2025屆四川大學附中數(shù)學高三第一學期期末復習檢測試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.i是虛數(shù)單位，復數(shù)z=在復平面上對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.集合A=1,2—x—2<o},B={x|x-l<o},則A|JB=（）

A.<1}B.L卜

C.{xlx<2）D.{r|-2<x<1}

3.在棱長為。的正方體ABC。—中，E、F,叔分別是45、AD,叫的中點，又尸、。分別在線段。勺、

上，且4P=Ag=機（0<加<a）,設平面MEFA平面=/,則下列結(jié)論中不成立的是（）

A.///平面跳叱夕B.11MC

C,當機=；時，平面“PQLMEbD.當機變化時，直線/的位置不變

4.已知P：*o〉lJogJo〉:；q：VxeR0〉x,則下列說法中正確的是（）

2

A.Pvq是假命題B.P人4是真命題

C.Pv（「q）是真命題D.。八（「4）是假命題

5.設S為等差數(shù)列L}的前〃項和，若。=-3,S=-7,則S的最小值為（）

nn37n

A.-12B.-15C,-16D.-18

6.已知集合A=1|x2_3x_lO<o},集合6={r|—l〈x<6},則AQB等于（）

A.—1<X<B.\-l<x<

C.lx-2<x<D.lx-2<x<

7.一個袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中紅球1個、黑球2個，現(xiàn)隨機等可能取出小球，當有放回依次取出兩

個小球時，記取出的紅球數(shù)為勺；當無放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為%,則（）

A.E1<E&,D&<D^B.E&=Ej>加

12121212

C.E&=E&,戊<D^D,E&>El,國〉醫(yī)

12121212

8.已知空間兩不同直線機、〃，兩不同平面a,P,下列命題正確的是（）

A.若加||a且則機B.若機且m_L〃，則〃||B

C.若加，a且加||p,則a，（3D.若機不垂直于a,且〃ua,則機不垂直于"

9.如圖所示，正方體的棱長為1,線段々q上有兩個動點E、F且出三號，則下列結(jié)論中錯誤的

A.AC±BEB.EF〃平面ABCD

C.三棱錐A-5EF的體積為定值D.異面直線AE刀尸所成的角為定值

10.命題P：存在實數(shù)x,對任意實數(shù)x,使得sin（x+x）=-sinx恒成立；Q.Va>0,/（x）=In"三為奇函

0°a-x

數(shù)，則下列命題是真命題的是（）

A.PMB.（-ip）v（「q）C.PA（^）D.Jp）八q

11.若復數(shù)z滿足（l+3i）z=（l+i）2,則lzl=（）

A.昱B.@C.D.叵

4525

12.已知直線/:%+m2y=0與直線〃：x+y+機=0貝（］“〃/〃，，是，，m=1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知△ABC得三邊長成公比為、萬的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為.

14.已知兩圓相交于兩點A（a,3）,3（—1,1）,若兩圓圓心都在直線x+y+b=0上，則a+b的值是.

15.正四面體A3CD的一個頂點4是圓柱Q4上底面的圓心，另外三個頂點6C。圓柱下底面的圓周上，記正四面體

ABCD的體積為V,圓柱。4的體積為V,則亍的值是.

2

16.已知多項式（1+flx券（1-2x）4的各項系數(shù)之和為32,則展開式中含了項的系數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知△ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,且滿足2cosB。

C

（1）求角c的大??；

（2）若的面積為手，求的周長的最小值.

18.（12分）某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動，規(guī)定消費達到一定標準的顧客可進行一次抽獎活動，隨著抽獎

活動的有效開展，參與抽獎活動的人數(shù)越來越多，該商店經(jīng)理對春節(jié)前7天參加抽獎活動的人數(shù)進行統(tǒng)計，丁表示第％

天參加抽獎活動的人數(shù)，得到統(tǒng)計表格如下：

X1234567

y58810141517

（1）經(jīng)過進一步統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)丁與工具有線性相關關系.請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出,關于工的線

性回歸方程y=bx+a；

（2）該商店規(guī)定：若抽中“一等獎”，可領取600元購物券；抽中“二等獎”可領取300元購物券；抽中“謝謝惠顧”，則

11

沒有購物券.已知一次抽獎活動獲得“一等獎”的概率為z，獲得“二等獎”的概率為不.現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本

63

次活動，且他們是否中獎相互獨立，求此二人所獲購物券總金額X的分布列及數(shù)學期望.

