第04講矩形的判定

模塊導(dǎo)航素養(yǎng)目標(biāo)—

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.理解并掌握矩形的判定定理，能有理有據(jù)的推理證明,

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）精練準(zhǔn)確地書寫表達(dá)；

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三2.能熟練應(yīng)用矩形的性質(zhì)、判定等知識(shí)進(jìn)行有關(guān)證明和

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)計(jì)算。

6模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)-----------------------------

1.定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形;

矩形的判定2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；

3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

矩形的判定

矩形的判定有三種方法：

1.定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形；

2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；

3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

要點(diǎn)：在平行四邊形的前提下，加上“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

考點(diǎn)一：矩形的判定定理理解

例1.（23-24八年級(jí)下?重慶九龍坡?期中）下列說法正確的是（）

A.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是矩形B.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是矩形

【答案】B

【分析】本題考查了矩形的判定定理，掌握以上定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)矩形的判定定理逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】解：A、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以A選項(xiàng)不符合題意；

B、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，所以B選項(xiàng)符合題意；

C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以C選項(xiàng)不符合題意；

D、對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，所以D選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【變式1-1］（23-24八年級(jí)下?江蘇南京?期中）要判斷一個(gè)四邊形的窗框是否為矩形，可行的測(cè)量方案是（）

A.測(cè)量?jī)山M對(duì)角是否互補(bǔ)B.測(cè)量對(duì)角線是否相等

C.測(cè)量對(duì)角線是否互相平分D.測(cè)量對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否都相等

【答案】D

【分析】本題主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形;

（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（3）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形.根據(jù)矩形的判定定

理判定即可.

【詳解】解：A、測(cè)量?jī)山M對(duì)角是否互補(bǔ)，不能判定四邊形的形狀，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、測(cè)量對(duì)角線是否互相平分，能判定平行四邊形，不一定是矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、根據(jù)對(duì)角線相等且互相平分四邊形是矩形，可知量出對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離，看是否相等，可

判斷是否是矩形.故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【變式1-2］（23-24八年級(jí)下?重慶江津?階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形

B.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

C.對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形

D.三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

【答案】A

【分析】本題主要考查了矩形的判定定理，熟知矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，原說法錯(cuò)誤，符合題意；

B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，原說法正確，不符合題意；

C、對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，原說法正確，不符合題意；

D、三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，原說法正確，不符合題意；

故選：A.

【變式1-3］（23-24八年級(jí)下?廣東深圳?階段練習(xí)）已知四邊形/BCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,則下列條件中

不能判定它是矩形的是（）

A.AB=CD,AB//CD,ABAD=90°

B.AO=CO,BO=DO,AC=BD

c.ZBAD=ZABC=90°,ZBCD+ZADC=180°

D.NBAD=ZBCD,ZABC=/ADC=90°

【答案】C

【分析】本題考查的是矩形的判定，熟記判定方法是解本題的關(guān)鍵.矩形的判定定理有：（1）有一個(gè)角是

直角的平行四邊形是矩形.（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.（3）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形

是矩形.據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：如圖，

AB=CD,AB//CD,

二四邊形/BCD是平行四邊形，

又/B4D=90°,

平行四邊形/BCD是矩形，故A不符合題意；

,/AO=CO,BO=DO,AC=BD,

根據(jù)“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”可以判定平行四邊形ABCD是矩形,

故B不符合題意；

/BAD=ABC=90°,NBCD+/ADC=180°,

二AD//BC,

但NBCD不一定與//OC相等，無法判定四邊形48CD是矩形，

故C符合題意；

,//BAD=NBCD/ABC=NADC=90°,

ABAD=ZABC=ZACD=90°,

四邊形/BCD是矩形，故D不符合題意；

故選：C.

考點(diǎn)二：添一條件使四邊形是矩形

［、］例2.（23-24八年級(jí)下?山西呂梁?期中）如圖，在平行四邊形48。中，對(duì)角線/C,BD交于點(diǎn)O,

AC=6,若要使平行四邊形/BCD為矩形，則08的長(zhǎng)度應(yīng)為

【答案】3

【分析】本題考查了矩形的判定，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，即可解答，熟知相關(guān)判定方法是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???四邊形/BCD為平行四邊形，

:.BO=-BD,

2

要使平行四邊形48co為矩形，則需要AD=/C=6,

08的長(zhǎng)度應(yīng)為，BD=3,

2

故答案為：3.

【變式2-1]（2024?云南曲靖?二模）如圖，已知在四邊形48CD中，對(duì)角線ZC,5。交于點(diǎn)O,且

OA=OC,OB=OD,要使四邊形/BCD是矩形，可添加一個(gè)條件是.

【答案】/C=BZ）不唯一

【分析】根據(jù)對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，添加條件即可.本題考查了矩形的判定，熟練掌握

判定定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】?/OA=OC,OB=OD,AC=BD,

.??四邊形N8C。是矩形，

故答案為：AC=BD.

【變式2-2]（2024?黑龍江佳木斯?二模）如圖，已知Y中對(duì)角線ZC,AD相交于點(diǎn)O,請(qǐng)你添加一

個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使Y成為一個(gè)矩形.你添加的條件是（填一個(gè)即可）.

