8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用

第2課一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計（1）新知探究探究1.

如何利用散點圖找出一條直線，使各散點在整體上與此直線盡可能接近。追問：這條直線的函數(shù)關(guān)系式是什么？這條直線的關(guān)系是怎么求？閱讀教材P107提供的三種方法這些方法雖然有一定的道理，但比較難操作，我們需要另辟蹊徑.

理由：模型準確，便于計算，結(jié)構(gòu)簡單.問題1：如何利用成對樣本數(shù)據(jù)，用數(shù)學(xué)方法刻畫“從整體上看，各散點與直線最接近”?注：樣本數(shù)據(jù)得點到回歸直線豎直距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.因此，可以用

來刻畫各樣本觀測數(shù)據(jù)與直線y=bx+a的整體接近程度。探究2.推導(dǎo)方程探究2.推導(dǎo)回歸方程探究2.推導(dǎo)回歸方程稱為樣本點的中心.探究2.推導(dǎo)回歸方程探究5：深度學(xué)習(xí)：兩個公式的轉(zhuǎn)化

我們將

稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線，這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫最小二乘法．注意：1、經(jīng)驗回歸必過.2、

都是估計值.3、

與r符號相同.

理解

經(jīng)驗回歸方程注意：兩個公式間的轉(zhuǎn)化推導(dǎo)探究3：模型深化理解——身高案例的經(jīng)驗回歸方程

含義2：父親身高為176cm的所有兒子身高的均值的估計值為177cm.含義1：由方程作出推測，當(dāng)父親身高為176cm時，兒子身高一般在177cm左右

斜率可以解釋為父親身高每增加1cm，其兒子身高平均增加0.839cm.思考3：根據(jù)方程，父親身高為多少時，長大成人的兒子身高和父親身高一樣？模型深化理解——經(jīng)驗回歸方程D練習(xí)：模型深化理解——經(jīng)驗回歸方程2、工人工資y(元)依勞動生產(chǎn)率x(千元)變化的回歸方程^，下列判斷正確的是()A、勞動生產(chǎn)率為1000元時，工資為130元B、勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資約提高80元C、勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資約提高130元D、當(dāng)月工資250時，勞動生產(chǎn)率為2000元B練習(xí)：模型深化理解——經(jīng)驗回歸方程模型深化理解——經(jīng)驗回歸方程(2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．（ⅱ）從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226．1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理．說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．注意：語言表達準確模型深化理解——經(jīng)驗回歸方程例3.在全國脫貧攻堅總結(jié)表彰大會上，習(xí)近平總書記莊嚴宣告：我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得全面勝利.目前，河南省53個貧困縣已經(jīng)全部脫貧摘帽，退出貧困縣序列.2016年起，我省某貧困地區(qū)創(chuàng)新開展產(chǎn)業(yè)扶貧，響應(yīng)第三產(chǎn)業(yè)的扶貧攻堅政策，經(jīng)濟收入逐年增加.該地的經(jīng)濟收入變化如圖所示：求經(jīng)驗回歸方程及應(yīng)用經(jīng)驗回歸方程進行預(yù)測年份2016年2017年2018年2019年2020年年份代號x12345經(jīng)濟收入y(單位：百萬元)59141720(1)求經(jīng)濟收入y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2025年該地區(qū)的經(jīng)濟收入.探究4：由表格中的數(shù)據(jù)可知，年份2016年2017年2018年2019年2020年年份代號x12345經(jīng)濟收入y(單位：百萬元)59141720①經(jīng)驗回歸方程只適用于我們研究的樣本和總體。②經(jīng)驗回歸方程一般都有時間性。③解釋變量的取值不能離可望而不可及本數(shù)據(jù)的范圍太遠。樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍。④不能期望回歸方程得到的預(yù)報值是預(yù)報變量的精確值。事實上，它是響應(yīng)變量的可能取值的平均值注意問題:在使用經(jīng)驗回歸方程進行預(yù)測時，需要注意下列問題解題技巧總結(jié)2.注意分步計算3：靈活選擇與轉(zhuǎn)化兩個公式把身高和體重的關(guān)系用下面的線性回歸模型表示:

其中a和b為模型的未知參數(shù)，e是一個隨機變量，稱為隨機誤差

線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機誤差項e，這樣y的值就由x和e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。一般，我們把x稱為解釋變量，y稱為預(yù)報變量。探究5：殘差線性回歸模型的完整表達式：預(yù)報值真實值探究5：殘差（1）根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)。（2）是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)（3）通過殘差來判斷模型擬合的效果

這種分析工作稱為殘差分析一般地，在研究兩個變量的關(guān)系時：我們可以通過殘差發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立的模型的擬合效果

探究6：殘差分析利用殘差圖進行殘差分析的具體步驟如下:(1)計算每組觀測數(shù)據(jù)的殘差,即殘差等于真實值減預(yù)測值.當(dāng)殘差比較小時,說明回歸模型擬合數(shù)據(jù)較好，如:編號12345678身高/㎝165165157170175165155170體重/㎏4857505464614359殘差-6.3752.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382殘差分析的一般方法：作殘差圖探究6：殘差分析以殘差為縱坐標，以樣本編號(或x)為橫坐標.（2）畫殘差圖.

殘差圖的縱坐標為殘差，橫坐標通?？梢允怯^測樣本的編號、自變量x或因變量的預(yù)測值等，殘差圖是一種散點圖，如:(4)找異常值.

根據(jù)計算的殘差值和殘差圖,觀察是否存在殘差特別大的點,即遠離橫坐標的點.如果存在遠離坐標軸的點,即為異常點，就要研究它出現(xiàn)的原因.(3)分析殘差圖：殘差有正有負，比較均勻地分布在橫軸的兩邊，說明殘差比較符合一元線性回歸模型中對于隨機誤差的假定若殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中,說明選用的模型比較合適.這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄,說明模型擬合精度越高,回歸方程的預(yù)報精度越高.判斷回歸模型刻畫數(shù)據(jù)的效果；發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，對模型進行改進，使我們能根據(jù)改進模型作出更符合實際的預(yù)測與決策.殘差的作用：

思考：觀察以下四幅殘差圖，你認為哪一個殘差滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定？(1)(2)(3)(4)

圖（1）顯示殘差與觀測時間有線性關(guān)系，應(yīng)將時間變量納入模型；圖（2）顯示殘差與觀測時間有非線性關(guān)系，應(yīng)在模型中加入時間的非線性函數(shù)部分；圖（3）說明殘差的方差不是一個常數(shù)，隨觀測時間變大而變大；圖（4）的殘差比較均勻地集中在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi).所以，只有圖(4）滿足一元線性回歸模型對隨機誤差的假設(shè)。方法總結(jié)：回歸分析的流程

經(jīng)驗回歸方程的理解①只有在散點圖大致呈線性相關(guān)關(guān)系時，求出的經(jīng)驗回歸方程才有實際意義，否則求出的經(jīng)驗回歸方程毫無意義.②經(jīng)驗回歸方程一般都有時效性.③解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠.一般解釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，經(jīng)驗回歸方程的預(yù)報效果會比較好④不能期望經(jīng)驗回歸方程得到的預(yù)報值就是響應(yīng)變量的精確值.它是響應(yīng)變量的可能取值的平均值.課堂小結(jié)

素養(yǎng)升華1