數(shù)y=k（x-1）2+2的圖象與一次函數(shù)左+2

的圖象交于A、B兩點，點2在點A的右側，直線分別與尤、y軸交于C、。兩點，

其中k<0.

(1)求A、B兩點的橫坐標；

(2)若△OAB是以0A為腰的等腰三角形，求上的值；

(3)二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點E,是否存在實數(shù)總4變得/0DC=2NBEC,

若存在，求出左的值；若不存在，說明理由.

【分析】(1)將二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立得：k(x-1)2+2^kx-k+2,即可求解；

(2)分。4=42、兩種情況，求解即可；

(3)求出根=-法-k^Jk2+1,在中，tana==今=k+^Jk2+1=tan/8EC=

爵=人2,即可求解.

【解析】(1)將二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立得：k(x-1)2+2=kx-k+2,

解得：x=l和2,

故點A、B的坐標橫坐標分別為1和2；

(2)0A="22+1=遮,

①當0A=A2時，

即：1+/=5,解得：k=+2(舍去2)；

②當04=02時，

4+(Z+2)2=5,解得：左=-1或-3；

故人的值為：-1或-2或-3；

(3)存在，理由：

①當點8在x軸上方時，

過點B作BHLAE于點H,將△AHB的圖形放大見右側圖形，

過點A作/的角平分線交28于點過點〃作施7,42于點N,過點B作2K,

x軸于點K,

圖中：點A(1,2)、點、B(2,Z+2),貝！JAH=-Z,HB=1,

設：HM=m=MN,貝(J5M=1-加，

貝ljAN=AH=-k,AB=迎2+i,NB=AB-AN,

222

由勾股定理得：MB=NB+MNf

即：（1-m）2=W+3k2+1+左）2,

解得：m-—必-ky/k2+1,

在△AHM中，tana==g：=Z:+Vfc2+1=tanZBEC==k+2,

解得：k=±V3,

止匕時Z+2>0,則-2〈kVO,故：舍去正值，

故k=-V3；

②當點B在x軸下方時，

同理可得：tana=亨%=g=%+7^可不"1=tanNBEC=翳=—（女+2）,

解得：上亨或昔&

—4+

此時左+2V0,k<-2,故舍去------，

3

故%的值為：—舊或—

點睛：本題為二次函數(shù)綜合應用題，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形的知識，其中（3）,

通過tan2a求出tana,是此類題目求解的一般方法.

7.（2018年常州28題）如圖，二次函數(shù)>=-}/+灰+2的圖象與x軸交于點A、B,與y

軸交于點C,點A的坐標為（-4,0）,P是拋物線上一點（點尸與點A、B、C不重合）.

c3

（1）b=-,點B的坐標是（二，0）；

7C-2

（2）設直線尸2與直線AC相交于點是否存在這樣的點P,使得PM：MB^l：2?

若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由；

(3)連接AC、BC,判斷NCAB和NCA4的數(shù)量關系，并說明理由.

【分析】(1)由點A的坐標，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出6的值，代入y

=0求出x值，進而可得出點8的坐標；

(2)(解法一)代入x=0求出y值，進而可得出點C的坐標，由點A、C的坐標利用待

定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，假設存在，設點M的坐標為(m,1^+2),分B、P

在直線AC的同側和異側兩種情況考慮，由點8、M的坐標結合PM：MB=1：2即可得

出點尸的坐標，再利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關于根的一元二次方程，解

之即可得出結論；

(解法二)代入尤=0求出y值，進而可得出點C的坐標，由點A、C的坐標利用待定系

數(shù)法可求出直線AC的解析式，過點B作2次〃丁軸交直線AC于點次，過點P作PP

〃丫軸交直線AC于點P',由點B的坐標可得出8次的值，結合相似三角形的性質(zhì)可

得出PP的值，設點P的坐標為(x,-1X2-|A+2),則點P的坐標為G,4+2),結

362

合PP的值可得出關于x的含絕對值符號的一元二次方程，解之即可得出結論；

(3)(解法一)作NCA4的角平分線，交y軸于點E,過點E作EfUBC于點尸，設OE

OC1OE

=n,則CE=2-n,EF=n,利用面積法可求出n值，進而可得出一=-=——，結合

OA2OB

ZAOC=90°可證出△AOCs^BOE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出NC4O=

ZEBO,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出NCBA=2NE2O=2/C4B,此題得解；