Xxy-nxy

參考公式：）=（'--------,d=y-bx,tpcy=364,>2=140.

2i=11

Z尤2—nxi=]z

i

i=l

19.（12分）記S為數(shù)列｛4｝的前幾項和，已知S="2,等比數(shù)列毋卜菌足b=a,b=a.

nnnn1135

（1）求｛a｝的通項公式；

n

（2）求｛b｝的前“項和T.

nn

20.（12分）已知數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，前幾項和為S，且S=3a,a+a=8.

nn5346

（）求

1an.

（2）設b=為“，求數(shù)列｛0｝的前"項和T.

nnnn

x=9+

21.（12分）在直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為＜7”"為參數(shù)）.以坐標原點為極點，x軸的正半

b=t

16

軸為極軸建立極坐標系，曲線。的極坐標方程為P2=

l+3sin20

（1）求。和/的直角坐標方程；

（2）已知尸為曲線C上的一個動點，求線段0P的中點"到直線/的最大距離.

22.（10分）班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從本班24名女同學，18名男同學中隨機抽取一個容量

為7的樣本進行分析.

（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結(jié)果）

（2）如果隨機抽取的7名同學的數(shù)學，物理成績（單位：分）對應如下表：

學生序號i1234567

數(shù)學成績x60657075858790

I

物理成績y70778085908693

l

①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學中抽取3名同學，記3名同學中數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的

人數(shù)為己,求己的分布列和數(shù)學期望；

②根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績丁關于數(shù)學成績%的線性回歸方程（系數(shù)精確到o.oi）；若班上某位同學的數(shù)學成績?yōu)?/p>

96分，預測該同學的物理成績?yōu)槎嗌俜郑?/p>

附：線性回歸方程y=bx+a,

S(x-x)(y-y)

其中匕=I、--------------,a=y-bx.

乙(X-X)2

i

i=l

X(x-1)2

-x)(y-y)

Xy

i=l1=1

7683812526

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

求出復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標，即可得出結(jié)論.

【詳解】

復數(shù)z=1-，在復平面上對應的點的坐標為(1,-1),該點位于第四象限.

故選：D.

【點睛】

本題考查復數(shù)對應的點的位置的判斷，屬于基礎題.

2、C

【解析】

先化簡集合A,B,結(jié)合并集計算方法，求解，即可.

【詳解】

解得集合A=Cc|(x-2)G+l)<0^={x|-l<x<2),B={r|x<1}

所以=故選c.

【點睛】

本道題考查了集合的運算，考查了一元二次不等式解法，關鍵化簡集合A,B,難度較小.

3、C

【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個分析即可.

【詳解】

因為A7==憶所以P。//8R,因為E、歹分別是的中點，所以EFIIBD，所以P。/小/，因為面MEFp

面MPQ=/,所以PQ〃EF〃/.選項A、D顯然成立；

因為BD//EF//l,BD±平面ACCJA,所以/，平面ACqA,因為MCu平面ACq。,所以/，MC,所以B項成

立；

易知AC，平面MEF,AJC，平面MPQ,而直線Aq與4c不垂直，所以C項不成立.

故選：C

【點睛】

本題考查直線與平面的位置關系.屬于中檔題.

4、D

【解析】

舉例判斷命題p與q的真假，再由復合命題的真假判斷得答案.

【詳解】

當七〉1時，10gl故。命題為假命題；

2

記/（X）=ex-x的導數(shù)為（x）=ex—l,

易知/（X）=勿-工在（-co,0）上遞減，在（0,+oo）上遞增，

：.f（X）>/（0）=1>0,即故鄉(xiāng)命題為真命題；

.?.，△（「［）是假命題

故選D

【點睛】

本題考查復合命題的真假判斷，考查全稱命題與特稱命題的真假，考查指對函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎題.

