專題08四邊形綜合

知識回顧

年平行四邊形的性質(zhì).

①邊的性質(zhì)：兩組對邊分別平行且相等.

②角的性質(zhì)：對角相等，鄰角互補.

③對角線的性質(zhì)：對角線相互平分.即對角線交點是兩條對角線的中點.

④對稱性：平行四邊形是一個中心對稱圖形，繞對角線交點旋轉(zhuǎn)180°與原圖形重合.

⑤面積計算：等于底乘底邊上的高.等底等高的兩個平行四邊形的面積相等.

2.平行四邊形的判定：

①一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

：AB〃DC,AB=DC,四邊行ABCD是平行四邊形

②兩組對邊分別相等(兩組對邊分別平行)的四邊形是平行四邊形.

符號語言：VAB=DC,AD=BC(AB〃DC,AD〃BC),四邊行ABCD是平行四邊形.

③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

ZABC=ZADC,ZDAB=ZDCB,四邊行ABCD是平行四邊形

④對角線相互平行的四邊形是平行四邊形.

?.?0A=0C,0B=0D,四邊行ABCD是平行四邊形

3.矩形的性質(zhì)：

①具有平行四邊形的一切性質(zhì).

②矩形的四個角都是直角.

③矩形的對角線相等.

④矩形既是一個中心對稱圖形,也是軸對稱圖形.對角線交點是對稱中心,過一組對邊中點的直線

是矩形的對稱.

⑤由矩形的對角線的性質(zhì)可知，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

4.矩形的判定：

(1)直接判定：

有三個角(四個角)都是直角的四邊形是矩形.

(2)利用平行四邊形判定：

①定義：有一個角是直角(鄰邊相互垂直)的平行四邊形是矩形.

②對角線的特殊性：對角線相等的平行四邊形是矩形.

5.菱形的性質(zhì)：

①具有平行四邊形的一切性質(zhì).

②菱形的四條邊都相等.

③菱形的對角線相互垂直,且平分每一組對角.

④菱形既是一個中心對稱圖形,也是一個軸對稱圖形.對稱中心為對角線交點,對稱軸為對角線所

在直線.

⑤面積計算：除了用計算平行四邊形的面積計算方法面積,還可以用對角線乘積的一半來計算面

積.

6.菱形的判定：

(1)直接判定：

四條邊都相等的四邊形是菱形.

幾何語言：：AB=BC=CD=DA,.?.四邊形ABCD是菱形

(2)利用平行四邊形判定：

①定義：一組領(lǐng)邊相等的平行四邊形是菱形.

②對角線的特殊性：對角線相互垂直的平行四邊形是菱形.

7.正方形的性質(zhì)：

①具有平行四邊形的一切性質(zhì).

②具有矩形與菱形的一切性質(zhì).

所以正方形的四條邊都相等，四個角都是直角.對角線相互平分且相等,且垂直,且平分每一組對角,

把正方形分成了四個全等的等腰直角三角形.

正方形既是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形.對角線交點是對稱中心,對角線所在直線是對稱軸,過

每一組對邊中點的直線也是對稱軸.

8.正方形的判定：

(1)利用平行四邊形判定：

一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.(定義判定)

(2)利用菱形與矩形判定：

①有一個角是直角的菱形是正方形.

②對角線相等的菱形是正方形.

③鄰邊相等的矩形是正方形.

④對角線相互垂直的矩形是正方形.

9.中點四邊形的判定：

①任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形.

②對角線相互垂直的四邊形的中點四邊形是矩形.（菱形的中點四邊形是矩形）

③對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形.（矩形的中點四邊形是菱形）

④對角線相互垂直且相等的四邊形的中點四邊形是正方形.（正方形的中點四邊形是正方形）

1.如康曜第不四邊形/加?中，點。是弱的中點,連接功并延長交切的延長線于點E,連接BD,AE.

（1）求證：四邊形"頗'是平行四邊形；

⑵若加=能判斷四邊形四的的形狀,并說明理由.

