第08講函數(shù)模型及其應用（模擬精練+真題演練）1．（2023·河南鄭州·洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）水霧噴頭布置的基本原則是：保護對象的水霧噴頭數(shù)量應根據(jù)設計噴霧強度、保護面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量q（單位：L/min）計算公式為和保護對象的水霧噴頭數(shù)量N計算公式為計算確定，其中P為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa），K為水霧噴頭的流量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），S為保護對象的保護面積，W為保護對象的設計噴霧強度（單位：L/min·m2），水霧噴頭的布置應使水霧直接噴射和完全覆蓋保護對象，如不能滿足要求時應增加水霧噴頭的數(shù)量.當水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa，水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96，保護對象的保護面積S為14m2，保護對象的設計噴霧強度W為20L/min·m2時，保護對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個2．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）提丟斯一波得定則，簡稱“波得定律”，是表示各行星與太陽平均距離的一種經(jīng)驗規(guī)則.它是在1766年德國的一位中學教師戴維·提丟斯發(fā)現(xiàn)的.后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成了一個如下經(jīng)驗公式來表示：記太陽到地球的平均距離為1，若某行星的編號為n，則該行星到太陽的平均距離表示為，那么編號為9的行星用該公式推得的平均距離位于（

）行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星編號12345678公式推得值0.711.62.85.21019.638.8實測值0.7211.522.95.29.5419.1830.06A． B． C． D．3．（2023·四川內江·四川省內江市第六中學?？寄M預測）英國物理學家和數(shù)學家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型．如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過物體的溫度將滿足，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有的物體，若放在的空氣中冷卻，經(jīng)過物體的溫度為，則若使物體的溫度為，需要冷卻（

）A． B． C． D．4．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預測）為落實黨的二十大提出的“加快建設農業(yè)強國，扎實推動鄉(xiāng)村振興”的目標，銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務.根據(jù)調查的數(shù)據(jù)，建立了實際還款比例關于貸款人的年收入（單位：萬元）的Logistic，模型：，已知當貸款人的年收入為8萬元時，其實際還款比例為50%.若銀行希望實際還款比例為40%，則貸款人的年收入為（

）（精確到0.01萬元，參考數(shù)據(jù)：，）A．4.65萬元 B．5.63萬元 C．6.40萬元 D．10.00萬元5．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）為了貫徹落實《中共中央國務院關于深入打好污染防治攻堅戰(zhàn)的意見》，某造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型，其中為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù).假設廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時符合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．14次 B．15次 C．16次 D．17次6．（2023·江西·校聯(lián)考二模）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調節(jié)免疫功能，增強機體免疫力.草莓味甘、性涼，有潤肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛.根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到大依次分為個等級，其等級（）與其對應等級的市場銷售單價單位：元千克近似滿足函數(shù)關系式.若花同樣的錢買到的級草莓比級草莓多倍，且級草莓的市場銷售單價為元千克，則級草莓的市場銷售單價最接近（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．元千克 B．元千克 C．元千克 D．元千克7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）中華人民共和國國家標準《居室空氣中甲醛的衛(wèi)生標準》規(guī)定：居室空氣中甲醛的最高容許濃度為：一類建筑，二類建筑．二類建筑室內甲醛濃度小于等于為安全范圍，已知某學校教學樓（二類建筑）施工過程中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風環(huán)境下時，竣工2周后室內甲醛濃度為，4周后室內甲醛濃度為，且室內甲醛濃度（單位：）與竣工后保持良好通風的時間（單位：周）近似滿足函數(shù)關系式，則該教學樓竣工后的甲醛濃度若要達到安全開放標準，至少需要放置的時間為（