5、C

【解析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列3｝的通項公式，判斷出S最小時”的值，由此求得S的最小值.

nnn

【詳解】

a+2d=-39

依題意V/7,解得巴=-7/=2,所以。=2"-9.由。=2"-9<0解得“4所以前”項和中，前

/a+21a=一7i〃〃2

L1

4項的和最小，且S=4。+6d=-28+12=—16.

’41

故選：C

【點睛】

本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前八項和公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前九項和最值的求法，屬于基礎題.

6、B

【解析】

求出A中不等式的解集確定出集合A,之后求得AplB.

【詳解】

由A=-3x-10<()}="L|(x+2)Q-5)<()}={x|-2<x<5),

所以Ac6={v|-l<x<5},

故選：B.

【點睛】

該題考查的是有關集合的運算的問題，涉及到的知識點有一元二次不等式的解法，集合的運算，屬于基礎題目.

7、B

【解析】

分別求出兩個隨機變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關系.

【詳解】

彳可能的取值為°』，2；,可能的取值為0』，

喳=。)4喳=2)4%=Dd4_14

9~99

-24-1,444

故=—,戊=02X—+22X—+12X——

199999

P4=0)=2x11fe=1)=2x1x22

------——,P

23x2323x23

2.=02x1+12x3.，2

故里二，區(qū)2

339~9,

故丐=%，嶼>叫故選B.

【點睛】

離散型隨機變量的分布列的計算，應先確定隨機變量所有可能的取值，再利用排列組合知識求出隨機變量每一種取值

情況的概率，然后利用公式計算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.

8、C

【解析】

因答案A中的直線機，”可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線"uP也成立，故不正確；答案C中的直線加

可以平移到平面B中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面a，P互相垂直，是正確的；答案D中直線機也有可

能垂直于直線”，故不正確.應選答案C.

9、D

【解析】

A.通過線面的垂直關系可證真假；B.根據(jù)線面平行可證真假；C.根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假；D.根

據(jù)列舉特殊情況可證真假.

【詳解】

A.因為，所以AC,平面

又因為BEu平面,所以AC，BE,故正確；

B.因為DB/IDB,所以EF//DB,且所《平面ABC。，DBu平面ABC。，

11

所以￡尸//平面ABCD,故正確；

C.因為S=LxEFxBB=叵為是值,A到平面的距離為//=，AC=y2,

“BEF2141122

所以匕_.4>舸八《為定值，故正確;

D.當Aqnqq=E,ACr\BD=G,取歹為色，如下圖所示:

因為班V/EG,所以異面直線AE,B歹所成角為NAEG,

且tanZAEG=—工=昱,

GE12

當4。1門8產(chǎn)1=/，ACr>BD=G,取E為弋，如下圖所示:

因為D、F//GB,D、F=GB,所以四邊形RGBb是平行四邊形，所以BF//Dy,

由此可知：異面直線4E，§/所成角不是定值，故錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查立體幾何中的綜合應用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度

較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內(nèi).

10、A

【解析】

分別判斷命題P和的真假性，然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項.

【詳解】

對于命題P,由于sin(x+7i)=—sinx,所以命題P為真命題.對于命題9,由于。>0,由"t>0解得一a<x<a,

a-x

且—In"j"+『一一"(》所以f(x)是奇函數(shù)，故夕為真命題.所以。人4為真命題.

a-xa-x

(「P)V(F)、p八D、(rP)Aq都是假命題.

故選：A

【點睛】

本小題主要考查誘導公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷，屬于基礎題.

11、D

【解析】

31.,.

先化簡得Z=5+51,再求Izl得解.

【詳解】

2i2i(l-3i)31.

z=----=--------=—+—i,

l+3i1055

所以|打=坐.

故選：D

【點睛】

本題主要考查復數(shù)的運算和模的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

12、B

【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關系.

