田--H-

第一R等差數(shù)列及其前4項和

1基礎卻織妥打牢強雙基I固本源I得基礎分I掌握程度

［知識能否憶起］

—、等差數(shù)列的有關概念

1.定義：如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就

叫做等差數(shù)列.符號表示為a〃+La〃=d（“EN*,，為常數(shù)）.

b

2.等差中項：數(shù)列a,4力成等差數(shù)列的充要條件是/=丁，其中/叫做a,6的等差中項.

二、等差數(shù)列的有關公式

1.通項公式：a”=ai+（n-1）d.

,,、nn-1ai+an

2.前〃項和公式：S?-nai+--------d---------n--.

三、等差數(shù)列的性質

1.若0，n,p,gEN*,m+n=p+q,｛aj為等差數(shù)列，則&,+a〃=a。

2.在等差數(shù)列｛aj中，ak,a2k,a^,…仍為等差數(shù)列，公差為"d

3.若｛%｝為等差數(shù)列，則S,甌-S,治-必，…仍為等差數(shù)列，公差為da

4.等差數(shù)列的增減性：力0時為遞增數(shù)列，且當a<0時前〃項和S有最小值.K0時為遞減數(shù)列，

且當a>0時前〃項和S有最大值.

5.等差數(shù)列｛aj的首項是a,公差為d若其前〃項之和可以寫成$=/帝+珈，則/=，B=a、/,

當dWQ時它表示二次函數(shù)，數(shù)列｛aj的前〃項和$=加2+為是｛aj成等差數(shù)列的充要條件.

［小題能否全取］

1.（?福建高考）等差數(shù)列｛&｝中，a+a5=10,&=7,則數(shù)列｛&｝的公差為（）

A.1B.2

C.3D.4

2al+\d-10,

解析：選B法一：設等差數(shù)列｛aj的公差為d由題意得

2+3d=7.

81二1,

解得故d=2.

d=2.

法二：.在等差數(shù)列｛a｝中，&+戊=2&=10,.,.&=5.

又a=7,公差，二7-5二2.

3JI（兀、

2.（教材習題改編）在等差數(shù)列｛a｝中，a2+^6=—,則sin（2a一司二（）

1

V3B

22-

Ac.

1

-

V232-

&一山3兀3兀

解析：選D?/a2+56=—,「?2&二

1

2-

3.（?遼寧高考）在等差數(shù)列｛2｝中，已知為+為=16,則該數(shù)列前11項和8=（）

A.58B.88

C.143D.176

11ai+an11a+金

解析：選BSi=2=2~88.

4.在數(shù)列｛a｝中，若a=l,+2521）,則該數(shù)列的通項為二.

解析：由“1=a+2知｛a｝為等差數(shù)列其公差為2.

故a=1+（27-1）X2=2/7-1.

答案：2/7-1

5.（?北京高考）已知｛品｝為等差數(shù)列，S為其前刀項和，若S=a,則色=5二

解析：設｛&｝的公差為d,

由￡二a知，囪+/=當,即2al+2+2d,

11

故

所以

又-d-+

al-2---

2)al

Sn-na\+-/?（77-1）+-7?）X-

121

+

-4-

;7F-

11

2

答

案

+刀

4-^4-

1.與前〃項和有關的三類問題

（1）知三求二：已知國、d、n、a”、S中的任意三個，即可求得其余兩個，這體現(xiàn)了方程思想.

/、d

?&-2J77~加+Bn=d-2A.

(2)Sn--n+

⑶利用二次函數(shù)的圖象確定S的最值時，最高點的縱坐標不一定是最大值，最低點的縱坐標不一定

是最小值.

2.設元與解題的技巧

已知三個或四個數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設元，若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可

設為…，a-2d、a-d、a,d,a+2d…；

若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設為…，a-3d,a-d,a+d、a+3d,…，其余各項再依據(jù)

等差數(shù)列的定義進行對稱設元.

高頻考點要通零TONGGUAN抓考點I學技法|得拔高分|掌握程度

吁等差數(shù)列的判斷與證明

典題導入

［例1］在數(shù)列｛&｝中，51=-3,a=2a一1+2"+3(〃22,且刀EN*).

⑴求的&的值；

⑵設4=Q^(〃EN*),證明：出｝是等差數(shù)列.

[自主解答](1):81=一3,d=2劣一1+2"+3(〃22,且刀EN*),「.生二2&+22+3=1,a=2a+2'+

3=13.

⑵證明：對于任意〃EN*,

，4+1+32+31「/x1「/c〃+ic、ci

?,bn+ibn-2〃+1--=2〃+1[(4+1-2a〃)3]—1[(2+3)-3]=1,

a+3-3+3

??.數(shù)列｛4｝是首項為丁=^^=0,公差為1的等差數(shù)列.