【分析】⑴證△熊姓△龍。（陽S,得/=/;再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；

（2）由平行四邊形的性質(zhì)得/夕=切,再證/片初,然后由菱形的判定即可得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：：四邊形/靦是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD,

：.AABO=ADEO,

:點。是邊/〃的中點，

J.AO^DO,

在和△龐。中，

，ZABO=ZEDO

<ZAOB=ZDOE.

,AO=DO

:.△ABg^DEOlAA。,

：.OB=OE,

四邊形/應(yīng)少是平行四邊形；

（2）解：四邊形/叱是菱形，理由如下：

?四邊形48切是平行四邊形，

:.AB=CD,

"：BD=CD,

：.AB=BD,

?/四邊形/位應(yīng)是平行四邊形,

.?.平行四邊形/皿后是菱形.

2.如圖,在口ABCD中，點￡、尸在對角線BD上,且BE=DF.

AD

求證：△ABE^ACDF;/\/

(2)四邊形亞叱是平行四邊形.\

【分析】⑴根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到四=①，四〃①根據(jù)平行~—^^6

線的性質(zhì)得到//劭=/0后,利用弘S定理證明班必△&如；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/年/政根據(jù)平行線的判定定理證明/￡〃冬再根據(jù)平行

四邊形的判定定理證明結(jié)論.

【解答】證明：(1)；四邊形5為平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

：.AABD=ZCDB,

在△/龐和中，

'AB=CD

，ZABE=ZCDF，

BE=DF

二.△/跳＜△物(必s；

⑵由⑴可知,2ABE^叢CDF,

：.AE=CF,/AEB=ZCFD,

.，.180°-ZAEB=18Q°-4CFD梆2AEF=/CFE,

：.AE//CF,

"：AE=CF,AE//CF,

四邊形是平行四邊形.

3.如圖，在四邊形/妍中，點6c為對角線班'上的兩點龍,旗=或連接和破

(1)求證：四邊形4成尸是平行四邊形；

(2)若"求證：AB=DB.

【分析】(1)根據(jù)等式的性質(zhì)可得比一砥從而利用SSS證明△/吠△頌然后利用全等三角形的性質(zhì)

可得ZDFE,從而可得AB//DF,即可解答；

(2)連接AD交BF于點、0,利用平行四邊形的性質(zhì)可得OB=OF,從而可得OE=OC,再利用等腰三角形的性

質(zhì)可得居然后證明四邊形/吹是菱形,即可解答.

【解答】證明：⑴；旗

：.EB^EC=CFrEC,

：.BC=EF,

'：AB=DF,AC=DE,

:.△ABgXDFE'SSS）,

：.NABC=/DFE,

：.AB//DF,

：.四邊形力叱是平行四邊形；

（2）連接/。交班"于點0,

?.?四邊形力頗是平行四邊形，

：.OB=OF,

"：BE=CF,

：.0B-BE=OF-CF,

：.OE=OC,

"：AE=AC,

C.AOLEC,

四邊形/應(yīng)戶是菱形，

：.AB=BD.

4.如圖,劭是平行四邊形46切的對角線,即平分/解交切于點F.

⑴請用尺規(guī)作//龐的角平分線應(yīng),交AB于點、￡（要求保留作圖痕跡,不寫作法）;

（2）根據(jù)圖形猜想四邊形頗F為平行四邊形.

請將下面的證明過程補充完整.

證明：?..四邊形46切是平行四邊形，

：.AD//BC.

/.NADB=Z.（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

又,：DE平■分■4ADB,BF平■分乙DBC,

：.AEDB=-AADB,ADBF=--1ZDBC.

222

:.Z.EDB=/DBF.

：.DE//.（）（填推理的依據(jù)）

又,/四邊形ABCD是平行四邊形.

：.BE//DF.

四邊形甌'為平行四邊形（）（填推理的依據(jù)）.

【分析】（1）根據(jù)作已知角的角平分線步驟作圖即可;

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及判定分別填空即可.

（2）證明：?.?四邊形4靦是平行四邊形，

J.AD//BC.

:./ADB=/DBC.（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

又?：DE平分■4ADB,BF平■分4DBC,

：.AEDB=^AADB,4DBF=L/DBC.