）A．5周 B．6周 C．7周 D．8周8．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學校?？寄M預測）為研究每平方米平均建筑費用與樓層數(shù)的關系，某開發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費用的相關信息，將總樓層數(shù)與每平米平均建筑成本（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點圖：則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費用和樓層數(shù)的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．9．（多選題）（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）甲乙兩隊進行比賽，若雙方實力隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：其中正實數(shù)分別為甲?乙兩方初始實力，為比賽時間；分別為甲?乙兩方時刻的實力；正實數(shù)分別為甲對乙?乙對甲的比賽效果系數(shù).規(guī)定當甲?乙兩方任何一方實力為0時比賽結束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續(xù)時長為.則下列結論正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若，則甲比賽勝利D．若，則甲比賽勝利10．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數(shù)關系的圖象，假設其函數(shù)關系為指數(shù)函數(shù)，現(xiàn)給出下列說法，其中正確的說法有（

）A．野生水葫蘆的面積每月增長量相等B．野生水葫蘆從蔓延到歷時超過1個月C．設野生水葫蘆蔓延到，，所需的時間分別為，，，則有D．野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度11．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：℃），環(huán)境溫度是（單位：℃），其中、則經(jīng)過t分鐘后物體的溫度將滿足（且）．現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結論正確的是（

）（參考數(shù)值）A．若，則B．若，則紅茶下降到所需時間大約為6分鐘C．5分鐘后物體的溫度是，k約為0.22D．紅茶溫度從下降到所需的時間比從下降到所需的時間多12．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為64ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時間t（單位：分）之間滿足函數(shù)關系y＝f（t），其中（R為常數(shù)）．若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm，人就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（）A．B．C．排氣12分鐘后，人可以安全進入車庫D．排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫13．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）某軍區(qū)紅、藍兩方進行戰(zhàn)斗演習，假設雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實數(shù)，分別為紅、藍兩方初始兵力，t為戰(zhàn)斗時間；，分別為紅、藍兩方t時刻的兵力;正實數(shù)a，b分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰(zhàn)斗演習結束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時長為T．給出下列四個結論：①若且，則；②若且，則；③若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利；④若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利．其中所有正確結論的序號是________．14．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）我們可以用下面的方法在線段上構造出一個特殊的點集：如圖，取一條長度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于，則的最小值為__________.（參考數(shù)據(jù)：）15．（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中為非零常數(shù)；已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m，則釋放信息素4秒后，距釋放處的___________米的位置，信息素濃度為.16．（2023·全國·長郡中學校聯(lián)考模擬預測）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就．實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M１，月球質量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：．設，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為_________．1．（2015·四川·高考真題）某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：℃）滿足函數(shù)關系（為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）.若該食品在℃的保鮮時間是小時，在℃的保鮮時間是小時，則該食品在℃的保鮮時間是A．16小時 B．20小時 C．24小時 D．21小時2．（2014·湖南·高考真題）某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長率為，第二年的增長率為，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為A． B．C． D．3．（2015·北京·高考真題）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況．加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）年月日年月日注：“累計里程“指汽車從出廠開始累計行駛的路程在這段時間內，該車每千米平均耗油量為（）A．升 B．升 C．升 D．升4．（2011·北京·高考真題）根據(jù)統(tǒng)計，一名工作組裝第4件某產(chǎn)品所用的時間（單位：分鐘）為（A，C為常數(shù)）．已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，那么C和A的值分別是A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，165．（2014·北京·高考真題）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數(shù)關系p=at2+bt+c（a，b，c是常數(shù)），如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘6．（2011·湖北·高考真題）放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變．假設在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量M（單位：太貝克）與時間t（單位：年）滿足函數(shù)關系：，其中M0為t=0時銫137的含量．已知t=30時，銫137含量的變化率是（太貝克/年），則M（60）=（）A．5太貝克 B．75太貝克 C．150太貝克 D．150太貝克7．（2015·四川·高考真題）某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：）滿足函數(shù)關系（為自然對數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)）．若該食品在0的保鮮時間設計192小時，在22的保鮮時間是48小時，則該食品在33的保鮮時間是______小時.8．（2014·北京·高考真題）顧客請一位工藝師把、兩件玉石原料各制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成這項任務，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進行精加工完成制作，兩件工藝品都完成后交付顧客，兩件原料每道工序所需時間（單位：工作日）如下：工序時間原料粗加工精加工原料原料則最短交貨期為工作日.9．（2019·北京·高考真題）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．10．（2018·浙江·高考真題）我國古代數(shù)學著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一，凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設雞翁，雞母，雞雛個數(shù)分別為，，，則當時，___________，___________．第08講函數(shù)模型及其應用（模擬精練+真題演練）1．（2023·河南鄭州·洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）水霧噴頭布置的基本原則是：保護對象的水霧噴頭數(shù)量應根據(jù)設計噴霧強度、保護面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量q（單位：L/min）計算公式為和保護對象的水霧噴頭數(shù)量N計算公式為計算確定，其中P為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa），K為水霧噴頭的流量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），S為保護對象的保護面積，W為保護對象的設計噴霧強度（單位：L/min·m2），水霧噴頭的布置應使水霧直接噴射和完全覆蓋保護對象，如不能滿足要求時應增加水霧噴頭的數(shù)量.當水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa，水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96，保護對象的保護面積S為14m2，保護對象的設計噴霧強度W為20L/min·m2時，保護對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】C【解析】由水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa，水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96，得，再由保護對象的保護面積S為14m2，保護對象的設計噴霧強度W為20L/min·m2，得，即保護對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為個.故選：C.2．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）提丟斯一波得定則，簡稱“波得定律”，是表示各行星與太陽平均距離的一種經(jīng)驗規(guī)則.它是在1766年德國的一位中學教師戴維·提丟斯發(fā)現(xiàn)的.后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成了一個如下經(jīng)驗公式來表示：記太陽到地球的平均距離為1，若某行星的編號為n，則該行星到太陽的平均距離表示為，那么編號為9的行星用該公式推得的平均距離位于（

