第03講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破題型探究............................................................4

知識點(diǎn)1：用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖....................................4

知識點(diǎn)2：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)......................................5

知識點(diǎn)3：y-Asin(wx+°)與歹-Acos(wx+0)(4>0,w>0)的圖像與性質(zhì).....................7

解題方法總結(jié)...................................................................9

題型一：五點(diǎn)作圖法............................................................10

題型二：函數(shù)的奇偶性...........................................................15

題型三：函數(shù)的周期性...........................................................17

題型四：函數(shù)的單調(diào)性..........................................................22

題型五：函數(shù)的對稱性(對稱軸、對稱中心)......................................26

題型六：函數(shù)的定義域、值域(最值)............................................30

題型七：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用................................................35

題型八：根據(jù)條件確定解析式....................................................42

題型九：三角函數(shù)圖像變換......................................................49

題型十：三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題..................................................52

04真題練習(xí)?命題洞見...........................................................59

05課本典例高考素材...........................................................62

06易錯(cuò)分析答題模板...........................................................64

易錯(cuò)點(diǎn)：三角函數(shù)圖象變換錯(cuò)誤..................................................64

答題模板：求三角函數(shù)解析式....................................................65

1/67

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

（1）正弦函數(shù)、余弦函2024年天津卷第7題，5分本節(jié)命題趨勢仍是突出以三角函數(shù)的圖像、

數(shù)和正切函數(shù)的圖像性質(zhì)2024年北京卷第6題，5分周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、最值等重點(diǎn)

（2）三角函數(shù)圖像的平2024年II卷第9題，6分內(nèi)容展開，并結(jié)合三角公式、化簡求值、平面向

移與變換2023年甲卷第12題，5分量、解三角形等內(nèi)容綜合考查，因此復(fù)習(xí)時(shí)要注

（3）三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用2023年天津卷第5題，5分重三角知識的工具性，以及三角知識的應(yīng)用意

問題2023年I卷第15題，5分識.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）理解正、余弦函數(shù)在區(qū)間［0,2加內(nèi)的性質(zhì).理解正切函數(shù)在區(qū)間卜內(nèi)的單調(diào)性.

（2）了解函數(shù)y=Nsin（ox+0）的物理意義，能畫出y=/sin（ox+⑼的圖像，了解參數(shù)4。,0對函數(shù)圖像的

影響.

（3）了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)，會用三角函數(shù)解決一些簡單的實(shí)際問題.

2/67

㈤2

//jflieaa&siftgiiLw

在正弦函數(shù)y=s加、，x￡［0,2句的圖象中，

五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0),尊1),(%0),(箓1)(2%0).

用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖)-

在余弦函數(shù)J'=C0￡V,X6［0,2兀］的圖象中，

五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)得0).,-1)得,0)(241).

畫數(shù)>3*"tans

可上看

圖飄

-VKi1噎外聲

定義城nK(x|xcArX#t)r+—)

值域11?1111■11R

周期性in2x

正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)x

奇偎性令函數(shù)儲困數(shù)奇函數(shù)

三角函數(shù)圖象與性質(zhì)遞增區(qū)劃[2Jt>r:.2kiri；][r+2ka,2*捫(ktr；.*"，：)

遞減區(qū)間\2k>r+y>2Jcir+^-i[2后i2k/l無

(^.0)

對稱中心g,0)(**+[,0)

對稱軸方程xktt\x-tirJi.