【答案】AC=BD（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)矩形的判定定理（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）推出即可.此題主要考查了矩形的判定,

關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定定理，難度不大.

【詳解】解：添加的條件是/C=3D（答案不唯一），

理由是：???/C=8。，四邊形/BCD是平行四邊形，

二平行四邊形/BCD是矩形，

故答案為：AC=BD（答案不唯一）.

【變式2-3］（23-24八年級(jí)下?江蘇泰州?期中）如圖，在Y48co中,AC、相交于點(diǎn)0,點(diǎn)、E、F在BD

上，8E=D廠，順次連接4RC、E,添加一個(gè)條件使得四邊形/ECF是矩形，則該條件可以是.

（填一個(gè)即可）

【答案】NE4F=90。（答案不唯一）

【分析】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，由矩形的判定可得出答案，熟記矩形的判定定理是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:添加/區(qū)4尸=90。使得四邊形/EC尸是矩形.

???四邊形是平行四邊形，

.-.OA=OC,OB=OD,

-：BE=DF,

:.OE=OF,

四邊形AECF是平行四邊形，

ZEAF=90°,

四邊形NECF是矩形.

故答案為：NEAF=90°.

考點(diǎn)三：證明四邊形是矩形

\例3.（23-24八年級(jí)下?廣東江門?期末）平行四邊形/BCD中，過點(diǎn)。作?！?/8于點(diǎn)￡,點(diǎn)尸在CQ

上，CF=AE,連接ERN廠.求證：四邊形8FDE是矩形.

【答案】見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得N5與C0的關(guān)系，根

據(jù)平行四邊形的判定，可得BFDE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定，可得答案.

【詳解】證明：,??四邊形/BCD是平行四邊形，

AB//CD,AB=CD,

'：CF=AE,

：.AB-AE=CD-CF,

即DF=BE,

BE〃DF,

四邊形BEDE是平行四邊形，

DEJ.AB,

:.ZDEB=90°,

四邊形BEDE是矩形.

【變式3-1](2024?陜西榆林?三模)如圖，在Y4BCD中，點(diǎn)￡、b是8c上兩點(diǎn)，BE=CF,連接/￡、DF,

AE=DF,求證：四邊形48CD是矩形.

【答案】見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定等知識(shí).熟練掌握平行四

邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定是解題的關(guān)鍵.

由YZBCD,可得NB=DC,/3+/C=180。，證明△48E也△DCb(SSS),貝!]N5=NC=90。，進(jìn)而結(jié)論得

證.

【詳解】證明：；Y48CD,

AB=DC,ZS+ZC=180°.

*.*AB=DC,BE—CF,AE=DF,

△/BE也ADCF(SSS),

ZB=ZC=90°,

.??四邊形/BCD是矩形.

【變式3-2](23-24八年級(jí)下?遼寧鞍山?期中)如圖，在菱形/BCD中，對(duì)角線/C,8。交于點(diǎn)O,點(diǎn)￡為

3c邊上一點(diǎn)，連接NE,AE與BD交于點(diǎn)、N,且/NNO=/NCE,過C作C/〃NE交4D于尸，求證：

四邊形NEC尸是矩形.

AF

■D

【答案】見解析

【分析】本題考查了矩形的判定、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和

矩形的判定是解題的關(guān)鍵.先證四邊形/EC尸是平行四邊形，再證44EC=90。，即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：???四邊形/BCD是菱形

AC1BDAD//BC

■：CF\\AE

四邊形AECF是平行四邊形.

■：AC"BD

ZAON=90°

ZANO+ZNAO=90°

???ZANO=NACE

ZACE+ZCAE=90°

ZAEC=90°.

???四邊形/ECF是平行四邊形

四邊形ZECF是矩形.

【變式3-3](2024?江蘇無錫?二模)如圖，在Y4BCD中，。為對(duì)角線/C的中點(diǎn)，E尸過點(diǎn)。且分別交40、

BC于點(diǎn)、E、F.

(1)求證：AAOE/ACOF；

(2)連接上'、CE,若CEL4D,求證：四邊形/ECF是矩形.

【答案】(1)詳見解析

(2)詳見解析

【分析】此題考查矩形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)ASA證明三角形全等解答.

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出〃BC,進(jìn)而利用全等三角形的判定解答即可;

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OE=OF,平行四邊形的判定解答即可.

【詳解】(1)證明：?.?四邊形/BCD是平行四邊形，

.-.AD//BC,

.?.NEAO=/FCO,

?.,。是/C的中點(diǎn)，

:.AO=CO,

在△4?！昱c￡0廠中，

ZAOE=ZCOF

<AO=CO,

/EAO=/FCO

華△CO廠(ASA)；

(2)證明：如圖，

由(1)可知，八4?！晁摹鰿Ob,

:.OE=OF,

-：AO=CO,

二.四邊形4￡C尸是平行四邊形，

-.?CELAD,

:.ZAEC=90°,

.\Y/￡CF是矩形.

