專練33高考大題專練(三)數(shù)列的綜合運(yùn)用

1.[2024?全國(guó)甲卷(理)]記S.為數(shù)列｛詼｝的前w項(xiàng)和，且4s,=3詼+4.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，=(—I)"'。",求數(shù)列｛父｝的前n項(xiàng)和Tn.

解析：(1)因?yàn)?S”=3a〃+4,所以4s〃+i=3a”+i+4,兩式相減得4a〃+i=3a〃+i—3a〃，即a”+i=-3a〃.

又因?yàn)?si=3m+4,所以m=4,故數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為4,公比為一3的等比數(shù)列.

所以斯=4(—3)「i.

(2)方法一由⑴及題意得，-=(—1廣1〃斯=4〃-3"-1,所以。=4(1?3°+27+3―32+…+”3E)，

1—3"

37；=4(1-31+2-32+3-334-------兩式相減可得一2〃=4(1+3i+3?H----卜3"七一〃-3")=4(^y—

"?3”)=(2—4〃)3"—2,

所以7；=(2n-l)3"+l.

方法二由(1)及題意得小=(-1)"-%。"=4〃3廠1,所以當(dāng)"22時(shí)，。=〃-1+4止3"-1,兩邊同時(shí)減去(2”

—1)3",得口一(2〃-1)3"=T“T—(2〃-3)3"3,故｛》一(2〃-1)3Q為常數(shù)列*

所以〃一(2w—l)3"=Ti—(2Xl—l).3=l,所以T“=(2w—1)3〃+1,.當(dāng)w=l時(shí)，/=4=4,滿足

上式，所以〃=(2"—1)3"+1.

2.設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,且d>l.令d=~^,記S”7“分別為數(shù)列｛?,｝,2“｝的前”項(xiàng)和.

(1)若3a2=3.+的,S3+73=21,求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)若｛為｝為等差數(shù)列，且S99—799=99,求d.

解析：⑴因?yàn)?〃2=3。1+的,所以3(〃2—。1)=。1+24,

所以3d=m+2d,所以〃i=d,所以斯=〃].

e,n2+nn2+nn~\-1

因?yàn)閎n=~^r'所以bn=~^~=~r-

—3(的+的)3(d+3d),?2.3,49

所以S3=2=—2—=6d,73=%+歷+優(yōu)=行+z+行=r

因?yàn)?+73=21,

91

所以6d+/=21,解得d=3或d=],

因?yàn)閐>l,所以d=3.

所以｛斯｝的通項(xiàng)公式為%=3n.

(2)因?yàn)閮?2三,且｛兒｝為等差數(shù)列，

所以262=61+63,即2義，=.+.,

〃2〃3

所以m+d=ax+2d)所以帚-3aM+2/=0,

解得ai=d或=2d.

?2+nH2+H〃+1

①當(dāng)41=d時(shí)，a=nd,所以兒=

nnd~~d~

an

99(。1+。99)99(d+99d)

S99—2-----2-----=99X501,

99亭%99X51

99(Z?i+/?99)

T99—22—d

因?yàn)?99-799=99,

99X51

所以99X50Q——2—=99,

即50/—d—51=0,

解得d=|^或d=—1（舍去）.

n2+?_n

②當(dāng)〃i=2d時(shí)，an=(n+l)d9所以為=

an(n+1)dd'

99(〃l+〃99)99(2d+100d)

=99X51d,

899=n2

99出十為9)"()+萬)99X50

%>=2=2=F-

因?yàn)镾99—799—99,

“、)99X50

所以99X51d——z—=99,

即51^-J-50=0,

解得d=一瑞(舍去)或d=l(舍去).

綜上，d=|^.

［斯+1，”為奇數(shù)，

3.已知數(shù)列｛斯｝滿足m=1,an+i=\I—斗/用火

〔斯+2,”為偶數(shù).

⑴記仇=如，寫出"，歷，并求數(shù)列｛仇｝的通項(xiàng)公式；

（2）求｛斯｝的前20項(xiàng)和.

解析：（1）由題設(shè)可得匕1=。2=。1+1=2,岳=。4=俏+1=。2+2+1=5

又。2）1+2=。2k+1+1,。2左+1=。2左+2,（々GN*）

故。2/+2="2*+3,即b"+i=b”+3,即6"+i—3=3

所以｛60｝為等差數(shù)列，故6"=2+（〃-1）X3=3w—1.

(2)設(shè)｛〃〃｝的前20項(xiàng)和為S20,則S20=〃l+〃2+〃3+…+。20,

因?yàn)椤?=〃2—1,〃3=。4—1,…，〃19=。20-1,

所以S20=2(〃2+〃4H--------F〃18+〃20)—10

=2(加+歷+…+69+610)—10

(I9X101

=2X110X2+^—X3J-10=300.

4.[2022?新高考I卷]記a為數(shù)列｛斯｝的前，項(xiàng)和，已知勾=1,是公差為g的等差數(shù)歹U.

⑴求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：—+~H----------1~工<2.

''a\。2an

解析：(l)*.*ai=l,=1.