畫出y=sinx的圖象畫出y=si?x的圖望|

向左(右)星個(gè)型橫山標(biāo)變?yōu)轵醽淼氖勘?/p>

平移他長度

排到y(tǒng)=6in(x+9)的得到y(tǒng)ssinatx的

圖象圖象

函數(shù)1，=S〃△?的圖象經(jīng)變換得到產(chǎn)As見sa+<pX4>0,w>0)

橫啜標(biāo)變?yōu)橄蜃?右)5介球

平移

的圖象的兩種途徑(Q長度

得到y(tǒng)=sin(3X+6褥到y(tǒng)?sin(cux+M

的圖跳__________的圖象__________

從魁標(biāo)變?yōu)椋郾O(jiān)來的4倍縱整標(biāo)變?yōu)椋墼瓉淼?倍

褥到y(tǒng)“sin(ax+中)Wf*Jy=4sin(<*?x+M

的圖維的圖象______________

3/67

,老占空硒-躺理操空L、

知識J

知識點(diǎn)1：用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖

(1)在正弦函數(shù)y=sinx,xe[0,2幻的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:

77

(0,0),(-,l),(^-,0),(y,-1),(2^-,0).

(2)在余弦函數(shù)〉=cosx,XE[0,2%]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:

IT

(0,l),(-,0),(^-,-l),(y,0),(2^-,1).

⑴化簡/(x)，并在給出的直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)法畫出函數(shù)了=/卜)在[0,2可內(nèi)的圖象;

(2)求函數(shù)A(x)=/(2x),xe7,7的值域.

o5

【解析】(1)f(x)-PQ=(V3,lj-(sin>c,cosr)=sinx+cosx=2sinLr+I,

715兀4兀1171

X02兀

~6T~6~

/(X)120-201

4/67

圖像如下圖:

兀712x+.715兀

XG657

A（x）min-2sinl-^k-l,/z（x）max=2sin^=2,故函數(shù)值域?yàn)閇-1,2].

知識點(diǎn)2：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

_TTIvTX3-yI

一20,1\"制

圖象

LdI2_2L：Xfo\2Lx

2\l\\2

JI

定義域RR{X左〃+,}

值域[-1.1][-1,1]R

周期性2〃2TIn

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

jTCj71,7TC7TC、

遞增區(qū)間12左乃——,24》+—J[-71+2k兀，2ATF]（ATT——,K7l+-）

遞減區(qū)間[2k7i+,2kji+[2k7T，71+2kli無

71

對稱中心（k兀,0）（壯+,,0）仔,。）

,n

對稱軸方程X=K7l+—x-kn無

2

注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是工；正（余）弦曲線相鄰兩個(gè)對稱中心的距離是工;

22

正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離。

5/67

【診斷自測】（多選題）（2024?湖南衡陽?三模）已知函數(shù)〃x）=/tan（ox+9“0>O,同的部分圖象如

7T

A.函數(shù)/⑴的最小正周期為萬

B.sing=-^-

C.函數(shù)/（X）在無上單調(diào)遞增

D.方程/(x)=sinl2x+^ko<x<兀)的解為,7兀

T

【答案】ABD

【解析】對于A,由圖可知，函數(shù)/（x）的最小正周期為T=2x故A正確;

0=二=2=2

對于B,由77T,所以/(》)=出211(2X+夕)，

2

因?yàn)?"[年)=Ntan(子'+夕]=0,則—+夕=左eZ),貝!]夕=而一二("eZ),

因?yàn)閯t9=:，所以sin°=容，故B正確；

對于C,/(x)=^tan|2x+^|,由烏<工<兀，—<2%+—<—,

1M2444

[To2x+-=y,即％=不時(shí)，/[wj=4tar15j沒有意乂，故C錯(cuò)誤；

對于D,7(0)=/tan：=4=l,則/(x)=tan(2x+j,

方程/(x)=sin[2x+：),得tan[2x+：)=sin12x+,

6/67

sin12X+￡

：即；

即-sinf2x+=0,sin12x+1-cos12x+—0,

cos2x+-

l4

所以sin(2x+:]=0或cos(2x+；]=l,因?yàn)?<x<7i,—<2x+—<—,

I4)I444

所以2X+L或2^*解得，學(xué)吟，故D正確.

故選：ABD.

知識點(diǎn)3：y=Asin(wx+°)與歹=Acos(wx+0)(/>0,w>0)的圖像與性質(zhì)

(1)最小正周期：T=—.