考點(diǎn)四：根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度、線段長(zhǎng)、面積

［、］例4.如圖平行四邊形48。中，對(duì)角線NC、2。相交于點(diǎn)。，且CM=OB,ZOAD=65°,則

NODC=.

【答案】25°

【分析】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)和判定，根據(jù)題意證得四邊形45s

是矩形，利用矩形的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)即可計(jì)算出ZODC的度數(shù).

【詳解】解：???四邊形是平行四邊形,

/.OA=OC,OB=OD,

?「OA=OB,

OA=OB=OC=OD,

..?四邊形45CD是矩形，

ZADC=90°f

?/ZOAD=65°,

/ODA=/LOAD=65°,

/.NODC=ZADC-NODA=25°,

故答案為：25°.

【變式4-1]（23-24八年級(jí)下?廣東廣州?期中）如圖，在中3。中,AC=12,BC=5,AB=13,P為邊AB

上一動(dòng)點(diǎn)，作于。，PELBC于E,則。E的最小值為.

【答案】等哈

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)及判定與三角形等面積法的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)

鍵.連接CP,首先證明四邊形。CE尸為矩形，由此得出尸C=Z)￡,然后進(jìn)一步利用三角形等面積法求出尸C

的最小值，從而得出答案即可.

【詳解】解：如圖，連接CP,

/.122+52=132,即=/B2,

為直角三角形，N4CB=90。,

VPD1AC,PELBC,

：.ZPDC=APEC=90°,

...四邊形。CEP為矩形，

：.PC=DE,

：點(diǎn)C到AB的最短距離就是點(diǎn)C到AB的垂線段的長(zhǎng)，即AB邊上的高,

設(shè)45邊上的高為。，

x

則：ARC=~~ACxBC=—xABxa,

22

—xl2x5=—xl3x?,

22

._60

??a——，

13

即PC的最小值為9，

???DE的最小值為普，

故答案為：案■

【變式4-2］（19-20九年級(jí)下?江蘇宿遷?階段練習(xí)）在“3C中，AB=AC=26,BC=20,點(diǎn)。在“BC

內(nèi)，且BD=CD,ZBDC=90°,E、F、G、H分別是A3、AC.BD、CD的中點(diǎn)，則四邊形￡7田G的面積

【分析】連接/。并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)尸，得到/尸是線段BC的垂直平分線，根據(jù)勾股定理得到E尸是“3C的

中位線，四邊形跳HG為平行四邊形，即可得到四邊形屏HG為矩形，即可得到結(jié)果.

【詳解】解：連接/。并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P,

VAB=AC=26,BD=CD,

/尸是線段3c的垂直平分線，

BP=CP=-BC=1Q,APLBC,

2

在Rtz^DC中，ZBDC=9Q°,BP=CP,

：.DP=-BC=\O,

2

在Ri^APB中，AP=JAB2-8P2=24，

/尸一。尸=24—10=14,

,:E、/分別是AB、NC的中點(diǎn)，

E/是AA8C的中位線，

：.EF=-BC=10,EF//BC,

2

同理，GH=-BC,GH//BC,EG=-AD=1,EG//AD,

22

GH=EF,GH//EF,

.?.四邊形歐HG為平行四邊形，

APVBC,

：.EG±GH,

平行四邊形EFHG為矩形，

二四邊形跳HG的面積=GH-EG=10x7=70,

故答案為：70.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形綜合.掌握矩形的判定定理和性質(zhì)定理、勾股定理、三角形中位線定理、

等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（23-24八年級(jí)下?浙江杭州?期中）已知以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且“3C

為直角二角形，AB=4,AC=3,則4D=.

【答案】5或舊或回

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理.當(dāng)/A4C=90。時(shí)，根據(jù)勾股定理得

到80=71百芯="7F=5,①當(dāng)3C為對(duì)角線時(shí)，四邊形4。。啰為矩形；②當(dāng)A8為對(duì)角線時(shí)；③

當(dāng)4C為對(duì)角線時(shí)；當(dāng)44c3=90。時(shí)，BC=^AB2-AC2=^42-32=V7）①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，四邊形

4c2犯為矩形；②當(dāng)/C為對(duì)角線時(shí)；③當(dāng)8C為對(duì)角線時(shí).分類討論的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，當(dāng)/8/。=90。時(shí)，

?.?以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，AB=4,AC=3,

?*-BC=^AB2+AC2=■+32=5，

①當(dāng)2c為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)四邊形48出為平行四邊形，

,?ABAC=90°,

，四邊形』8出為矩形，

g=BC=5；

②當(dāng)Z8為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)四邊形/CBD2為平行四邊形,

，AD2=BC=5-

③當(dāng)/C為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)四邊形/BCA為平行四邊形，

如圖，當(dāng)a1C8=9O。時(shí)，

?.?以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，AB=4,AC=3,

BC=y]AB2-AC2=A/42-32=不，

①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)四邊形/CB"是平行四邊形，

:44cB=90。，

，四邊形/C8A為矩形，

；.AD[=BC=&,ZAD1B=90°,BD、=AC=3；

②當(dāng)NC為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)四邊形Z8C2為平行四邊形，

，AD2=BC=y/l；

③當(dāng)8c為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)四邊形/C。/為平行四邊形，

BD3=AC=3,

?：ZAD.B=90°,

在Rt^/_D|Z>3中，AD、=S,DjOj=BD}+BD3=3+3=6,

2

AD3=J/DJ+A/V=J(V7)+6=而;

綜上所述，AD=5或出或底.