由題悟法

1.證明｛&｝為等差數(shù)列的方法：

(1)用定義證明：a〃-&T=d(d為常數(shù)，為等差數(shù)列；

(2)用等差中項證明：2a〃+1=a〃+a〃+2=｛a〃｝為等差數(shù)歹IJ；

(3)通項法：4為〃的一次函數(shù)o｛aj為等差數(shù)列；

、,nai+a

(4)前n項和法：Sn=Art+Bn或Sn=--------n-.

2.用定義證明等差數(shù)列時，常采用的兩個式子，和〃但它們的意義不同，后者

必須加上“〃22"，否則〃=1時，為無定義.

以題試法

1.已知數(shù)列｛aj的前〃項和S是〃的二次函數(shù)，且a=-2,32=2,$=6.

⑴求S；

⑵證明:數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列.

解：⑴設2=加+助+其件0),

C-2=A+B+C,

貝40=42+2B+C,

16=94+36+C,

解得4=2,B=-4,。=0.故$=2〃2-4”.

(2)證明：?.?當〃=1時，a=S=-2.

2

當“22時，an=S?-S?-i=2ri'-4/7-[2(??-1)-4(/?-1)]=4/7-6.

J.a〃=4A-6(〃EN*).an+i-a?=4,

??.數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列.

3等差數(shù)列的基本運算

典題導入

［例2］(?重慶高考)已知｛aj為等差數(shù)列，且&+a3=8,a2+a=12.

(1)求｛&｝的通項公式；

(2)記｛&｝的前〃項和為S,若如ak,&+?成等比數(shù)列，求正整數(shù)4的值.

［自主解答］(1)設數(shù)列｛&｝的公差為&由題意知

(2a+2d=8,同=2,

［2a-4d=12,解得jd=2.

所以a二a+(77-1)2+2(刀-1)=2/7.

,、,、na\+an2+2/7,、

(2)由(1)可得S=--------n-=----------=n(n+1).

因為功，電,￡+2成等比數(shù)列，所以/=4￡+2.

從而(2?)2=2(4+2)(?+3),即好_5左—6=0,

解得A=6或仁-1(舍去)，因此左二6.

由題悟法

nai+annn-\

1,等差數(shù)列的通項公式a?=ai+(〃-1)d及前n項和公式S?=---------=nai+---------&共涉及

五個量如a“,d,n,S,知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了方程的思想.

2.數(shù)列的通項公式和前〃項和公式在解題中起到變量代換作用，而&和，是等差數(shù)列的兩個基本量,

用它們表示已知和未知是常用方法.

以題試法

2.(1)在等差數(shù)列中，已知a=10,￡=5,則&=.

(2)(?江西聯(lián)考)設等差數(shù)列｛a｝的前〃項和為S,若1-搟=1，則公差為.

解析：(1)￡=5,

+5d=10,

+10(/=5.

fa=-5,

解方程組得，

[d=30.

貝IJ&二8a+28d=8X(—5)+28X3=44.

/\八口=一=4X33X24a+6d3%+3d

(2)依題忌倚&=44+—d=42+6[&=3劭+~32+3&于是有一—-g---=1,由r

此解得d=6,即公差為6.

答案：(1)44(2)6

3等差數(shù)列的性質

典題導入

[例3](1)等差數(shù)列｛品｝中，若功+a+&=39,為+a+備=27,則前9項和關等于()

A.66B.99

C.144D.297

(2)(?天津模擬)設等差數(shù)列｛2｝的前刀項和S,若&二8,&二20,貝IJ如+42+為3+刈4=()

A.18B.17

C.16D.15

[自主解答](1)由等差數(shù)列的性質及a+2+&=39,可得3a=39,所以a二13.同理，由&+a+

乃9二27,可得a=9.

9功+為9&+為

所以&二9=9=99.

⑵設｛aj的公差為“貝IJ為+a+a?+a=&-&=12,(as+&+,7+a)-&=16d,解得，=],a“+

aiz+an+au=St+40d=18.

［答案］(DB(2)A

由題悟法

1,等差數(shù)列的性質是等差數(shù)列的定義、通項公式以及前n項和公式等基礎知識的推廣與變形，熟練

掌握和靈活應用這些性質可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題.

2.應用等差數(shù)列的性質解答問題的關鍵是尋找項的序號之間的關系.

以題試法

3.(1)(?江西高考)設數(shù)列｛aj，伉｝都是等差數(shù)列，若&+4=7,a+&=21,貝lja$+窗=.