22

AEDB=/DBF.

...龍〃母：（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）（填推理的依據(jù)）

又：四邊形ABCD是平行四邊形.

：.BE//DF.

四邊形比即為平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）.

故答案為：DBC,BF,內(nèi)錯角相等,兩直線平行,兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

5.如圖，在四邊形切中，四〃勿/C平分/的瓦/8=2以￡為/6中點，連結(jié)CE.

（1）求證：四邊形"比。為菱形；

（2）若/小120°,%=2,求△/灰7的面積.

【分析】（1）由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,可證四邊形AECD是平行四邊形，由平行線

的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可證AD=CD,可得結(jié)論；

（2）由菱形的性質(zhì)可求AE=BE=CE=2,由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求BC,AC的長,即可

求解.

【解答】(1)證明：為中點,

:.AB=2AE=2BE,

,:AB=2CD,

：.CD^AE,

又,：AE〃CD,

，四邊形力以力是平行四邊形，

：47平分/物5,

：.ADAC=AEAC,

'：AB//CD,

:.NDCA=/CAB,

：.ZDCA=ZDAC,

：.AD=CD,

平行四邊形/￡切是菱形；

⑵?..四邊形期力是菱形，/人120°,

AACACE=AE=2,/片120°=AAEC,

:.AE=CE=BE,NCEB=6Q°,

：.ZCAE=30°=//位△&仍是等邊三角形,

：.BE=BC=EC=2,/6=60°,

.*.//曲=90°,

:.AC=MBC=2M，

S^nc~X4。義BC——X2X2=2.

6.在口△/加中，/物C=90°是6c的中點,￡是加的中點，過點"作的〃回交位的延長線于點尸.

(1)求證：四邊形/慚是菱形；

(2)若/3=8,菱形/慚的面積為40.求/C的長.

【分析】⑴利用平行線的性質(zhì)可得ZFAE=ZCDE,

利用中點的定義可得AE=DE,從而證明△見屋△0我然后利用全

等三角形的性質(zhì)可得AF=CD,再根據(jù)。是8c的中點，可得AF=BD,從而可證四邊形加沏是平行四邊形,

最后利用直角三角形斜邊上的中線可得BD^AD,從而利用菱形的判定定理即可解答；

(2)利用(1)的結(jié)論可得菱形/慚的面積=244初的面積,再根據(jù)點〃是a1的中點，可得△48。的面積

=2XABD的面積，進而可得菱形ADBF的面積=44勿的面積，然后利用三角形的面積進行計算即可解

答.

【解答】(1)證明：?."/〃比；

NAFC=ZFCD,ZFAF=ZCDE,

?.?點￡是/〃的中點，

:.AE=DE,

:.△FA-MCDE'AAS,

：.AF=CD,

?.?點〃是8c的中點，

J.BD^CD,

：.AF=BD,

四邊形/我犯是平行四邊形，

?.?/期。=90°,2是員的中點，

：.AD=BD=^-BC,

2

四邊形力漸是菱形；

(2)解：?.?四邊形/戚是菱形，

...菱形/頌的面積=2△4劭的面積，

???點2是比的中點，

△/6C的面積=2勿的面積，

，菱形4慚的面積=的面積=40,

.?.工仍〃=40,

2

.?.JLX8"C=40,

2

；.然=10,

的長為10.

7.如圖，在平行四邊形ABCD中，連接做￡為線段AD的中點,延長龐與切的延長線交于點汽連接":/

BDF=9Q°.

(1)求證：四邊形4應(yīng)戶是矩形；

(2)若5,如=3,求四邊形48(下的面積S.

【分析】⑴由四邊形力比?是平行四邊形，得N掰￡=/“而點E是”的中點，可得△的也△

FED^ASA),即知EF=EB,從而四邊形/如是平行四邊形,又/BDF=90°,即得四邊形/叱是矩形；

⑵由ZAFD=90a,AB=DF=3,AF=BD,得/b=板可道==4,S矩形題尸DF-AF=12,四邊

形朋力是平行四邊形,得CD=AB=3,從而S^0=^BD-CD=&,即可得四邊形46〃的面積S為18.