故答案為：5或不或用.

考點(diǎn)五：根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題

\例5.（2024?福建三明?二模）如圖，在"BC中，AABC=90°,BA=BC,把“3C繞點(diǎn)/逆時(shí)針

[A1

旋轉(zhuǎn)得到VNOE,點(diǎn)。與點(diǎn)3對(duì)應(yīng)，點(diǎn)。恰好落在/C上，過￡作E尸〃交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡連接8。

并延長(zhǎng)交跖于點(diǎn)G,連接CE交BG于點(diǎn)H下列結(jié)論：①BD=DG；②CE=^BD;③CH=EH；

@FG=41EG-其中正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】A

【分析】連接DRHF,可證四邊形A8FE是矩形，AABC必4DE,即可判斷①③；根據(jù)①③的結(jié)論可

推出CE垂直平分。尸，進(jìn)而可得AHDB是等腰直角三角形，從而可判斷②；證明ABCD以ADEG,推出

CD=EG=CF,設(shè)AB=BC=m,推出EG=CF=（近一1）機(jī)，F(xiàn)G=EF-EG=（2-亞）m,判斷④即可.

ABAC=NBCA=45°

由題意得：4ABC會(huì)AADE

：.AD=AB,ZADE=90°,ZDEA=ZDAE=45°

ieno_45。

:./ABD=ZADB=-------------=67.5°

2

???NBAE=90°

EF//AB,

：.ZAEF=90°

???四邊形是矩形，

AZGFB=90°,EF=AB=AD=ED,ZDEF=90°-ZAED=45°

ZGBF=90°-/ABD=22.5°

?.?ZEDC=/EFC=90°,ED=EF,EC=EC

：.VEDC@EFC

：.CD=CF

：.ZCFD=ZCDF=-ZACB=22.5°=ZGBF

2

ZGFD=90°-ZCFD=67.5°=ZFGD

：.BD=FD=GD

???點(diǎn)。是BG的中點(diǎn)

即：BD=DG,故①正確；

?.?/GDC=ZADB=675。，,

：.ZEDG=90°-/GDC=22.5°

VVEDC@EFC

：./DEH=ZFEC=-/DEF=22.5。=ZEDG

2

JDH=EH

同理可證=

CH=EH,故③正確；

VVEDC@EFC

???CE垂直平分

：.HD=HF

丁ZHDF=/DBF+ZDFB=45°

???△”O(jiān)/是等腰直角三角形

DF=41DH

?；CE=2DH,BD=DF

:?CE=6BD,故②正確；

BC=DE,/BCD=/DEG=45°,ZFBG=EDG=22.5°,

ABCDADEG,

???CD=EG,

：.EG=CF,

設(shè)AB=BC=m,

貝lj：BF=AE=AC=42m,EF=m,

：.EG=CF=,

：.FG=EF-EG=[2-g）m,

/?FG=42EG;故④正確；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、斜中半定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較

強(qiáng)，需要學(xué)生具備扎實(shí)的幾何基礎(chǔ).

【變式5-1]（23-24八年級(jí)下?湖北武漢?期中）如圖，在四邊形48co中，AC,AD相交于點(diǎn)。，且

OA=OB=OC=OD,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)3開始，沿四邊形的邊A4-/。運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)。停止，CE與5。相交于點(diǎn)N,

點(diǎn)尸是線段CE的中點(diǎn).連接。尸，下列結(jié)論中：

①四邊形/BCD是矩形；

②當(dāng)CD=40戶時(shí)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)；

③當(dāng)AB=3,BC=4時(shí)，線段。尸長(zhǎng)度的最大值為2；

④當(dāng)點(diǎn)E在邊48上，且/COF=60。時(shí)，△。廠N是等邊三角形，其中正確的有（）個(gè)

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等邊三角形的判定，平行線的性質(zhì)等等,

由對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形證明四邊形43co是矩形，即可判斷①；可證明。尸是中位

線，AB=CD=4OF=2AE,而點(diǎn)￡可以在45上，也可以在4D上，據(jù)此可判斷②；根據(jù)。尸=!/￡,貝1J4E

2

有最大值時(shí)，O尸有最大值，則點(diǎn)￡與點(diǎn)。重合時(shí)，NE的最大值為4,則。尸長(zhǎng)度的最大值為2,據(jù)此可判

斷③；CE,C不平行，則NEFOw/COF=60。，據(jù)此可判斷④.