(2)定義域與值域：y=4sin(wx+。)，歹=4cos(wx+°)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇-4,A].

(3)最值

假設(shè)A>0,w>0.

①對于y=/sin(wx+°),

7T

當(dāng)wx+。=一+2kn(kGZ)時(shí)，函數(shù)取得最大值4;

<

TT

當(dāng)儂r+。=-—+2k7i(JiGZ)時(shí)，函數(shù)取得最小值-A;

②對于y=T4COS(WX+。),

f當(dāng)wx+(/)=2k兀(kGZ)時(shí)，函數(shù)取得最大值4;

1當(dāng)wx+。=2krc+n(kGZ)時(shí),函數(shù)取得最小值-A;

(4)對稱軸與對稱中心.

假設(shè)A>0,w>0.

①對于歹=4sin(wx+°),

冗

當(dāng)w%+°=左乃+一(左￡Z),即sin(wx0+°)

<=±1時(shí)，y=sin(wx+。)的對稱軸為％=%o

當(dāng)w%o+(/)=kji(kGZ),即sin(wx0+°)=0

時(shí)，y=sin(wx+°)的對稱中心為(工0,0).

②對于歹二/cos(ua+0),

7/67

當(dāng)TV%+0=k兀(kGZ),即cos(wx0+°)=±1

時(shí)，歹=€：05(棧+。)的對稱軸為1二%

V冗

當(dāng)Wx0+0=左〃H——(kGZ),即cos(wx0+°)

=0時(shí)，y=cos(wx+°)的對稱中心為(%o,O).

正、余弦曲線的對稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大(小)值的位置.正、余弦的對稱中心是相應(yīng)函數(shù)與X軸交

點(diǎn)的位置.

(5)單調(diào)性.

彳段設(shè)A>0,w>0.

①對于y=^4sin(wx+°),

■JT■IT.

wx+e[--+2左肛—+2kAk￡Z)n增區(qū)間；

wx+G[^+2k:i,+2kjr}(kGZ)=>減區(qū)間

②對于〉=/cos(wx+力,

Jwx+°￡[~7l+2左肛2br](左￡Z)=>增區(qū)間；

[譏劣+°￡[2左肛2左乃+4](左￡2)=>減區(qū)間.

(6)平移與伸縮

由函數(shù)ksinx的圖像變換為函數(shù)了=2sin(2x+$+3的圖像的步驟；

方法一：(x->%+-->2x+-).先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們

23

“想欺負(fù)”(相一期一幅)三角函數(shù)圖像，使之變形.

,,__向左平移2個(gè)單位./1、MEg所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

y二sinx的圖像-------——>)=sm(x+§)的圖像------時(shí)超一j

y=sin(2x+§的圖像所有點(diǎn)的畿髏來的？倍〉y=2sin(2x+9的圖像

向上平松個(gè)單位〉尸2sin(2x+1)+3

方法二：(xf尤+工-2x+&).先周期變換，后相位變換，再振幅變換.

23

,所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?_向左平移三個(gè)單位

y=smx的圖像------謝筱一jy=sin2x的圖像------------>

y=sin2(x+g)=sin(2x+g)的圖像?所有點(diǎn)的濯黑誓蝌?倍一

62

y=2sin(2x+§的圖像向上平移3各單位>J=2sin(2x+1)+3

注：在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮(先相位后周期，即“想欺負(fù)”)，但先伸縮后平移(先周期

8/67

后相位)在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個(gè)變換總是對變量X而言的,

即圖像變換要看“變量X”發(fā)生多大變化，而不是“角WX+?！弊兓嗌?