【詳解】

若〃/",則1X1="22X1,故根=1或加=-1,

當根=1時，直線/:x+y=0,直線〃：x+y+l=0,此時兩條直線平行；

當機=一1時，直線/：x+y=0,直線〃：x+y-l=0,此時兩條直線平行.

所以當〃歷時，推不出根=1,故“〃/〃”是“根=1”的不充分條件，

當根=1時，可以推出〃/〃，故“〃/"”是“m=1”的必要條件，

故選：B.

【點睛】

本題考查兩條直線的位置關系以及必要不充分條件的判斷，前者應根據(jù)系數(shù)關系來考慮，后者依據(jù)兩個條件之間的推

出關系，本題屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、更

-4

【解析】

試題分析：根據(jù)題意設三角形的三邊長分別設為為，所對的角為最大角，設為，則根據(jù)

余弦定理得，故答案為.

考點：余弦定理及等比數(shù)列的定義.

14、-1

【解析】

根據(jù)題意，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得與直線x+y+b=O垂直，且的中點在這條直線

x+y+b=Q±,列出方程解得即可得到結(jié)論.

【詳解】

由AQ,3)/(—1,1),設的中點為“

a-1-八,3_11

根據(jù)題意，可得「J—+2+67=0,且左=——-=1,

2AB(7+1

解得，a=l,b=-2.,故a+b=-l.

故答案為：-L

【點睛】

本題考查相交弦的性質(zhì)，解題的關鍵在于利用相交弦的性質(zhì)，即兩圓的連心線垂直平分相交弦，屬于基礎題.

V3

15、

4兀

【解析】

設正四面體的棱長為。，求出底面外接圓的半徑與高，代入體積公式求解.

【詳解】

解：設正四面體的棱長為。，

則底面積為正〃=正心，底面外接圓的半徑為正〃

2243

高為a2—--a=--a.

3J3

lx—%小,

??.正四面體的體積匕，

34312

叵a=^a魏.

圓柱。A的體積V=7ix

239

V五編=且

則片下一

4K

2——兀〃3

9

故答案為：今

【點睛】

本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法，考查計算能力，屬于中檔題.

16、—3

【解析】

令X=1可得各項系數(shù)和為(1+0)5(1-2)4=32,得出4=1,根據(jù)第一個因式展開式的常數(shù)項與第二個因式的展開式含

X一次項的積與第一個因式展開式含X的一次項與第二個因式常數(shù)項的積的和即為展開式中含X項，可得解.

【詳解】

令X=1,

則得(1+a)5(1-2)4=32,

解得<2=1,

所以(1+工)5(1-2%)4展開式中含x項為：lxCi(-2x)+(Cix)xl=-8x+5x=-3x,

45

故答案為：—3

【點睛】

本題主要考查了二項展開式的系數(shù)和，二項展開式特定項，賦值法，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

c兀I—

17、(1)C=--(2)376

【解析】

(1)因為2cosB=-...,所以。+2ccosB=2a,

c

由余弦定理得b+2c-a~+C~——=2a,化簡得Q2+b2-c2=ab,

2ac

Q2+Z72-C211

可得—————,解得cosC=7，

2ab22

71

又因為Ce(。,兀)，所以。二9,(6分)

(2)因為S=—absinC=^-ab=,所以。b=6,

△ABC242

則Q+Z?22\lab=2卡(當且僅當。=b=時，取等號).

由(1)^4C2=a2+b2-ab>2ab-ab=ab=6(當且僅當。=b=時，取等號)，解得。之幾.

所以Q+Z?+C>3而(當且僅當〃=b=c=痣時，取等號)，

所以AABC的周長的最小值為3#.

18、（1）$=2x+3；（2）見解析

【解析】

試題分析：

（I）由題意可得x=4,y=11,則3=2,a=3,y關于X的線性回歸方程為》=2x+3.

（II）由題意可知二人所獲購物券總金額X的可能取值有0、300、600、900、1200元，它們所對應的概率分別為：

p（x=o）=l,P（X=300）=l,P（X=600）=-l,P（X=900）=-L.據(jù)此可得分布列，計算相應的數(shù)學期

431836

望為EX=400元.