【詳解】解：,/OA=OB=OC=OD,

：.OA+OC=OB+OD,BPAC=BD,

四邊形NBCD是矩形，故①正確；

當(dāng)點(diǎn)￡在48上時(shí)，

?.?0、尸分別是NC,CE的中點(diǎn),

0尸是中位線，

：.OF=-AE,

2

?.?四邊形Z8CD是矩形，

AB=CD,

二CD=4OF,

：.AB=4OF=2AE,

二點(diǎn)E是NB的中點(diǎn)；

當(dāng)點(diǎn)E在4D上時(shí)，同理可得/E=；A8,但此時(shí)點(diǎn)E不是48的中點(diǎn)，故②錯(cuò)誤;

由②可知，OF=；4E,

?..點(diǎn)￡沿四邊形的邊A4-/O運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)。停止，且/B=3,AD=BC=4

4E的最大值為4,此時(shí)點(diǎn)￡與點(diǎn)。重合，

當(dāng)點(diǎn)￡在邊48上，

CE,CA不平行，

ZEFO豐ZCOF=60°,

.?.△OFN不可能是等邊三角形，故④錯(cuò)誤；

.?.正確的有①③，共2個(gè)，

故選；B.

【變式5-21（20-21九年級(jí)上?福建漳州?期中）如圖，矩形Z8CD中，ZC,AD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)B作

交CD于點(diǎn)、F,交/C于點(diǎn)過點(diǎn)、D作DE〃BF交4B于點(diǎn)、E,交AC于點(diǎn)、N,連接FN,EM.則下列

結(jié)論：①DN=BM；?EM//FN；③AE=FC；④當(dāng)時(shí)，四邊形尸是菱形.其中，正確結(jié)論的

個(gè)數(shù)是（）

AEB

A.①③B.①②③C.①③④D,①②③④

【答案】D

【分析】證也△BMC（AAS）,得出DN=BM,ZADE=/CBF,判斷①；證&4DE注ACBF（ASA）,

得出=OE=8尸，判斷③；證四邊形NE址F是平行四邊形，得出EM〃FN,判斷②；證四邊形?！?廠

是平行四邊形，證出NOON=N45Q,則。石=5石，得出四邊形。即廠是菱形；判斷④；即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???四邊形/5C。是矩形，

/.AB=CD,AB//CD,ZDAE=ZBCF=90°,OD=OB=OA=OC,AD=BC,AD//BC,

ADAN=/BCM,

?rBFLAC,DE〃BF,

:.DE±AC,

ZDNA=/BMC=90°,

在和中，

'/DAN=/BCM

</DNA=/BMC,

AD=BC

.-.△D7VZ4^AWC（AAS）,

:.DN=BM,ZADE=NCBF,故①正確；

在V/。石和VCAF中，

ZADE=ZCBF

<AD=BC,

/DAE=ZBCF

:AADE均CBFgK）,

：.AE=FC,DE=BF,故③正確；

:.DE-DN=BF-BM,IP2VE=MF,

丁DE〃BF,

二.四邊形NEMF是平行四邊形，

：.EM〃FN,故②正確；

?/AB=CD9AE=CF,

BE=DF,

BE〃DF,

???四邊形。酸廠是平行四邊形，

-：AO=AD,

AO=AD=OD,

/.△AOD是等邊三角形，

ZADO=ADAN=60°,

NABD=90°-ZADO=30°,

DELAC,

ZADN=ZODN=30°,

/.AODN=/ABD,

/.DE=BE,

，四邊形?！?廠是菱形；故④正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等

邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定，證明三角形全等

是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（22-23八年級(jí)下?四川宜賓?期末）如圖，菱形/BCD的邊長(zhǎng)為6,對(duì)角線相交于。，AE

垂直平分CO,垂足為E;另有一動(dòng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作尸M垂直ZC交ZC于點(diǎn)M,PN垂直AD交

BD于■點(diǎn)、N,連接MN,OE.下列結(jié)論正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

①/8CD=120。；

②菱形48co的面積為18百；

@OE=CM+PN；

④KN的最小值為WL

BPC

【答案】①②③④

【分析】先根據(jù)菱形/BCD,得4D=CD,AD//BC,AC1BD,OA=OC,OB=OD,再根據(jù)垂直平妥

線的性質(zhì)可證得A/CZ）是等邊三角形，得4DC=60。，從而可得出/8C0=12O。，查判定①正確；根據(jù)菱

形的性質(zhì)與勾股定理求得00=3百，則80=6百，根據(jù)菱形的面積公式可得

S菱/8s=；/C/O=；x6x6百=18百，或判定②正確；證明°￡是A/CD的中位線，得

OE=-AD=-AC=OC,證明四邊形PMON是矩形，得PN=OM,則OE=OC=CW+（W=CW+PN,

22

可判定③正確；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)尸在5C上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)。尸，8C時(shí)，此時(shí)。尸最小，利用面積法可求出OP最小

值是空，再根據(jù)矩形的性質(zhì)知=O尸，所以當(dāng)。月最小時(shí)，MN最小,即可求得"N的最小值為±8,

22

可判定④正確.