(2)(?海淀期末)若數(shù)列｛備｝滿足:a=19,*=a〃-3(〃EN*),則數(shù)列｛aj的前〃項和數(shù)值最大時，n

的值為()

A.6.B.7

C.8D,9

解析：⑴設兩等差數(shù)列組成的和數(shù)列為匕｝,由題意知新數(shù)列仍為等差數(shù)列且a=7,C3=21,則CS

=2cs-ci=2X21-7=35.

(2)a?+\—an--3,數(shù)列｛aj是以19為首項，—3為公差的等差數(shù)列，，an=19+(z?-1)X(-3)

22-340,

=223?設前“項和最大，則有kw。,

22-34+1<0,

解得了?.7GN*,."=7.故滿足條件的〃的值為7.

答案：(1)35(2)B

晶解遇訓練要高效

抓速度I抓規(guī)范I拒絕眼高手低I掌握程度

d級全員必做題

1.(?江西高考)｛&｝為等差數(shù)列，公差d=-2,S為其前〃項和.若S0=Su,則a=()

A.18B.20

C.22D.24

解析：選B由So=Si,得為kSi-So=O,劭=&I+(1-11)4=0+(-10)X(-2)=20.

2.(?廣州調研)等差數(shù)列｛4｝的前刀項和為S,已知為=8,&=6,則So-S的值是()

A.24B.48

C.60D.72

二句+4d=8,[a\-0,

解析：選B設等差數(shù)列回｝的公差為d,由題意可得解得則S。-

[慶=3乃1+3d=6,\d-2,

S=備+勿+Hio=3si+24d=48.

3.(*東北三校聯(lián)考)等差數(shù)列｛4｝中，為+a=4,則log2(2%?2a2..................2&o)=()

A.10B.20

C.40D.2+log25

10a\+5io,、

解析：選B依題意得，Hl+勿+&+…+310=---------------------------------二5(含+%)=20,因此有

log2(2ai,2&....2aw)=石1+&+&+???+310=20.

4.(?海淀期末)已知數(shù)列｛a｝滿足,：a=足為>0,an^\~an-K/JEN*),那么使&<5成立的〃的最大

值為()

A.4B,5

C.24D.25

解析：選C???成+i-4=1,??.數(shù)列｛濕｝是以猶二1為首項，1為公差的等差數(shù)列.???濕=1+(〃-1)=

n.又品>0,/.an=y[n.a<5,.,.yj~n<5.即n<25.故n的最大值為24.

5.已知等差數(shù)列｛a｝的前刀項和為S,并且So>O,SKO,若SWS對〃RN*恒成立，則正整數(shù)A的值

為()

A.5B,6

C.4D,7

解析：選A由So>O,SKO知囪>0,水0,并且國+&K0,即為<0,又為+戊>0,所以戊>0,即數(shù)列

的前5項都為正數(shù)，第5項之后的都為負數(shù)，所以其最大，則A=5.

6.數(shù)列｛2｝的首項為3,出｝為等差數(shù)列且-&(〃EN*).若&=-2,bw=12,貝[Ja二()

A.0B,3

C.8D.11

解析：選B因為｛4｝是等差數(shù)列，且瓜=-2,瓦=12,

12--2

故公差d=---------=2.于是bi=-6,

1U-o

且4二2刀一8(77EN*),即an+\-an=2n-8.

所以含=&+6=56+4+6=〃5+2+4+6=???=己1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3.

7.(?廣東高考)已知遞增的等差數(shù)歹lj｛aj滿足&=1,33=32-4,則a〃=.

解析：設等差數(shù)列公差為d?.?由a3=a：-4,得l+2d=(1+由2-4,解得/=4,即d=土2.由于該

數(shù)列為遞增數(shù)列，故d=2.

r.a〃=1+（Z7-1）X2=2/?-1.

答案:2/2-1

8.已知數(shù)列｛aj為等差數(shù)列，S為其前〃項和，37-35=4,an=21,&=9,貝IJ4=.

解析：a?-as=2d=4,則d=2.ai=an-10t/=21-20=1,

kk—1

Sk=k+——-——義2=必=9.又AEN,故A=3.

答案：3

S2n—3a、a、

9.設等差數(shù)列｛aj,的｝的前〃項和分別為S,北，若對任意自然數(shù)〃都有n彳=立不，則77工7+二T

In4Z7—O劣十號外十例

的值為.

解析:伉｝為等差數(shù)列,

.為含__^9__為+&_曳

h+氏*氏+b「亢+亢=2-=涼

Su&+a“2戊2X11-319.a_19

二=氏+友=瓦=4義11-3=而"

些案?"