）行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星編號12345678公式推得值0.711.62.85.21019.638.8實測值0.7211.522.95.29.5419.1830.06A． B． C． D．【答案】D【解析】由表格可得，故選：D3．（2023·四川內江·四川省內江市第六中學?？寄M預測）英國物理學家和數(shù)學家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型．如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過物體的溫度將滿足，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有的物體，若放在的空氣中冷卻，經(jīng)過物體的溫度為，則若使物體的溫度為，需要冷卻（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，，代入，，即，所以，所以，由題意得，，代入，即，得，即，解得，即若使物體的溫度為，需要冷卻，故選：C．4．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預測）為落實黨的二十大提出的“加快建設農業(yè)強國，扎實推動鄉(xiāng)村振興”的目標，銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務.根據(jù)調查的數(shù)據(jù)，建立了實際還款比例關于貸款人的年收入（單位：萬元）的Logistic，模型：，已知當貸款人的年收入為8萬元時，其實際還款比例為50%.若銀行希望實際還款比例為40%，則貸款人的年收入為（

）（精確到0.01萬元，參考數(shù)據(jù)：，）A．4.65萬元 B．5.63萬元 C．6.40萬元 D．10.00萬元【答案】A【解析】由題意，即，得，所以.令，得，得，得得.故選：A.5．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）為了貫徹落實《中共中央國務院關于深入打好污染防治攻堅戰(zhàn)的意見》，某造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型，其中為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù).假設廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時符合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．14次 B．15次 C．16次 D．17次【答案】C【解析】依題意，，，當時，，即，可得，于是，由，得，即，則，又，因此，所以若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要16次．故選：C6．（2023·江西·校聯(lián)考二模）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調節(jié)免疫功能，增強機體免疫力.草莓味甘、性涼，有潤肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛.根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到大依次分為個等級，其等級（）與其對應等級的市場銷售單價單位：元千克近似滿足函數(shù)關系式.若花同樣的錢買到的級草莓比級草莓多倍，且級草莓的市場銷售單價為元千克，則級草莓的市場銷售單價最接近（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．元千克 B．元千克 C．元千克 D．元千克【答案】C【解析】由題可知，由則.故選：C.7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）中華人民共和國國家標準《居室空氣中甲醛的衛(wèi)生標準》規(guī)定：居室空氣中甲醛的最高容許濃度為：一類建筑，二類建筑．二類建筑室內甲醛濃度小于等于為安全范圍，已知某學校教學樓（二類建筑）施工過程中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風環(huán)境下時，竣工2周后室內甲醛濃度為，4周后室內甲醛濃度為，且室內甲醛濃度（單位：）與竣工后保持良好通風的時間（單位：周）近似滿足函數(shù)關系式，則該教學樓竣工后的甲醛濃度若要達到安全開放標準，至少需要放置的時間為（