2

【解答】(1)證明：：四邊形/靦是平行四邊形，

：.BA//CD,

：.ABAE=AFDE,

:點￡是"的中點，

:.AE=DE,

在△曲和△圓中，

rZBAE=ZFDE

-AE=DE，

ZBEA=ZFED

:.ABEA安叢FED(ASA),

：.EF=EB,

又'：AE=DE,

四邊形力既是平行四邊形，

VZW'=90°.

...四邊形/如是矩形；

(2)解：由⑴得四邊形/應(yīng)戶是矩形，

AAFD=90°,AB=DF=3,AF=BD,

：'AF=VAD2-DF2=V52-32=4>

S矩形ABDF=DF*AF=3X4=12,BD=AF=4,

???四邊形/靦是平行四邊形，

：.CD=AB=3f

9

???S/XBCD~--BD67^=X4X3—6,

22

==

四邊形//下的面積SSABDF^S/\BCD=12+618,

答:四邊形/aF的面積S為18.

8.如圖，在菱形/夕⑦中，乙仿C=60°,初=2右。典過點〃作為。的垂線，交蘢的延長線于點〃.點尸從點

B出發(fā)沿初方向以2腐/s向點。勻速運動，同時，點￡從點〃出發(fā)沿加方向以\cmls向點，勻速運

動.設(shè)點E,尸的運動時間為t（單位：s）,且0<t<3,過/作FGLBC于點、G,連結(jié)EF.

（1）求證：四邊形〃砌是矩形；

⑵連結(jié)FC,點F,￡在運動過程中，△班'C與△腔是否能夠全等?若能,求出此時t的值;若不能,請說

明理由.

【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理得到EH//FG,由題意知"'=2笈必,9=笈私推出四邊形EFGH是平行

四邊形,根據(jù)矩形的判定定理即可得到四邊形砒狎是矩形；

⑵根據(jù)菱形的性質(zhì)得到N4a1=60°,"=2?c應(yīng)求得欷7=60°,CD=AB=2?an,解直角

三角形即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：'：EHVBC,FGVBC,

C.EH//FG,

由題意知BF=2ton,EH=ton,

???在菱形四口中，N/充=60°,

：.ZCBD=30°,

FG=LBF=ton,

2

：.EH=FG,

???四邊形次瀏是平行四邊形，

■:/FGH=90°,

???四邊形所加是矩形；

（2）△郎。與能夠全等，

理由：???在菱形四。中，N/6C=60°,28=2舊創(chuàng)

AZADC=ZABC=G0°,CD=AB=2y/3cm,AB//CD,

：.ZCBD=ZCDB=30°,ZDCH=ZABC=60°,

'：DHLBQ

：.ZCHD=90°,

:./CDH=9G°-60°=30°=/CBF,

在RtZk。力中，cosNCZZA?1,

CD

???淅^2愿義陣=3,

‘：BF=2tcm,

EH=tern,

:?DE=(3-t)cm,

：.當(dāng)BF=DE時,△BFSXDEC,

.*.2f=3-t,

t=1.

9.小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗,對線段之間、角之間的關(guān)系進行了拓展探究.如圖，在M頷中,AV為充

AT)

邊上的高，一=m,點〃在4?邊上,且BA=BM,點￡是線段上任意一點,連接BE,將△/跳'沿龍翻折

AN

得△必反

(1)問題解決：如圖①，當(dāng)/胡小60°,將△/龐沿龍翻折后，使點尸與點〃重合，則;

AN

(2)問題探究：

如圖②,當(dāng)/物小45°,將△板沿座翻折后，使EF//BM,求//應(yīng)'的度數(shù),并求出此時0的最小值；

(3)拓展延伸:

當(dāng)/的2=30°,將△力跳'沿篦翻折后,若EFLAD,且AE=MD,根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形,并求出勿的

值.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)可得幽a=——\一，根據(jù)特殊角的三角

ANANcosZBAN

函數(shù)值即可求解；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得NAH?的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理可得Nd跖的度數(shù),根據(jù)點〃在4?邊上,

當(dāng)AD=AM^,勿取得最小值,從而求解;

⑶連接FM,沒AN=a,然后結(jié)合勾股定理分析求解.

