一次函數(shù)

（第5課時）人教版八年級數(shù)學下冊

1．什么是一次函數(shù)？一次函數(shù)與正比例函數(shù)有什么關系？

一般地，形如

y＝kx＋b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．

當

b＝0時，y＝kx＋b即

y＝kx，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)．

2．一次函數(shù)的圖象是什么？

一次函數(shù)

y＝kx＋b(k≠0)的圖象是一條直線，我們稱它為直線

y＝kx＋b．

直線

y＝kx＋b可以由直線

y＝kx通過平移得到．

3．一次函數(shù)有什么性質(zhì)？一次函數(shù)

y＝kx＋b（k，b是常數(shù)，k≠0）具有如下性質(zhì)：當

k＞0時，y隨

x

的增大而增大；當

k＜0時，y隨

x

的增大而減小．

某物體沿一個斜坡下滑，它的速度

v（m/s）與其下滑時間

t（s）的關系如圖所示．（1）寫出

v

關于

t

的函數(shù)解析式；（2）下滑

3

s

時物體的速度是多少？確定正比例函數(shù)

v＝kt的解析式需要幾個條件？問題t/s321Ov/（m/s）1234564確定正比例函數(shù)

v＝kt的解析式，只需要求出

k的值．從已知條件可以列出關于

k的一元一次方程，即可求出

k．問題（1）寫出

v關于

t

的函數(shù)解析式；（2）下滑

3

s

時物體的速度是多少？t/s321Ov/（m/s）1234564

某物體沿一個斜坡下滑，它的速度

v（m/s）與其下滑時間

t（s）的關系如圖所示．

解：（1）設

v關于

t的函數(shù)解析式為

v＝kt(k≠0)．因為點(2，5)在圖象上，所以

5＝2k，解得

k＝2.5，所以

v＝2.5t．

（2）當

t＝3時，v＝2.5×3＝7.5（m/s）．t/s321Ov/（m/s）1234564先設出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而得出函數(shù)解析式的方法，叫做待定系數(shù)法．

已知一次函數(shù)的圖象過點(3，5)與(－4，－9)，求這個一次函數(shù)的解析式．

分析：求一次函數(shù)

y＝kx＋b的解析式，關鍵是求出

k，b的值．從已知條件可以列出關于

k，b的二元一次方程組，并求出

k，b．問題

解：設這個一次函數(shù)的解析式為

y＝kx＋b(k≠0)．因為

y＝kx＋b的圖象過點(3，5)與(－4，－9)，所以解方程組得這個一次函數(shù)的解析式為

y＝2x－1．一設二列三解四寫由于一次函數(shù)

y＝kx＋b中有

k

和

b

兩個待定系數(shù)，因此用待定系數(shù)法時需要根據(jù)兩個條件列二元一次方程組（以

k

和

b

為未知數(shù)）．解方程組后就能具體寫出一次函數(shù)的解析式．畫一次函數(shù)的圖象和用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式從兩方面說明：函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx＋b滿足條件的兩定點(x1，y1)與(x2，y2)一次函數(shù)的圖象直線l選取解出畫出選取

例1

已知一次函數(shù)

y＝kx＋b的圖象經(jīng)過點(－1，1)和點(1，－5)，求當

x＝5時，函數(shù)

y

的值．

解：由題意，得解這個方程組，得這個一次函數(shù)的解析式為

y＝－3x－2．當

x＝5時，y＝－3×5－2＝－17．用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的步驟：（1）設一次函數(shù)的解析式為

y＝kx＋b(k≠0)；（2）將已知的

x，y的對應值（至少兩組）代入所設的解析式中，得到關于系數(shù)

k，b的方程組；（3）解方程組求得系數(shù)

k，b的值；（4）把

k，b的值代入所設的解析式，寫出解析式．

例2

已知某一次函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式為_____________．

解析：由圖可知，直線交

x軸于點(3，0)，交

y軸于點(0，－1)，可設其解析式為y＝kx＋b(k≠0)，于是得方程組解方程組得所以這個一次函數(shù)的解析式為

．求一次函數(shù)的解析式時，關鍵是找出圖象所經(jīng)過的兩點，常見的有兩種類型：（1）以“數(shù)”的方式給出兩點（如直接給出直線經(jīng)過的兩點的坐標），此時需要借助方程思想，列方程（組）求解．（2）以“形”的方式給出兩點（如給出一次函數(shù)的圖象），此時需要找出圖象上的兩點的坐標，代入解析式正確求解．在找圖象上的兩點時，往往優(yōu)先選取圖象與坐標軸的交點或坐標為整數(shù)的點．

例3

一輛汽車勻速行駛，當行駛了

20

km時，油箱剩余

58.4

L油，當行駛了

50

km時，油箱剩余

56

L油．如果油箱中剩余油量

y（L）與汽車行駛的路程

x（km）之間是一次函數(shù)關系，請求出這個一次函數(shù)的解析式，并寫出自變量

x的取值范圍以及常數(shù)項的意義．

解：設所求一次函數(shù)的解析式為

y＝kx＋b(k≠0)．根據(jù)題意，把已知的兩組對應值(20，58.4)和(50，56)代入y＝kx＋b，得所以－0.08x＋60≥0，所以

0≤x≤750．解方程組得這個一次函數(shù)的解析式為

y＝－0.08x＋60．因為剩余油量

y≥0，解得

x≤750．因為路程

x≥0，因為當

x＝0時，y＝60，所以常數(shù)項60代表這輛汽車行駛前油箱存油

60

L．在實際問題中確定函數(shù)解析式的兩個關鍵：（1）根據(jù)實際問題確定函數(shù)類型（是一次函數(shù)還是正比例函數(shù)），并設出相應的