）A．5周 B．6周 C．7周 D．8周【答案】B【解析】由題意可得：，解得，所以，令，整理得，因為，故，則，所以至少需要放置6周.故選：B.8．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學校?？寄M預測）為研究每平方米平均建筑費用與樓層數(shù)的關系，某開發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費用的相關信息，將總樓層數(shù)與每平米平均建筑成本（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點圖：則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費用和樓層數(shù)的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】觀察散點圖，可知是一個單調遞減的曲線圖，結合選項函數(shù)的類型可得回歸方程類型是反比例類型，故C正確.故選：C.9．（多選題）（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）甲乙兩隊進行比賽，若雙方實力隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：其中正實數(shù)分別為甲?乙兩方初始實力，為比賽時間；分別為甲?乙兩方時刻的實力；正實數(shù)分別為甲對乙?乙對甲的比賽效果系數(shù).規(guī)定當甲?乙兩方任何一方實力為0時比賽結束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續(xù)時長為.則下列結論正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若，則甲比賽勝利D．若，則甲比賽勝利【答案】ABD【解析】對選項A：若且，則，所以，由可得，正確；對選項B：當時根據(jù)A中的結論可知，所以乙方實力先為0，即，化簡可得，即，兩邊同時取對數(shù)可得，即，即，正確；對選項C：，若甲方獲得比賽勝利，則甲方可比賽時間大于乙方即可，設甲方實力為0時所用時間為，乙方實力為0時所用時間為，即，可得，同理可得，即，解得，又因為都為正實數(shù)，所以可得，甲方獲得比賽勝利，錯誤；對選項D：根據(jù)C知正確；故答案為：.10．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數(shù)關系的圖象，假設其函數(shù)關系為指數(shù)函數(shù)，現(xiàn)給出下列說法，其中正確的說法有（

）A．野生水葫蘆的面積每月增長量相等B．野生水葫蘆從蔓延到歷時超過1個月C．設野生水葫蘆蔓延到，，所需的時間分別為，，，則有D．野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度【答案】BC【解析】由圖可知野生水葫蘆第一個月增長面積為，第二個月增長面積為，A錯誤；由圖可知野生水葫蘆從蔓延到歷時超過1個月，B正確；野生水葫蘆的面積與時間的函數(shù)關系為，，，，，所以，C正確；野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度為野生水葫蘆在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度為，D錯誤.故選：BC11．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：℃），環(huán)境溫度是（單位：℃），其中、則經(jīng)過t分鐘后物體的溫度將滿足（且）．現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結論正確的是（