【診斷自測】(多選題)(2024?山東荷澤?模擬預(yù)測)已知函數(shù)g(x)=sin(ox+9)(O<0<4,O<e<7r)為偶函

數(shù)，將g(x)圖象上的所有點(diǎn)向左平移9個(gè)單位長度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函數(shù)

62

/(X)的圖象，若/(X)的圖象過點(diǎn)(0,4),則()

A.函數(shù)/(X)的最小正周期為1

B.函數(shù)/(x)圖象的一條對稱軸為

12

4

C.函數(shù)〃x)在(1,§)上單調(diào)遞減

D.函數(shù)/□)在(0,兀)上恰有5個(gè)零點(diǎn)

【答案】AC

TTTT

【解析】由函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，得9=萬+癡,左cZ,而0<夕<兀，則9=5,

因此f(x)=sin(269x+—+—)=cos(2<yx+—),/(0)=cos—=—

62662

由0<o<4,得0<?<二于是?=j解得。=兀，則“尤)=sin(2收+少，

63666

2兀

對于A,函數(shù)/(x)的最小正周期為7=h=1,A正確；

271

對于B,/(W)=cos§=]w±1,函數(shù)/(x)圖象關(guān)于％;■不對稱，B錯(cuò)誤；

4137r7T17IT137r177r

對于C,當(dāng)時(shí)，>+而余弦函數(shù)〉=cosx在(丁，丁)上單調(diào)遞減,

366666

4

因此函數(shù)/(%)在上單調(diào)遞減，C正確；

對于D,由/(X)=0,得2也+工=歷1+4,左cZ,解得x="+',左wZ,

6226

k1

由0<+<匹左EZ,解得左￡{0,1,2,3,4,5},因此函數(shù)/㈤在(0,兀)上恰有6個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.

26

故選：AC

解題方法總結(jié)

1、關(guān)于三角函數(shù)對稱的幾個(gè)重要結(jié)論;

9/67

TT

(1)函數(shù)y=sinx的對稱軸為％=左〃+萬?(左EZ),對稱中心為(ATT.O)(左￡Z)；

,.,,TT

(2)函數(shù)y=cosx的對稱軸為x=br(keZ),對稱中心為(左乃+于0)(左￡Z)；

(3)函數(shù)y=tanx函數(shù)無對稱軸，對稱中心為(券,0)(左eZ)；

JT

(4)求函數(shù)y=4sin(ua+0)+b(ww0)的對稱軸的方法；+(/)=—+k7i(keZ),得

一+左〃■一°

k7i-(!)

x=-........(左EZ)；對稱中心的求取方法；令松+°=左〃(左eZ)得％=即對稱中心為

w

(J,b).

W

——\-k71-(I)

(5)求函數(shù)＞=/cos(wx+°)+6(ww0)的對稱軸的方法；令松+。=左〃(左EZ)得x=2------------,即

——tkji一0

對稱中心為(2------------,6)(左GZ)

W

2、與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論

TT

(1)若y=Zsin(@x+0)為偶函數(shù)，則°二左九+萬■(左wZ)；若為奇函數(shù)，則。=左〃(左wZ).

TT

(2)若歹=/cos(①x+o)為偶函數(shù)，則。=ATZ■(左EZ)；若為奇函數(shù)，則°=左九+,(左wZ).

(3)若y-Atan(①x+(p)為奇函數(shù)，則(p=k兀(kGZ).

題型一：五點(diǎn)作圖法

【典例1-1】已知函數(shù)/(x)=2sin[2x-：J,xeR.

(1)在用“五點(diǎn)法”作函數(shù)了=/(無)在區(qū)間[0,可上的圖象時(shí)，列表如下:

,71717兀

2x----

4~4T

X0兀

10/67

f(x)

將上述表格填寫完整，并在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象;

2

3

-

2

1

1

-

2

1

-o匹匹3兀匹5兀；3兀；7兀

2-———T——-8—+2—1

T-8—~4~--8—

3

-

2

-2

JTJT

(2)求函數(shù)/(X)在區(qū)間-彳，7上的最值以及對應(yīng)的X的值.