【解答】解：(1)?:BA=BM,/BAD=60°是等邊三角形,

：.AB=AM=BM,

??,四邊形/頷是平行四邊形,

：.AD//BC,

：.ZABN=ZBAM=60°,

為比'邊上的高,

"AN"AN=cosZBANV3_3，

__2~

故答案為：當(dāng)巨；

3

(2)'：ZBAD=^5°,BA=BM,

；.△/仍是等腰直角三角形，

:./MBC=/AMB=45°,

,:EF〃BM,

:./FEM=/AMB=45°,

AAEB=ZFEB=^-(180°+45°)=112.5°,

2

'：AD//NC,

:./BAE=/ABN=45°,

ZABE=18Q°-ZAEB-ZBAE=22.5°,

?:m=m,如是等腰直角三角形,m為底邊上的高,則AN=1AM,

AN2

??,點"在段邊上，

???當(dāng)時,力取得最小值,最小值為迎=2,

AN

⑶如圖，連接他延長所交般'于點G,

■:/BAD=30°，貝1]/^4^=30°,

設(shè)AN=a,貝ljAB=2a,NB=Ma,

'：EFLAD,

旗=/煙=2(180°+90°)=135°,

2

'：ZEAB=ZBAD=30°,

：.ZABE=15°,

：.ZABF=30°,

?：AB=BM,ZBAD=30°,

ZABM=120°,

'：ZMBC=ZAMB=30°,

；.NFBM=90°,

在中，F(xiàn)B=AB=BM,

:?FM={iFB=2Ha,

：.EGLGB,

VAEBG=ZABE+ZABN=45°,

GB=EG=a,

:泌=我為

：.AE=EF=MD=-Da,

在Rt△明/中，EM=rFM2-EF2=（V3+1）a,

：.AD^AE+EM^MD=2AE+EM=（373-Da,

同理，當(dāng)點尸落在8c下方時，

AD=（3百+l）a

m==3V3±1.

10.如圖，在四邊形中，/6〃以點￡尸在對角線加上，應(yīng)'=砂=物,/的尸=N2位=90°.

(1)求證：△/班經(jīng)△儂；

(2)連接/￡CF,已知上^(從以下兩個條件中選擇一個作為已知，填寫序號)，請判斷四邊形/況尸的形

狀,并證明你的結(jié)論.

條件①：//的=30°;

條件②：AB=BC.

(注：如果選擇條件①條件②分別進行解答,按第一個解答計分)

【分析】⑴由等式的性質(zhì)得BF=DE,由平行線的性質(zhì)得/"哥'=/。密從而利用41S證明班去△儂;

⑵若選擇①，由⑴可說明的〃區(qū)則四邊形/期是平行四邊形，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得AE

=/BF，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)得4Q/BF，則/￡=/￡從而儲改廠是菱形;若選擇②連接

4c交劭于點0,同理可得四邊形力aF是平行四邊形,利用等腰三角形的性質(zhì)可得BOLAC,即EFLAC,從

而證明結(jié)論.

【解答】(1)證明：：跖=9

：.BE+EF=FIKEF,

:.BF=DE,

'：AB//CD,

：.ZABF=ACDE,

在△/班l(xiāng)和宏中，

,ZABF=ZCDE

<ZBAF=ZDCE

BF=DE

:.△ABF^XCDE'AAS);

(2)解：若選擇條件①：

四邊形/&F是菱形,理由如下：

由（1）得,△ABF^XCDE,

：.AF=CE,ZAFB=ZCED,

：.AF//CE,

四邊形力以才是平行四邊形,

■:/BAF=9Q；BE=EF,

.?.3]BF，

:NBAF=90°,NABA30。，

?/=/BF，

：.AE=AF,

.?.M叱是菱形；

若選擇條件②：

四邊形/打了是菱形,理由如下：

連接〃交劭于點0,

由①得：△/母絲△口我

：.AF=CE,AAFB=ZCED,

：.AF//CE,

四邊形Za尸是平行四邊形，

：.AO=CO,

,:AB=BC,

：.BOLAC,

即EFLAC,

.”力比F是菱形.