又：榭是公差為3的等差數(shù)列,

?SnS\,1

??一=一十孑(

斯Ql3'n—1),

121

即s〃=q)斯=](幾+2)?！?，

當(dāng)時(shí)，S〃—i=g(九+1)斯—1,

??斯=S〃S九-i=g(幾+2)斯,(幾+1)?！ā?,〃22,即(幾一1)&=(〃+1)斯—],〃22,

飆n+1

,心2,

〃八一1n~1

aa-\的。2■+143n(n+1)n(〃+l)

???當(dāng)2時(shí),---n.---n-.???.—.—Q〃=2

〃12T=2-

an-\an-i2n~1n~2

n(〃+1)

當(dāng)n=l時(shí)，a\=l滿足上式，.\a

n2

、-I1,幾(n+1)

(2)證明：由(1)知斯=2?

?1—=2(』一,)，

Clnn(〃+1)H〃+1

+~~\------=2(1-]+]—7H-------------^7)=2(1—).

v

a\a2an223nn+1n+1

?.,〃￡N*,???0V=7W、,「.I一一7<1,

n-r12n-r1

2(1—-77)<2,+~T-------1--<2.

〃

'n+1a\2an

5.[2023?全國(guó)甲卷（理）]記與為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，已知〃2=1，2Sn=nan.

⑴求｛斯｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)歹U｛羅｝的前〃項(xiàng)和Tn.

解析：(1)當(dāng)〃=1時(shí)，2si=ai,即2ai=ai,所以的=0.

當(dāng)時(shí)，由2sH=na〃,得2S〃—1=(〃一1)an-\?

兩式相減得2an—nan—(n—1)tzn-1,

即(九一1)斯—i=(〃-2)an，

當(dāng)〃=2時(shí)，可得〃i=0,

故當(dāng)心3時(shí)，巫=二，則①?—?…?竽A

an-in-2'、an-\an-i"2n—2n-3

整理得廣=九一1,因?yàn)椤?=1,所以斯=〃一1(〃23).

0-2

當(dāng)〃=1,〃=2時(shí)，均滿足上式，所以詼=〃一1.

(2)方法一令為二等1=生,

12H—1YI

則Tn=bi+b2-\-----\-bn-l+bn=2+分----卜2G+師①，

由①一②得；Tn=2+今+*T----卜、n2

=

即Tn2-2(

方法二設(shè)瓦=

所以打=等1=號(hào)=(2〃+0/g

故4=],b=0,q=/.

故人=亡=至=一1'

=—2,C=—B=2.

小〃2+n

故G=(A〃+8)q"+C=(一〃一2)團(tuán)+2,整理得Tn=2~—.

21

6.記a為數(shù)列｛出｝的前見項(xiàng)和，瓦為數(shù)列⑸｝的前〃項(xiàng)積，已知2+=2.

°n

(1)證明：數(shù)列仍“｝是等差數(shù)列；

(2)求｛斯｝的通項(xiàng)公式.

解析：(1)因?yàn)閮菏菙?shù)列｛8｝的前〃項(xiàng)積,

h

所以〃22時(shí)，S〃=U,

bn-l

212bLi

代入不+v~=2可得,+b=2,

bnn

整理可得2bn-l+l=2bn,即bn—bn-i=^(〃22).

2133

又而+而=5=2,所以加=],

故電｝是以3當(dāng)為首項(xiàng)，\1為公差的等差數(shù)列.

⑵由⑴可知,兒=<,則]+熹=2,所以斗=鬻,

3

當(dāng)n—1時(shí)，ai=Si=2，

〃、,〃+2〃+11

當(dāng)"12時(shí)'an=Sn-Sn-1=-^=~n(；1+1)

心，"=1

故""=j]>?-

In(w+1)-2

an—6,〃為奇數(shù)

7.[2023?新課標(biāo)H卷]已知｛%｝為等差數(shù)列，b=c在佃翔?記5"，T"分別為數(shù)列｛斯｝，｛d｝的前

n2斯，〃為偶數(shù)

”項(xiàng)和，S4=32,73=16.

(1)求｛如｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：當(dāng)〃>5時(shí)，Tn>S?.

解析：(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d

、fa—6,w為奇數(shù)

因?yàn)閐=[n,〃為偶數(shù)，

所以仇=〃1—6,岳=2。2=2〃1+2",/?3=的—6=〃i+2d—6.

因?yàn)镾4=32,A=16,

4〃i+6d=32

所以

(ai—6)+(2〃i+2d)+(。1+2d—6)=16

得I12防-+3d7=16=5

整理,,解得

d=2

所以｛?！ǎ耐?xiàng)公式為?！?2幾+3.

(2)由(1)知〃〃=2幾+3,

底5+(2〃+3)]

所以S—=層+4〃.

n2

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，

4=(—l+14)+(3+22)+(7+30)H——4(2九一7)+(4幾+2)]+2九一3=[—l+3+7H——F(2H-7)+(2H-

n-\-1n—1

2(-1+2H-3)亍(14+4n+2)3層+5〃-10

〃

3)]+[14+22+30H——F(4+2)]=------2+2—2

3層+5幾一10層一3九一10(〃一5)(〃+2)

當(dāng)〃時(shí)，T~S=一("+4〃)=

>5nn22----------9------------>0,

所以Tn>S〃.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，7；=(—1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2〃-5)+(4〃+6)]=[—l+3+7H——H(2H-5)]

nn

2(—1+2〃-5)2(14+4〃+6)3/+7〃

+[14+22+30+,,?+(4n+6)]=.

3n2ltl

當(dāng)心5時(shí)，Tn-Sn=^一(層+4〃)=^^二