【詳解】解：：菱形/BCD，

AD=CD,AD//BC,AC1BD,OA=OC,OB=OD,

/E垂直平分CD,

AD=AC,CE—DE,

AD=AC=CD,

**.△ZCD是等邊三角形，

ZADC=60°,

*：AD//BC,

：.ZBCD+ZADC=1SO09

：.ZBCD=nO°,故①正確；

???菱形々CD的邊長(zhǎng)為6,

:.AC=AD=6,

：.OA=3,

在RtA/C?中，由勾股定理得8=J/D2-O/2=162-32=36，

/.BD=2OD=673,

/.S^ABCD=1^C-5D=1x6x6V3=18V3,故②正確；

垂直平分CO,OA=OC

二?！晔茿/CD的中位線，

OE=-AD=-AC=OC,

22

?；尸河垂直4。交/。于點(diǎn)河，PN垂直BD交BD于彘N,AC1BD

：.NPMO=ZPNO=AMON=90°

二四邊形PMON是矩形，

PN=OM

：.OE=OC=CM+OM=CM+PN,故③正確；

:動(dòng)點(diǎn)P在2C上運(yùn)動(dòng)，

,當(dāng)。尸，8c時(shí)，此時(shí)。尸最小，

在RMBOC中，5=-OBOC=-BCOP

'AZBJCO/C22

—x3A/Jx3=—x6OP

22

:四邊形EWON是矩形，

MN=OP

,當(dāng)。尸最小時(shí)，最小，

.?.MN的最小值為地，故④正確.

2

綜上，正確的有①②③④共4個(gè)，

故答案為①②③④.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，垂線段

最短，勾股定理，此題屬四邊形綜合題目，熟練掌握相關(guān)判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)六：矩形的性質(zhì)與判定的綜合問題

例6.(23-24八年級(jí)下?江蘇鹽城?期中)如圖，在平行四邊形/BCD中，/4CB=90。，過點(diǎn)。作

8c交3C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,連接/￡交于點(diǎn)尸.

(1)求證：四邊形ZCED是矩形；

(2)連接B尸，ZABC=60°,CF=5,求BF的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

(2)5^3

【分析】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知

識(shí)，證明/C〃。2及“3C是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)由NC13C,DE1BC,得AC〃DE,由四邊形48c。是平行四邊形，點(diǎn)E在8C的延長(zhǎng)線上，得

AD//CE,則四邊形/CED是平行四邊形，即可由4CE=90。，根據(jù)矩形的定義證明四邊形ZCED是矩形;

(2)由平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得==,AF=EF,AD=CE=CB=3,因?yàn)镹48C=60。，

所以A/BE是等邊三角形，貝!!/B=4E=BE=2CE=2C尸=6,/AFB=90°,所以/尸=!/石=3,即可根據(jù)勾

2

股定理求得BF=y)AB2-AF2=30>■

【詳解】(1)證明：ZACB=90°,

:.AC±BC,

?/DEIBC,

:.AC//DE,

???四邊形4BCD是平行四邊形，點(diǎn)片在BC的延長(zhǎng)線上,

AD//CE,

二.四邊形ZCED是平行四邊形，

???ZACE=90°f

二.四邊形4C￡D是矩形.

(2)解：???四邊形ZCED是矩形，四邊形45CD是平行四邊形,

\AE二CD二AB,AF=EF=CF=DF=5,

???//BC=60。，

:.AABE是等邊三角形，

:.NAEB=60。,

.?.△CEF是等邊三角形，

BFLAE,AB=AE=BE=2CE=2CF=2x5=10,

ZAFB=90°,AF=-AE=-xlQ=5,

22

BF=^AB--AF-=>/102-52=573，

，8廠的長(zhǎng)是5百.

【變式6-1]（2024?云南德宏?一模）如圖，在菱形/BCD中，對(duì)角線/C,BD相交于點(diǎn)。，尸是C0的中

點(diǎn)，連接。尸并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使EF=OF,連接CE,DE.

（1）求證：四邊形。。CE是矩形；

⑵若OE=4,ZBAD=60°,求菱形/BCD的面積.

【答案】（1）見解析

（2）873

【分析】（1）先證明四邊形。OCE為平行四邊形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得到NDOC=90。，然后根據(jù)矩形的

判定可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求得。尸=2,再根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出對(duì)角線/C,8。的長(zhǎng)，再根據(jù)菱形的

面積等于其對(duì)角線乘積的一半求解即可.

【詳解】（1）證明：..?尸是CO的中點(diǎn)

DF=CF

EF=OF,

.?.四邊形。OCE是平行四邊形,

在菱形48co中，AC1BD

：.ZDOC=90°

...四邊形。OCE是矩形

OF=—OE=2

2

在菱形/8CC?中，。是/C的中點(diǎn)

?.?萬是。的中點(diǎn)

廠是A/CZ）的中位線

AD=2OF=2x2=4

在菱形ABCL1中，AC1BD,ADAO=-ADAB=-x60°=30°

22

NAOD=90°

在RtA/OD中，ZAOD=90a,ZDAO=30°

OD^-AD=-x4=2

22

根據(jù)勾股定理得NO=siAD2-OD2=V42-22=273

在菱形/BCD中，AC=2AO=2x273=473，BD=2OD=2x2=4

菱3=pC皿=gx4V3x4=85

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定、菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30。的直角

三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)和矩形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

【變式6-2］（23-24八年級(jí)下?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，在“3C中，AB=AC,是"3C的角平分線,

NN是“3C的外角NC/M的平分線，過點(diǎn)C作CEL/N,垂足為E.