故答案為：①（答案不唯一）.

11.下面圖片是八年級教科書中的一道題.

如圖，四邊形/灰力是正方形，點￡是邊比1的中點，//1'=90°,且外交正方形外角的平分線CF于點

F.求證/￡=質(zhì)（提示：取46的中點G,連接比.）

（1）請你思考題中“提示"，這樣添加輔助線的意圖是得到條件：;

（2）如圖1,若點￡是6c邊上任意一點（不與6、C重合），其他條件不變.求證：AE=EF;

(3)在⑵的條件下,連接AC,過點￡作EPLAC,垂足為P.

【分析】(1)根據(jù)點￡為笈的中點，可得答案;

(2)取連接EG,首先說明意是等腰直角三角形,再證明△物&△儂;可得答案；

⑶設(shè)BC=x,則BE=kx,則GE=?kx,EX(1-A)x,再利用等腰直角三角形的性質(zhì)表示0的長,利用平

行四邊形的判定可得只要EP=FC,即可解決問題.

【解答】⑴解：???點￡為8c的中點，

:.BE=CE,

:點G為的中點,

：.BG=AG,

：.AG=CE,

故答案為：AG=CE-

(2)證明：取/G=￡C連接6G,

?.?四邊形/8儀?是正方形，

:.AB=BC,N6=90°,

,:AG=CE,

:.BG=BE,

...△及芯是等腰直角三角形,

:"BGE=/BEG=45；

：.ZAGB=ZECF=135°,

■:AELEF,

:?/AEB+/FEC=9G°,

'：ZBAB+ZAEB=90°,

:./FEC=/BAE,

:.△GA-XCEFkAS心、

：.AE=EF\

由（2）知，△③質(zhì)△儂;

.??CF=EG,

設(shè)BC=x,貝I]BE=kx,

GE=y12kxiEC=(1-A)x,

u：EPLAC,

???△雙是等腰直角三角形，

：.ZPEC=45°,

：.ZPEC+ZECF=180°,

：.PE//CF,

:.PE士巨(1-l()x,

2

當(dāng)必'=〃時，四邊形阻F是平行四邊形，

?'?^-(1-4)X=M"X,

解得4=1.

3

12.已知△/比是等邊三角形，點B,。關(guān)于直線AC對稱,連接AD,CD.

⑴求證：四邊形48切是菱形；

（2）在線段NC上任取一點戶（端點除外），連接PD.將線段外繞點戶逆時針旋轉(zhuǎn),使點2落在掰延長線

上的點。處.請?zhí)骄浚寒?dāng)點戶在線段力。上的位置發(fā)生變化時的大小是否發(fā)生變化?說明理由.

(3)在滿足⑵的條件下,探究線段4。與0之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

【分析】(1)根據(jù)菱形的判定定理和軸對稱圖形的性質(zhì)解答即可；

(2)連接PB,過點尸分別作PE〃CB交45于點E,陰L48于點F,根據(jù)全等三角形的判定定理,等腰三角形

的性質(zhì)，軸對稱圖形的性質(zhì)解答即可；

(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】(1)證明：連接能

等邊AABC中，AB=BC=AC,——TSP

:點民。關(guān)于直線對稱，\\

：.DC=BC,AD=AB,\//''\

:.AB=BC=CgDA,/V_______、'、\

0AB

四邊形48⑦是菱形；

(2)解：當(dāng)點戶在線段4C上的位置發(fā)生變化時，/g0的大小不發(fā)生變化,始終等于60°,理由如下：

???將線段如繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)，使點〃落在BA延長線上的點0處，

等邊AABC中，AB=BC=AC,\\

ZBAC=ZABC=ZACB=60°,\//?