(解法二)將沿y軸對折，交尤軸于點2',根據(jù)點A、B、C的坐標可得出點2,

的坐標，進而可得出AB'=B'C=8C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結合三角形的外角性質(zhì)，

可得出NC54=2NCA2.

【解析】(1)???點A(-4,0)在二次函數(shù)y=-扛2+公+2的圖象上，

—46+2—0,

當y=0時，有一g2-小%+2=0,

解得：xi=-4,X2=I，

3

???點5的坐標為（二，0）.

故答案為：Y；（二,0）.

62

（2）（方法一）當冗=0時，y=一獲+2=2,

二點C的坐標為（0,2）.

設直線AC的解析式為y=h+c?（左W0）,

將A（-4,0）、C（0,2）代入v=fcc+c中，

1

C-Of-

解得

得-c-2

-

C2

一1

工直線AC的解析式為y=g+2.

_1

假設存在，設點M的坐標為（m,-m+2）.

2

3a3

①當點尸、5在直線AC的異側時，點尸的坐標為（/一不，-m+3）,

,/點P在拋物線尸-#-1x+2上，

3I33?53

m+3=—9X（-m—7）2—7X（一機一彳）+2,

4324624

整理，得：12毋+20m+9=0.

VA=202-4X12X9=-32<0,

方程無解，即不存在符合題意得點尸；

121

②當點尸、5在直線AC的同側時，點尸的坐標為（鼻小+彳，-m+1）,

??,點P在拋物線產(chǎn)-|x+2上，

11137513

m+l=—oX（-m+-r）—yx（-m+-r）+2,

4324624

整理，得：4m^+44m-9=0,

-11+7130

解得:mi=—m2=

22，

點P的橫坐標為-2-等或-2+等.

點P的橫坐標為-2-等或-2+零

綜上所述：存在點P,使得PM：MB=1：2,

q4,

（方法二）當x=0時，v=-lx2-f.r+2=2,

二點C的坐標為（0,2）.

設直線AC的解析式為y=h+c?（左W0）,

將A（-4,0）、C（0,2）代入v=fcc+c中，

1

C-Of-

得

-解得c-2

-

c2

一1

，直線AC的解析式為y=g+2.

過點3作3次〃丁軸交直線AC于點8，，過點尸作PP〃丁軸交直線AC于點P

如圖1-1所示.

3

??,點5的坐標為（-，0）,

2

311

???點4的坐標為（一，—）,

24

,DDr—1'1'

一甲

9：BB,//PP',

：./\PP'Ms^BB'M,

.PPIPM1

??BB，~BM~2

:.pp'=祟

設點P的坐標為（x,則點P'的坐標為（x,-X+2）,

362

iq11411

oo=

PP=|—QX—z%+2-（-x+2）|—\~x+QX\-Q-,

13623318

解得…=一2-等，也=-2+零，

,存在點尸，使得PM：MB=1：2,點尸的橫坐標為-2—綽^或-2+綽^

（3）（解法一）/CBA=2/CAB,理由如下：

作/C8A的角平分線，交y軸于點E,過點E作于點孔如圖2所示.

3

:點B（-,0）,點C（0,2）,

2

35

OB=OC=2,BC=|.

設OE=〃，則CE=2-九，EF=n,

由面積法，可知：LOB?CE=3BC?EF,即三(2-n)=^n

2222

解得：n=

OC1OE

*.*—=-=—,ZAOC=90°=/BOE,

OA2OB

：.XAOCsXBOE,

：.ZCAO=ZEBOf

???ZCBA=2ZEBO=2ZCAB.