）（參考數(shù)值）A．若，則B．若，則紅茶下降到所需時間大約為6分鐘C．5分鐘后物體的溫度是，k約為0.22D．紅茶溫度從下降到所需的時間比從下降到所需的時間多【答案】AC【解析】由題知，A選項：若，即，所以，則，A正確；B選項：若，則，則，兩邊同時取對數(shù)得，所以，所以紅茶下降到所需時間大約為7分鐘，B錯誤；C選項：5分鐘后物體的溫度是，即，則，得，所以，故C正確；D選項：為指數(shù)型函數(shù)，如圖，可得紅茶溫度從下降到所需的時間（）比從下降到所需的時間（）少，故D錯誤．故選：AC．12．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為64ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時間t（單位：分）之間滿足函數(shù)關系y＝f（t），其中（R為常數(shù)）．若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm，人就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（）A．B．C．排氣12分鐘后，人可以安全進入車庫D．排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫【答案】BD【解析】因為，所以符合要求．又解得，a＝128，故B正確，A錯誤．，當時，即，得，所以，即，所以排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫，故D正確，C錯誤，故選：BD.13．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）某軍區(qū)紅、藍兩方進行戰(zhàn)斗演習，假設雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實數(shù)，分別為紅、藍兩方初始兵力，t為戰(zhàn)斗時間；，分別為紅、藍兩方t時刻的兵力;正實數(shù)a，b分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰(zhàn)斗演習結束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時長為T．給出下列四個結論：①若且，則；②若且，則；③若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利；④若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利．其中所有正確結論的序號是________．【答案】①②④【解析】對于①，若且，則，即，所以，由可得，即①正確；對于②，當時根據(jù)①中的結論可知，所以藍方兵力先為0，即，化簡可得，即，兩邊同時取對數(shù)可得，即，所以戰(zhàn)斗持續(xù)時長為，所以②正確；對于③，若紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利，則紅方可戰(zhàn)斗時間大于藍方即可，設紅方兵力為0時所用時間為，藍方兵力為0時所用時間為，即，可得同理可得即，解得又因為都為正實數(shù)，所以可得，紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利；所以可得③錯誤，④正確.故答案為：①②④.14．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）我們可以用下面的方法在線段上構造出一個特殊的點集：如圖，取一條長度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于，則的最小值為__________.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】12【解析】設每次操作留下的長度為，則，，且每次操作留下的長度均為上一次操作留下長度的，所以為等比數(shù)列，公比為，首項為，故，所以經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段長度總和為，故，即，兩邊取對數(shù)得：，因為，所以，則n的最小值為12.故答案為：1215．（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中為非零常數(shù)；已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m，則釋放信息素4秒后，距釋放處的___________米的位置，信息素濃度為.【答案】4【解析】因為釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m，所以，所以，即當時，，整理得即，所以，因為，所以.故答案為:4.16．（2023·全國·長郡中學校聯(lián)考模擬預測）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就．實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M１，月球質量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：．設，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為_________．【答案】【解析】由，得，由，得，將代入，得，有，所以，則，所以.故答案為：.1．（2015·四川·高考真題）某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：℃）滿足函數(shù)關系（為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）.若該食品在℃的保鮮時間是小時，在℃的保鮮時間是小時，則該食品在℃的保鮮時間是A．16小時 B．20小時 C．24小時 D．21小時【答案】C【詳解】，兩式相除得，解得，那么，當時，故選C．考點：函數(shù)的應用2．（2014·湖南·高考真題）某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長率為，第二年的增長率為，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為A． B．C． D．【答案】D【詳解】設這兩年年平均增長率為，因此解得．考點：函數(shù)模型的應用．3．（2015·北京·高考真題）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況．加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）年月日年月日注：“累計里程“指汽車從出廠開始累計行駛的路程在這段時間內，該車每千米平均耗油量為（）A．升 B．升 C．升 D．升【答案】B【詳解】因為第一次郵箱加滿，所以第二次的加油量即為該段時間內的耗油量，故耗油量升.而這段時間內行駛的里程數(shù)千米.所以這段時間內，該車每100千米平均耗油量為升，故選B.考點：平均變化率.4．（2011·北京·高考真題）根據(jù)統(tǒng)計，一名工作組裝第4件某產(chǎn)品所用的時間（單位：分鐘）為（A，C為常數(shù)）．已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，那么C和A的值分別是A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16【答案】D【詳解】由條件可知，時所用時間為常數(shù)，所以組裝第4件產(chǎn)品用時必然滿足第一個分段函數(shù)，即，，選D．5．（2014·北京·高考真題）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數(shù)關系p=at2+b