勾股定理的逆定理（第1課時）人教版八年級數(shù)學(xué)下冊命題1

如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2．這個命題的條件和結(jié)論分別是什么？條件：直角三角形的兩直角邊長為a，b，斜邊長為c．結(jié)論：a2＋b2＝c2．如果將條件和結(jié)論反過來，這個命題還成立嗎？思考據(jù)說，古埃及人曾用如圖所示的方法畫直角．這種方法對嗎？345三邊分別為3，4，5，滿足關(guān)系：32＋42＝52，則該三角形是直角三角形．畫一畫：下列各組數(shù)中的兩數(shù)的平方和等于第三數(shù)的平方，分別以這些數(shù)為邊長畫出三角形（單位：cm）．①2.5，6，6.5； ②6，8，10；③4，7.5，8.5．探究量一量：用量角器量一量，它們是什么三角形？直角三角形由前面幾個例子，我們可以作出什么猜想？如果三角形的三邊長a，b，c

滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．命題1

如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2．命題

2

如果三角形的三邊長a，b，c

滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．這兩個命題有什么不同？題設(shè)結(jié)論題設(shè)結(jié)論命題1

與命題2

的題設(shè)、結(jié)論正好相反．我們把像這樣的兩個命題叫做互逆命題．如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題．概念說出下列命題的逆命題．這些逆命題成立嗎？（1）兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；（2）如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；（3）全等三角形的對應(yīng)角相等；（4）在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．解：（1）內(nèi)錯角相等，兩直線平行，成立；（2）如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)相等，不成立；解：（3）對應(yīng)角相等的兩個三角形全等，不成立；（4）角平分線上的點到角兩邊的距離相等，成立．說出下列命題的逆命題．這些逆命題成立嗎？（1）兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；（2）如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；（3）全等三角形的對應(yīng)角相等；（4）在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．一般地，原命題成立時，它的逆命題可能成立，也可能不成立．思考命題2

正確嗎？如何證明呢？△ABC是直角三角形∠C是直角？a2＋b2＝c2a2＋b2＝c2畫一個兩條直角邊分別為a，b

的直角三角形，如果△ABC與這個直角三角形全等，那么△ABC就是直角三角形．證明：畫一個△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝a，C′A′＝b．∵∠C′＝90°，∴

A′B′2＝a2＋b2＝c2，∴

A′B′＝c．在△ABC

和△A′B′C′中，BC＝a＝B′C′，CA＝b＝C′A′，AB＝c＝A′B′．∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．∴∠C＝∠C′＝90°．即△ABC是直角三角形．這樣我們證明了命題2

是正確的，它也是一個定理．我們把這個定理叫做勾股定理的逆定理．如果三角形的三邊長a，b，c

滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．作用：判定一個三角形三邊滿足什么條件時為直角三角形．一般地，如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，稱這兩個定理互為逆定理．勾股定理是直角三角形的一個性質(zhì)定理，而其逆定理是直角三角形的一個判定定理．例1

判斷由線段a，b，c

組成的三角形是不是直角三角形：（1）

a＝15，b＝8，c＝17；（2）a＝13，b＝14，c＝15．分析：只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方．解：（1）∵

152＋82

＝225＋64＝289，172

＝289，∴152＋82

＝172．∴

以15，8，17

為邊長的三角形是直角三角形．像15，8，17

這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．例1

判斷由線段a，b，c

組成的三角形是不是直角三角形：（1）

a＝15，b＝8，c＝17；（2）a＝13，b＝14，c＝15．解：（2）∵

132＋142

＝169＋196＝365，152

＝225，∴

132＋142

≠152．∴

這個三角形不是直角三角形．例1

判斷由線段a，b，c

組成的三角形是不是直角三角形：（1）

a＝15，b＝8，c＝17；（2）a＝13，b＝14，c＝15．例2

在△ABC

中，a∶b∶c＝9∶15∶12，試判斷△ABC

是否是直角三角形．解：依題意知

b

是最長邊，設(shè)

a＝9k，b＝15k，c＝12k(k＞0)，∵

a2＋c2＝(9k)2＋(12k)2＝225k2，b2＝(15k)2＝225k2，∴