7.2.1離散型隨機(jī)變量的概念（教學(xué)設(shè)計(jì)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的含義2.了解隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系3.會(huì)用離散型隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象 【自主學(xué)習(xí)】知識(shí)點(diǎn)一隨機(jī)變量(1)定義：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．(2)表示：常用字母X，Y，ξ，η等表示．知識(shí)點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的定義：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．【合作探究】探究一隨機(jī)變量的概念【例1】指出下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由．(1)某編輯部一天接到咨詢電話的個(gè)數(shù)；(2)從10張已編好號(hào)碼的卡片(1號(hào)到10號(hào))中任取一張，被取出的卡片的號(hào)數(shù)；(3)某林場樹木最高達(dá)30m，此林場中樹木的高度；(4)體積為27cm3的正方體的棱長．【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的概念判斷．【解】(1)接到咨詢電話的個(gè)數(shù)可能是0,1,2,3，…，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量．(2)被抽取的卡片號(hào)數(shù)是隨機(jī)的，是隨機(jī)變量．(3)林場樹木的高度可以取(0,30]內(nèi)的一切值，它是一個(gè)隨機(jī)變量．(4)體積為27cm3的正方體的棱長為3cm，為定值，不是隨機(jī)變量．歸納總結(jié)：在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果所對應(yīng)的數(shù)，且這個(gè)數(shù)所有可能的取值是預(yù)先知道的，但不知道究竟會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)值，這便是“隨機(jī)”的本源【練習(xí)1】將一枚均勻骰子擲兩次，隨機(jī)變量為()A．第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)B．第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)C．兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和D．兩次出現(xiàn)相同點(diǎn)的種數(shù)【答案】C解析：A，B，D中出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)雖然是隨機(jī)的，但是其取值所反映的結(jié)果，都不能整體反映本試驗(yàn)，C整體反映兩次投擲的結(jié)果，可以預(yù)見兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12這十一種結(jié)果，但每擲一次之前都無法確定是哪一個(gè)，因此是隨機(jī)變量．探究二離散型隨機(jī)變量的判定【例2】下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量，并簡述其理由．(1)在2006張已編號(hào)的卡片(從1號(hào)到2006號(hào))中任取1張，被取出的號(hào)數(shù)為X；(2)某人連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)X；(3)從2006張已編號(hào)的卡片(從1號(hào)到2006號(hào))中任取3張，被取出的卡片的號(hào)數(shù)和為X;(4)某工廠加工的某種鋼管外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差X.【分析】看一個(gè)隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量，主要看此變量的取值是否是有限個(gè)，或雖是無限個(gè)，但可以按一定的順序列舉出來．【解】(1)隨機(jī)變量X的值有2006個(gè)，是有限個(gè)，因此X是離散型隨機(jī)變量．(2)首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)X雖然有無限個(gè)，但是可以列舉出來，1,2,3，…，可見，隨機(jī)變量X是離散型隨機(jī)變量．(3)與(1)比較，雖然取的張數(shù)有1張和3張區(qū)別，但實(shí)質(zhì)是一樣的，故X是離散型隨機(jī)變量．(4)由于隨機(jī)變量X的值是(－∞，＋∞)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)(從理論上看)，不可能列舉出來，故隨機(jī)變量X不是離散型隨機(jī)變量．歸納總結(jié)：看一個(gè)變量是否是離散型隨機(jī)變量，首先看它是否是隨機(jī)的，其次是看它是否是離散的，然后才能下結(jié)論.【練習(xí)2】指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量，并說明理由．(1)白熾燈的壽命ξ；(2)某射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，用ξ表示該射手在一次射擊中的得分；(3)鄭州至武漢的電氣化鐵道線上，每隔50m有一電線鐵塔，從鄭州至武漢的電氣化鐵道線上將電線鐵塔進(jìn)行編號(hào)，而其中某一電線鐵塔的編號(hào)ξ；(4)江西九江市長江水位監(jiān)測站所測水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化，該水位站所測水位ξ.解：(1)白熾燈的壽命ξ的取值是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，而所有非負(fù)實(shí)數(shù)不能一一列出，所以ξ不是離散型隨機(jī)變量．(2)是離散型隨機(jī)變量，因?yàn)樯涫值牡梅值娜≈抵挥?或0，可一一列舉．(3)是離散型隨機(jī)變量．因?yàn)殡娋€鐵塔為有限個(gè)，其編號(hào)從1開始可一一列出．(4)不是離散型隨機(jī)變量．因?yàn)樗辉?0,29]這一范圍內(nèi)變化，對水位值我們不能按一定次序一一列出探究三用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果【例3】寫出下列各隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：(1)在2019年北京大學(xué)的自主招生中，參加面試的5名考生中，通過面試的考生人數(shù)X；(2)一個(gè)袋中裝有5個(gè)同樣的球，編號(hào)分別為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球，被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)X.【分析】明確隨機(jī)變量X的意義，寫出X的所有可能取值及每個(gè)值對應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果．【解】(1)X可能取0,1,2,3,4,5.X＝i表示“面試通過的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)X可取3,4,5.X＝3表示“取出的3個(gè)球的編號(hào)為1,2,3”；X＝4表示“取出的3個(gè)球的編號(hào)為1,2,4或1,3,4或2,3,4”；X＝5表示“取出的3個(gè)球的編號(hào)為1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5”．歸納總結(jié)：因?yàn)殡S機(jī)變量的取值描述了隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，因此，要準(zhǔn)確寫出隨機(jī)變量的所有取值，就必須弄清楚所有試驗(yàn)的結(jié)果.還要注意一個(gè)隨機(jī)變量的取值可能對應(yīng)一個(gè)和多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，因此在解決這類問題時(shí)不能漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果【練習(xí)3】寫出下列各隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：(1)盒中裝有6支白粉筆和2支紅粉筆，從中任意取出3支，其中所含白粉筆的支數(shù)X，所含紅粉筆的支數(shù)Y；(2)在含有10件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽取4件，所含次品的件數(shù)X.解：(1)X可取1,2,3.X＝i表示“取出i支白粉筆，3－i支紅粉筆”，其中i＝1,2,3.Y可取0,1,2.Y＝i表示“取出i支紅粉筆，3－i支白粉筆”，其中i＝0,1,2.(2)隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4.X＝i表示“取出的4件產(chǎn)品中有i件次品”，其中i＝0,1,2,3,4.探究四隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系【例4】拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為ξ，試求ξ的值域，并說明“ξ>4”表示的試驗(yàn)結(jié)果．【解】設(shè)第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為x，第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6，依題意得ξ＝x－y.則－5≤ξ≤5，即ξ的值域?yàn)閧－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．則ξ>4?ξ＝5，表示x＝6，y＝1，即第一枚骰子擲出6點(diǎn)，第二枚骰子擲出1點(diǎn)．歸納總結(jié)：隨機(jī)變量ξ與函數(shù)f(x)的區(qū)別函數(shù)是研究確定性現(xiàn)象的，它定義在實(shí)軸上，有確定的因果關(guān)系；隨機(jī)變量從本質(zhì)上講就是以隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果為自變量的一個(gè)函數(shù)，即隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果所對應(yīng)的數(shù)，但這些數(shù)是預(yù)先知道的所有可能的值，這便是“隨機(jī)”的本源．【練習(xí)4】一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)為ξ.(1)列表說明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對應(yīng)的ξ的值；(2)若規(guī)定抽取3個(gè)球中，每抽到一個(gè)白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管結(jié)果如何都加上6分，求最終得分η的可能取值，并判定η