【解析】(1)在用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［0,可上的圖象時(shí)，列表如下:

71713兀7兀

2x--071

4*2TT

713兀5717兀

X0兀

iTTT

f(x)-應(yīng)020-2

描點(diǎn)，連線，可得圖象如下:

兀兀7T3兀兀

(2)因?yàn)榱恕昕傻?不

4?444

故當(dāng)=：時(shí)，即x三時(shí)，/(X)取最大值2義曰=血,

當(dāng)2無一：=一5時(shí)，即x=-方時(shí)，/(x)取最小值2x(-l)=-2.

11/67

【典例1-2】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)=/sin3+0),同苫］在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表

并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：

715兀

XJ~6~

713兀

3X+(p0兀2兀

2T

/sin(0x+e)05-50

(1)請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)/(力的解析式;

TT

(2)當(dāng)xe--,0時(shí)，求不等式的解集.

【解析】(1)由表可知/=5,4=號一個(gè)=當(dāng)，

2632

兀

所以7=2f=兀，所以。=2,

又2xg+9=/所以夕=_1,

326

所以/(x)=5sin12x-Ej,

表格如下：

717177157113兀

X

12J五~6~n

713兀

CDX+(p0兀271

2~2

/sin(0x+0)050-50

(2)/(x"0,BPsinf2x-^j>0,

jrJr/jr

所以2kli<2x—<7i+2左兀,解得---\-kn<x<-----卜kit,k￡Z,

61212

又因xe-p0,所以一即不等式/(x)?0的解集為

【方法技巧】

(1)在正弦函數(shù)歹=sinx,%￡［0,24］的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:

12/67

77\TT

(0,0),(pl),(^,0),(y,-l),(2^,0).

(2)在余弦函數(shù)歹=cosx,xc[0,2菊的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:

TT

(O,l),(1,O),(^-,-l),(y,0),(2^-,1).

【變式1-1](2024?云南曲靖?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=sin[2x-j.

(1)完善下面的表格并作出函數(shù)/(x)在[0,可上的圖象：

7111K

2x--071

6~~6~6~

5兀

X

~6

1

另

1

A

O四匹匹2兀5兀兀X

"6'3"2"36''：■■■

-1

⑵將函數(shù)/(X)的圖象向右平三個(gè)單位后再向上平移1個(gè)單位得到g(x)的圖象，解不等式

【解析】(1)表格如下：

71711171

2x--071

6~~62371~6~

~2

71717兀5兀

X071

12T7~6

小)_￡010_￡

~2-1~2

函數(shù)/'(x)在[0,句上的圖象如下:

13/67

(2)將函數(shù)［(x)的圖象向右平1個(gè)單位后再向上平移1個(gè)單位得到g(x)的圖象,

所以g(x)W；,即

貝!]2A7t+—<2x-—<2kn+—,k&Z,

666

得左兀+4<x<fai+—GZ,

26

所以不等式g(x"；的解集為「府+^^同兀+?北6：

【變式1-2]設(shè)函數(shù)〃x)=2sin[x+).

(1)列表并畫出了=/(x),xe[-2,10]的圖象;

⑵求函數(shù)8(無)=/(1+》)+/(47)在區(qū)間［0,6］上的值域.

【解析】(1)

列表：

71兀713兀

—X+—0兀2兀

632T

X-214710

y020-20

作圖:

14/67

(2)由已知且(%)=/(1+工)+/(4_司=25由1.+|^+25抽[兀一務(wù)

=2cos—x+2sin—x=2^-sin|—x+—|,

66[64)

1一.八兀,兀715兀

由已知一（一1+一（一，

4644

■一旦sin7171

—x+—<1,

264

-2<g(x)W2A/2,

???函數(shù)8（》）=〃1+可+/（4-》）在區(qū)間［0,6］上的值域是12,2亞］.

題型二：函數(shù)的奇偶性

【典例2-1】若將函數(shù)〉=s