連接心■，過點戶分別作圖〃應(yīng)交相于點區(qū)外工股于點q如圖N:

QAFEB

則/加無=//0=60°,N力第=//及7=60°,

:.NBAC=NAPE=NAE仁60°,

；.△/也是等邊三角形，

：.AP=EP=AE,

而PFVAB,

：./APF=/EPF,

,：點以〃關(guān)于直線4C對稱，點尸在線段4。上，

J.PB^PD,ADPA=ZBPA,

：.PQ=PB,

：.NPDA=APBA,NPBA=ZPQA,

：.APDA=APQB

：.ADPQ=ADAQ=^

⑶解：在滿足⑵的條件下，線段20與h之間的數(shù)量關(guān)系是4g小證明如下：

"：AC=AB,AP=AE,

：.AC-A—AB-AE,

即CP=BE,

"：AP^EP,PFVAB,

：.AF=FE,

"：PQ^PB,PFVAB,

：.QF=BR

：.QF-AF=BF-EF,

即AQ=BE,

:.AgCP.

13.在菱形/灰力和正三角形叱中，/4?C=60°,P是所的中點，連接/G、PC.

⑴如圖1,當(dāng)點G在比邊上時,寫出PG與%的數(shù)量關(guān)系.(不必證明)

(2)如圖2,當(dāng)點尸在46的延長線上時,線段PC、陽有怎樣的數(shù)量關(guān)系,寫出你的猜想,并給予證明；

(3)如圖3,當(dāng)點尸在四的延長線上時,線段PC、%又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想(不必證明).

【分析】⑴延長GP交加于點E,利用△朋匡△戶做得出PE=PG,DE=FG,得到CE=CG,CP是EG的中

垂線,在WXCPG中,利用正切函數(shù)即可求解；

(2)延長⑦交DA于點E,連接EC,GC,先證明△陽屋漢再證明△。蛇△血;利用在RtG中，Z

產(chǎn)仔=60°,即可求解；

⑶延長GP到H,使PH=PG,連接CH,CG,DH,作EF//DC,先證△6K%△用以再證△被荏△皈;利用在Rt

△CW中，NPCG=60°,即可求解.

【解答】解：⑴%=?%

如圖1,延長。交加于點區(qū)

圖1

??/是)的中點，

：.PD=PF,

???△戚是正三角形，

：.ZBGF=60°,

VZABC=GO°,

:?/BGF=/ABC,

：.AB//GF,

??,四邊形/頷是菱形，

：.AB//CD,

：.CD//GF,

：.ZCDP=ZPFGf

在△陽9和△尸6F中，

'/DPE=/FPG

<DP=PF,

ZCDP=ZPFG

???△發(fā)屋△夕6F(A￡4),

:?PE=PG,DE=FG,

?二△叱是正三角形，

:.FG=BG,

???四邊形偵⑷是菱形,

:?CD=CB,

CE=CG,

;.以是"的垂直平分線，

在RtzXCFG中，/尸<7。=60°,

:.PG=tan4PCG，PC=MPC；

(2)猜想：加=如用證明如下：

如圖2,延長GP交處于點笈連接EC,GC,

B

圖2

:ZABC=60°,△8聲是等邊三角形，

：.GF//BC//AD,

:"EDP=/GFP,

在△圓和△陽F中，

'NEDP=NGFP

,DP=FP，

ZDPE=ZFPG

:.叢PE品叢PGF〈ASA),

：.PE=PG,DE=FG=BG,

在'和△酸1中，

fCD=CB

<ZCDE=ZCBG.