試題解析：

（I）依題意：t=；（1+2+3+4+5+6+7）=4,

y=￡（5+8+8+10+14+15+17）=11,=140,￡%y-364,

.7iii

i=li=l

-xy-Jxy364-7x4x11、

b=yiTii_=_____________=2d=y-bx=11-2x4=3,

乙7%2-7x2140-7xl6

z=l1

則y關于X的線性回歸方程為f=2x+3.

（ID二人所獲購物券總金額x的可能取值有0、300、600、900、1200元，它們所對應的概率分別為:

P（X=0）=lxl=l,P（X=300）=2xlxl=l,P（X=600）=lxl+2x￡x￡=A,

224233332618

尸（X=900）=2xlxl=l,P（X=1200）=lxl=J_

3696636,

所以，總金額X的分布列如下表:

X03006009001200

11511

p

4318936

總金額X的數(shù)學期望為EX=0xl+300xJ.+600xA+900xl+1200xJ-=400元.

4318936

19、（1）a=2n-lGeN*）（2）當q=3時，T=--1；當4=-3時，T

"?22”44

【解析】

（1）利用數(shù)列。與S的關系，求得。=2/7-1.

nnn

（2）由（1）可得：b=1,b=9,算出公比9,利用等比數(shù)列的前〃項和公式求出T.

13n

【詳解】

(1)當〃=1時，a=S=1,

ii

當“22時，a=S-S

nnn—1

=m-(n-l)2

=2n-l,

因為q=i適合上式，

所以〃=2n-1GeN*)

n

(2)由(1)得q=1,4=9,

設等比數(shù)列｝的公比為q,則匕=b中=9,解得g=±3,

n31

三V-J四，1=---------=一,

“1-322

當。二一3時，T

〃1-(-3)44

【點睛】

本題主要考查數(shù)列。與的關系、等比數(shù)列的通項公式、前九項和公式等基礎知識，考

nSn

查運算求解能力.

20、(1)a=2x71-3)(2)T=(九一4)?2〃+2+16

nn

【解析】

(1)由數(shù)列｛。｝是等差數(shù)列，所以S=5a解得a=0,又由a+a=8=2a解得d=2即可求得數(shù)列的通項

n533465

公式；

(2)由(1)得。=22a=3—312〃+i,利用乘公比錯位相減，即可求解數(shù)列的前n項和.

nn

【詳解】

(1)由題意，數(shù)列%｝是等差數(shù)列，所以S=5a又S=3a=0,

n53533

由〃4+*=8=2a寸得4=4,所以〃§-4=2d=4,解得d=2,

所以數(shù)列的通項公式為。=a+(〃-3)d-2(zi—3).

n3

⑵由(1)得b=2n-a=(〃一3),2〃+i,

nn

T=(—2),22+(—1)23+0,24+...+(〃-3)2〃+i,

n

2T=(—2)?23+(—1)24+.?.+(〃-4)2?+i+(〃-3)2?+2

n

兩式相減得2T—T—2,2?—Qs++...+2〃+i)+(〃—3)2〃+2

nn

8(1-2〃-J

=8-——-__-——+(n-3)-2n+2=(n—4)-2〃+2+16,

即T=(n—4)?2〃+2+16.

n

【點睛】

本題主要考查等差的通項公式、以及“錯位相減法”求和的應用，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，解答中確定通項

公式是基礎，準確計算求和是關鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù)，能較好的考查考生的數(shù)形

結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等.

%2V29+、/7

21、(1)—+r_=l.x—5―9=0.(2)最大距離為I7.

1642

【解析】

(1)直接利用極坐標方程和參數(shù)方程的公式計算得到答案.

(2)曲線。的參數(shù)方程為廠一:儂。‘，設P(4cosa,2sina),計算點到直線的距離公式得到答案.

y=2sincc

【詳解】

16八

(1)由p2=/『~得p2+3p2sm2。=16,

l+3sin20

X2V2

則曲線C的直角坐標方程為x2+4y2=16,即7丁+-=1.

164

直線I的直角坐標方程為x-褥y-9=0.

x=4coscc,

(2)可知