(1)求證：四邊形是矩形；

(2)若/3=45。，80=20，求四邊形/DCE的面積.

【答案】(1)見解析

(2)矩形4DCE的面積為2.

【分析】此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí).

(1)證明NADC=ZDAE=NAEC=90°,根據(jù)矩形的判定即可得到結(jié)論；

(2)證明A以。是等腰直角三角形，再根據(jù)矩形的面積公式即可求解.

【詳解】(1)證明：=4D是NA4c的平分線，

AD1BC,ABAD=ACAD,

AADC=90°,

：/N是“8C外角ZCAM的平分線，

AMAN=ZCAN.

：.ZDAE=ACAD+ZCAN=^(ZBAC+ACAM)=1xl80°=90°,

CE1.AN,

：.ZAEC=90°.

：.ZADC=ZDAE=ZAEC=90°,

.??四邊形/DCE為矩形；

(2)解：=4D是/R4c的平分線，

AD±BC,BD=CD=-BC=y/2,

2

,/ZB=45°,

ABAD=ZB=45°,

?*-AD=BD=4I

矩形ADCE的面積為4DxCZ)=2.

【變式6-3](2024八年級(jí)下?浙江?專題練習(xí))在YABCD^,E,尸為3c上的兩點(diǎn)，且BE=CF,AF=DE.

(1)求證：AABF出Z\DCE；

(2)求證：Y/BCD是矩形；

(3)連接NE,若反是/A4O的平分線，BE=2,AF=430,求四邊形48co的面積.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析;

(3)15+2715.

【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定義，熟練掌握矩形的判定

和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

(1)首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到“5=CD,然后結(jié)合已知條件利用SSS判定兩三角形全等即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到N8=NC=90。，從而判定矩形；

(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義以及矩形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：,??四邊形43。是平行四邊形，

AB=CD,

?「BE=CF,

BF=CE,

在△力AF和中，

AB=CD

<AF=DE,

BF=CE

△AS廠名△Z)CE(SSS)；

(2)證明：?;AABF2ADCE,

/B=NC,

在平行四邊形中，vAB//CD,

：.Z5+ZC=180°,

/.NB=/C=90°,

二.四邊形/BCD是矩形；

(3)解：???四邊形/BCD是矩形，

:./BAD=/B=9G。,

?.?4廠是的平分線，

NBAF」NBAD=45。,

2

:.AB=BF,

AF=V30,

AB=BF=岳,

???CF=BE=2,

BC=后+2,

???四邊形ABCD的面積=(V15+2)=15+2^/15.

考點(diǎn)七：與矩形的性質(zhì)與判定有關(guān)的無刻度作圖

［、］例7.（23-24九年級(jí)上?江西吉安?階段練習(xí)）一副三角板如圖放置，ZA=ZCBD=90°,ZACB=45°,

々CD=30。，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，請(qǐng)僅用無刻度的直尺，分別按照下列要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作

法）.

（1）在圖（1）中作一個(gè)等邊三角形;

（2）在圖（2）中作一個(gè)矩形.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三

角形的三條中線相交于一點(diǎn)，中位線的性質(zhì)，矩形的判定.

（1）根據(jù)題意得“3C為等腰直角三角形，由點(diǎn)E是5c的中點(diǎn)，連接/￡并延長(zhǎng)交C0于點(diǎn)R得到/￡是

8c的垂直平分線，即CF=B尸，NBCD=NCBF=30°,推出/E8D=/CSD-NCAF=60。，進(jìn)而得到

ZBFD=ZD=60°,即V5Z）廠為所求；

（2）由（1）知BF=CF=FD,得到點(diǎn)尸為CD的中點(diǎn)，在（1）圖的基礎(chǔ)上連接?！?交3F于一點(diǎn)，連

接點(diǎn)C與這一點(diǎn)，邊延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)G,此時(shí)點(diǎn)G為5。的中點(diǎn)，由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,

推出尸G〃BC且尸G=L_8C=8E,即四邊形3EFG為矩形.

2

【詳解】（1）解:如圖，YBDF為所求;

?.,"8C為等腰直角三角形，點(diǎn)E是8C的中點(diǎn)，連接NE并延長(zhǎng)交C0于點(diǎn)尸,

???NE是3c的垂直平分線，

CF=BF,NBCD=NCBF=30°,

：.ZFBD=ZCBD-ZCBF=60°,

vZ￡>=90°-ZBC￡>=60°,

NBFD=ND=60°,

，VM）下是等邊三角形；

（2）解：如圖，四邊形3EFG為所求,

由（1）知BF=CF=FD,

，點(diǎn)/為CO的中點(diǎn)，

在（1）圖的基礎(chǔ)上連接交BF于一點(diǎn)、,連接點(diǎn)C與這一點(diǎn)，邊延長(zhǎng)交50于點(diǎn)G,

???點(diǎn)廠為CQ的中點(diǎn)，點(diǎn)￡為8C的中點(diǎn)，BF,DE,CG交于一點(diǎn),即三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，

..?點(diǎn)G為2。的中點(diǎn)，

FG//BC,FG=-BC=BE,

2

四邊形8EFG為矩形.