DE=BG

.，.△以修△狽⑸S,

CE=CG,ADCE=ABCG,

:./ECG=NDCB='20°,

"：PE=PG,

:.CPLPG,/PCG=上/ECG=6Q；

2

:.PG=tanZPCG'PC=MPC,

(3)猜想：PG=MPC,

如圖3,延長0到H,使PH=PG,連接CH,CG,DH,過點尸作EF//DC,

：.FP=DP,

：.AGPF=AHPD,

:.△GFP^XHDP,

：.GF=HD,ZGFP^AHDP,

■：/GF抖Z.PFE=\20。，NPFE=4PDC,

:"CDH=NHDR/PDC=\2Q；

?.?四邊形/比》是菱形，

5=CB,/ADC=/板‘=60°,點A,B,G,在同一直線上，

：.ZGBC=12.0°,

?.?四邊形出FG是菱形，

：.GF=GB,

：.HD^GB,

:.叢HD微叢GBClSAS),

：.CH=CG,ADCH=ZBCG,

：.ADCfhAHCB=ZBCG+AHCB=120°，即/必G=120°,

"：CH=CG,PH=PG,

:.PGLPC,/GCHNHC-6Q；

：.PG=X.anAPCG'PC=43PC.

14.已知N/創(chuàng)三90°,在//外內(nèi)部作等腰/的C=a(0。＜aW90°).點。為射線外上

任意一點(與點8不重合),連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接戊7并延長交射線

BN千點、F.

⑴如圖1,當(dāng)a=90°時，線段如與〃的數(shù)量關(guān)系是;

(2)如圖2,當(dāng)0。＜a＜90°時，(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立，請給予證明;若不成立,請說明理由；

⑶若a=60°,/6=4?,所典過點￡作”剛垂足為請直接寫出玄的長(用含有0的式子表

示).

【分析】⑴連接陽先根據(jù)“弘S”證明△/應(yīng)絲△/初，得出//您=//初=90°,再證明Rt△/班絲Rt

&ACE即可得出結(jié)論；

(2)連接小先說明/氏1(7=/"1〃然后根據(jù)“弘S”證明△/庫△/初，得出//應(yīng)=//所90°,再證明

力力RtAJ/即可得出結(jié)論；

⑶先根據(jù)a=60°,AB=AC,得出△/比:為等邊三角形,再按照N應(yīng)。的大小分三種情況進行討論,得出

結(jié)果即可.

【解答】解：⑴母'=6F;理由如下:

連接如圖所示：

（圖1）

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，ZDAE=a=90°,AE=AD,

VZBAC=90°,

：.ZEAC+ZCAD^9Q°,ZBAD^-ZCAD^90°,

：.ZEAC=ZBAD,

在和△/比?中，

rAE=AD

-ZEAC=ZDAB，

AC=AB

:.△ACE^/\ABD（SAS,

；./ACE=NA8D=90；

：.ZACF=^Qa,

在RS4BF與中,

[AB=AC

1AF=AF'

RtZ\43修RtAJCF（版）,

：.BF=CF,

故答案為：BF=CF-

⑵成立，理由如下：

如圖2,連接"；

(圖2)

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，ADAE=a,AE=AD,

'：ABAC=a,

C.ZEAC-4CAAa,ABAD-4CAD=a,

AEAC=ABAD,

在△/龍和中，

rAE=AD

-ZEAC=ZDAB

AC=AB

:AAC監(jiān)AABDlSAS,

:./ACE=NABD=9G,

：.ZJ6F=90°,

在Rt△/哥'與Rt/X/CF中，

fAB=AC

1AF=AF'

RtAA8gRt"CF(HD,

：.BF=CF\

(3)Va=60°,AB=AC,

；.△/火為等邊三角形，

NABC=/ACB=/刃C=60°,AB=AC=BC=4M，

①當(dāng)/"“<60°時，連接加；如圖所示：

'J^/XABF^^t/XACF,

：.ZBAF=ZCAF=^ZBAC=30°,

2

在RtZUN中，里■=tan30°,

BF一遙

即CF=BF=k

根據(jù)⑵可知,△/電△/初，

CE=BD=m,

:?EF=CRCE=4+叫/FBC=/FCB=90°-60°=30°,

:?/EFP=/FBC+/FCB=6G°,

又*：/EPF=9G；

：.ZFEP=90°-60°=30°,

；.PF=l，EF=2+^/n,

22

:.BP=BRPF=6dm,

2

：.PD=BP-BD=6-L;

2

②當(dāng)/掰460°時,4?與/。重合，如圖所示：

；.△/應(yīng)為等邊三角形，

：.ZADE=60a,

'：ZADB