口界?41

10.(?福建高考)已知等差數(shù)列｛4｝中,a=l,33=-3.

(1)求數(shù)列U｝的通項公式；

⑵若數(shù)列｛aj的前“項和￡=-35,求A的值.

解：⑴設等差數(shù)列｛&｝的公差為d,則a?=ai+(/7-1)d.

由乃i二1,鼻二—3,可得1+2d=-3,解得d——2.

從而&=1+(7?-1)X(-2)=3-2/7.

(2)由(L)可知=3-2/7,

由￡二—35,可得2k-1｝——35,

即層—2A—35=0,解得4=7或5.

又AEN*,故A=7.

11.設數(shù)列｛2｝的前刀項積為北，Tn=l-an,

⑴證明是等差數(shù)列；

⑵求數(shù)列用的前〃項和

T

解：⑴證明：由北二1一a〃得，當時，北二1一會,

ln-1

兩邊同除以北得9-3-二1.

inln-\

?/71=1-51=Si,

111

故國=；，~~~~~2i.

Z3.1

??.1?是首項為2,公差為1的等差數(shù)列.

(2)由(1)知J=〃+l,貝U北=7^7,

In11'L

從而an=l-Tn=故了二

，數(shù)列］另是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.

cn77+1

=2-

12.已知在等差數(shù)列｛劣｝中，句=31,S是它的前刀項和，So二版.

⑴求S；

⑵這個數(shù)列的前多少項的和最大，并求出這個最大值.

解：(1)So=包+/+…+510,

62二2+乃2+…+&2,又510-$2,

511+.312+.*??+322=0,

12511+/2

即------------=0,故<3LI+&2-2al+31d=0.

又,/<31=31,/.d--2,

n7?-19

Sn=na\+-------------d-31〃-n(n-1)=32〃-n.

⑵法一：由⑴知Sn=32n-n,

故當〃=16時，S有最大值，S的最大值是256.

法二：由5=32〃-〃2=〃(32-〃)，欲使S有最大值，

(口+32—ii\

應有1</7<32,從而~~\9=256,

當且僅當〃=32-A即〃=16時，S有最大值256..

B級重點選做題

1.等差數(shù)列中,3（&+戊）+2（a+40+-3）=24,則該數(shù)列前13項的和是（

A.156B.52

C.26D.13

解析：選C.「&+戊=2&,ai+劭0+43二3aio,

.,?6(a+&o)=24,故QA+ao—4.

133.1+囪313a+Sio

「?S3二-----7-------------------9----------26.

2.在等差數(shù)列｛a｝中，4>0,也。?an<0,若此數(shù)列的前10項和So=36,前18項和518=12,則數(shù)列

｛//｝的前18項和毒的值是()

A.24B.48

C.60D.84

解析：選C由Sl>0,&0?劭1<0可知水0,20>0,511<0,故28=%+…+20一包1-------------包8二So一(S8

-Sio)=60.

3.數(shù)歹lj｛4｝滿足a+1+為二4刀一3(〃EN*).

(1)若｛a｝是等差數(shù)列，求其通項公式；

(2)若｛4｝滿足&=2,S為｛a｝的前〃項和，求￡〃+1.

解：⑴由題意得2+i+a=4〃-3,①

2+2+&+1=4刀+1,(2)

(2)一①得為+2-4=4,

???｛2｝是等差數(shù)列,設公差為d."=2.

a+&=1,a+a+d-1,

1

--2-

/.an-2n-

(2)<31=2,si+52=1,an--1.

又???為+2-品=4,.?.數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，公差均為4,

?*-a，2n-\=477-2,=4/7-5,

—(劭+備+…+a，2n+l)+(。2+&+,,?+。2〃)

77+1nn/7-1

=(7?+1)X2+-------------X4+/7X(-1)+--------------X4

=4//+〃+2.

I教桿備選噩I

311

1.已知數(shù)列｛2｝中，&二man-2----(〃22,刀EN*),數(shù)列.伍｝滿足4二----(T?EN*).

0Q-n-1B.n~

⑴求證：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；

⑵求數(shù)列?｝中的最大項和最小項，并說明理由.

解：(1)證明：：a〃=2(〃22,〃EN*),b?=—

-1-1

時，b-b-1-T-r

nn為一15/7-1-1

1

二--------------二1.

Q-n-\—13-n-\—1

15

又打=F=一］

5

??.數(shù)列出｝是以-2為首項，i為公差的等差數(shù)列.

7

(2)由⑴知,bn=n--f

,12

則為=1+片.1+蘇萬

2

設函數(shù)/'(