【變式7-1]（2024?江西吉安?三模）如圖，在矩形48co中，AD=2AB,￡是對(duì)角線NC上一點(diǎn)，且

AC=3AE.請(qǐng)僅用無刻度的直尺分別按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）.

⑴在圖1中作/。的中點(diǎn)尸.

（2）在圖2中作點(diǎn)N,使得/C=3CN

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)/C=3/E得到EC=2/E,作直線5E,交/。于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸即為所求.

（2）連接5。交/C于點(diǎn)。，作直線尸。，交8c于點(diǎn)G,作直線。G,交/C于點(diǎn)N,則點(diǎn)N即為所求.

本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形相似的應(yīng)用，尺規(guī)作圖，熟練掌握性質(zhì)和尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）VAC=3AE,

二EC=2AE,

故作直線3E,交4D于點(diǎn)P,

?.?矩形4BCD,

AAP//BC,AD=BC,

???LAPEsACBE,

?BCEC

??一—2,

APAE

BC=24P,

：.AD=2AP,

即尸為NO的中點(diǎn),

(2)連接2。交/C于點(diǎn)。，作直線尸。，交8C于點(diǎn)G,作直線。G,交/C于點(diǎn)N,

APD

C

則點(diǎn)N即為所求.

【變式7-2](22-23九年級(jí)下?江西景德鎮(zhèn)?階段練習(xí))如圖，四邊形/BCD為菱形，請(qǐng)僅用無刻度的直尺,

按照下列要求作圖.(保留作圖痕跡，不寫作法)

圖⑴圖(2)

(1)在圖(1)中，E,尸分別是48,4D的中點(diǎn)，以E尸為邊作一個(gè)矩形.

(2)在圖(2)中，￡是對(duì)角線8。上一點(diǎn)，(2石＜?！?,以/E為邊作一個(gè)菱形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)連接NC,8。交于點(diǎn)。，連接E。，延長(zhǎng)E。交CQ于點(diǎn)G,連接尸。，延長(zhǎng)尸。交2C于〃，

連接EH,GH,FG即可；

(2)連接/C交2。于點(diǎn)。，延長(zhǎng)/￡交8C于點(diǎn)。，連接。。，延長(zhǎng)。。交于點(diǎn)P,連接CP交8。于點(diǎn)

F,連接相，EC即可.

【詳解】(1)解：如圖：連接/C,8。交于點(diǎn)。，連接E。，延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)G,連接R9,延長(zhǎng)尸O交

BC于H,連接GH,FG,四邊形EFG8即為所求作的矩形，

證明：???四邊形4BCD是菱形，

:.AB=BC=CD=AD,點(diǎn)。是NC,5。的中點(diǎn)，AD//BC,AB//CD,

又?；E,尸分別是48,4D的中點(diǎn)，

EG//AD,FH//AB,

四邊形NEGD與都是平行四邊形，

AD=EG,AB=FH,

EG=FH,

四邊形E尸G”是矩形；

(2)解：連接/C交5。于點(diǎn)O,延長(zhǎng)/E交3C于點(diǎn)。,連接。。，延長(zhǎng)。。交40于點(diǎn)尸，連接。尸交AD

于點(diǎn)R連接"，EC,四邊形即為所求作的菱形，

???四邊形/BCD是菱形，

AC1BD,OA=OC,AD//BC,

:.NPAO=NQCO,EF垂直平分NC,

又?；ZAOP=NCOQ,

\4Aop絲ACOQ(ASA),

OP=OQ,

四邊形"2CP是平行四邊形，

\AQ//CP,

NOAE=NOCF,

又?；ZAOE=NCOF=9Q°,

\AAOE知COF(\SA),

OE=OF,

二/C垂直平分EF,

，四邊形/ECF是菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖、三角形中位線定理、矩形的判定、菱形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)

鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí).

【變式7-3］（23-24八年級(jí)下?江蘇鎮(zhèn)江?期中）如圖，在矩形/BCD中，48=3,40=4.

備用圖

（1）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)按下列要求作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）

①在BC上作一點(diǎn)E,使AE=BC；

②若F是AD上一點(diǎn)，將AABF沿直線BF翻折得到時(shí).請(qǐng)找出點(diǎn)尸的位置,使得A'B落在對(duì)角線BD

上.

（2）在（1）的條件下，求出線段"的長(zhǎng)度.

（3）若將ACDE的面積記為H，AA'DF的面積記為邑，則岳_邑.（填或心”）

【答案】（1）①作圖見詳解；②作圖見詳解

*

（3）＞

【分析】（1）①以/為圓心，3C為半徑作弧與BC相交，點(diǎn)E即為所求；

②作Z/AD的角平分線與ND相交，交點(diǎn)即為點(diǎn)B；

（2）先求BD=5,^.AF=A'F=x,貝尸=4-x,在RtAE4;D中，由勾股定理得：x2+22=（4-x）2,解

方程即可；

（2）分別計(jì)算岳，邑，比較