(解法二)ZCBA=2ZCAB,理由如下：

將8c沿y軸對折，交x軸于點次，如圖3所示.

3

???點8(-,0),點C(0,2),點A(-4,0),

:?點、B'(—2?0),

：.AB'=一|一(-4)=|,B'C=J22+(|)z=|,

：.AB'=B'C=BC,

：.ZCAB=ZACB',NCBA=/CB'B.

"：ZAB'B=NCAB+NACB',

：.ZCBA=2ZCAB.

點睛：題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、三角形

的面積、勾股定理、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題

的關鍵是：（1）由點A的坐標，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出b的值；（2）（解

法一）分8、P在直線AC的同側和異側兩種情況找出點尸的坐標；（解法二）利用相似

三角形的性質(zhì)找出PP'=~（3）（解法一）構造相似三角形找出兩角的數(shù)量關系；（解

法二）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結合三角形的外角性質(zhì)找出NCA4=2NC4艮

8.（2019年蘇州28題）如圖①，拋物線y=-x?+（a+1）x-a與x軸交于A,8兩點（點A

位于點8的左側），與y軸交于點C.已知△ABC的面積是6.

（1）求a的值；

（2）求△ABC外接圓圓心的坐標；

（3）如圖②，尸是拋物線上一點，Q為射線C4上一點，且尸、。兩點均在第三象限內(nèi)，

。、A是位于直線BP同側的不同兩點，若點P到x軸的距離為d,AQPB的面積為2d,

且/出。=/4。3,求點。的坐標.

【分析】(1)由y—-x2+(a+1)x-a,令y=0,即-x2+(a+1)x-a—0,可求出A、B

坐標結合三角形的面積，解出a=-3；(2)三角形外接圓圓心是三邊垂直平分線的交點，

求出兩邊垂直平分線，解交點可求出；

(3)作PMLx軸，則SAB4P=/B?PM=ix4d由&PQB=S△出B可得A、Q到PB的距

離相等，得到A?！ㄊ?,求出直線PB的解析式，以拋物線解析式聯(lián)立得出點P坐標，由

于APB。絲△ABP,可得PQ=AB=4,利用兩點間距離公式，解出相值.

【解析】(1)Vy=-/+(a+1)x-a

令y=0,即-7+(a+1)尤-a=0

解得xi=a,%2=1

由圖象知：a<0

：.A(a,0),B(1,0)

?S/\ABC=^

1

(1-a)(-a)=6

解得：a--3,(a=4舍去)

(2)VA(-3,0),C(0,3),

：.OA=OC,

；?線段AC的垂直平分線過原點,

線段AC的垂直平分線解析式為：>=-尤,

;由A(-3,0),B(1,0),

線段AB的垂直平分線為》=-1

將尤=-1代入y=-x,

解得：y=l

.?.△ABC外接圓圓心的坐標(-1,1)

(3)作PMlx軸交x軸于M,則S^BAP=^AB-PM=1X4d

S^PQB=SAPAB

，A、。到尸8的距離相等，

：.AQ//PB

設直線尸2解析式為：y=x+b

;直線經(jīng)過點B(1,0)

所以：直線PB的解析式為y=x-1

聯(lián)立,=—/2X+3

iy=x—1

解得：g:::

???點尸坐標為(-4,-5)

又?.,NB4Q=NAQB,

:?/BPA=/PBQ,

：.AP=QB,

在△P5Q與△5B4中，

AP=QB

Z-BPA=(PBQ,

PB=BP

名△ABP(SAS),

：.PQ=AB=4

設Q(徵，m+3)

由尸。=4得：

(m+4)2+(m+3+5)2=42

解得：m=-4,m=-8(當加=-8時，NB4QWNAQB,故應舍去)

Q坐標為（-4,-1）

點睛：本題考查二次函數(shù)的綜合應用，函數(shù)和幾何圖形的綜合題目，拋物線